Малая полуось эллипса заданного уравнением 4×2 9y2 364×2 9y2 36 равна

Как построить эллипс по уравнению

Эллипс – геометрическое место точек M(x;y), сумма расстояний которых до двух данных точек F1F2 имеет одно и то же значение 2a:

точки F1 и F2 – называются фокусами эллипса;

расстояние F1F2 – фокусное расстояние и равно F1F2=2с;

a — большая полуось;

b — малая полуось;

c — фокальный радиус, то есть полу расстояние между фокусами;

p — фокальный параметр;

Rmin – минимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе;

Rmax — максимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе;

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

где
Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Длина малой оси эллипса 134 м. Длина большой оси равна 140 м. Найти коэффициент сжатия k и сжатие α этого эллипса

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Постройте кривую 4x 2 +9y 2 =36. Найдите фокусы, фокальный параметр и эксцентриситет.

Делим обе части на 36 и получаем каноническое уравнение эллипса

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

a=3, b=2

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

c 2 =a 2 -b 2 =3 2 -2 2 =9-4=5

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Отсюда находим Фокусы F1(-2,2;0) F2(2,2;0)

Фокальный параметр находим следующим образом
Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна
Эксцентриситет эллипса
Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Пример 3
Постройте кривую Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна. Найдите фокусы и эксцентриситет.

Решение
Уравнение запишем в виде
Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна
a=1, b=5
Это уравнение не является каноническим уравнением эллипса, так как b>a, а должно быть b c 2 =a 2 − b 2 =5 2 −1 2 =25 − 1=24

Следовательно, фокусы в системе координат (x’;y’) имеют координаты (-4,9;0) и (4,9;0), а в системе (x;y) координаты Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Эксцентриситет эллипса равен
Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Видео:§17 Определение эллипсаСкачать

§17 Определение эллипса

Понятие о кривых второго порядка

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.

Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна,

где A, B, C, D, E, F — числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Эллипс, заданный каноническим уравнением

Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы обозначены как Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаи Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнана рисунке ниже.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна,

где a и b (a > b) — длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаМалая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаперпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.

Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат — в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат — малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна. Это уравнение окружности радиуса a , а окружность — частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy .

Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна, эллипсом.

Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия — эллипс.

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось — это a = 5 , меньшая полуось — это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна.

Точки Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаи Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна, обозначенные зелёным на большей оси, где

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна,

называются фокусами.

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

называется эксцентриситетом эллипса.

Отношение b/a характеризует «сплюснутость» эллипса. Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда меньше единицы.

Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10.

Решение. Делаем несложные умозаключения:

— если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось a = 5 ,

— если расстояние между фокусами равно 8, то число c из координат фокусов равно 4.

Подставляем и вычисляем:

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Результат — каноническое уравнение эллипса:

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна.

Пример 4. Составить каноническое уравнение эллипса, если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна.

Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a = 13 . Из уравнения эсцентриситета выражаем число c, нужное для вычисления длины меньшей полуоси:

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна.

Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси:

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Составляем каноническое уравнение эллипса:

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Пример 5. Определить фокусы эллипса, заданного каноническим уравнением Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна.

Решение. Следует найти число c, определяющее первые координаты фокусов эллипса:

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна.

Получаем фокусы эллипса:

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Видео:11 класс, 52 урок, ЭллипсСкачать

11 класс, 52 урок, Эллипс

Решить задачи на эллипс самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) расстояние между фокусами 30, а большая ось 34

2) малая ось 24, а один из фокусов находится в точке (-5; 0)

3) эксцентриситет Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна, а один из фокусов находится в точке (6; 0)

Видео:§28 Эксцентриситет эллипсаСкачать

§28 Эксцентриситет эллипса

Продолжаем решать задачи на эллипс вместе

Если Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна— произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна— расстояния до этой точки от фокусов Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна, то формулы для расстояний — следующие:

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна.

Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна,

называются директрисами эллипса (на чертеже — красные линии по краям).

Из двух вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки эллипса

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна,

где Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаи Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна— расстояния этой точки до директрис Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаи Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна.

Пример 7. Дан эллипс Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна. Составить уравнение его директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет эллипса, т. е. Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна. Все данные для этого есть. Вычисляем:

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна.

Получаем уравнение директрис эллипса:

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Пример 8. Составить каноническое уравнение эллипса, если его фокусами являются точки Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна, а директрисами являются прямые Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна.

Решение. Смотрим в уравнение директрис, видим, что в нём можем заменить символ эксцентриситета формулой эксцентриситета как отношение первой координаты фокуса к длине большей полуоси. Так сможем вычислить квадрат длины большей полуоси. Получаем:

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна.

Теперь можем получить и квадрат длины меньшей полуоси:

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Уравнение эллипса готово:

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Пример 9. Проверить, находится ли точка Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнана эллипсе Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна. Если находится, найти расстояние от этой точки до фокусов эллипса.

Решение. Подставляем координаты точки x и y в уравнение эллипса, на выходе должно либо получиться равенство левой части уравнения единице (точка находится на эллипсе), либо не получиться это равенство (точка не находится на эллипсе). Получаем:

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна.

Получили единицу, следовательно, точка находится на эллипсе.

Приступаем к нахождению расстояния. Для этого нужно вычислить: число c, определяющее первые координаты фокусов, число e — эксцентриситет и числа «эр» с подстрочными индексами 1 и 2 — искомые расстояния. Получаем:

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Проведём проверку: сумма расстояний от любой точки на эллипсе до фокусов должна быть равна 2a.

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна,

так как из исходного уравнения эллипса Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна.

Одним из самых замечательных свойств эллипса является его оптическое свойство, состоящее в том, что прямые, соединяющие точку эллипса с его фокусами, пересекают касательную к эллипсу под разными углами. Это значит, что луч, пущенный из одного фокуса, после отраэения попадёт в другой. Это свойство лежит в основе аккустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружениях, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико.

Определение 7.1. Множество всех точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 есть заданная постоянная величина, называют эллипсом.

Определение эллипса дает следующий способ его геометрического построения. Фиксируем на плоскости две точки F1 и F2, а неотрицательную постоянную величину обозначим через 2а. Пусть расстояние между точками F1 и F2 равно 2c. Представим себе, что нерастяжимая нить длиной 2а закреплена в точках F1 и F2, например, при помощи двух иголок. Ясно, что это возможно лишь при а ≥ с. Натянув нить карандашом, начертим линию, которая и будет эллипсом (рис. 7.1).

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Итак, описываемое множество не пусто, если а ≥ с. При а = с эллипс представляет собой отрезок с концами F1 и F2, а при с = 0, т.е. если указанные в определении эллипса фиксированные точки совпадают, он является окружностью радиуса а. Отбрасывая эти вырожденные случаи, будем далее предполать, как правило, что а > с > 0.

