Maple фазовый портрет системы дифференциальных уравнений

Численное решение дифференциальных уравнений с помощью команды dsolve. Построение графиков решений дифференциальных уравнений с помощью команды odeplot.

Для того, чтобы найти численное решение дифференциального уравнения (задачи Коши или краевой задачи) в команде dsolve следует указать параметр type=numeric (или просто numeric ). Тогда команда решения дифференциального уравнения будет иметь вид dsolve(eq, vars, type=numeric, options), где eq – уравнения, vars – список неизвестных функций, options – параметры, позволяющие указать метод численного интегрирования дифференциального уравнения. В Maple реализованы такие методы: method=rkf45 — метод Рунге-Кутта-Фельберга 4-5-ого порядка (установлен по умолчанию); method=dverk78 – метод Рунге-Кутта 7-8 порядка; mtthod=classical – классический метод Рунге-Кутта 3-его порядка; method=gear и method=mgear – одношаговый и многошаговый методы Гира.

График численного решения дифференциального уравнения можно построить с помощью команды odeplot(dd, [x,y(x)], x=x1..x2), где в качестве функции используется команда dd:=dsolve(, y(x), numeric) численного решения, после нее в квадратных скобках указывают переменную и неизвестную функцию [x,y(x)] , и интервал x=x1..x2 для построения графика.

Видео:Решение дифференциальных уравнений. Построение фазового портрета систему ДУ. Урок 47Скачать

Задание 2.1.

1. Найти численное и приближенное решение в виде степенного ряда до 6-ого порядка задачи Коши: , , .

Сначала найдем численное решение задачи Коши и построим его график.

de := proc ( rkf45_x ). end

Замечание : в строке вывода появляется сообщение о том, что при решении использован метод rkf45 . Во избежание вывода строк, не несущих полезной информации, рекомендуется отделять промежуточные команды двоеточием. Если необходимо получить значение решения при каком-то фиксированном значении переменной х (заодно будет выведено значение производной решения в этой точке), например, при х =0.5, то следует набрать:

Теперь найдем приближенное решение задачи Коши в виде степенного ряда и построим графики численного решения и полученного степенного ряда в интервале их наилучшего совпадения.

Наилучшее приближение решения степенным рядом достигается примерно на интервале — 1 x

х ‘( t )=2 y ( t )sin( t ) — х ( t ) — t ,

Пакет графического представления решений дифференциальных уравнений Detools .

Для численного решения задачи Коши, построения графиков решения и фазовых портретов в Maple имеется специальный пакет DEtools .

Команда DEplot из пакета DEtools строит численными методами графики решения или фазовые портреты. Эта команда аналогична команде odeplot , но более функциональна. Она, в отличие от odeplot , сама производит численное решение дифференциального уравнения. Основные параметры DEplot похожи на параметры odeplot : DEplot(de, vars, range, x=х1..х2, y=у1..у2, cond, ptions) , где de — дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений; vars – список неизвестных функций; range – диапазон измерения независимой переменной; cond – начальные условия; x=х1..х2 и y=у1..у2 – диапазоны изменения функций; options – дополнительные параметры.

Наиболее часто используемые параметры: linecolor =цвет линии; scene=[x,y] — определяет, какие зависимости выводить на график; iterations =число итераций, необходимое для повышения точности вычислений (по умолчанию это число равно 1); stepsize =число, равное расстоянию между точками на графике, по умолчанию оно равно ( x2 — x1 )/20, этот параметр необходим для вывода более гладкой кривой решения; obsrange = true / false — прерывать или нет вычисления, если график решения выходит за установленный для рисования интервал.

Для решения дифференциального уравнения n -ого порядка начальные условия можно задавать в более компактной форме: [x0, y0, y ‘ 0, y » 0,…] , где x0 — точка, в которой задаются начальные условия, y0 — значение искомой функции в точке x0 , y ‘ 0, y » 0,… — значения производных первой, второй и т.д. до ( n — 1)-ого порядка.

Видео:Асташова И. В. - Дифференциальные уравнения. Часть 2 - Фазовый портретСкачать

Задание 2.2.

Нарисовать график решения дифференциального уравнения:

, , , в интервале .

(D@@2)(y)(0)=1]], stepsize=.1, linecolor=black,

Построение фазовых портретов систем дифференциальных уравнений.

Для дифференциального уравнения порядка выше первого команда DEplot рисует только кривые решений дифференциальных уравнений, а для систем дифференциальных уравнений первого порядка могут быть нарисованы и фазовые портреты.

С помощью команды DEplot можно построить фазовый портрет в плоскости ( x , y ), для системы двух дифференциальных уравнений: , если в параметрах данной команды указать scene=[x,y] .

Если система дифференциальных уравнений является автономной, то на фазовом портрете будет построено поле направлений в виде стрелок. Размер стрелок регулируется параметром arrows = SMALL , MEDIUM , LARGE , LINE или NONE .

Для того, чтобы нарисовать весь фазовый портрет, необходимо для каждой фазовой траектории указывать начальные условия: например, для системы двух дифференциальных уравнений первого порядка несколько начальных условий в команде DEplots указываются после задания диапазона изменения независимой переменной t : [[x(0)=x1, y(0)=y1], [x(0)=x2, y(0)=y2],…, [x(0)=xn, y(0)=yn]] .

Начальные условия можно задавать в более компактной форме: [t0, x0, y0] , где t0 — точка, в которой задаются начальные условия, x0 и y0 — значения искомых функций в точке t0 .

Фазовый протрет системы двух дифференциальных уравнений первого порядка можно также построить с помощью команды phaseportrait(sys, [x,y],x1..x2,[[cond]]) , где sys — система двух дифференциальных уравнений первого порядка, [x,y] — имена искомых функций, x1..x2 — интервал, на котором следует построить фазовый портрет, а в фигурных скобках указываются начальные условия. Эта команда находится в пакете DEtools , поэтому данный пакет должен быть предварительно загружен.

Видео:Дополнительные главы ИДУ: Построение фазовых портретов | Занятие 3Скачать

Задание 2.3.

1. Построить фазовый портрет системы дифференциальных уравнений:

для нескольких наборов начальных условий: х (0)=1, у (0)=0.2; х (0)=0, у (0)=1; х (0)=1, у (0)=0.4; х (0)=1, у (0)=0.75; х (0)=0, у (0)=1.5; х (0)= — 0.1, у (0)=0.7.

stepsize=0.1, arrows=none, linecolor=black);

2. Построить фазовый портрет с полем направлений автономной системы

для различных начальных условий х (0)=1, у (0)=0; х (0)= — 1, у (0)=0; х (0)= p , у (0)=1; х (0)= — p , у (0)=1; х (0)=3 p , у (0)=0.2; х (0)=3 p , у (0)=1; х (0)=3 p , у (0)=1.8; х (0)= — 2 p , у (0)=1;.

3. Построить фазовый портрет системы дифференциальных уравнений:

Начальные условия, диапазон изменения переменной и размеры координатных осей подбираются самостоятельно из соображений наглядности фазового портрета.

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Видео:ТАУ. Matlab/SIMULINK Фазовые портреты систем нелинейных диф. уравненийСкачать

Внастоящее время в связи с бурным развитием компьютерных технологий широкое применение получили специализированные математические пакеты программ, такие, как Ax

Главная > Документ

7.2.3. Построение фазовых портретов систем дифференциальных уравнений

Для дифференциального уравнения порядка выше первого команда DEplot представляет только кривые решений дифференциальных уравнений, а для систем дифференциальных уравнений первого порядка могут быть изображены и фазовые портреты.

С помощью команды DEplot можно построить фазовый портрет в плоскости ( x , y ), для системы двух дифференциальных уравнений: , если в параметрах данной команды указать scene=[x,y].

Если система дифференциальных уравнений является автономной, то на фазовом портрете будет отображено поле направлений в виде стрелок. Размер стрелок регулируется параметром arrows = SMALL , MEDIUM , LARGE , LINE или NONE .

Для того чтобы отобразить весь фазовый портрет, необходимо для каждой фазовой траектории указывать начальные условия: например, для системы двух дифференциальных уравнений первого порядка несколько начальных условий в команде DEplots указываются после задания диапазона изменения независимой переменной t: [[x(0)=x1, y(0)=y1], [x(0)=x2, y(0)=y2],…, [x(0)=xn, y(0)=yn]].

Начальные условия можно задавать в более компактной форме: [ t 0, x 0, y 0] , где t 0  точка, в которой задаются начальные условия; x 0 и y 0  значения искомых функций в точке t 0 .

Фазовый портрет системы двух дифференциальных уравнений первого порядка можно также построить с помощью команды phaseportrait ( sys , [ x , y ], x 1.. x 2,[[ cond ]]) , где sys  система двух дифференциальных уравнений первого порядка; [ x , y ]  имена искомых функций, x 1.. x 2  интервал, на котором следует построить фазовый портрет, а в фигурных скобках указываются начальные условия. Эта команда находится в пакете DEtools , поэтому данный пакет должен быть предварительно загружен.

Построить фазовый портрет системы дифференциальных уравнений: для нескольких наборов начальных условий (рис.7.7): х(0)=1, у(0)=0.2; х(0)=0, у(0)=1; х(0)=1, у(0)=0.4; х(0)=1, у(0)=0.75; х(0)=0, у(0)=1.5; х(0)=  0.1, у(0)=0.7.

[> restart; with(D Е tools):

Рис. 7.7. Фазовый портрет системы дифференциальных уравнений для нескольких наборов начальных условий

Построить фазовый портрет системы дифференциальных уравнений: . Начальные условия, диапазон изменения переменной и размеры координатных осей подбираются из соображений наглядности фазового портрета (рис. 7.8).

[> restart; with(D Е tools):

[[0,1,-2], [0,-3,-3], [0,-2,4], [0,5,5], [0,5,-3],[0,-5,2], [0,5,2], [0,-1,2]], x=-30..30, y=-20..20, stepsize=.1, colour=blue, linecolor=black);

Рис. 7.8. Фазовый портрет системы дифференциальных уравнений

8. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ, РЯДЫ, ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

8.1. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Большинство задач дифференциального и интегрального исчисления функций многих переменных решается в Maple с помощью тех же команд, что и для функций одной переменной, только с указанием дополнительных опций.

8.1.1. Частные производные

Для вычисления частных производных функции f(x 1 ,…, x m ) используется команда:

где x1,…, xm – переменные, по которым производится дифференцирование, а после знака $ задается соответствующий порядок дифференцирования. Например, частная производная будет задана в виде: diff(f,x,y).

Найти и функции .

[> f := arctan ( x / y ):

.

Найти все частные производные 2-го порядка функции .

.

8.1.2. Локальные и условные экстремумы функций многих переменных

Для исследования функции нескольких пременных на локальный и условный экстремум используется команда из стандартной библиотеки extrema(f,,,’s’) , где cond – ограничения для поиска условного экстремума, которые записываются в виде неравенств или равенств. После ограничений в фигурных скобках указываются все переменные, от которых зависит функция f , а затем в кавычках записывается s – имя переменной, которой будут присвоены координаты точек экстремума. Для поиска локального экстремума множество задается пустым .

Отметим, что команда extrema выдает все критические точки, т.е. и те, в которых экстремума нет. Отсеять недающие экстремума критические точки можно с помощью подстановки этих точек в функцию, с использованием команды subs .

Как и для функции одной переменной, наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных можно найти командами

в которых следует указывать после функции в фигурных скобках список всех переменных, от которых она зависит, и интервалы для каждой переменной, задающие область поиска наибольшего и наименьшего значений.

Если требуется найти переменные, при которых линейная функция многих переменных имеет максимум (или минимум) при наложении ограничений, заданных в виде линейных равенств или неравенств нужно использовать симплекс-метод. Для этого необходимо загрузить пакет simplex , а затем воспользоваться командой maximize (или minimize ), где в качестве range в фигурных скобках указывают ограничения.

Пакет simplex предназначен для решения задач линейной оптимизации. После его загрузки команды maximize и minimize выдают координаты точек, при которых заданная линейная функция имеет максимум или минимум. Для поиска неотрицательных решений используется команда NONNEGATIVE .

Найти экстремумы функции .

Получилось два экстремума, поэтому очевидно, что f max =0 и f min =  9/8, причем максимум достигается в точке (0,0). Остальные критические точки следует проверить. В силу четности функции по обеим переменным, можно ограничиться проверкой критических точек с положительными координатами.

Таким образом, функция имеет локальные экстремумы: f max = f (0,0)=0 и f min = f = f =9/8.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в прямоугольнике x = 0, y = 0, x = 1, y = 2.

Замечание: заданную область удобнее записывать в виде неравенств: 0 x 1, 0 y 2.

[> restart: readlib(maximize): readlib(minimize):

Таким образом, функция имеет наибольшее значение f max =17 и наименьшее значение f min =  4.

Найти условные экстремумы функции f ( х , у, z ) = xy + yz при x 2 + y 2 = 2, y + z = 2, x > 0, y > 0, z > 0.

[>restart: readlib(extrema): f:=x*y+y*z:

Несмотря на предварительное использование команды упрощения выражения simplify , полученный результат имеет не аналитический вид, однако это можно исправить, если воспользоваться командой convert .

= ,y

= , z

= >>

В этом случае команда extrema сама определила характер экстремумов, однако, в каких точках функция имеет экстремумы, можно определить подстановкой.

Таким образом, функция имеет следующие условные экстремумы: f max = f (1,1,1) = 2 и f min = f (1,1,1) = 0; третья критическая точка является седловой.

При каких значениях переменных функция f ( x , y , z ) =  x + 2 y + 3 z имеет максимум, если требуется выполнение условий x + 2 y  3 z  4, 5 x  6 y + 7 z  8, 9 x + 10 z  11, а все переменные неотрицательные?

Warning, new definition for maximize

Warning, new definition for minimize

8.2. Интегральное исчисление функций многих переменных

В Maple имеются две специальные команды для вычисления двойных и тройных интегралов из библиотеки student .

Для вычисления двойных интегралов используется команда Doubleint(f(x, y), D), где D – область интегрирования, записываемая в одном из следующих форматов:

– x=х1..х2, y=y1..y2 , где числа х1, х2, y1, y2 задают прямоугольную область интегрирования;

– x=f1(y)..f2(y), y=y1..y2 , где f1(y), f2(y)  линии, ограничивающие область интегрирования слева и справа на интервале от y1 до y2 ;

– x=х1..х2, y=g1(x)..g2(x) , где g1(y), g2(y)  линии, ограничивающие область интегрирования снизу и сверху на интервале от х1 до х2 .

Для вычисления тройных интегралов используется команда Tripleint(f(x, y, z),x, y, z, V), где V – область интегрирования.

Обе эти команды являются командами отложенного действия. Чтобы получить значение интеграла, следует использовать команду value(%).

Повторные интегралы можно вычислять с помощью повторения команды int , например, повторный интеграл вычисляется командой

Вычислить повторный интеграл

[> Int ( Int ( y ^3/( x ^2+ y ^2), x =0.. y ), y =2..4)=

Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной линиями .

Замечание: вначале графически изобразим область интегрирования D (рис. 8.1.).

Warning, the name changecoords has been redefined

Рис. 8.1. Область интегрирования D , изображенная графически (красный треугольник)

Представим область интегрирования в виде неравенств:

Вычислить тройной интеграл .

Замечание: следует помнить, что порядок интегрирования определяется последовательностью пределов, поэтому сначала указываются внутренние пределы.

8.3. Векторный анализ

Основные дифференциальные операции векторного анализа и команды Maple для их вычисления, содержатся в библиотеке linalg .

Градиент скалярной функции f(x,y,z) – это вектор, координатами которого являются частные производные по соответствующим переменным: . В Maple вычисляется командой grad(f,[x,y,z], c ) , где f – функция, [x,y,z] – набор переменных, от которых она зависит.

Опция с позволяет вычислять данную дифференциальную операцию в различных криволинейных координатах (по умолчанию используется прямоугольная декартова система координат). Этот параметр может указываться во всех имеющихся в Maple дифференциальных операциях. Для вычисления дифференциальной операции в цилиндрических координатах следует записать coords = cylindrical , в сферических координатах – coords = spherical .

Лапласиан скалярной функции f(x,y,z) – это оператор, действующий на функцию f ( x , y , z ) по следующему правилу: . Он вычисляется командой laplacian(f,[x,y,z],опция) .

Дивергенцией вектор-функции F(x,y,z) называется функция (скалярная), вычисляемая по правилу: . Дивергенция в Maple вычисляется командой diverge(F,[x,y,z],опция), где F – вектор-функция; [x,y,z] – набор переменных, от которых она зависит.

Ротором вектор-функции F(x,y,z) называется вектор с координатами: . Ротор вычисляется командой curl(F,[x,y,z], c ).

Для вектор-функции F(x,y,z) можно вычислить матрицу Якоби

с помощью команды jacobian(F,[x,y,z]).

Дана функция . Найти . Определить углы, которые составляют с осями координат. Найти производную функции u(x,y) по направлению вектора q=[1,1].

Warning, new definition for norm

Warning, new definition for trace

[>u:=arctan(y/x): g:=simplify(grad(u, [x, y]));

[> alpha:=simplify(angle(g, [1, 0]));

[> beta:=simplify(angle(g, [0, 1]));

Косинусы полученных углов являются направляющими косинусами . Легко убедиться, что сумма их квадратов равна единице.

Производная функции u по направлению q равна скалярному произведению градиента этой функции на нормированный вектор q : , где  нормированный вектор q .

е :=

udq:=

Дана вектор-функция F(x,y,z)=. Найти и .

[> divF:=diverge(F, [x, y, z]);

При каком значении параметра а функция u = x 3 + axy 2 удовлетворяет уравнению Лапласа  u=0 ?

 (x 3 +axy 2 ):=6x+2ax

Доказать, что функция , где удовлетворяет дифференциальному уравнению , k  постоянная.

[> Delta(u):=simplify(laplacian(u, [r, theta, phi], coords=spherical));

Найти матрицу Якоби и ее определитель вектор-функция v =[ x , y / x ].

[> v:=vector([x, y/x]): jacobian(v, [x, y]);

8.4. Ряды и произведения

8.4.1. Вычисление суммы ряда и произведений

Конечные и бесконечные суммы вычисляются командой прямого исполнения sum и отложенного исполнения Sum . Форматы этих команд одинаковы: sum(expr, n=a..b) , где expr – выражение, зависящее от индекса суммирования; a..b – пределы индекса суммирования, указывающие, что суммировать следует от n=a до n=b .

Если требуется вычислить сумму бесконечного ряда, то в качестве верхнего предела вводится infinity .

Аналогичным образом вычисляются произведения командами прямого product(P(n),n=a..b) и отложенного действий Product (P(n),n=a..b).

1. Найти полную и N -частичную суммы ряда, общий член которого равен: a n =.

a n :=

К какой функции сходится степенной ряд: ?

.

Найти сумму степенного ряда .

[> Sum ((1+ x )^ n /(( n +1)* n !), n =0.. infinity )=

sum ((1+ x )^ n /(( n +1)* n !), n =0.. infinity );

Найти сумму биномиального ряда .

Вычислить бесконечное произведение:

[> Product (( n ^3-1)/( n ^3+1), n =2.. infinity )=

.

Видео:Применение системы компьютерной алгебры MAPLE при подготовке к ЕГЭ по математикеСкачать

Глава 7

Решение дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения лежат в основе математического моделирования различных, в том числе физических, систем и устройств [1, 38, 46]. Решению таких уравнений посвящена эта глава. В ней рассмотрено как аналитическое, так и численное решение дифференциальных уравнений различного вида — линейных и нелинейных, классических и специальных, например, в частных производных и с учетом двухсторонних граничных условий. Описание сопровождается множеством наглядных примеров, реализованных в СКМ Maple 9.5/10.

Видео:Дифференциальные уравнения 6. Фазовые траектории. Особые точки автономных системСкачать

7.1. Введение в решение дифференциальных уравнений

Видео:Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решатьСкачать

7.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения (ДУ) это уравнения, связывающие неизвестную функцию с какими либо ее производными и, возможно, с независимыми переменными. Если неизвестная функция зависит только от одной независимой переменной, то такое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением, а если от двух и более многих независимых переменных — дифференциальным уравнением в частных производных.

Простейшее дифференциальное уравнение первого порядка

(7.1)

в общем случае имеет множество решений в виде зависимостей y(х). Однако можно получить единственное решение, если задать начальные условия в виде начальных значений х₀ и у₀= у(х₀). Это решение может быть аналитическим, конечно-разностным или численным.

Видео:Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

7.1.2. Решение дифференциального уравнения радиоактивного распада

В качестве примера аналитического решения дифференциального уравнения первого порядка (файл der) запишем дифференциальное уравнение радиоактивного распада атомов (N — число атомов в момент времени t, g=1/c):

Используя функцию dsolve, которая более подробно будет описана чуть позже, получим его общее аналитическое решение:

В решении присутствует произвольная постоянная _С1. Но ее можно заметить на постоянную N(0)=N₀, означающую начальное число атомов в момент t=0:

Если конкретно N₀=100 и g=4, то получим:

Хотя dsolve выдает решение N(t) в символьном виде, оно пока недоступно для построения графика этого решения или просто вычисления в любой точке. Однако, используя функции assign или subs можно сделать это решение доступным. Например, используем такую конструкцию:

Теперь мы можем воспользоваться полученной зависимостью N(t) и построить график ее:

Этот график, который читатель может просмотреть сам, описывает хорошо известным апериодическим экспоненциальный закон уменьшения числа атомов вещества в ходе его радиоактивного распада. Подобные зависимости, кстати, характерны для напряжения на конденсаторе С при его разряде через резистор R, для тока в LA-цепи и для многих простых физических явлений, описывающихся дифференциальным уравнением первого порядка.

Видео:Кулешов А. С. - Теоретическая механика. Семинары - Фазовые портретыСкачать

7.1.3. Модели популяций Мальтуса и Ферхюльса-Пирла

Еще одним классическим примером применения дифференциального уравнения первого порядка является давно известная и довольно грубая модель популяции Мальтуса. Не вдаваясь в хорошо известное описание этой модели, отметим, что она описывает численность особей или их биомассу x(t) в любой момент времени (для момента времени х(0)=N) Эта зависимость характеризуется коэффициентами рождаемости α и смертности β. При этом вводится их разность k=α-β.

Представим задание дифференциального уравнения динамики популяций по модели Мальтуса и его решение в аналитическом виде:

dsol1 := x(t) = Ne (k1)

Нетрудно заметить, что решение этого уравнения аналогично решению дифференциального уравнения радиоактивного распада и описывается также экспоненциальной функций. Однако, в зависимости от того, какой фактор (рождаемость или смертность) преобладает наблюдается либо экспоненциальный рост, либо экспоненциальный спад биомассы популяций.

Более правдоподобную модель популяций предложили Ферхюльст и Пирл. Эта модель учитывает (коэффициентом внутривидовую конкуренцию и позволяет учесть приближение популяций к некоторому состоянию равновесия. На рис. 7.1 представлено дифференциальное уравнение динамики популяций Ферхюльста-Пирла. Решения приведены в общем виде, а также для k=g= k/g=1 и разных x(0)=1, 0.5 и 2.

Рис. 7.1. Моделирование популяций по модели Ферхюльста и Пирла

Поведение системы зависит от соотношения k/g и x(0)=N. При их равенстве количество биомассы популяции не меняется. При N>k/g биомасса экспоненциально уменьшается, приближаясь к значению k/g, а при N (n) =f(x, у, у’, y», …, y( n-1) ),

Теперь решение этого уравнения можно свести к решению системы ОДУ:

В таком виде ДУ n-го порядка может решаться стандартными средствами решения систем ОДУ, входящими в большинство математических систем.

Видео:Решение системы линейных уравнений в MapleСкачать

7.1.6. Решение задачи на полет камня

В качестве примера аналитического решения системы дифференциальных уравнений рассмотрим постановку типичной физической задачи моделирования «Бросок камня», позволяющую описать полет камня, брошенного под углом к горизонту.

Модель должна позволять:

Вычислять положение камня в любой момент времени.

Масса камня, начальные координаты, начальная скорость и угол броска мяча.

На основе содержательной модели разрабатывается концептуальная формулировка задачи моделирования. Применительно к нашей задаче движение камня может быть описано в соответствии с законами классической механики Ньютона.

Гипотезы, принятые для модели:

• камень будем считать материальной точкой массой m, положение которой совпадает с центром масс камня;

• движение происходит в поле силы тяжести с постоянным ускорением свободного падения g и описывается уравнениями классической механики Ньютона;

• движение камня происходит в одной плоскости, перпендикулярной поверхность Земли;

• сопротивлением воздуха на первых порах пренебрегаем.

В качестве параметров движения будем использовать координаты (х, у) и скорость v(v_x, v_y) центра масс камня.

Концептуальная постановка задачи на основе принятых гипотез заключается в определении закона движения материальной точки массой m под действием силы тяжести, если известны начальные координаты точки х₀ и ее начальная скорость v₀ и угол броска α₀.

Таким образом, модель является простой — объект, как материальная точка, не имеет внутренней структуры. Учитывая типичные скорости и высоту броска камня, можно считать постоянным ускорение свободного падения. Переход от трехмерных координат к плоскости значительно упрощает решение задачи. Он вполне допустим, если камень не подкручивается при броске. Пренебрежение сопротивлением воздуха, как будет показано далее, приводит к значительной систематической ошибке результатов моделирования.

Теперь перейдем к составлению математической модели объекта — совокупности математических соотношений, описывающих его поведение и свойства. Из законов и определяющих выражений предметной дисциплины формируются уравнения модели.

По оси x на камень не действуют никакие силы, по оси y — действует сила тяжести. Согласно законам Ньютона имеем уравнения движения по оси x и оси y.

(7.2)

при следующих начальных условиях

Надо найти зависимости x(t), y(y), v_x(r), v_y(t).

Математическая постановка решения задачи в нашем случае соответствует решению задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями. Известно, что решение задачи Коши существует и что оно единственное. Количество искомых переменных равно количеству дифференциальных уравнений. Таким образом, математическая модель корректна.

Решение этой задачи есть в любом учебнике физики. Тем не менее, выполним его средствами системы Maple. Из (7.2) запишем систему ОДУ первого порядка:

(7.3)

После интегрирования получим:

(7.4)

Определив константы интегрирования из начальных условий, окончательно запишем:

Из аналитического решения вытекает, что полет камня при отсутствии сопротивления воздуха происходит строго по параболической траектории, причем она на участках полета камня вверх и вниз симметрична. Необходимые для расчета уравнения заданы в параметрической форме — как зависимости от времени, что, кстати говоря, облегчает моделирование по ним полета камня. Немного позже мы решим эту задачу, используя средства Maple 9.5 для решения систем дифференциальных уравнений.

Видео:Начало работы с Maple 2017 | Getting Started with Maple 2017Скачать

7.1.7. Классификация дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения могут быть самого разного вида. На рис. 7.2 представлен раздел справки Maple 9.5 с классификацией дифференциальных уравнений. В ней представлено:

• 20 дифференциальных уравнений первого порядка;

• 25 дифференциальных уравнений второго порядка;

• 6 типов дифференциальных уравнений высшего порядка;

• основные функции решения дифференциальных уравнений.

Рис. 7.2. Классификация дифференциальных уравнений

Эта классификация охватывает большую часть классических дифференциальных уравнений, которые используются в математике и в математической физике. Следует отметить, что речь не идет об отдельных функциях по решению таких уравнений частного вида, а о примерах составления соответствующих уравнений и решении их с помощью небольшого числа функций системы Maple 9.5.

В качестве примера работы с классификатором выберем решение дифференциального уравнения Бернулли. Для этого активизируем на рис. 7.2 гиперссылку с его именем — Bernoulli. Появится окно справки по этому уравнению, показанное на рис. 7.3 с открытой позицией меню Edit.

Рис. 7.3. Окно справки по решению дифференциального уравнения Бернулли

С помощью команды Copy Examples в позиции Edit меню можно перенести примеры решения с окна справки в буфер Clipboard операционной системы Windows. После этого командой Paste в меню Edit окна документа можно перенести примеры в текущий документ — желательно (но не обязательно) новый. Теперь можно наблюдать решение выбранного дифференциального уравнения — рис. 7.4.

Рис. 7.4. Пример решения дифференциального уравнения Бернулли из справки

Возможность выбора и решения с полсотни классических дифференциальных уравнений различного типа дает системе Maple 9.5 преимущества, которые по достоинству оценят пользователи, заинтересованные в знакомстве с такими уравнениями и в их использовании.

В Maple 9.5 средства решения дифференциальных уравнений подверглись значительной переработке. Введены новые методы решения для дифференциальных уравнений Абеля, Риккати и Матье, новые методы инициализации и решения уравнений с кусочными функциями, улучшены алгоритмы решения численными методами. Детальное описание этих новинок можно найти в справке по разделу What’s New…. Это относится и к версии Maple 10.

Видео:Решение систем Д/У: 1. Знакомство с функциями odeXYСкачать

7.1.8. Функция решения дифференциальных уравнений dsolve

Maple позволяет решать одиночные дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений как аналитически, так и в численном виде. Разработчиками системы объявлено о существенном расширении средств решения дифференциальных уравнений и о повышении их надежности в смысле нахождения решений для большинства классов дифференциальных уравнений.

Для решения системы простых дифференциальных уравнений (задача Коши) используется функция dsolve в разных формах записи:

Здесь ODE — одно обыкновенное дифференциальное уравнение или система из дифференциальных уравнений первого порядка с указанием начальных условий, у(х) —функция одной переменной, Ics — выражение, задающее начальные условия, —множество дифференциальных уравнений, — множество неопределенных функций, extra_argument —опция, задающая тип решения.

Параметр extra_argument задает класс решаемых уравнений. Отметим основные значения этого параметра:

• exact — аналитическое решение (принято по умолчанию);

• explicit — решение в явном виде;

• system — решение системы дифференциальных уравнений;

• ICs — решение системы дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями;

• formal series — решение в форме степенного многочлена;

• integral transform — решение на основе интегральных преобразований Лапласа, Фурье и др.;

• series — решение в виде ряда с порядком, указываемым значением переменной Order;

• numeric — решение в численном виде.

Возможны и другие опции, подробное описание которых выходит за рамки данной книги. Его можно найти в справке по этой функции, вызываемой командой ?dsolve.

Для решения задачи Коши в параметры dsolve надо включать начальные условия, а при решении краевых задач — краевые условия. Если Maple способна найти решение при числе начальных или краевых условий меньше порядка системы, то в решении будут появляться неопределенные константы вида _С1, _С2 и т.д. Они же могут быть при аналитическом решении системы, когда начальные условия не заданы. Если решение найдено в неявном виде, то в нем появится параметр _Т. По умолчанию функция dsolve автоматически выбирает наиболее подходящий метод решения дифференциальных уравнений. Однако в параметрах функции dsolve в квадратных скобках можно указать предпочтительный метод решения дифференциальных уравнений. Допустимы следующие методы:

[quadrature, linear, Bernoulli, separable, inverse_linear, homogeneous, Chini, lin_sym, exact, Abel, pot_sym ]

Более полную информацию о каждом методе можно получить, используя команду ?dsolve,method и указав в ней конкретный метод. Например, команда ?dsolve,linear вызовет появление страницы справочной системы с подробным описанием линейного метода решения дифференциальных уравнений.

Видео:Консультация по дифференциальным уравнениям №2, часть 3Скачать

7.1.9. Уровни решения дифференциальных уравнений

Решение дифференциальных уравнений может сопровождаться различными комментариями. Команда

где n — целое число от 0 до 5 управляет уровнями детальности вывода. По умолчанию задано n = 0. Значение n = 5 дает максимально детальный вывод.

Производные при записи дифференциальных уравнений могут задаваться функцией diff или оператором дифференцирования D. Выражение sysODE должно иметь структуру множества и содержать помимо самой системы уравнений их начальные условия.

Читателю, всерьез интересующемуся проблематикой решения линейных дифференциальных уравнений, стоит внимательно просмотреть разделы справки по ним и ознакомиться с демонстрационным файлом linearoade.mws, содержащим примеры решения таких уравнений в закрытой форме.

Видео:Maple Учимся рисовать в программеСкачать

7.2. Примеры решения дифференциальных уравнений

Видео:ТАУ. Matlab/SIMULINK Фазовые портреты нелинейных и линейных диф. уравненийСкачать

7.2.1. Примеры аналитического решение ОДУ первого порядка

Отвлекшись от физики, приведем несколько примеров на составление и решение дифференциальных уравнений первого порядка в аналитическом виде (файл dea):

ln(sin(x)) — ln(у(x)) + _C1 = 0

Разумеется, приведенными примерами далеко не исчерпываются возможности аналитического решения дифференциальных уравнений.

Видео:РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО ДУ ОПЕРАЦИОННЫМ МЕТОДОМ В СРЕДЕ MAPLESOFT MAPLE 2017Скачать

7.2.2. Полет тела, брошенного вверх

Из приведенных выше примеров видно, что для задания производной используется ранее рассмотренная функция diff. С помощью символа $ в ней можно задать производную более высокого порядка.

В соответствии со вторым законом Ньютона многие физические явления, связанные с движением объектов, описываются дифференциальными уравнениями второго порядка. Ниже дан пример задания и решения такого уравнения (файл

dem), описывающего движение тела, брошенного вверх на высоте h₀ со скоростью v₀ при ускорении свободного падения g:

Итак, получено общее уравнение для временной зависимости высоты тела h(t). Разумеется, ее можно конкретизировать, например, для случая, когда g=9,8, h₀=10 и v₀=100:

Зависимость высоты тела от времени h(t) представлена на рис. 7.5. Нетрудно заметить, что высота полета тела вначале растет и достигнув максимума начинает снижаться. Оговоримся, что сопротивление воздуха в данном примере не учитывается, что позволяет считать задачу линейной. Полученное с помощью Maple 9.5 для этого случая решение совпадает с полученным вручную в примере, описанном в разделе 7.1.3.

Рис. 7.5. Зависимость высоты полета тела от времени h(t)

Видео:Как в MATLAB Simulink моделировать уравнения (Структурная схема САУ)Скачать

7.2.3. Поведение идеального гармонического осциллятора

Еще одним классическим применением дифференциальных уравнений второго порядка является решение уравнение идеального гармонического осциллятора (файл deio):

у(t) = _C1 sin(ω) + _C2 cos(ω)

График решения этого уравнения (рис. 7.6) представляет хорошо известную синусоидальную функцию. Интересно, что амплитуда колебаний в общем случае отлична от 1 и зависит от значения у(0) — при у(0)=0 она равна 1 (в нашем случае синусоида начинается со значение у(0)=-1). Подобным осциллятором может быть LC-контур или механический маятник без потерь.

Рис. 7.6. Решение дифференциального уравнения идеального осциллятора

7.2.4. Дополнительные примеры решения дифференциальных уравнений второго порядка

Ниже представлено решение еще двух дифференциальных уравнений второго порядка в аналитическом виде (de2a):

у(x) = -½sin(x) + ½cos(x) + e x _C1 + _C2

Ряд примеров на применение дифференциальных уравнений второго порядка при решении практических математических и физических задач вы найдете в главе 11.

7.2.5. Решение систем дифференциальных уравнений

Функция dsolve позволяет также решать системы дифференциальных уравнений. Для этого она записывается в виде

dsolve(ODE_sys, optional_1, optional_2. )

Здесь ODE_sys — список дифференциальных уравнений, образующих систему, остальные параметры опциональные и задаются по мере необходимости. Они могут задавать начальные условия, явно представлять искомые зависимости, выбирать метод решения и т.д. Детали задания опциональных параметров можно найти в справке.

На рис. 7.7 представлено решение системы из двух дифференциальных уравнений различными методами — в явном виде, в виде разложения в ряд и с использованием преобразования Лапласа. Здесь следует отметить, что решение в виде ряда является приближенным. Поэтому полученные в данном случае аналитические выражения отличаются от явного решения и решения с применением преобразования Лапласа.

Рис. 7.7. Решение системы из двух дифференциальных уравнений различными методами

Следует отметить, что, несмотря на обширные возможности Maple в области аналитического решения дифференциальных уравнений, оно возможно далеко не всегда. Поэтому, если не удается получить такое решение, полезно попытаться найти решение в численном виде. Практически полезные примеры решения дифференциальных уравнений, в том числе с постоянными граничными условиями, вы найдете в Главе 11.

7.2.6. Модель Стритера-Фелпса для динамики кислорода в воде

В качестве еще одного примера решении системы из двух дифференциальных уравнений рассмотрим модель Стритера-Фелпса, предложенную для описания динамики содержания растворенного в воде кислорода. Описание этой модели можно найти в [41]. Ниже представлено задание этой модели в виде системы из двух дифференциальных уравнений и их аналитическое решение (файл demp):

Здесь: x1(t) — концентрация в воде растворенного кислорода в момент времени t; x2(t) — концентрация биохимического потребления кислорода (БПК), С — концентрация насыщения воды кислородом, K1 — постоянная скорости аэрации, K2 — постоянная скорости уменьшения (БПК), a — начальное значение x1(t) и b — начальное значение х2(t) при t=0.

В данном случае получены два варианта аналитического решения — основное и упрощенное с помощью функции simplify. Читатель может самостоятельно построить графики зависимостей x1(t) и x2(t).

7.3. Специальные средства решения дифференциальных уравнений

7.3.1. Численное решение дифференциальных уравнений

К сожалению, аналитического решения в общем случае нелинейные дифференциальные уравнения не имеют. Поэтому их приходится решать численными методами. Они удобны и в том случае, когда решение надо представить числами или, к примеру, построить график решения. Поясним принципы численного решения.

Для этого вернемся к дифференциальному уравнению (7.1). Заменим приращение dx на малое, но конечное приращение dx=h. Тогда приращение dy будет равно

Если, к примеру, известно начальное значение у=у₀, то новое значение у будет равно

Распространяя этот подход на последующие шаги решения получим конечно-разностную формулу для решение приведенного уравнения в виде:

Эта формула известна как формула простого метода Эйлера первого порядка для решения дифференциального уравнения (7.1). Можно предположить (так оно и есть), что столь простой подход дает большую ошибку — отбрасываемый член порядка O(h 2 ). Тем не менее, физическая и математическая прозрачность данного метода привела к тому, что он широко применяется на практике.

Существует множество более совершенных методов решения дифференциальных уравнений, например, усовершенствованный метод Эйлера, метод трапеций, метод Рунге-Кутта, метод Рунге-Кутта-Фельберга и др. Ряд таких методов реализован в системе Maple и может использоваться при численном решении дифференциальных уравнений и систем с ними.

Для решения дифференциальных уравнений в численном виде в Maple используется та же функция dsolve с параметром numeric или type=numeric. При этом решение возвращается в виде специальной процедуры, по умолчанию реализующей широко известный метод решения дифференциальных уравнений Рунге-Кутта-Фельберга порядков 4 и 5 (в зависимости от условий адаптации решения к скорости его изменения). Эта процедура называется rkf45 и символически выводится (без тела) при попытке решения заданной системы дифференциальных уравнений. Последнее достаточно наглядно иллюстрирует рис. 7.8.

Рис. 7.8. Решение системы дифференциальных уравнений численным методом rkf45 с выводом графика решения

Указанная процедура возвращает особый тип данных, позволяющих найти решение в любой точке или построить график решения (или решений). Для графического отображения Maple 9.5 предлагает ряд возможностей и одна из них представлена на рис. 7.8 — см. последнюю строку ввода. При этом используется функция plot[odeplot] из пакета odeplot, предназначенного для визуализации решений дифференциальных уравнений. Можно воспользоваться и функцией plot, выделив тем или иным способом (примеры уже приводились) нужное решение.

В список параметров функции dsolve можно явным образом включить указание на метод решения, например опция method=dverk78 задает решение непрерывным методом Рунге-Кутта порядка 7 или 8. Вообще говоря, численное решение дифференциальных уравнений можно производить одним из следующих методов:

• classical — одна из восьми версий классического метода, используемого по умолчанию;

• rkf45 — метод Рунге-Кутта 4 или 5 порядка, модифицированный Фелбергом;

• dverk78 — непрерывный метод Рунге-Кутта порядка 7 или 8;

• gear — одна из двух версий одношагового экстраполяционного метода Гира;

• mgear — одна из трех версий многошагового экстраполяционного метода Гира;

• lsode — одна из восьми версий Ливенморского решателя жестких дифференциальных уравнений;

• taylorseries — метод разложения в ряд Тейлора.

Обилие используемых методов расширяет возможности решения дифференциальных уравнений в численном виде. Большинство пользователей Maple вполне устроит автоматический выбор метода решения по умолчанию. Однако в сложных случаях, или когда заведомо желателен тот или иной конкретный алгоритм численного решения, возможна прямая установка одного из указанных выше методов.

С помощью параметра ‘abserr’=aerr можно задать величину абсолютной погрешности решения, а с помощью ‘minerr’=mine — минимальную величину погрешности. В большинстве случаев эти величины, заданные по умолчанию, оказываются приемлемыми для расчетов.

Maple реализует адаптируемые к ходу решения методы, при которых шаг решения h автоматически меняется, подстраиваясь под условия решения. Так, если прогнозируемая погрешность решения становится больше заданной, шаг решения автоматически уменьшается. Более того, система Maple способна автоматически выбирать наиболее подходящий для решаемой задачи метод решения.

Еще один пример решения системы дифференциальных уравнений представлен на рис. 7.9. Здесь на одном графике представлены зависимости y(x) и z(x) представляющие полное решение заданной системы. При этом процедура имеет особый вид listprocedure и для преобразования списка выходных данных в векторы решения Y и Z используется функция subs.

Рис. 7.9. Решение системы дифференциальных уравнений численным методом с выводом всех графиков искомых зависимостей

Для решения достаточно сложных задач полезны специальная структура DESol для решения дифференциальных уравнений и инструментальный пакет SEtools, содержащий самые изысканные средства для графической визуализации результатов решения дифференциальных уравнений. Эти средства мы более подробно рассмотрим в дальнейшем.

При решении некоторых задач физики и радиоэлектроники выбираемый по умолчанию шаг изменения аргумента х или t-h может привести к неустойчивости решения. Неустойчивости можно избежать рядом способов. Можно, например, нормировать уравнения, избегая необходимости использования малого шага. А можно задать заведомо малый шаг. Например, при method=classical для этого служит параметр stepsize=h.

7.3.2. Дифференциальные уравнения с кусочными функциями

Состоящие из ряда кусков кусочные функции широко используются при математическом моделировании различных физических объектов и систем. В основе такого моделирования обычно лежит решение дифференциальных уравнений, описывающих поведение объектов и систем. Покажем возможность применения кусочных функций для решения дифференциальных уравнений.

Ниже представлено задание дифференциального уравнения первого порядка, содержащего кусочную функцию:

Нетрудно заметить, что результат получен также в форме кусочной функции, полностью определяющей решение на трех интервалах изменения х.

Приведем пример решения дифференциального уравнения второго порядка с кусочной функцией:

> eq := diff(y(х), х$2) + x*diff(y(x), х) + y(х) = piecewise(х > 0, 1);

В заключении этого раздела приведем пример решения нелинейного дифференциального уравнения Риккати с кусочной функцией:

В ряде случаев желательна проверка решения дифференциальных уравнений. Ниже показано, как она делается для последнего уравнения:

Как видно из приведенных достаточно простых и наглядных примеров, результаты решения дифференциальных уравнений с кусочными функциями могут быть довольно громоздкими. Это, однако, не мешает эффективному применению функций этого класса.

7.3.3. Структура неявного представления дифференциальных уравнений — DESol

В ряде случаев иметь явное представление дифференциальных уравнений нецелесообразно. Для неявного их представления в Maple введена специальная структура

где exprs — выражение для исходной системы дифференциальных уравнений, vars — заданный в виде опции список переменных (или одна переменная).

Структура DESol образует некоторый объект, дающий представление о дифференциальных уравнениях, чем-то напоминающее RootOf. С этим объектом можно обращаться как с функцией, то есть его можно интегрировать, дифференцировать, получать разложение в ряд и вычислять численными методами.

На рис. 7.10 показаны примеры применения структуры DESol.

Рис. 7.10. Примеры применения структуры DESol

Обратите внимание на последний пример — в нем структура DESol использована для получения решения дифференциального уравнения в виде степенного ряда.

7.4. Инструментальный пакет решения дифференциальных уравнений DEtools

7.4.1. Средства пакета DEtools

Решение дифференциальных уравнений самых различных типов — одно из достоинств системы Maple. Пакет DEtools предоставляет ряд полезных функций для решения дифференциальных уравнений и систем с такими уравнениями. Для загрузки пакета используется команда:

Этот пакет дает самые изысканные средства для аналитического и численного решения дифференциальных уравнений и систем с ними. По сравнению с версией Maple V R5 число функций данного пакета в Maple 9.5 возросло в несколько раз. Многие графические функции пакета DEtools были уже описаны. Ниже приводятся полные наименования тех функций, которые есть во всех реализациях системы Maple:

• DEnormal — возвращает нормализованную форму дифференциальных уравнений;

• DEplot — строит графики решения дифференциальных уравнений;

• DEplot3d — строит трехмерные графики для решения систем дифференциальных уравнений;

• Dchangevar — изменение переменных в дифференциальных уравнениях;

• PDEchangecoords — изменение координатных систем для дифференциальных уравнений в частных производных;

• PDEplot — построение графиков решения дифференциальных уравнений в частных производных;

• autonomous — тестирует дифференциальные уравнения на автономность;

• convertAlg — возвращает список коэффициентов для дифференциальных уравнений;

• convertsys — преобразует систему дифференциальных уравнений в систему одиночных уравнений;

• dfieldplot — строит график решения дифференциальных уравнений в виде векторного поля;

• indicialeq — преобразует дифференциальные уравнения в полиномиальные;

• phaseportrait — строит график решения дифференциальных уравнений в форме фазового портрета;

• reduceOrder — понижает порядок дифференциальных уравнений;

• regularsp — вычисляет регулярные особые точки для дифференциальных уравнений второго порядка;

• translate — преобразует дифференциальные уравнения в список операторов;

• untranslate — преобразует список операторов в дифференциальные уравнения;

• varparam — находит общее решение дифференциальных уравнений методом вариации параметров.

Применение этих функций гарантирует совместимость документов реализаций Maple R5, 6 и 9.

7.4.2. Консультант по дифференциальным уравнениям

Для выявления свойств дифференциальных уравнений в Maple 9.5 в составе пакета DEtools имеется консультант (адвизор), вводимый следующей функцией:

odeadvisor(ODE) odeadvisor(ODE, y(х), [type1, type2. ], help)

Здесь ODE — одиночное дифференциальное уравнение, y(x) — неопределенная (определяемая функция), type1, type2, … — опционально заданные множество типов, которые классифицируются и help — опционально заданное указание на вывод страницы справки по методу решения.

Примеры работы с классификатором представлены ниже: