Математическая модель, описывающая процессы, подобные развитию эпидемии называется уравнением Ферхюльста, или логистическим уравнением. Уравнение описывает увеличение некоторой популяции в присутствии ограничения ее максимума. Популяция (например, количество заболевших) в начале эпидемии увеличивается экспоненциально, но количество заболевших ограничено численностью населения и постепенно рост замедляется. Кривая, иллюстрирующая этот процесс называется логистической. 
К сожалению, статистические данные о заболеваемости и смертности неоднородны и не всегда достоверны. Это связано с разным развитием медицины по странам и отсутствием общих стандартов в том, кто является заболевшим и, даже, причины смерти. Например, в Италии, если скончался зараженный человек, то в статистике определяется смерть от коронавируса. А в Германии (и в России) чаще диагностируют смерть от обострившегося хронического заболевания. Поэтому в Италии смертность (4032/47021) = 8.6%, а в Германии всего (45/18323) = 0.25% от количества заболевших. В каких-то странах проводят массовое тестирование жителей и включают в статистику даже бессимптомных вирусоносителей, в других странах диагностируют только тяжелых больных, да и то не всегда.
Графики официальной статистики по странам можно изучить на сайтах https://observablehq.com/@elaval/coronavirus-worldwide-evolution
http://shinyapps.org/apps/corona/
Хорошую статистику дает паром Diamond Princess.
3500 человек на борту (большинство — пенсионеры).
712 заразившихся, из них 362 бессимптомно.
7 смертных случаев.
Почему 80% не заразилось, неизвестно. Возможно, некоторые люди этой инфекцией совсем не заражаются, но это не точно…
Из выступления Генерального директора ВОЗ от 17.02.2020.
«У более 80% пациентов болезнь протекает в легкой форме и заканчивается полным выздоровлением.
Примерно в 14% случаев течение болезни тяжелое и сопровождается, в частности, пневмонией и одышкой.
И, наконец, у порядка 5% пациентов развивается опасное для жизни заболевание, сопровождающееся такими проявлениями, как респираторная недостаточность, септический шок и полиорганная недостаточность.
В 2% случаев заражение вирусом приводит к смерти, причем этот риск возрастает пропорционально возрасту пациента. „
Возможно, что Гендиректор ВОЗ совсем не учел бессимптомных инфицированных, поэтому делим все пополам.
Итак, на 100% инфицированных:
90% бессимптомно, или в легкой форме;
10% — требуется госпитализация, из них:
2.5% — тяжелые, требуется реанимация (наверное, искусственная вентиляция легких?);
1% — смертность.
Точное решение логистического уравнения:
N=M*EXP(r*t)/(1+EXP(r*t)); где
N — размер популяции в момент t;
M — максимальный размер популяции;
r — скорость роста популяции, увеличение за день (проценты/100);
t — текущее время в днях, отсчитывается от середины логистической кривой.
Для определения времени:
t=(1/r)*LN(N/(M-N));
Простота использования логистического уравнения заключается в том, что для его решения нужно всего 2 параметра — максимальный размер популяции и скорость ее роста.
Для примера посчитаем смертность в Италии. Население Италии — 60 млн. человек. Будем считать, что вирусом заразятся половина населения, 30 млн. Увы, 1%, 300 тыс. из них могут погибнуть. В настоящее время умерло 4032 человека, скорость роста процесса — 15% в день. Число заболевших в Италии в начале эпидемии увеличивалось на 25% в день, сейчас, при карантине, 13%. Смертность отстает от количества заболевших, умирают через 11 дней после заражения, так что считаем, что и смертность упадет до 13%.
r=0.13; N=4032; M=300000.
Ответ пугает. t=33. Через 33 дня в Италии могут умереть от вируса 150 тысяч человек. В это время будут умирать до 9700 человек в день.
Если бы карантина не было, скорость распространения осталась бы 25%, максимум был бы достигнут на 17 день, ежедневная смертность в максимуме — 18650 человек. Карантин сдвигает процесс и уменьшает максимум. Справится ли итальянская медицина?
Но вместо закрытия промышленности, вместо полного карантина есть более элегантное решение.
По данным Высшего института здоровья Италии почти 90% умерших в Италии старше 70 лет. Изолируем эту группу населения, благо туристических отелей в Италии предостаточно. Полный и строгий карантин. Смертность падает в 10 раз. Серьезные случаи болезни тоже. Даже, если отменить для остальных карантинные мероприятия, умрет уже в 10 раз меньше людей.
При r=0.2; M=30000, максимум будет достигнут через 28 дней. Максимальное количество новых смертей в день — 1495.
Если также изолировать и более молодых с опасными заболеваниями, количество смертей можно еще уменьшить. Наиболее распространенные хронические патологии у умерших:
ишемическая кардиопатия — 37,3%
мерцательная аритмия — 26.5%
перенесенный инсульт — 8,2%
артериальная гипертензия — 76,5%
сахарный диабет — 37,3%
деменция — 4,5%
хроническая обструктивная болезнь легких — 9,7%
рак, активный в течение последних 5 лет — 19,4%
хроническая гепатопатия — 7%
хроническая почечная недостаточность — 17,5%
Количество заболевших коронавирусом в России увеличивается более чем на 25% ежедневно. Это означает в 10 раз за 10 дней, в 1000 раз за месяц. С такими темпами через месяц у нас будут сотни тысяч больных. Самые строгие карантинные мероприятия смогут снизить темпы ежедневного роста заболеваемости вдвое, до 13% (на примере Италии). Карантинные меры обрушивают экономику и не достигают поставленной задачи — снизить нагрузку на медицину до приемлемого уровня.
Между тем, имеется эффективное решение проблемы.
90% тяжелых больных и смертельных исходов наблюдается у лиц, старше 70 лет. Строгий карантин для пожилых людей и хронических больных. Для этого надо задействовать пансионаты и дома отдыха. Установить строгий режим, персонал не должен быть местным и также не должен покидать карантин. Карантины должны охраняться Росгвардией. Первые две недели карантины должны быть индивидуальными.
Для остальных жителей России карантин может быть снят, или ослаблен.
Таблица прогноза сроков и максимального количества тяжелых больных.
| Дней до максимума эпидемии | Максимально тяжелых случаев за этот день | |
| Существующее положение | 39 | 108800 |
| Карантин | 65 | 65500 |
| Изоляция пожилых без общего карантина | 37 | 8700 |
Времени нет. Если оставить все как есть, к началу мая мы будем иметь сотни тысяч только тяжелых больных, нуждающихся в реанимации.Ежедневно будет поступать 100000 новых. Общий карантин растянет эти сроки вдвое и вдвое снизит приток больных.
Изоляция группы риска снизит количество тяжелых больных и смертей в 10 раз.
Хотелось бы донести эту информацию до властей.
Дифференциальные модели в экономике, биологии и медицине
В этом параграфе мы разберем несколько классических моделей, предложенных за последние 200 лет в различных областях науки: экономике, биологии и медицине. Общим при построении этих моделей является использование дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, которые несложно решить, прочитав §59 данного справочника.
п.1. Экономика. Равновесная цена в модели Вальраса
Начальные сведения о модели рыночного равновесия, кривых спроса и предложения – см. §18 справочника для 9 класса.
Рассмотрим поведение рыночной цены при небольшом отклонении от точки равновесия по методу, предложенному Леоном Вальрасом (1874 г.)
Пусть p — цена товара, D(p) — спрос на него, S(p) — предложение.
Пусть спрос и предложение на рынке уравновешены, равновесная цена равна (p_0).
Если спрос начнет немного превышать предложение, то цена начнет расти: $$ frac
=0, D(p_0)-S(p_0)=0 $$ Разложим каждую из функций с помощью дифференциала (см. §52 данного справочника) с точностью до линейного множителя: begin D(p)approx D(p_0)+D'(p_0)(p-p_0)\ S(p)approx S(p_0)+S'(p_0)(p-p_0) end Тогда разность спроса и предложения: begin D(p)-S(p)approx D(p_0)+D'(p_0)(p-p_0)-S(p_0)-S'(p_0)(p-p_0)=\ =underbrace_+left(D'(p_0)-S'(p_0)right)(p-p_0)=left(D'(p_0)-S'(p_0)right)(p-p_0) end Получаем уравнение с разделяющимися переменными: begin frac
Например:
Пусть (D(p)=9-frac
, S(p)=frac
)
(sqrt=y’x) — ДУ первого порядка первой степени
Тогда равновесная цена (9-frac
=frac
Rightarrow frac
=9Rightarrow p_0^2=36Rightarrow p_0=6) 
Значения производных: begin D'(p)=0-frac=-frac p3, D'(p_0)=-2\ S'(p)=frac, S'(p_0)=1 end Изменение цены со временем в этом случае: $$ p(t)=6+(p(0)-6)e^=6+(p(0)-6)e^ $$ Построим графики для трех различных цен в начальный момент времени: $$ p(0)=left $$ (p(0)=5: p(t)=6-e^)
(p(0)=7: p(t)=6+e^)
(p(0)=9: p(t)=6+3e^)
Все три кривые постепенно сходятся к равновесной цене (p_0=6).
Устойчивое схождение к (p_0) будет наблюдаться только при условии: $$ D'(p_0)-S'(p_0)lt 0 $$ Т.е кривая спроса должна быть более крутой в своем спуске, чем кривая предложения на подъеме. Говорят, что эластичность спроса по цене в точке равновесия должна быть выше, чем эластичность предложения по цене.
Если степень при экспоненте будет положительной, (D'(p_0)-S'(p_0)gt 0) решение уходит на бесконечность. Говорят, что такое решение неустойчиво.
Если степень при экспоненте будет равна нулю, (D'(p_0)-S'(p_0)=0), цена не будет меняться и останется неравновесной.
п.2. Биология. Логистическое уравнение Ферхюльста для роста популяции
Пусть (P(t)) – численность популяции. Построим модель её изменения со временем.
Логично предположить, что прирост потомства в популяции пропорционален количеству особей, из чего получаем:
| Закон Мальтуса (1798 г.): $$ frac |
Решением этого уравнения будет (P(t)=P_0e^
| Закон Ферхюльста (1838 г.): $$ frac (K)- максимальный размер популяции в условиях ограниченных ресурсов. |
| Решение уравнения Ферхюльста (логистическая кривая): $$ P(t)=frac<KP_0e^ |
Например:
Пусть популяция растет со скоростью (r=0,1) тыс/год
Начальное количество особей (P_0=1) тыс
Максимальное количество, которое способна прокормить данная территория, (K=10) тыс 
Модель показывает, что через 70 лет популяция займет всю нишу, и её рост фактически прекратится.
На начальном этапе преобладает r-стратегия: бурное размножение и короткая продолжительность жизни.
Исчерпание ресурсов заставляет переходить на K-стратегию: низкий темп размножения и долгую жизнь.
Экспериментально рост популяции по кривой Ферхюльста был подтвержден в лабораторных условиях для мух-дрозофил. В естественных условиях для животных – и тем более, в рамках социума для людей – закономерность нарушается.
п.3. Медицина. Модель развития эпидемии SIR
Традиционной моделью, описывающей процесс развития эпидемии, является модель SIR (Susceptible/Infected/Recovered), предложенная У. Кермаком и А. Маккендриком в 1927 г.
Вся популяция в модели делится на три группы:
- (S(t))— восприимчивые к инфекции, здоровые на момент времени (t);
- (I(t))— уже инфицированные;
- (R(t))— выздоровевшие, больше невосприимчивые к инфекции.
Популяция считается постоянной, т.е. (N=S(t)+I(t)+R(t)=const).
Рождаемость и смертность не учитывается.
Получаем следующую систему дифференциальных уравнений: $$ begin frac
Начальные условия в момент времени (t=0): $$ S(0)=S_0geq 0, I(0)=I_0geq 0, R(0)=R_0geq 0 $$ Переход из одной группы в другую можно изобразить линейной схемой:
| № | Переход одного человека из одной группы в другую | Скорость перехода |
| 1 | $$ (S;I)rightarrow (S-1; I+1) $$ | $$ betafrac $$ |
| 2 | $$ (I;R)rightarrow (I-1; R+1) $$ | $$ gamma I $$ |
Полученная система уравнений не является линейной и не имеет точного аналитического решения. Но её можно решить с использованием численных методов.
$$ begin frac=-betafrac\ frac=betafrac-gamma I(t)\ frac=gamma I(t) end $$ Считаем (triangle t=1) – следующий шаг итерации. Тогда: $$ begin S_-S_i=-betafrac\ I_-I_i=betafrac<S_I_i>-gamma I_i\ R_-R_i=gamma I_ end $$ Получаем следующий итеративный процесс: $$ begin S_=left(1-betafracright)S_i\ I_=left(1+betafrac<S_>-gamma right)I_i\ R_=gamma I_+R_i end $$ Знаний по информатике вам должно хватить, чтобы написать небольшой скрипт с циклом для этих уравнений и построить график.
Например:
Пусть общее количество населения N=10 тыс.чел.
В начальный момент инфицирован 1% населения: $$ S(0)=0,99N, I(0)=0,01N, R(0)=0 $$ Параметры: (beta=0,128; gamma=0,096) в расчете на день (эти параметры были рассчитаны по фактическим данным для лихорадки Эбола в Сьерра-Леоне).
Результат моделирования в MATLAB: 
Красная кривая – это количество болеющих в данный момент. Как мы видим, к концу года она стремится к 0. Пик приходится на 70-80 дней с начала эпидемии и составляет 413 чел. или 4,13% населения.
Зеленая кривая – количество переболевших, к концу года выходит на асимптоту в 4700 чел. или 47,0% населения.
Синяя кривая – количество так и не заболевших, к концу года спускается на асимптоту в 5300 чел. или 53,0% населения.
Чем больше больных у вас будет в начале эпидемии и чем больше параметр (beta), тем выше будет пик (I_) для болеющих. Также, количество переболевших в конце эпидемии будет больше количества не заболевших.
Модель SIR – это начальный этап для исследований. На практике для моделирования эпидемий могут использоваться модели с десятками переходов и параметров, с постепенным усложнением по мере накопления данных.
Логистическое уравнение
Рассмотрим простое уравнение, применяемое для исследования роста численности популяции бактерий, животных и даже людей. Первую модель динамики роста населения Земли создал Мальтус. Он предположил, что скорость изменения численности населения 
определяется самой численностью населения 
в этот момент времени и коэффициентами рождаемости 
и смертности 
:
.
Здесь 
. Если рождаемость превышает смертность, то 
. Если смертность больше, чем рождаемость, 
. Это уравнение легко решается. При численность населения неограниченно возрастает по экспоненциальному закону 
. При численность населения убывает и стремится к нулю по тому же закону 
. Исходя из этой модели Мальтус сделал вывод о скором перенаселении Земли.
В то же время давно было замечено, что в популяциях животных экологическая система стабилизируется, т. е. численность животных через некоторое время перестает изменяться. Это обстоятельство толкнуло Ферхюльста в 1838 г. усовершенствовать модель Мальтуса и предложить логистическую модель:
.
Здесь 
– емкость среды или предельная численность, которой может достичь популяция. Решением этого уравнения будет функция
,
где 
– численность популяции в начальный момент времени 
.
Это решение при малых временах ведет себя так же, как решение Мальтуса, но на больших временах стремится к . Таким образом, возникает устойчивое состояние популяции при 
. Это состояние может изменяться под действием климатических условий или конкуренции других популяций за кормовую базу. При этом в уравнении будут изменяться коэффициенты и 
. Если имеется две популяции, которые конкурируют за емкость среды, то необходимо решать два логистических уравнения, коэффициенты в которых связаны друг с другом (например, 
). В этом случае логистические уравнения позволяют рассчитать условия сосуществования двух популяций или гибели одной из них.
Логистические уравнения имеют достаточно простой вид, но приводят к большому разнообразию решений. Они описывают разнообразные явления не только в экологии. При помощи этих уравнений моделируются рост колонии дрожжевых грибов, динамика основных видов энергетических ресурсов, динамика распространения компьютеров на японском рынке, динамика построения метрополитена в разных городах мира и даже число людей, убитых «Красными бригадами» в Италии.
В заключение отметим, что логистическое уравнение является наиболее простым и активно используется в синергетике. Существует множество моделей, гораздо более сложных, которые предсказывают нетривиальное поведение открытых систем вдали от термодинамического равновесия.
Литература
Кудрявцев П.С. Курс истории физики. – М.: Просвещение, 1982. – 447 с.
Нараянамурти В. Кристаллические полупроводниковые гетероструктуры // Физика за рубежом. – М.: Мир, 1986. – С. 100–121.
Пригожин И., Кондепуди Д. Современная термодинамика. – М.: Мир, 2002. – 461 с.
Кикоин А.К., Кикоин И.К. Молекулярная физика. – М.: Наука, 1976. – 480 с.
Трубецков Д.И. Введение в синергетику. Хаос и структуры. – М., 2004. – 235 с.