Фиксированные точки F1 и F2 в определении 7.1 эллипса (см. рис. 7.1) называют фокусами эллипса, расстояние между ними, обозначенное через 2c, — фокальным расстоянием, а отрезки F1M и F2M, соединяющие произвольную точку M на эллипсе с его фокусами, — фокальными радиусами.

Вид эллипса полностью определяется фокальным расстоянием |F1F2| = 2с и параметром a, а его положение на плоскости — парой точек F1 и F2.

Из определения эллипса следует, что он симметричен относительно прямой, проходящей через фокусы F1 и F2, а также относительно прямой, которая делит отрезок F1F2 пополам и перпендикулярна ему (рис. 7.2, а). Эти прямые называют осями эллипса. Точка O их пересечения является центром симметрии эллипса, и ее называют центром эллипса, а точки пересечения эллипса с осями симметрии (точки A, B, C и D на рис. 7.2, а) — вершинами эллипса.

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Число a называют большой полуосью эллипса, а b = √(a 2 — c 2 ) — его малой полуосью. Нетрудно заметить, что при c > 0 большая полуось a равна расстоянию от центра эллипса до тех его вершин, которые находятся на одной оси с фокусами эллипса (вершины A и B на рис. 7.2, а), а малая полуось b равна расстоянию от центра эллипса до двух других его вершин (вершины C и D на рис. 7.2, а).

Уравнение эллипса. Рассмотрим на плоскости некоторый эллипс с фокусами в точках F1 и F2, большой осью 2a. Пусть 2c — фокальное расстояние, 2c = |F1F2| 2 + y 2 ) + √((x + c) 2 + y 2 ) = 2a. (7.2)

Это уравнение неудобно, так как в нем присутствуют два квадратных радикала. Поэтому преобразуем его. Перенесем в уравнении (7.2) второй радикал в правую часть и возведем в квадрат:

(x — c) 2 + y 2 = 4a 2 — 4a√((x + c) 2 + y 2 ) + (x + c) 2 + y 2 .

После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получаем

√((x + c) 2 + y 2 ) = a + εx

где ε = c/a. Повторяем операцию возведения в квадрат, чтобы убрать и второй радикал: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2 , или, учитывая значение введенного параметра ε, (a 2 — c 2 ) x 2 /a 2 + y 2 = a 2 — c 2 . Так как a 2 — c 2 = b 2 > 0, то

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

Уравнению (7.4) удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на эллипсе. Но при выводе этого уравнения использовались неэквивалентные преобразования исходного уравнения (7.2) — два возведения в квадрат, убирающие квадратные радикалы. Возведение уравнения в квадрат является эквивалентным преобразованием, если в обеих его частях стоят величины с одинаковым знаком, но мы этого в своих преобразованиях не проверяли.

Мы можем не проверять эквивалентность преобразований, если учтем следующее. Пара точек F1 и F2, |F1F2| = 2c, на плоскости определяет семейство эллипсов с фокусами в этих точках. Каждая точка плоскости, кроме точек отрезка F1F2, принадлежит какому-нибудь эллипсу указанного семейства. При этом никакие два эллипса не пересекаются, так как сумма фокальных радиусов однозначно определяет конкретный эллипс. Итак, описанное семейство эллипсов без пересечений покрывает всю плоскость, кроме точек отрезка F1F2. Рассмотрим множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (7.4) с данным значением параметра a. Может ли это множество распределяться между несколькими эллипсами? Часть точек множества принадлежит эллипсу с большой полуосью a. Пусть в этом множестве есть точка, лежащая на эллипсе с большой полуосью а. Тогда координаты этой точки подчиняются уравнению

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

т.е. уравнения (7.4) и (7.5) имеют общие решения. Однако легко убедиться, что система

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

при ã ≠ a решений не имеет. Для этого достаточно исключить, например, x из первого уравнения:

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

что после преобразований приводит к уравнению

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

не имеющему решений при ã ≠ a, поскольку Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна. Итак, (7.4) есть уравнение эллипса с большой полуосью a > 0 и малой полуосью b =√(a 2 — c 2 ) > 0. Его называют каноническим уравнением эллипса.

Вид эллипса. Рассмотренный выше геометрический способ построения эллипса дает достаточное представление о внешнем виде эллипса. Но вид эллипса можно исследовать и с помощью его канонического уравнения (7.4). Например, можно, считая у ≥ 0, выразить у через x: y = b√( 1 — x 2 /a 2 ), и, исследовав эту функцию, построить ее график. Есть еще один способ построения эллипса. Окружность радиуса a с центром в начале канонической системы координат эллипса (7.4) описывается уравнением x 2 + y 2 = а 2 . Если ее сжать с коэффициентом a/b > 1 вдоль оси ординат, то получится кривая, которая описывается уравнением x 2 + (ya/b) 2 = a 2 , т. е. эллипс.

Замечание 7.1. Если ту же окружность сжать с коэффициентом a/b 2 — a 2 ), ε = 2c/2b = c/b.

При с =0, когда эллипс превращается в окружность, и ε = 0. В остальных случаях 0 2 — с 2 ), а с = εa = 4, то b = √(5 2 — 4 2 ) = 3. Значит каноническое уравнение имеет вид x 2 /5 2 + y 2 /3 2 = 1. Для построения эллипса удобно изобразить прямоугольник с центром в начале канонической системы координат, стороны которого параллельны осям симметрии эллипса и равны его соответствующим осям (рис. 7.4). Этот прямоугольник пересекается с

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

осями эллипса в его вершинах A(—5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), причем сам эллипс вписан в него. На рис. 7.4 указаны также фокусы F1,2(±4; 0) эллипса.

Геометрические свойства эллипса. Перепишем первое уравнение в (7.6) в виде |F1M| = (а/ε — x)ε. Отметим, что величина а/ε — x при а > с положительна, так как фокус F1 не принадлежит эллипсу. Эта величина представляет собой расстояние до вертикальной прямой d: x = а/ε от точки M(x; у), лежащей левее этой прямой. Уравнение эллипса можно записать в виде

Оно означает, что этот эллипс состоит из тех точек M(x; у) плоскости, для которых отношение длины фокального радиуса F1M к расстоянию до прямой d есть величина постоянная, равная ε (рис. 7.5).

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

У прямой d есть » двойник » — вертикальная прямая d’, симметричная d относительно центра эллипса, которая задается уравнением x = —а/ε. Относительно d’ эллипс описывается так же, как и относительно d. Обе прямые d и d’ называют директрисами эллипса. Директрисы эллипса перпендикулярны той оси симметрии эллипса, на которой расположены его фокусы, и отстоят от центра эллипса на расстояние а/ε = а 2 /с (см. рис. 7.5).

Расстояние p от директрисы до ближайшего к ней фокуса называют фокальным параметром эллипса. Этот параметр равен

p = a/ε — c = (a 2 — c 2 )/c = b 2 /c

Эллипс обладает еще одним важным геометрическим свойством: фокальные радиусы F1M и F2M составляют с касательной к эллипсу в точке M равные углы (рис. 7.6).

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Это свойство имеет наглядный физический смысл. Если в фокусе F1 расположить источник света, то луч, выходящий из этого фокуса, после отражения от эллипса пойдет по второму фокальному радиусу, так как после отражения он будет находиться под тем же углом к кривой, что и до отражения. Таким образом, все лучи, выходящие из фокуса F1, сконцентрируются во втором фокусе F2, и наоборот. Исходя из данной интерпретации указанное свойство называют оптическим свойством эллипса.

Видео:§20 Построение эллипсаСкачать

§20 Построение эллипса

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4×2 9y2 36

Видео:Эллипс (часть 8). Решение задач. Высшая математика.Скачать

Эллипс (часть 8). Решение задач. Высшая математика.

Эллипс — определение и вычисление с примерами решения

Эллипс:

Определение: Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух выделенных точек Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Получим каноническое уравнение эллипса. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокусы Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Рис. 29. Вывод уравнения эллипса.

Расстояние между фокусами (фокусное расстояние) равно Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаСогласно определению эллипса имеем Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаИз треугольников Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаи Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнапо теореме Пифагора найдем

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

соответственно. Следовательно, согласно определению имеем

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Возведем обе части равенства в квадрат, получим

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Перенося квадратный корень в левую часть, а все остальное в правую часть равенства, находим Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаРаскроем разность квадратов Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаПодставим найденное выражение в уравнение и сократим обе части равенства на 4, тогда оно перейдет в уравнение Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаВновь возведем обе части равенства в квадрат Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаРаскрывая все скобки в правой части уравнения, получим Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаСоберем не- известные в левой части, а все известные величины перенесем в правую часть уравнения, получим Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаВведем обозначение для разности, стоящей в скобках Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаУравнение принимает вид Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаРазделив все члены уравнения на Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаполучаем каноническое уравнение эллипса: Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаЕсли Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнато эллипс вытянут вдоль оси Ох, для противоположного неравенствавдоль оси Оу (при этом фокусы тоже расположены на этой оси). Проанализируем полученное уравнение. Если точка М(х; у) принадлежит эллипсу, то ему принадлежат и точки Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаследовательно, эллипс симметричен относительно координатных осей, которые в данном случае будут называться осями симметрии эллипса. Найдем координаты точек пересечения эллипса с декартовыми осями:

  • Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнат.е. точками пересечения эллипса с осью абсцисс будут точки Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна
  • Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнат.е. точками пересечения эллипса с осью ординат будут точки Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна(Рис. 30).

Определение: Найденные точки называются вершинами эллипса.

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Рис. 30. Вершины, фокусы и параметры эллипса

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаМалая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Определение: Если Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнато параметр а называется большой, а параметр b — малой полуосями эллипса.

Определение: Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного рас- стояния к большой полуоси эллипса Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Из определения эксцентриситета эллипса следует, что он удовлетворяет двойному неравенству Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаКроме того, эта характеристика описывает форму эллипса. Для демонстрации этого факта рассмотрим квадрат отношения малой полуоси эллипса к большой полуоси Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Если Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаи эллипс вырождается в окружность. Если Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаи эллипс вырождается в отрезок Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Пример:

Составить уравнение эллипса, если его большая полуось а = 5, а его эксцентриситет Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Решение:

Исходя из понятия эксцентриситета, найдем абсциссу фокуса, т.е. параметр Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаЗная параметр с, можно вычислить малую полуось эллипса Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаСледовательно, каноническое уравнение заданного эллипса имеет вид: Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Пример:

Найти площадь треугольника, две вершины которого находятся в фокусах эллипса Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаа третья вершина — в центре окружности

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Решение:

Для определения координат фокусов эллипса и центра окружности преобразуем их уравнения к каноническому виду. Эллипс: Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаСледовательно, большая полуось эллипса Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаа малая полуось Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаТак как Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнато эллипс вытянут вдоль оси ординат Оу. Определим расположение фокусов данного эллипса Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаИтак, Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаОкружность: Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаВыделим полные квадраты по переменным Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаМалая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаСледовательно, центр окружности находится в точке О(-5; 1).

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Построим в декартовой системе координат треугольник Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаСогласно школьной формуле площадь треугольника Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаравна Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаВысота Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаа основание Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаСледовательно, площадь треугольника Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаравна:

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Видео:§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать

§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому виду

Эллипс в высшей математике

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

где Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаи Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна—заданные положительные числа. Решая его относительно Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна, получим:

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Отсюда видно, что уравнение (2) определяет две функции. Пока независимое переменное Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнапо абсолютной величине меньше Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна, подкоренное выражение положительно, корень имеет два значения. Каждому значению Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна, удовлетворяющему неравенству Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнасоответствуют два значения Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна, равных по абсолютной величине. Значит, геометрическое место точек, определяемое уравнением (2), симметрично относительно оси Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна. Так же можно убедиться в том, что оно симметрично и относительно оси Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна. Поэтому ограничимся рассмотрением только первой четверти.

При Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна, при Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна. Кроме того, заметим, что если Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаувеличивается, то разность Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнауменьшается; стало быть, точка Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнабудет перемещаться от точки Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнавправо вниз и попадет в точку Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна. Из соображений симметрии изучаемое геометрическое место точек будет иметь вид, изображенный на рис. 34.

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Полученная линия называется эллипсом. Число Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаявляется длиной отрезка Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна, число Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна—длиной отрезка Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна. Числа Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаи Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаназываются полуосями эллипса. Число Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаэксцентриситетом.

Пример:

Найти проекцию окружности на плоскость, не совпадающую с плоскостью окружности.

Решение:

Возьмем две плоскости, пересекающиеся под углом Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна(рис. 35). В каждой из этих плоскостей возьмем систему координат, причем за ось Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнапримем прямую пересечения плоскостей, стало быть, ось Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнабудет общей для обеих систем. Оси ординат различны, начало координат общее для обеих систем. В плоскости Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнавозьмем окружность радиуса Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнас центром в начале координат, ее уравнение Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна.

Пусть точка Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равналежит на этой окружности, тогда ее координаты удовлетворяют уравнению Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна.

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Обозначим проекцию точки Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнана плоскость Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнабуквой Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна, а координаты ее—через Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаи Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна. Опустим перпендикуляры из Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаи Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнана ось Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна, это будут отрезки Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаи Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна. Треугольник Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнапрямоугольный, в нем Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна, Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна,Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна, следовательно, Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна. Абсциссы точек Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаи Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаравны, т. е. Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна. Подставим в уравнение Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равназначение Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна, тогда cos

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

а это есть уравнение эллипса с полуосями Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаи Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна.

Таким образом, эллипс является проекцией окружности на плоскость, расположенную под углом к плоскости окружности.

Замечание. Окружность можно рассматривать как эллипс с равными полуосями.

Видео:ЭллипсСкачать

Эллипс

Уравнение эллипсоида

Определение: Трехосным эллипсоидом называется поверхность, полученная в результате равномерной деформации (растяжения или сжатия) сферы по трем взаимно перпендикулярным направлениям.

Рассмотрим сферу радиуса R с центром в начале координат:

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

где Х, У, Z — текущие координаты точки сферы.

Пусть данная сфера подвергнута равномерной деформации в направлении координатных осей Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнас коэффициентами деформации, равными Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

В результате сфера превратится в эллипсоид, а точка сферы М (X, У, Z) с текущими координатами Х, У, Z перейдет в точку эллипсоидам Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна(х, у, z) с текущими координатами х, у, г, причем

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаИными словами, линейные размеры сферы в направлении оси Ох уменьшаются в Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнараз, если Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна, и увеличиваются в Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнараз, если Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаи т. д.

Подставляя эти формулы в уравнение (1), будем иметь

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

где Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаУравнение (2) связывает текущие координаты точки М’ эллипсоида и, следовательно, является уравнением трехосного эллипсоида.

Величины Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаназываются полуосями эллипсоида; удвоенные величины Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаназываются осями эллипсоида и, очевидно, представляют линейные размеры его в направлениях деформации (в данном случае в направлениях осей координат).

Если две полуоси эллипсоида равны между собой, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения, так как может быть получен в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Например, в геодезии считают поверхность земного шара эллипсоидом вращения с полуосями

а = b = 6377 км и с = 6356 км.

Если а = b = с, то эллипсоид превращается в сферу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Гипербола
  • Парабола
  • Многогранник
  • Решение задач на вычисление площадей
  • Шар в геометрии
  • Правильные многогранники в геометрии
  • Многогранники
  • Окружность

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:найти уравнение касательной к эллипсуСкачать

найти уравнение касательной к эллипсу

49. Эллипс

Определение. Эллипсом называется линия, заданная уравнением Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна.

О Пределение. Фокусами Называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнау

F1, F2 – фокусы. F1 = (c; 0); F2(-c; 0)

С – половина расстояния между фокусами;

A – большая полуось;

B – малая полуось.

Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:

Доказательство: В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, R1 + R2 = 2Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна(по теореме Пифагора). В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с горизонтальной осью, R1 + R2 = A C + A + C. Т. к. по определению сумма R1 + R2 – постоянная величина, то, приравнивая, получаем:

Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется Эксцентриситетом.

Видео:3 Полуоси эллипсаСкачать

3 Полуоси эллипса

Математический портал

Видео:Разбор задания из теста по ангему | Уравнение эллипса | Уравнение касательной к эллипсуСкачать

Разбор задания из теста по ангему | Уравнение эллипса | Уравнение касательной к эллипсу
  • Вы здесь:
  • Home

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаМалая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаМалая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаМалая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаМалая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Видео:Видеоурок "Эллипс"Скачать

Видеоурок "Эллипс"

Эллипс, гипербола, парабола. Директориальное свойство эллипса и гиперболы.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Эллипс.

Параметры $a$ и $b$ называются полуосями эллипса (большой и малой соответственно). Точки $A_1(-a, 0),$ $A_2(a, 0), $ $B_1(0, -b), $ и $B_2(0, b), $ его вершинами. Оси симметрии $Ox$ и $Oy$ — главными осями а центр симметрии $O -$ центром эллипса.

Прямые $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e,$ перпендикулярные главной оси и проходящей на расстоянии $a/e$ от центра, называются директрисами эллипса.

Теорема. ( Директориальное свойство эллипса)

Эллипс является множеством точек, отноше ние расстояний от которых до фокуса и до соответствующей директрисы постоянно и равно $e.$

Примеры.

2.246. Построить эллипс $9x^2+25y^2=225.$ Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения директрис.

Приведем уравнение эллипса к каноническому виду:

а) Находим полуоси $a=5,$ $b=3.$

б) Фокусы найдем по формулам $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=sqrt:$

$c=sqrt =sqrt =4Rightarrow F_1(-4, 0),qquad F_2(4, 0).$

г) Уравнения директрис находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Ответ: а) $a=5,$ $b=3;$ б) $ F_1(-4, 0),qquad F_2(4, 0);$ в) $e=frac ;$ г) $D_1: x=-frac $ и $D_2: x=frac .$

2.249 (a). Установить, что уравнение $5x^2+9y^2-30x+18y+9=0$ определяет эллипс, найти его центр $C,$ полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис.

Приведем уравнение эллипса к каноническому виду, для этого выделим полные квадраты:

Это уравнение эллипса. Центр имеет координаты $C=(x_0, y_0)=(-3, -1);$ полуоси $a=3,$ $b=sqrt 5.$

Уравнения директрис для эллипса с центром в начале координат находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

$D_1: x=-frac =-frac $ и $D_2: x=frac =frac .$ Поскольку у заданного эллипса центр смещен, то директриссы будут иметь уравнения $D_1: x=x_0-a/e$ и $D_2: x=x_0+a/e:$

Ответ: $C=(x_0, y_0)=(-3, -1);$ $a=3,$ $b=sqrt 5;$ $ e=frac .$ $D_1:2x+3=0, $ $D_2: 2x-15=0.$

2.252. Эллипс, главные оси которого совпадают с координатными осми, проходят через точки $M_1(2, sqrt 3)$ и $M_2(0, 2).$ Написать его уравнение, найти фокальные радиусы точки $M_1$ и расстояния этой точки до директрис.

Решение.

Поскольку оси эллипса совпадают с координатными осями, то центр эллипса совпадает с началом координат. Следовательно, из того, что точка $(0, 2)$ принадлежит эллипсу, можно сделать вывод, что $b=2.$

Далее, чтобы найти $a,$ подставим найденное значение $b$ и координаты точки $M_1(2, sqrt 3)$ в каноническое уравнение эллипса $frac +frac =1:$

Таким образом, уравнение эллипса $frac +frac =1.$

Далее найдем координаты фокусов:

Отсюда находим $overline =(2+2sqrt 3, sqrt 3),$ $overline =(2-2sqrt 3, sqrt 3).$

Чтобы найти расстояния от точки $M_1$ до директрис, найдем уравнения директрис по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

Расстояние от точки $P(x_0, y_0)$ до прямой $L: Ax+By+C=0$ вычисляется по формуле $$d=left|frac right|.$$

Таким образом, расстояние от точки $M_1(2, sqrt 3)$ до прямой $D_1: sqrt 3 x+8=0$

расстояние от точки $M_1(2, sqrt 3)$ до прямой $D_2: sqrt 3 x-8=0$

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Параметры $a$ и $b$ называются полуосями гиперболы. Точки $A_1(-a, 0),$ $A_2(a, 0) — $ ее вершинами. Оси симметрии $Ox$ и $Oy$ — действительной и мнимой осями а центр симметрии $O -$ центром гиперболы.

Прямые $D_1: x=-a/e$ и $D_2:x=a/e,$ перпендикулярные главной оси и проходящей на расстоянии $a/e$ от центра, называются директрисами гиперболы.

Теорема. (Директориальное свойство гиперболы).

Гипербола является геометрическим местом точек, отношение расстояний от которых до фокуса и до соответствующей дирек трисы постоянно и равно $e.$

Примеры.

2.265. Построить гиперболу $16x^2-9y^2=144.$ Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис.

Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду:

а) Находим полуоси $a=3,$ $b=4.$

б) Фокусы найдем по формулам $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=sqrt:$

$c=sqrt =sqrt =5Rightarrow F_1(-5, 0),qquad F_2(5, 0).$

г) Асимптоты гиперболы находим по формулам $y=pmfracx:$

д) Уравнения директрис находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Ответ: а) $a=3,$ $b=4;$ б) $ F_1(-5, 0),qquad F_2(5, 0);$ в) $e=frac ;$ г) $y=pmfrac x;$ д ) $D_1: x=-frac $ и $D_2: x=frac .$

2.269 (a). Установить, что уравнение $16x^2-9y^2-64x-54y-161=0$ определяет гиперболу, найти ее центр $C,$ полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис.

Приведем заданное уравнение к каноническому виду, для этого выделим полные квадраты:

Это уравнение гиперболы. Центр имеет координаты $C=(x_0, y_0)=(2,-3);$ полуоси $a=3,$ $b=4.$

Асимптоты гиперболы c центром в начале координат, находим по формулам $y=pmfracx,$ а с центром в точке $C=(x_0, y_0) -$ по формуле $y-y_0=pmfrac(x-x_0),$

$$y+3=frac (x-2)Rightarrow 3y+9=4x-8Rightarrow 4x-3y-17=0.$$

$$y+3=-frac (x-2)Rightarrow 3y+9=-4x+8Rightarrow 4x+3y+1=0.$$

Уравнения директрис для эллипса с центром в начале координат находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

$D_1: x=-frac =-frac $ и $D_2: x=frac =frac .$ Поскольку у заданного эллипса центр смещен, то директриссы будут иметь уравнения $D_1: x=x_0-a/e$ и $D_2: x=x_0+a/e:$

Ответ: $C=(2, -3);$ $a=3,$ $b=4;$ $ e=frac ,$ $4x-3y-17=0,$ $4x+3y+1=0,$ $D_1:5x-1=0, $ $D_2: 5x-19=0.$

2.272. Убедившись, что точка $M(-5, 9/4)$ лежит на гиперболе $frac -frac =1,$ найти фокальные радиусы этой точки и расстояния этой точки до директрис.

Решение.

Проверим, что заданная точка лежит на гиперболе:

Следовательно, точка $M(-5, 9/4)$ лежит на гиперболе $frac -frac =1.$

Для того, чтобы найти фокальные радиусы, найдем фокусы гиперболы:

Фокальные радиусы точки, можно найти по формулам $r_1=|overline |$ и $r_2=|overline |.$

Чтобы найти расстояния от точки $M$ до директрис, найдем уравнения директрис по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

$D_1: x=-frac Rightarrow x=-frac Rightarrow 5x+16=0;$

$D_2: x=frac Rightarrow x=frac Rightarrow 5x-16=0;$

Расстояние от точки $P(x_0, y_0)$ до прямой $L: Ax+By+C=0$ вычисляется по формуле $$d=left|frac right|.$$

Таким образом, расстояние от точки $M(5, 9/4)$ до прямой $D_1: sqrt 5x+16=0$

расстояние от точки $M(5, 9/4)$ до прямой $D_2: sqrt 5x-16=0$

Ответ: $r_1=9/4,$ $r_2=frac ;$ $d_1=frac ;$ $d_2=frac .$

2.273. Найти точки гиперболы $frac -frac =1,$ находящиеся на расстоянии $7$ от фокуса $F_1.$

Решение.

Из уравнения гиперболы находим полуоси: $a=3, , b=4.$ Следовательно, $c=sqrtRightarrow c=sqrt =sqrt =5.$

Отсюда находим $F_1=(-5, 0).$

Геометрическое место точек, расположенных на расстоянии $7$ от фокуса $F_1,$ это окружность с центром в точке $F_1=(-5, 0)$ и радиусом $r=7:$

Чтобы н айти точки гиперболы $frac -frac =1,$ находящиеся на расстоянии $7$ от фокуса $F_1,$ решим систему уравнений

Решим уравнение $5x^2+18x-72=0:$

Находим соответствующие координаты $y:$ $y_1=pmsqrt =sqrt $ — нет корней .

Ответ: $(-6, pm4sqrt 3).$

Парабола.

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Парабола с каноническим уравнением $y^2=2px, p>0,$ и меет форму изображенную на рисунке.

Число $p$ называется параметром параболы. Точка $O -$ ее вершиной, а ось $Ox$ — осью параболы.

, 0right)$ называется фокусом параболы, вектор $overline -$ фокальным радиус-векторам, а число $r=|overline | -$ фокальным радиусом точки $M,$ принадлежащей параболе.

Прямая $D: x=-p/2$ перпендикулярная оси и проходящая на расстоянии $p/2$ от вершины параболы, называется ее директрисой.

Примеры.

2.285 (а). Построить параболу $y^2=6x$ и найти ее параметры.

Решение.

Параметр $p$ параболы можно найти из канонического уравнения $y^2=2px: $

$$y^2=6xRightarrow y^2=2cdot 3xRightarrow p=2.$$

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Ответ: $p=3.$

2.286 (а). Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что парабола расположена в левой полуплоскости, симметрично относительно оси $Ox$ и $p=1/2.$

Решение.

Поскольку парабола расположена в левой полуплоскости, симметрично относительно оси $Ox,$ то уравнение параболы будет иметь вид $y^2=-2px.$ Подставляя заданное значение параметра, находим уравнение параболы:

Ответ: $y^2=-x.$

2.288 (а). Установить, что уравнение $y^2=4x-8$ определяет параболу, найти координаты ее вершины $A$ и величину параметра $p.$

Решение.

Уравнение параболы, центр которой сдвинут в точку $(x_0, y_0),$ имеет вид $(y-y_0)^2=2p(x-x_0)^2.$

Приведем заданное уравнние к такому виду:

Таким образом, $y^2=4(x^2-2)$ — парабола с центром в точке $(0, 2).$ Параметр $p=2.$

Ответ: $C(0, 2),$ $p=2.$

2.290. Вычислить фокальный параметр точки $M$ параболы $y^2=12x,$ если $y(M)=6.$

Решение.

Чтобы найти фокальный параметр точки $M,$ найдем ее координаты. Для этого подставим в уравнение параболы координату $y:$ $$6^2=12xRightarrow 36=12xRightarrow x=3.$$

Таким образом, точка $M$ имеет координаты $(3, 6).$

Из уравнения параболы $y^2=12x$ находим параметр параболы: $y^2=2cdot 6xRightarrow p=6.$ Следовательно фокус параболы имеет координаты $F(3, 0).$

Далее находим фокальный параметр точки:

Ответ: $6.$

2.298. Из фокуса параболы $y^2=12x$ под острым углом $alpha$ к оси $Ox$ направлен луч света, причем $tgalpha=frac .$ Написать уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от параболы.

Решение.

Найдем координаты фокуса. Из канонического уравнения параболы $y^2=2px$ находим параметр: $y^2=12x=2cdot 6xRightarrow p=6.$

Координаты фокуса $F(p/2, 0)Rightarrow F(3,0).$

Далее находим уравнение прямой, которая проходит через точку $(3, 0)$ под углом $alpha: tgalpha=frac $ к оси $OX.$ Уравнение ищем в виде $y=kx+b,$ где $k=tgalpha=frac .$

Чтобы найти $b,$ в уравнение прямой подставим координаты точки $(3, 0):$

$0=frac cdot 3+bRightarrow b=-frac .$ Таким образом, уравнение луча, направленного из фокуса $y=frac x-frac .$

Далее, найдем точку пересечения найденной прямой с параболой:

Поскольку по условию луч падает под острым углом, то мы рассматриваем только положительную координату $y=18.$ Соответствующее значение $x=frac =frac =27.$

Таким образом, луч пересекает параболу в точке $(27, 18).$

Далее найдем уравнение касательной к параболе в найденной точке $(27, 18)$ по формуле $(y-y_0)=y'(x_0)(x-x_0):$

Подставляем все найденные значения в уравнение касательной:

$y-18=frac (x-27)Rightarrow 3y-54=x-27Rightarrow x-3y+27=0.$

Далее, найдем угол $beta$ между лучем $y=frac x-frac $ и касательной $x-3y+27=0.$ Для этого оба уравнения запишем в виде $y=k_1x+b_1$ и $y=k_2+b_2$ угол вычислим по формуле $tg(L_1, L_2)=frac $

$$L_2: x-3y+27=0Rightarrow y=frac x+9Rightarrow k_2=frac .$$

Легко увидеть, что угол между лучем $L_1,$ направленным из фокуса и его отражением равен $pi-2beta,$ а угол между отраженным лучем и осью $Ox$ $pi-(pi-2beta)-alpha=2beta-alpha.$ Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Зная $tgbeta=frac $ и $tgalpha=k_1=frac $ и вспоминая формулы для двойного угла тангенса и тангенс разности, находим $tg(2beta-alpha):$

$$tg(2beta-alpha)=frac =frac -frac > frac >=0.$$ Следовательно, прямая, содержащая отраженный луч параллельна оси $Ox.$ Так как она проходит через точку $(27, 18),$ то можно записать ее уравнение $y=18.$

Видео:Лекция 31.1. Кривые второго порядка. ЭллипсСкачать

Лекция 31.1. Кривые второго порядка. Эллипс

Математический портал

Видео:Определить тип кривой (эллипс)Скачать

Определить тип кривой (эллипс)

Search

  • Вы здесь:
  • Home

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаМалая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаМалая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаМалая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равнаМалая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Видео:Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математикаСкачать

Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математика

Эллипс, гипербола, парабола. Директориальное свойство эллипса и гиперболы.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Эллипс.

Эллипс с каноническим уравнением $frac+frac=1, ageq b>0,$ и меет форму изображенную на рисунке.

Параметры $a$ и $b$ называются полуосями эллипса (большой и малой соответственно). Точки $A_1(-a, 0),$ $A_2(a, 0), $ $B_1(0, -b), $ и $B_2(0, b), $ его вершинами. Оси симметрии $Ox$ и $Oy$ — главными осями а центр симметрии $O -$ центром эллипса.

Точки $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=sqrtgeq 0,$ называются фокусами эллипса векторы $overline$ и $overline -$ фокальными радиус-векторами, а числа $r_1=|overline|$ и $r_2=|overline| -$ фокальными радиусами точки $M,$ принадлежащей эллипсу. В частном случае $a=b$ фокусы $F_1$ и $F_2$ совпадают с центром, а каноническое уравнение имеет вид $frac+frac=1,$ или $x^2+y^2=a^2,$ т.е. описывает окружность радиуса $a$ с центром в начале координат.

Прямые $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e,$ перпендикулярные главной оси и проходящей на расстоянии $a/e$ от центра, называются директрисами эллипса.

Теорема. ( Директориальное свойство эллипса)

Эллипс является множеством точек, отноше ние расстояний от которых до фокуса и до соответствующей директрисы постоянно и равно $e.$

Примеры.

2.246. Построить эллипс $9x^2+25y^2=225.$ Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения директрис.

Приведем уравнение эллипса к каноническому виду:

а) Находим полуоси $a=5,$ $b=3.$

б) Фокусы найдем по формулам $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=sqrt:$

$c=sqrt=sqrt=4Rightarrow F_1(-4, 0),qquad F_2(4, 0).$

г) Уравнения директрис находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Ответ: а) $a=5,$ $b=3;$ б) $ F_1(-4, 0),qquad F_2(4, 0);$ в) $e=frac;$ г) $D_1: x=-frac$ и $D_2: x=frac.$

2.249 (a). Установить, что уравнение $5x^2+9y^2-30x+18y+9=0$ определяет эллипс, найти его центр $C,$ полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис.

Приведем уравнение эллипса к каноническому виду, для этого выделим полные квадраты:

Это уравнение эллипса. Центр имеет координаты $C=(x_0, y_0)=(-3, -1);$ полуоси $a=3,$ $b=sqrt 5.$

Уравнения директрис для эллипса с центром в начале координат находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

$D_1: x=-frac=-frac $ и $D_2: x=frac=frac.$ Поскольку у заданного эллипса центр смещен, то директриссы будут иметь уравнения $D_1: x=x_0-a/e$ и $D_2: x=x_0+a/e:$

Ответ: $C=(x_0, y_0)=(-3, -1);$ $a=3,$ $b=sqrt 5;$ $ e=frac.$ $D_1:2x+3=0, $ $D_2: 2x-15=0.$

2.252. Эллипс, главные оси которого совпадают с координатными осми, проходят через точки $M_1(2, sqrt 3)$ и $M_2(0, 2).$ Написать его уравнение, найти фокальные радиусы точки $M_1$ и расстояния этой точки до директрис.

Решение.

Поскольку оси эллипса совпадают с координатными осями, то центр эллипса совпадает с началом координат. Следовательно, из того, что точка $(0, 2)$ принадлежит эллипсу, можно сделать вывод, что $b=2.$

Далее, чтобы найти $a,$ подставим найденное значение $b$ и координаты точки $M_1(2, sqrt 3)$ в каноническое уравнение эллипса $frac+frac=1:$

Таким образом, уравнение эллипса $frac+frac=1.$

Далее найдем координаты фокусов:

$c=sqrt=sqrt=2sqrt 3Rightarrow F_1(-2sqrt 3, 0),,,, F_2(2sqrt 3, 0).$

Отсюда находим $overline =(2+2sqrt 3, sqrt 3),$ $overline=(2-2sqrt 3, sqrt 3).$

Чтобы найти расстояния от точки $M_1$ до директрис, найдем уравнения директрис по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

Расстояние от точки $P(x_0, y_0)$ до прямой $L: Ax+By+C=0$ вычисляется по формуле $$d=left|frac<sqrt>right|.$$

Таким образом, расстояние от точки $M_1(2, sqrt 3)$ до прямой $D_1: sqrt 3 x+8=0$

расстояние от точки $M_1(2, sqrt 3)$ до прямой $D_2: sqrt 3 x-8=0$

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Параметры $a$ и $b$ называются полуосями гиперболы. Точки $A_1(-a, 0),$ $A_2(a, 0) — $ ее вершинами. Оси симметрии $Ox$ и $Oy$ — действительной и мнимой осями а центр симметрии $O -$ центром гиперболы.

Точки $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=sqrtgeq 0,$ называются фокусами гиперболы, векторы $overline$ и $overline -$ фокальными радиус-векторами, а числа $r_1=|overline|$ и $r_2=|overline| -$ фокальными радиусами точки $M,$ принадлежащей гиперболе.

Прямые $D_1: x=-a/e$ и $D_2:x=a/e,$ перпендикулярные главной оси и проходящей на расстоянии $a/e$ от центра, называются директрисами гиперболы.

Теорема. (Директориальное свойство гиперболы).

Гипербола является геометрическим местом точек, отношение расстояний от которых до фокуса и до соответствующей дирек трисы постоянно и равно $e.$

Примеры.

2.265. Построить гиперболу $16x^2-9y^2=144.$ Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис.

Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду:

а) Находим полуоси $a=3,$ $b=4.$

б) Фокусы найдем по формулам $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=sqrt:$

$c=sqrt=sqrt=5Rightarrow F_1(-5, 0),qquad F_2(5, 0).$

г) Асимптоты гиперболы находим по формулам $y=pmfracx:$

д) Уравнения директрис находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Ответ: а) $a=3,$ $b=4;$ б) $ F_1(-5, 0),qquad F_2(5, 0);$ в) $e=frac;$ г) $y=pmfracx;$ д ) $D_1: x=-frac$ и $D_2: x=frac.$

2.269 (a). Установить, что уравнение $16x^2-9y^2-64x-54y-161=0$ определяет гиперболу, найти ее центр $C,$ полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис.

Приведем заданное уравнение к каноническому виду, для этого выделим полные квадраты:

Это уравнение гиперболы. Центр имеет координаты $C=(x_0, y_0)=(2,-3);$ полуоси $a=3,$ $b=4.$

Асимптоты гиперболы c центром в начале координат, находим по формулам $y=pmfracx,$ а с центром в точке $C=(x_0, y_0) -$ по формуле $y-y_0=pmfrac(x-x_0),$

$$y+3=frac(x-2)Rightarrow 3y+9=4x-8Rightarrow 4x-3y-17=0.$$

$$y+3=-frac(x-2)Rightarrow 3y+9=-4x+8Rightarrow 4x+3y+1=0.$$

Уравнения директрис для эллипса с центром в начале координат находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

$D_1: x=-frac=-frac $ и $D_2: x=frac=frac.$ Поскольку у заданного эллипса центр смещен, то директриссы будут иметь уравнения $D_1: x=x_0-a/e$ и $D_2: x=x_0+a/e:$

Ответ: $C=(2, -3);$ $a=3,$ $b=4;$ $ e=frac,$ $4x-3y-17=0,$ $4x+3y+1=0,$ $D_1:5x-1=0, $ $D_2: 5x-19=0.$

2.272. Убедившись, что точка $M(-5, 9/4)$ лежит на гиперболе $frac-frac=1,$ найти фокальные радиусы этой точки и расстояния этой точки до директрис.

Решение.

Проверим, что заданная точка лежит на гиперболе:

Следовательно, точка $M(-5, 9/4)$ лежит на гиперболе $frac-frac=1.$

Для того, чтобы найти фокальные радиусы, найдем фокусы гиперболы:

$c=sqrtRightarrow c=sqrt=sqrt =5$ Следовательно, фокусы имеют координаты $F_1(-5, 0), F_2(5, 0).$

Фокальные радиусы точки, можно найти по формулам $r_1=|overline|$ и $r_2=|overline|.$

Чтобы найти расстояния от точки $M$ до директрис, найдем уравнения директрис по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$

$D_1: x=-fracRightarrow x=-fracRightarrow 5x+16=0;$

$D_2: x=fracRightarrow x=fracRightarrow 5x-16=0;$

Расстояние от точки $P(x_0, y_0)$ до прямой $L: Ax+By+C=0$ вычисляется по формуле $$d=left|frac<sqrt>right|.$$

Таким образом, расстояние от точки $M(5, 9/4)$ до прямой $D_1: sqrt 5x+16=0$

расстояние от точки $M(5, 9/4)$ до прямой $D_2: sqrt 5x-16=0$

Ответ: $r_1=9/4,$ $r_2=frac;$ $d_1=frac;$ $d_2=frac.$

2.273. Найти точки гиперболы $frac-frac=1,$ находящиеся на расстоянии $7$ от фокуса $F_1.$

Решение.

Из уравнения гиперболы находим полуоси: $a=3, , b=4.$ Следовательно, $c=sqrtRightarrow c=sqrt=sqrt =5.$

Отсюда находим $F_1=(-5, 0).$

Геометрическое место точек, расположенных на расстоянии $7$ от фокуса $F_1,$ это окружность с центром в точке $F_1=(-5, 0)$ и радиусом $r=7:$

Чтобы н айти точки гиперболы $frac-frac=1,$ находящиеся на расстоянии $7$ от фокуса $F_1,$ решим систему уравнений

Решим уравнение $5x^2+18x-72=0:$

Находим соответствующие координаты $y:$ $y_1=pmsqrt=sqrt$ — нет корней .

Ответ: $(-6, pm4sqrt 3).$

Парабола.

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Парабола с каноническим уравнением $y^2=2px, p>0,$ и меет форму изображенную на рисунке.

Число $p$ называется параметром параболы. Точка $O -$ ее вершиной, а ось $Ox$ — осью параболы.

Точка $Fleft(frac

, 0right)$ называется фокусом параболы, вектор $overline -$ фокальным радиус-векторам, а число $r=|overline| -$ фокальным радиусом точки $M,$ принадлежащей параболе.

Прямая $D: x=-p/2$ перпендикулярная оси и проходящая на расстоянии $p/2$ от вершины параболы, называется ее директрисой.

Примеры.

2.285 (а). Построить параболу $y^2=6x$ и найти ее параметры.

Решение.

Параметр $p$ параболы можно найти из канонического уравнения $y^2=2px: $

$$y^2=6xRightarrow y^2=2cdot 3xRightarrow p=2.$$

Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Ответ: $p=3.$

2.286 (а). Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что парабола расположена в левой полуплоскости, симметрично относительно оси $Ox$ и $p=1/2.$

Решение.

Поскольку парабола расположена в левой полуплоскости, симметрично относительно оси $Ox,$ то уравнение параболы будет иметь вид $y^2=-2px.$ Подставляя заданное значение параметра, находим уравнение параболы:

Ответ: $y^2=-x.$

2.288 (а). Установить, что уравнение $y^2=4x-8$ определяет параболу, найти координаты ее вершины $A$ и величину параметра $p.$

Решение.

Уравнение параболы, центр которой сдвинут в точку $(x_0, y_0),$ имеет вид $(y-y_0)^2=2p(x-x_0)^2.$

Приведем заданное уравнние к такому виду:

Таким образом, $y^2=4(x^2-2)$ — парабола с центром в точке $(0, 2).$ Параметр $p=2.$

Ответ: $C(0, 2),$ $p=2.$

2.290. Вычислить фокальный параметр точки $M$ параболы $y^2=12x,$ если $y(M)=6.$

Решение.

Чтобы найти фокальный параметр точки $M,$ найдем ее координаты. Для этого подставим в уравнение параболы координату $y:$ $$6^2=12xRightarrow 36=12xRightarrow x=3.$$

Таким образом, точка $M$ имеет координаты $(3, 6).$

Из уравнения параболы $y^2=12x$ находим параметр параболы: $y^2=2cdot 6xRightarrow p=6.$ Следовательно фокус параболы имеет координаты $F(3, 0).$

Далее находим фокальный параметр точки:

Ответ: $6.$

2.298. Из фокуса параболы $y^2=12x$ под острым углом $alpha$ к оси $Ox$ направлен луч света, причем $tgalpha=frac.$ Написать уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от параболы.

Решение.

Найдем координаты фокуса. Из канонического уравнения параболы $y^2=2px$ находим параметр: $y^2=12x=2cdot 6xRightarrow p=6.$

Координаты фокуса $F(p/2, 0)Rightarrow F(3,0).$

Далее находим уравнение прямой, которая проходит через точку $(3, 0)$ под углом $alpha: tgalpha=frac$ к оси $OX.$ Уравнение ищем в виде $y=kx+b,$ где $k=tgalpha=frac.$

Чтобы найти $b,$ в уравнение прямой подставим координаты точки $(3, 0):$

$0=fraccdot 3+bRightarrow b=-frac.$ Таким образом, уравнение луча, направленного из фокуса $y=fracx-frac.$

Далее, найдем точку пересечения найденной прямой с параболой:

Поскольку по условию луч падает под острым углом, то мы рассматриваем только положительную координату $y=18.$ Соответствующее значение $x=frac=frac=27.$

Таким образом, луч пересекает параболу в точке $(27, 18).$

Далее найдем уравнение касательной к параболе в найденной точке $(27, 18)$ по формуле $(y-y_0)=y'(x_0)(x-x_0):$

Подставляем все найденные значения в уравнение касательной:

$y-18=frac(x-27)Rightarrow 3y-54=x-27Rightarrow x-3y+27=0.$

Далее, найдем угол $beta$ между лучем $y=fracx-frac$ и касательной $x-3y+27=0.$ Для этого оба уравнения запишем в виде $y=k_1x+b_1$ и $y=k_2+b_2$ угол вычислим по формуле $tg(L_1, L_2)=frac$

$$L_2: x-3y+27=0Rightarrow y=fracx+9Rightarrow k_2=frac.$$

Легко увидеть, что угол между лучем $L_1,$ направленным из фокуса и его отражением равен $pi-2beta,$ а угол между отраженным лучем и осью $Ox$ $pi-(pi-2beta)-alpha=2beta-alpha.$ Малая полуось эллипса заданного уравнением 4x2 9y2 364x2 9y2 36 равна

Зная $tgbeta=frac$ и $tgalpha=k_1=frac$ и вспоминая формулы для двойного угла тангенса и тангенс разности, находим $tg(2beta-alpha):$

$$tg(2beta-alpha)=frac=frac<frac-frac><1+fracfrac>=0.$$ Следовательно, прямая, содержащая отраженный луч параллельна оси $Ox.$ Так как она проходит через точку $(27, 18),$ то можно записать ее уравнение $y=18.$

🌟 Видео

ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!Скачать

ЧТО НАДО ГОВОРИТЬ ЕСЛИ НЕ СДЕЛАЛ ДОМАШКУ!

Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертеж

165. Найти фокусы и эксцентриситет эллипса.Скачать

165. Найти фокусы и эксцентриситет эллипса.

Написать каноническое уравнение эллипса, если известны b и cСкачать

Написать каноническое уравнение эллипса, если известны b и c
Поделиться или сохранить к себе: