Теорема Кронекера-Капелли. Исследование систем линейных уравнений на совместность. Вторая часть.
В первой части мы рассматривали системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), все коэффициенты которых были известны. В этой же части разберём СЛАУ, среди коэффициентов которых есть некий параметр. Для исследования СЛАУ на совместность станем использовать теорему Кронекера-Капелли. В процессе решения примеров на данной странице будем применять метод Гаусса или же метод Крамера. Сформулируем теорему и следствие из неё ещё раз:
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. $rang A=rangwidetilde$.
Следствие из теоремы Кронекера-Капелли
Параметр $n$, использованный выше, равен количеству переменных рассматриваемой СЛАУ.
Исследовать СЛАУ $ left <begin& kx_1+2x_2+x_3=8;\ & -x_1+x_2+2x_3=7;\ & x_2+kx_3=5.endright.$ на совместность и найти решение системы в зависимости от значений параметра $k$.
Чтобы исследовать заданную систему на совместность, нам нужно найти ранг матрицы системы $A$ и ранг расширенной матрицы системы $widetilde$. Сделать это можно несколькими путями. Стоит учесть, что в данном примере нам требуется не только исследовать систему на совместность, но и указать её решения. Мне кажется наиболее удобным в таких задачах применять метод Гаусса, однако это вовсе не является обязательным. Для разнообразия данный пример решим методом Гаусса, а следующий – методом Крамера. Итак, запишем и начнём преобразовывать расширенную матрицу системы. При записи расширенной матрицы системы поменяем местами первую и вторую строки. Это нужно для того, чтобы первым элементом первой строки стало число -1.
$$ left(begin -1 & 1 &2 &7 \ k & 2 & 1 & 8\ 0 & 1 & k & 5 end right) begin phantom \ r_2+kcdot\ phantomendrightarrow left(begin -1 & 1 &2 &7 \ 0 & 2+k & 1+2k & 8+7k\ 0 & 1 & k & 5 end right)rightarrowleft|begin&text\&textendright|rightarrow \ rightarrow left(begin -1 & 1 &2 &7 \0 & 1 & k & 5 \ 0 & 2+k & 1+2k & 8+7k end right) begin phantom\phantom\r_3-(2+k)cdotend rightarrow left(begin -1 & 1 &2 &7 \0 & 1 & k & 5 \ 0 & 0 & 1-k^2 & 2k-2 end right) $$
Мы привели расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Напомню, что до черты расположена преобразованная матрица матрица системы: $left(begin-1 & 1 &2\0 & 1 & k\ 0 & 0 & 1-k^2end right)$.
Каким бы ни было значение параметра $k$, полученная нами после преобразований матрица будет содержать не менее двух ненулевых строк (первая и вторая строки точно останутся ненулевыми). Вопрос о количестве решений зависит лишь от третьей строки.
В следствии из теоремы Кронекера-Капелли указаны три случая, и в данном примере легко рассмотреть каждый из них. Начнём с варианта $rang Aneqrangwidetilde$, при котором система не имеет решений, т.е. несовместна.
Видео:Исследование систем линейных уравнений на совместностьСкачать
$rang Aneqrangwidetilde$
Ранги будут не равны друг другу лишь в одном случае: когда $1-k^2=0$, при этом $2k-2neq$. В этом случае преобразованная матрица системы будет содержать две ненулевых строки (т.е. $rang A=2$), а преобразованная расширенная матрица системы будет содержать три ненулевых строки (т.е. $rang widetilde=3$). Иными словами, нам требуется решить систему уравнений:
Из первого уравнения имеем: $k=1$ или $k=-1$, однако $kneq$, поэтому остаётся лишь один случай: $k=-1$. Следовательно, при $k=-1$ система не имеет решений.
Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать
$rang A=rangwidetilde<3$
Рассмотрим второй пункт следствия из теоремы Кронекера-Капелли – ранги равны между собой, но меньше, чем количество переменных (т.е. меньше 3). Это возможно лишь в том случае, если последняя строка преобразованной расширенной матрицы системы полностью станет нулевой, т.е.
Из данной системы имеем: $k=1$. Именно при $k=1$ третья строка преобразованной расширенной матрицы системы станет нулевой, поэтому $rang=rangwidetilde=2$. При этом, повторюсь, у нас всего три переменных, т.е. имеем случай $rang A=rangwidetilde=2<3$.
Система имеет бесконечное количество решений. Найдём эти решения. Подставим $k=1$ в преобразованную матрицу и продолжим операции метода Гаусса. Третью строку (она станет нулевой) просто вычеркнем:
Видео:13 Исследование систем линейных уравненийСкачать
$rang A=rangwidetilde=3$
Рассмотрим третий пункт следствия из теоремы Кронекера-Капелли – ранги равны между собой и равны количеству переменных. Это возможно лишь в том случае, если $1-k^2neq$, т.е. $kneq$ и $kneq$. Продолжаем решение методом Гаусса:
Исследовать СЛАУ $left <begin& 2kx_1+x_2+x_3=0;\ & x_1-x_2+kx_3=1;\ & (k-6)x_1+2x_2-4x_3=-3.endright.$ на совместность и найти решение системы при тех значениях параметра, при которых она совместна.
Вновь, как и в предыдущем примере, для того, чтобы исследовать заданную систему на совместность, нам нужно найти ранг матрицы системы $A$ и ранг расширенной матрицы системы $widetilde$. Чтобы исследовать систему на совместность и указать количество решений применим метод Крамера. Можно было бы решить и методом Гаусса, однако в предыдущем примере мы его уже использовали, поэтому для разнообразия решим задачу с помощью метода Крамера. Начнём с вычисления определителя матрицы системы. Этот определитель мы получим с помощью готовой формулы.
Значения переменных $x_1$, $x_2$, $x_3$ будут такими:
Нам остаётся исследовать совместность системы при условии $Delta=0$. Это равенство возможно при $k=0$ или $k=1$.
Видео:Неоднородная система линейных уравненийСкачать
Случай $k=0$
Нам остаётся рассмотреть последний случай: $k=1$.
Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать
Случай $k=1$
Для наглядности я запишу здесь матрицу системы $A$ и расширенную матрицу системы $widetilde$, подставив $k=1$:
Если $k=1$, то $Delta=0$. Это значит, что $rang≤2$. Рассмотрим миноры второго порядка матрицы $A$. Например, возьмём минор, образованный на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №2: $M=left|begin2 & 1\ 1 & -1endright|=-3$. Так как $Mneq$, то ранг матрицы $A$ равен 2.
Задача решена, осталось лишь записать ответ.
Разберём ещё один пример, в котором рассмотрим СЛАУ с четырьмя уравнениями.
Исследовать СЛАУ $ left <begin& kx_1+x_2+x_3+x_4=1;\ & x_1+kx_2+x_3+x_4=1;\ & x_1+x_2+kx_3+x_4=1;\ & x_1+x_2+x_3+kx_4=1.endright.$ на совместность и найти решение системы в зависимости от значений параметра $k$.
Применим метод Гаусса. При записи расширенной матрицы системы поместим первую строку вниз, на место четвёртой строки. А дальше начнём стандартные операции метода Гаусса.
Здесь можно было бы остановиться и рассмотреть случаи $k=1$ и $kneq$ отдельно. Цель таких действий: разделить вторую, третью и четвёртую строки на $k-1$ при условии $k-1neq$. Однако пока что полученная нами матрица содержит не столь уж громоздкие элементы, поэтому сейчас отвлекаться на частности я не вижу смысла. Продолжим преобразования в общем виде:
Мы привели расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. До черты расположена преобразованная матрица системы. Ранги матриц $A$ и $widetilde$ зависят от значения параметра $k$. Рассмотрим три случая: $k=1$, $k=-3$ и случай $kneq$, $kneq$.
Видео:ФСР. Система однородных уравнений. Общее решениеСкачать
Случай $k=-3$
Видео:Лекция 12. Системы линейных уравненийСкачать
Случай $k=1$
Если $k=1$, то преобразованная матрица станет такой: $left(begin 1 & 1 &1 &1&1\ 0 & 0 &0 &0&0\ 0 & 0 &0&0&0\ 0 & 0 &0&0&0endright)$. Ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны между собой (и равны 1), но меньше, чем количество переменных, т.е. $rang=rang=1<4$. Вывод: система является неопределённой. Общее решение системы непосредственно получим из первой строки записанной матрицы:
Видео:15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать
Случай $kneq$ и $neq$
Продолжим решение методом Гаусса. Так как $kneq$ и $neq$, то $(1-k)(k+3)neq$. Следовательно, мы можем разделить вторую и третью строки на $1-k$, четвёртую строку – на выражение $(1-k)(k+3)$. С полученной после этого матрицей продолжим операции обратного хода метода Гаусса:
Из последней матрицы имеем: $x_1=x_2=x_3=x_4=frac$.
При $k=-3$ система несовместна.
При $k=1$ система является неопределённой. Общее решение системы: $left<begin& x_1=-x_2-x_3-x_4+1;\&x_2in,;x_3in,;x_4in. endright.$
При $kneq$ и $kneq$ система является определённой. Решение системы: $x_1=x_2=x_3=x_4=frac$.
Видео:Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать
∀ x, y, z
Главная ≫ Форум ≫ Математика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Учебные задачи ≫ Найдите общее решение линейной системы в зависимости от значения параметра лямбда
Видео:Найти ранг матрицы при всех значениях параметраСкачать
Найдите общее решение линейной системы в зависимости от значения параметра лямбда
Сообщения: 1 🔎
# 12 Мар 2016 11:10:39 Math
Найдите общее решение линейной системы в зависимости от значения параметра . При каких значениях система допускает решение с помощью обратной матрицы?
тогда систему можно записать в виде .
Приравнивая к нулю, найдем, что при и .
Если и , то матрица имеет обратную
и решение имеет вид .
Если аккуратно перемножить и упростить, получим .
Случаи и рассматриваются отдельно. Нужно просто подставить и решить как обычную систему линейных уравнений с числовыми коэффициентами без параметров, например, методом гаусса.
Можно не использовать обратную матрицу, а применить метод редукции гаусса к расширенной матрице, учитывая, что и ,
При расширенная матрица
Следовательно решения имеют вид , или в матричном виде:
Видео:Алгебраическое определение количества решений системы линейных уравнений | Алгебра IСкачать
§22.1 $lambda$-матрица
Видео:Видеоурок "Однородные системы линейных уравнений"Скачать
Primary tabs
Forums:
1. $lambda$-матрицей (полиномиальной матрицей) называется матрица, элементы которой являются многочлены относительно некоторой буквы $lambda.$ Степенью $lambda$-матрицы называется наивысшая из степени многочленов, входящих в состав матрицы. Ясно, что $ lambda$- матрица степени $n$ может быть представлена в виде $$ A_0 lambda^n + A_1 lambda^ + . + A_n, $$ где $ A_k$ — матрицы, уже не зависящие от $ lambda$ *). Частный случай $lambda$ — матриц нам уже встречался неоднократно, а именно матрицы вида $ A — lambda E.$ Результаты, которые мы получим в этом параграфе, для случая $ lambda$-матриц вида $ A — lambda E$ содержат как частный случай многие из результатов, полученных в предыдущих параграфах этой главы.
$lambda$ — матрицы встречаются во всех вопросах математики. Так, например, решение системы однородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами $$ <over > = sum_^n a_ y_k (i = 1, 2, . n) qquad qquad (1)$$ ищется обычно в виде $$ y_k = c_k e^, qquad qquad (2)$$ где $ lambda$ и $c_k$ — некоторые постоянные. Для их определения поставим функции (2) в систему и сократим уравнения на $ e^.$ Мы получим систему линейных уравнений $$ lambda c_i = sum_^n a_ c_k, $$ матрица которой есть $A — lambda E,$ где $A$ — матрица из коэффициентов системы (1). Таким образом, изучение системы дифференциальных уравнений тесно связано с $ lambda$-матрицей первой степени относительно $ lambda: A — lambda E.$
Аналогично, исследование системы уравнений порядка выше первого приводит к исследованию $ lambda$ — матриц высших степеней. Например, исследование системы уравнений $$ sum_^n a_ <over > + sum_^n b_ <over > + sum_^n c_ y_k = 0 $$ приводится к исследованию $ lambda$ — матрицы $ A lambda^2 + B lambda C, $ где $ A = ||alpha_|| B = ||b_||, C = ||c_||.$
Мы рассмотрим сейчас вопрос о каноническом виде $ lambda$ — матриц относительно так называемых элементарных преобразований.
Элементарные преобразованиями $ lambda$-матриц называются преобразования следующих типов.
1°. Перестановка между собой двух каких-либо строк или столбцов матрицы. 2°. Прибавление к строке какой-либо другой строки, умноженной на некоторый многочлен $ phi (lambda)$, и, аналогично, прибавление к столбцу другого столбца, умноженного на некоторый многочлен. 3°. Умножение строки или столбца на некоторое число, отличное от нуля.
Определение. Две $ lambda$- матрицы называются эквивалентными, если одна не может быть получена из другой некоторой последовательностью элементарных преобразований.
Обратное к каждому элементарному преобразованию есть снова элементарное преобразование. Это легко проверяется для каждого из трёх типов элементарных преобразований. Так, если $ lambda$-матрица $B(lambda)$ получается из $ lambda$-матрицы $A(lambda)$ перестановкой строк, то обратной перестановкой строк мы можем из $B(lambda)$ получить $A(lambda)$. Если $ B(lambda)$ получается $A(lambda)$ приведением к k-й строке i-й, умноженной на $ phi (lambda),$ то, обратно, $ A(lambda)$ можно получить из $ B(lambda)$ прибавлением к k-й строке i-й, умноженной на — $phi (lambda)$.
Из сделанного замечания следует, что если $ lambda$-матрица $K(lambda)$ эквивалентна $L(lambda),$ то и обратно, $L(lambda)$ эквивалентна $K(lambda).$. В самом деле, пусть из $ K(lambda)$ применением некоторой последовательности элементарных преобразований получается $L(lambda).$ Тогда, применяя к $L(lambda)$ в обратном порядке обратные преобразования, мы придем к $ K(lambda).$
Если две $lambda$-матрицы $ K_1 (lambda)$ и $ K_2 (lambda)$ эквивалентны некоторой матрице $ K(lambda),$ то они эквивалентны между собой. Действительно, если сначала провести последовательность элементарных преобразований, переводящих $ K_1 (lambda)$ в $ K (lambda)$ в $ K_2 (lambda)$, то мы переведем $ K_1(lambda)$ в $K_2(lambda),$ т. е. $K_1 (lambda)$ эквивалентна $ K_2(lambda).$
Основной результат п. 1 этого параграфа состоит в доказательстве теоремы о то, что всякую $ lambda$ — матрицу можно элементарными преобразованиями привести к диагональному виду. Доказательству этого предположения предпошлем лемму:
Лемма. Если элемент $a_ (lambda)$ в $lambda$ — матрице $ A(lambda)$ не равен нулю и если не все элементы $a_ (lambda)$ матрицы $ A(lambda)$. делятся на многочлен $a_ (lambda),$ то можно подобрать эквивалентную $ A(lambda) lambda$- матрицу $B(lambda),$ для которой элемент $b_ (lambda)$ также не равен нулю и имеет степень более низкую, чем $ a_ (lambda).$
Доказательство. Предположим сначала, что не делящийся на $a_(lambda)$ элемент матрицы $A (lambda)$ находится в первой строке. Пусть, например, $a_ (lambda)$ не делится на $a_ (lambda).$ Тогда $ a_ (lambda)$ можно представить в виде $$ a_ (lambda) = a_ (lambda) phi(lambda) + b(lambda),$$ где $ phi (lambda) $ — частное, $ b(lambda) ≠ 0$ — остаток от деления $ a_ (lambda)$ на $a_ (lambda)$ и, следовательно, степень $b(lambda)$ ниже, чем степень $ a_ (lambda).$ Вычтем из k-го столбца первый, умноженный на $ phi (lambda).$ Получим матрицу, где вместо $a_ (lambda)$ стоит теперь многочлен $b(lambda),$ имеющий более низкую степень, чем $ a_ (lambda).$ Переставляя теперь k-й столбец с первым, мы переведем $ b(lambda)$ в левый верхний угол.
Рассмотрим теперь случай, когда все элементы первой строки и первого столбца делятся на $a_ (lambda),$ а некоторый элемент $a_ (lambda)$ не делится на $ a_ (lambda).$ Это случай мы сведём к предыдущему следующим образом: $ a_ (lambda)$ делится на $a_ (lambda),$ т. е. имеет вид $ a_ (lambda) = phi (lambda) a_ (lambda).$ Вычтем из i-й строки первую, умноженную на $ phi (lambda).$ Тогда $ a_ (lambda)$ заменится нулем, элемент $ a_ (lambda)$ заменится элементом $ a_ (lambda) = a_ (lambda) — phi (lambda) a_ (lambda),$ который по-прежнему не делится на $ a_ (lambda) $. (так как $ a_ (lambda)$ по предположению делится на на $ a_ (lambda)).$ Прибавим теперь i-ю строку к первой. Так как на первом месте в i-й строке теперь стоит нуль, то $ a_ (lambda)$ не изменится, а на k-м месте в первой строке теперь будет стоять $ a_ (lambda) + a_ (lambda) = a_ (lambda) (1 — phi (lambda)) + a_ (lambda)$ и, следовательно, в первой строке имеется элемент, не делящийся на d$ a_ (lambda).$ Мы свели этот случай к рассмотренному выше и, следовательно, лемма доказана.
В дальнейшем мы будем пользоваться также следующим замечанием: если все элементы $ lambda$-матрицы $B (lambda)$. делятся на некоторый многочлен $E(lambda),$ то после элементарных преобразований над матрицей $ B(lambda)$ мы снова получим матрицу, элементы которой делятся на $ E(lambda)$.
Перейдем теперь к проведению $lambda$-матрицы к диагональному виду.
Мы можем считать, что $ a_ (lambda) ≠ 0,$ так как, если в матрице есть хоть один элемент, отличный от нуля, то перестановками строк и столбцов его можно перевести на это место. Если не все элементы матрицы делятся на $a_ (lambda),$ то мы можем способом, указанным в лемме, заменить матрица эквивалентной, в которой элемент, стоящий в левом верхнем углу, имеет более низкую степень и по-прежнему отличен от нуля. Если не все элементы делятся на него, то мы можем опять понизить степень этого элемента и т. д. Процесс закончится, когда мы придем к матрице $B(lambda)$, в которой все элементы делятся на $ b_ (lambda).$
Так как элементы $b_ (lambda), . b_ (lambda)$ первой строки делятся на $ b_ (lambda),$ то вычитая из второго, третьего и т. д. столбца первый, умноженый на соответственно подобранные многочлены от $ lambda,$ мы можем обратить в нуль 2-й, 3-й, . n-й элементы первой строки. Аналогично обратим в нуль все элементы, начиная со второго, в первом столбце. Так как в матрице $B(lambda)$ все элементы делились на $b_ (lambda),$ то в полученное матрице все элементы также делятся на $b_ (lambda).$ Разделим все элементы первой строки на старший коэффициент многочлена $b_ (lambda).$ На первом месте получится многочлен со старшим коэффициентом 1, который мы обозначим через $E_1 (lambda),$ а на остальных местах будут по-прежнему нули.
Мы пришли, таким образом, к матрице следующего вида: $$ begin E_1 (lambda) & 0 & 0 . 0 \ 0 & c_ (lambda) & c_ (lambda) . c_ (lambda) \ cdots & cdots & cdots \ 0 & c_ (lambda) & c_ (lambda) . c_ (lambda) end, qquad (3) $$ все элементы которой делятся на $E_1 (lambda).$
Мы можем теперь повторить с матрицей $(n-1)$-го порядка $ ||c_ (lambda)||$ те же операции, что с матрицей n-го порядка. Заметим, что всякое элементарное преобразование матрицы $||c_||$ есть в то же время элементарное преобразование матрицы (3), так как в первой строке и столбце все элементы кроме $E_1(lambda)$ равны нулю.
Таким образом, мы обратим в нуль все элементы второй строки и второго столбца, кроме диагонального. Полученный диагональный элемент (старший коэффициент которого также считаем равным единице) обозначим $E_2 (lambda).$ Все элементы $c_ (lambda)$ делятся на $E_1 (lambda).$ Поэтому все дальнейшие элементарные преобразования всегда приводят нас к элементам, делящийся на $E_1 (lambda).$ В частности, $ E_2(lambda)$ делятся на $E_1 (lambda).$
Мы пришли, таким образом, к матрице, у которой в первых двух строках и столбцах все элементы кроме диагональных равны нулю, а по диагонали стоят $E_1 (lambda)$ и $E_2 (lambda),$ причем $E_2 (lambda)$ делится на $E_1 (lambda).$ Мы сможем продолжать этот процесс далее, пока не приведем всю матрицу к диагональному виду. Может, конечно, оказаться, что мы закончим процесс раньше, придя к матрице, состоящей сплошь из нулей. Итак, доказана следующая
Теорема 1. Всякая $lambda$ — матрица может быть элементарными преобразованиями приведена к виду
$$ begin E_1 (lambda) & 0 & 0 . 0 \ 0 & E_2 (lambda) & 0 . 0 \ 0 & 0 & E_3(lambda) . 0 \ cdots $ cdots & cdots \ 0 & 0 & 0 . E_n(lambda) end, qquad (4)$$ где многочлены $ E_k (lambda),$ стоящие по диагонали, имеют старшие коэффициенты, равные единице, многочлен $E_2 (lambda)$ делится на $E_1 (lambda), E_3 (lambda)$ делится на $ E_2 (lambda), E_4(lambda)$ на $E_3 (lambda)$ и т. д. Этот вид называется нормальной диагональной формой $ lambda$ — матрицы.
Конечно, некоторое число последних многочленов $ E_k (lambda)$ в матрице (4) может оказаться равным нулю: $$ E_ (lambda) = E_ (lambda) = . = 0$$
Замечание. Мы привели матрицу $A (lambda)$ к нормальному диагональному виду, в котором каждый диагональный элемент делится на предшествующий. Если поставить себе целью приведение матрицы к какому-нибудь диагональному виду, отбросив требование делимости, то задача решается проще.
Действительно, для того чтобы обратить в нуль все элементы первой строки и первого столбца кроме $a_ (lambda),$ достаточно, чтобы эти элементы (а не все элементы матрицы) делились на $a_ (lambda).$ Как видно из доказательства леммы, для того чтобы этого достигнуть, требует гораздо меньше число элементарных преобразований, чем для приведения к нормальной диагональной форме. Обратив в нуль все элементы первой строки и первого столбца кроме диагонального, мы можем проделать то же самое с оставшейся матрицей (n-1)-го порядка и т. д., пока матрица не будет приведена к диагональному виду. Этим путем можно привести матрицу к различным диагональным формам, т. е. диагональная форма не определена однозначно. В следующем пункте этого параграфа мы покажем, что нормальная диагональная форма данной $lambda$ — матрицы определяется уже однозначно.
Управление. Перевести $lambda$-матрицу $$ begin lambda — lambda_1 & 0 \ 0 & lambda — lambda_2 end, lambda_1 ≠ lambda_2, $$ к нормальной диагональной форме. Ответ $$ begin 1 & 0 \ 0 (lambda — lambda_1) (lambda — lambda_2). end.$$
2. В этом пункте мы докажем, что нормальная диагональная форма данной матрицы определена однозначно. Для этого мы построим систему многочленов, связанных с данной $ lambda$-матрицей, которые не меняются при элементарных преобразованиях и которыми, как мы увидим, нормальная диагональная форма $ lambda$-матрицы вполне определяется.
Пусть дана произвольная $ lambda$-матрица. Наибольший общий делитель всех миноров k-го порядка данной $ lambda$ — матрицы обозначим через $D_k (lambda).$ Так как наибольший общий делитель определен с точностью до постоянного множителя, то будем считать, ,то старший коэффициент у $D_k (lambda)$ равен единице. В частности, если общий наибольший делитель миноров k-го порядка равен постоянной, то мы полагаем $ D_k (lambda) =1. $
Докажем, что элементарные преобразования не меняют многочленов $D_k (lambda),$ т. е. что у эквивалентных $ lambda$-матриц многочлены $ D_k (lambda)$ совпадают.
Для элементарных преобразований вида 1°, переставляющих строки или столбцы, это очевидно, так как при них каждый минор k-го порядка либо вовсе не меняется, либо меняет знак, либо заменяется другим минором k-го порядка, что, конечно, не меняет общего наибольшего делителя всех таких миноров. Аналогично, не меняют $ D_k (lambda)$ элементарные преобразования вида 3°, так как при этих преобразованиях миноры самое большее умножаются на постоянное. Рассмотрим теперь элементарное преобразование вида 2°, например, прибавим к i-мц столбцу j-й, умноженный на $phi (lambda).$ При этом минор k-го порядка вовсе не изменится, если он содержит и i-й и j-й столбцы, либо если он не содержит ни одного из них.
В случае же, если минор содержит i-й столбец и не содержит j-го столбца, то его можно представить как комбинацию двух миноров, которые имелись у исходной матрицы. Таким образом, наибольший общий делитель миноров k-го порядка и в этом случае не изменится.
Если все миноры порядка $k,$ а следовательно, и более высоких порядков, матрицы $A(lambda)$ равны нулю, то мы будем считать $D_k +(lambda) = D_ (lambda) = . = D_n (lambda) = 0.$ Заметим, что из совпадения у всех эквивалентных матриц многочленов $ D_k (lambda)$ следует, что эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг.
Найдем многочлены $D_k (lambda)$ для матрицы, приведенной к нормальной диагональной форме:
Заметим, что у диагональной матрицы отличны от нуля только главные миноры, т. е. миноры, в которые входят строки и столбцы с одинаковыми номерами. Эти миноры имеют вид $ E_i, (lambda) E_ (lambda) . E_ (lambda).$
Так как $ E_2 (lambda)$ делится на $ E_1 (lambda), E_3 (lambda)$ делится на $E_2(lambda)$ и т. д.. , то наибольший общий делитель миноров первого порядка $D_1 (lambda)$ равен $E_1 (lambda).$ Так как все многочлены $E_k (lambda)$ делятся на $ E_1 (lambda),$ а все многочлены кроме $ E_1 (lambda)$ делятся на $ E_2 (lambda)$, то произведение $ E_i (lambda) E_j (lambda) ( i
Таким же образом для матрицы (4) $$ D_k (lambda) E_1 (lambda) E_2 (lambda) . E_k (lambda) (k = 1, 2, . n). qquad (6)$$
Очевидно, что если, начиная с некоторого $ r, E_ (lambda) = E_ (lambda) = . = E_n (lambda) = 0,$ то $ D_ (lambda) = D_ (lambda) = . = D_n (lambda) = 0.$ Отсюда получается, что для $lambda$-матрицы, имеющей нормальную диагональную форму (5), диагональны элементы $ E_k (lambda)$ вычисляются по формулам $$ E_k (lambda) = <over <D_(lambda)>>. $$
При этом, если $ D_ (lambda) = . = D_n (lambda) = 0,$ то надо положить $ E_ (lambda) = . = E_n (lambda) = 0.$
Многочлены $E_k (lambda)$ называются инвариантным множителями. В параграфе 20 мы уже определили их для матриц вида $A — lambda E.$
Теорема 2. Нормальная форма данной $lambda$-матррцы $A (lambda)$ определяется по ней однозначно. Если $ D_k (lambda) (k = 2, 3, . r)$-наибольший общий делитель миноров k-го порядка матрицы $ A (lambda), $ а $D_ (lambda) = . = D_n (lambda) = 0,$ то элементы нормальной диагональной формы определяются по формулам $$ E_k (lambda) = <over <D_(lambda)>> (k = 1, 2, . r), $$ а $$ E_ (lambda) = E_ (lambda) (lambda) = . = E_n (lambda) = 0.$$
Доказательство. Мы показали, что при элементарных преобразованиях многочлены $ D_k (lambda)$ не меняются. Поэтому, если матрица $A(lambda)$ эквивалентна диагональной нормальной матрице (5), то $D_k (lambda)$ у них совпадают. Так как для матрицы (5) мы получили, что $$ D_k (lambda) = E_1 (lambda) . E_k (lambda) (k = 1, 2, . r; r leqslant n)$$ и что $ D_ (lambda) = D_ (lambda) = . = D_n (lambda) = 0,$ то теорема доказана.
Следствие. Для того чтобы две $lambda$-матрицы $ A(lambda)$ и $ B(lambda)$ были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы для них совпадали многочлены $ D_1 (lambda), D_2 (lambda), . D_n (lambda).$
Действительно, если многочлены $ D_k (lambda)$ у $A(lambda)$ и $ B(lambda)$ совпадают, то эти матрицы эквивалентны одной и той же нормальной диагональной $ lambda$-матрице и, следовательно, эквивалентны между собой.
3. Назовем $lambda$-матрицу $P(lambda)$ обратимой, если матрица $ [P(lambda)^$ также есть $lambda$-матрица. Если $ Det P(lambda)$ равен постоянной, отличной от нуля, то $P(lambda)$ обратима. Действительно, элементы обратной матрицы равны минорам $(n-1)$-го порядка, деленным на $ Det P(lambda),$ т. е. в нашем случае они будут многочленами от $lambda$ и, значит, $ [P (lambda)]^ $ будет $ lambda$-матррцей. Обратно, если $ P(lambda)$ обратима, то $ Det P(lambda) = const ≠ 0.$ В самом деле, пусть $ [P(lambda)]^ = P_1 (lambda).$ Тогда $ Det P (lambda) Det P_1 (lambda) = 1,$ а произведение двух многочленов может быть тождественно равно единице лишь в том случае, если многочлены суть отличные от нуля постоянные. Таким образом, мы показали, что $lambda$-матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель есть постоянная, отличная от нуля.
Все обратимые матрицы эквивалентны единичной матрице. В самом деле, определитель обратимой матрицы равен постоянной, отличной от нуля, и, значит, $D_n (lambda) = 1.$ Так как $ D_n (lambda)$ делится на $ D_k (lambda)$, то и $ D_k (lambda) = 1 (k = 1, 2, . n).$ Поэтому все инвариантные множители $ E_k (lambda)$ обратимой матрицы равны 1, и нормальная диагональная форма для них будет совпадать с единичной матрицей.
Теорема 3. Для того чтобы $lambda$-матрицы $A (lambda)$ и $B (lambda)$ были эквивалентны между собой, необходимо и достаточно, чтобы существовали обратимые $lambda$-матрицы $ P(lambda)$ и $ Q(lambda)$ такие, что $$ A(lambda) = P (lambda) B (lambda) Q (lambda). qquad qquad (7)$$
Доказательство. Докажем сначала, что если матрицы $ A (lambda)$ и $ B(lambda)$ эквивалентны, то можно подобрать обратимые матрицы $ P(lambda)$ и $ Q(lambda)$ так, чтобы выполнялось равенство (6). Для этого заметим, что каждое элементарное преобразование $ lambda$-матрицы $ A (lambda)$ можно осуществить, умножая $ A(lambda)$ слева или справа на некоторую обратимую $ lambda$- матрицу — матрицу этого элементарного преобразования.
Покажем, что это для всех трёх типов элементарных преобразований. Пусть дана $ lambda$-матрица $$ A(lambda) = begin a_ (lambda) a_ (lambda) . a_ (lambda) \ a_ (lambda) a_ (lambda) . a_ (lambda) \ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \ a_ (lambda) a_ (lambda) . a_ (lambda) end. $$ Чтобы поменять местами, например, первый и второй столбцы (соответственно строки) этой матрицы, надо умножить $ A(lambda)$ справа (соответственно слева) на матрицу $$ begin 0 $ 1 & 0 . 0 \ 1 & 0 & 0 . 0 \ 0 & 0 & 1 . 0 \ cdots & cdots & cdots \ 0 & 0 & 0 . 1 end, qquad qquad (8)$$ полученную из единичной перестановкой тех же столбцов (или, что все равно, строк).
Чтобы умножить второй столбец матрицы $ A (lambda)$ на число $ alpha$, нужно умножить $ A (lambda)$ справа (соответственно слева) на матрицу $$ begin 1 & 0 & 0 . 0 \ 0 & alpha & 0 . 0 \ 0 & 0 & 1 . 0 \ cdots & cdots & cdots 0 & 0 & 0 . 1 end, qquad (9)$$ полученную из единичной также умножением на $ alpha$ второго столбца (строки).
Наконец, чтобы прибавить к первому столбцу $A (lambda)$ второй, умноженный на $ phi (lambda)$, надо умножить $ A (lambda)$ справа на матрицу $$ begin 1 & 0 & 0 . 0 \ phi (lambda) & 1 & 0 . 0 \ 0 & 0 & 1 . 0 \ cdots & cdots & cdots \ 0 & 0 & 0 & 1 end, qquad qquad (10)$$ полученную с помощью той же операции из единичной, а чтобы прибавить к первой строке вторую, умноженную на $ phi (lambda),$ нужно умножить $ A (lambda)$ слева на матрицу $$ begin 1 & phi (lambda) & 0 . 0 \ 0 & 1 & 0 . 0 \ 0 & 0 & 1 . 0 \ cdots & cdots cdots \ 0 & 0 & 0 . 1 end, qquad qquad (11)$$ которая также получается из единичной с помощью соответствующего элементарного преобразования.
Мы видим, таким образом, что матрицы элементарных преобразований — это матрицы, полученные одним элементарным преобразованием из $ E,$ причем, чтобы произвести элементарное преобразование над столбцами, $ A(lambda)$ надо умножать на матрицу преобразования справа, а чтобы преобразовать строки, $ A (lambda)$ умножать на матрицу слева.
Можно сосчитать определитель каждой из приведенных матриц и, таким образом, проверить, что он равен отличной от нуля постоянной; следовательно, все эти матрицы обратимы. Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей, то и произведение матриц элементарных преобразований есть обратимая матрица.
Так как мы предположили, что $ A (lambda)$ и $ B(lambda)$ эквивалентны, то $ A (lambda)$ можно получить, применяя к $ B(lambda)$ некоторую цепочку преобразований. Каждое элементарное преобразование можно осуществить, умножая $ B(lambda)$ на обратимую $ lambda$-матрицу; следовательно, весь переход от $ B(lambda)$ к $ A (lambda)$ можно получить, умножая $ B(lambda)$ последовательно на некоторую совокупность обратимых $ lambda$-матриц слева и справа. Так как произведение обратимых матриц также есть обратимая матрица, то первая часть теоремы тем самым доказана.
Отсюда следует, что всякая обратимая матрица есть произведение матриц элементарных преобразований. Действительно, всякая обратимая матрица $ Q (lambda)$ эквивалентна единичной матрице и поэтому может быть представлена в виде $$ Q (lambda) = P_1 (lambda) EP_2 (lambda),$$ где $ P_1 (lambda) $ и $ P_2 (lambda)$ — произведения элементарных преобразований. Но это значит, что и сама $ Q (lambda) = P_1 (lambda) P_2 (lambda)$ есть произведение матриц элементарных преобразований.
Этим замечанием можно воспользоваться для доказательства второй половины теоремы. Действительно, пусть дано, что $$ A(lambda) = P (lambda) B(lambda) Q (lambda),$$ где $ P(lambda)$ и $Q (lambda)$ обратимы. Но, согласно только что сделанному замечанию, умножение слева на $ P(lambda)$ и справа на $ Q (lambda)$ эквивалентно некоторой совокупности элементарных преобразований, произведенных над $ B (lambda).$ Таким образом, $ A (lambda)$ эквивалентна $ B(lambda),$ что и требовалось доказать.
4. В этом пункте мы будем заниматься $ lambda$-матрицами вида $ A — lambda E,$ где $ A$-постоянная матрица. Основной вопрос, который будет решен, это вопрос об эквивалентности $ lambda$-матриц первой степени $ A — lambda E$ и $ B — lambda E).$
Легко видеть, что если матрицы $ A$ и $ B$ подобны, т. е. существует такая невырожденная постоянная матрица $ C,$ что $ B = C^ AC,$ то $ lambda$-матрицы $ A — lambda E$ и $ B — lambda E$ эквивалентны. Действительно, если $$ B = C^ AC,$$ то $$ B — lambda E = C^ (A — lambda E) C.$$
Так как постоянная невырожденная матрица есть частный случай обратимой $ lambda$-матрицы, то, по теореме 3, этого равенства следует эквивалентность $ A — lambda E$ и $ B — lambda E.$
Мы покажем позднее и обратное, что из эквивалентности $ lambda$-матриц $ A — lambda E$ и $ B — lambda E$ следует подобие матриц $ A$ и $ B.$ Отсюда мы получим, в частности, новое доказательство того, что всякая матрица подобна матрице, имеющей нормальную жорданову форму.
Доказательству предпошлем лемму: Лемма. Произвольную $ lambda$-матрицу $$ P(lambda) = P_0 lambda^n + P_1 lambda^ + . + P_n $$ можно разделить слева на матрицу вида $ A — lambda E$ (где $A$-любая постоянная матрица), т. е. можно найти такие матрицы $ S (lambda)$ и $ R (R$ постоянна), что, $$ P (lambda) = (A — lambda E) S (lambda) + R. $$
Процесс деления, с помощью которого доказывается лемма, отличается от обычного деления многочленов только тем, что при умножении нельзя изменять порядок сомножителей. Пусть $$ P (lambda) = P_0 lambda^n + P_1 lambda^ + . + P_n, $$ где $ P_k$ — постоянные матрицы. Легко видеть, что $ lambda$-матрица $$ P (lambda) + (A — lambda E) P_0 lambda^ $$ будет иметь степень выше $ n-1$.
Если $$ P(lambda) + (A — lambda E) P_0 lambda^ = P_0′ lambda^ + . + P_’, $$ то аналогично многочлен $$ P(lambda) + (A — lambda E) P_0 lambda^ + (A — lambda E) P_0′ lambda^$$ есть многочлен степени не выше $n-2.$ Продолжая этот процесс, мы придем к многочлену $$ P(lambda) + (A — lambda E) ( P_0 lambda^ + P_0′ lambda^ + P_0′ lambda^ + . ) $$ степени не выше нулевой, т. е. не зависящую от $ lambda.$ Обозначив полученную постоянную матрицу через $ R,$ мы получим $$ P(lambda) = (A — lambda E) [- P_0 lambda^ — P_0′ lambda^ + . ] + R.$$ Если теперь обозначить многочлен в квадратных скобках через $ S (lambda)$, то мы будем иметь $$ P(lambda) = (A — lambda E) S (lambda) + R,$$ т. е. лемма доказана.
Аналогично доказывается возможность деления справа, т. е. существование матриц $ S_1 (lambda)$ и $ R_1$ таких, что $$ P(lambda) = S_1 (lambda) (A — lambda E) + R_1.$$ Заметим кстати, что здесь, как и в обычной теореме Безу, можно утверждать, что $$ R = R_1 = P(A).$$
Теорема 4. Для того чтобы $ lambda$-матрицы $ A — lambda E$ и $ B — lambda E$ были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы матрицы $A$ и $ B$ были подобны.
Доказательство. Достаточность была доказана в начале этого пункта. Докажем необходимость. Нам надо доказать, что если $ lambda$-матрицы $ A — lambda E$ и $ B — lambda E$ эквивалентны, то матрицы $ A $ и $ B$ подобны. Существует такие обратимые $ lambda$-матрицы $ P(lambda)$ и $ Q(lambda)$, что $$ B — lambda E = P(lambda) (A — lambda E) Q (lambda). qquad qquad (12)$$
Покажем сначала, что в равенстве (12) $ P(lambda) $ и $ Q (lambda)$ можно заменить постоянными матрицами.
С этой целью разделим $ P(lambda)$ на $B — lambda E$ слева, $ Q (lambda)$-справа. Мы получим равенства $$ P (lambda) = (B — lambda E) P_1 (lambda) + P_0, \ Q (lambda) = Q_1 (lambda) (B — lambda E) + Q_0, qquad qquad (13)$$ где $ P_0$ и $ Q_0$ — постоянные матрицы.
Подставив в формулу (12) выражение для $ P (lambda)$ и произведем умножение. Мы получим: $$ B — lambda E = (B — lambda E) P_1 (lambda) (A — lambda E) Q (lambda) + P_0 (A — lambda E) Q (lambda).$$ Во второе слагаемое подставим выражение для $ Q(lambda),$ произведем умножение и перенесем слагаемое $ P_0 (A — lambda E) Q_0$ в левую часть равенства. Мы получим: $$ B — lambda E — P_0 (A — lambda E) Q_0 = K (lambda), qquad (14)$$
где $$ K (lambda) = (B — lambda E) P_1 (lambda) (A — lambda E) Q (lambda) + \ + P_0 (A — lambda E) Q_1 (lambda) (B — lambda E). qquad (15)$$
Из равенства (13) следует, что $P_0 = P(lambda) — (B — lambda E) P_1 (lambda).$ Заменив этим выражением $ P_0$ во втором слагаемом, получим $$ K (lambda) = (B — lambda E) P_1 (lambda) (A — lambda E) Q (lambda) + \ + P(lambda) (A — lambda E) Q_1 (lambda) (B — lambda E) — \ — (B — lambda E) P_1 (lambda) (A — lambda E) Q_1 (lambda) (B — lambda E). qquad (16)$$ Но из равенства (12) мы имеем $$ (A — lambda E) Q (lambda) = P^ (lbda) (B — lambda E), \ P(lambda) (A — lambda E) = (B — lambda E) Q^ (lambda).$$ Пользуясь этими равенства и, мы можем ввести множитель $ B — lbda E$ в конец первого и начало второго слагаемого в выражении для $ K (lbda),$ после чего получим окончательно $$ K (lambda) = (B — lambda E) [P_1 (lambda) P^ (lambda) + Q^ (lambda) Q_1 (lambda)- \ — P_1 (lambda) (A — lambda E) Q_1 (lambda)] (B — lambda E).$$ Докажем теперь, что $ K (lambda) = 0.$ Выражение в квадратных скобках, в силу обратимости $ P(lambda)$ и $ Q(lambda)$, есть многочлен относительно $ lambda.$ Докажем, что он равен нулю. Предположим, что этот многочлен отличен от нуля и имеет степень $m.$ Нетрудно убедиться тогда, что $ K (lambda)$ имеет степень $ m+2$ и так как $ m >geqslant 0,$ является многочленом не ниже второй степени. Далее следует, что $ K(lambda)$ не выше первой степени. Следовательно, выражение в квадратных скобках, а значит, и $ K (lambda) = 0.$ Мы получили таким образом, что $$ B — lambda E = P_0 (A — lambda E) Q_0, qquad qquad (17)$$ где $ P_0$ и $ Q_0$-постоянные матрицы, т. е. в равенстве (12) можно матрицы $ P(lambda), Q(lambda)$ заменить постоянными матрицами.
Сравнивая коэффициенты при первой степени $ lambda$ в обеих частях равенства (17), мы получаем $$ P_0 Q_0 = E,$$ откуда следует невырожденность каждой из матриц $ P_0$ и $ Q_0$ и равенство $$ P_0 = Q_0^.$$
Сравнение свободных членов даёт $$ B = P_0 AQ_0 = Q_0^ AQ_0,$$ т. е. $B$ и $A$ подобны. Теорема доказана.
Так как условием эквивалентности $ A -lambda E$ и $ B — lambda E$ служит совпадение их инвариантных множителей, то из доказанной теоремы следует, что, для того чтобы матрицы $A$ и $B$ были подобны, необходимо и достаточно, чтобы инвариантные множители у $ A-lambda E$ и $ B — lambda E$ совпадали между собой. Покажем теперь, что всякая матрица $ A$ подобна матрицей, имеющей жорданову нормальную форму.
Для этого рассмотрим матрицу $ A — lambda E$ и найдем ее инвариантные множители. По этим инвариантным множителям построим матрицу $ B$, имеющую жорданову нормальную форму. Тогда $ B — lambda E$ имеет те же инвариантные множители, что и $ A — lambda E,$ и, значит, $ B$ подобно $A.$
🎥 Видео
Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать
Общее, частное, базисное решение системы линейных уравнений Метод ГауссаСкачать
ФСР системы линейных уравнений. Алгоритм ГауссаСкачать
МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать
Фундаментальная система решений для однородной системы линейных уравненийСкачать
Фундаментальная система решений системы линейных уравнений ФСР СЛАУСкачать
Линейная алгебра, Матрицы: Метод Гаусса. Высшая математикаСкачать
