Логико математический анализ понятия квадратное уравнение

Логико-дидактический анализ содержания темы «Квадратные уравнения»

Видео:Квадратное уравнение. 8 класс.Скачать

Скачать:

Видео:Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать

Предварительный просмотр:

Логико-дидактический анализ содержания темы

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Тема «Квадратные уравнения» изучается во втором полугодии 8 класса. К изучению этой темы учащиеся приступают, уже накопив определенный опыт, владея достаточно большим запасом алгебраических и общематематических представлений, понятий, умений. Основная цель – выработать умения решать квадратные уравнения и простейшие рациональные уравнения и применять их к решению задач. Знать, что такое квадратное уравнение, неполное квадратное уравнение, приведенное квадратное уравнение; формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения, терему Виета и обратную ей; какие уравнения называются дробно-рациональными, какие бывают способы решения уравнений, понимать, что уравнение – это математический аппарат решения разнообразных задач математики, смежных областей знаний, практики.

В изучение этой темы включены:

1. Основные понятия (определение квадратного уравнения полного (приведённого), неполного квадратного уравнения).
2. Обзор известных способов решения квадратных уравнений
3. Формула корней квадратного уравнения
4. Решение задач с помощью квадратных уравнений
5. Теорема Виета
6. Решение дробных рациональных уравнений
7. Решение задач с помощью рациональных уравнений

Весь курс по теме «Квадратные уравнения» строится в систематическом порядке. Степень сложности упражнений и их решения постепенно усиливается. Каждый параграф содержит примеры с подробным решением, которые являются либо опорой для введения теоретического материала, либо образцами применения теории. А также есть условные обозначения в каждой теме для запоминания и материал, который важно знать.

Ожидаемые результаты – ученики должны уметь распознавать квадратные уравнения и виды квадратных уравнений, проводить исследование на предмет количества корней квадратного уравнения по дискриминанту и коэффициентам, применять формулы корней для решения квадратных уравнений. Проводить доказательные рассуждения о корнях уравнения с опорой на определение корня, функциональные свойства выражений.

Решать квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним; решать дробно-рациональные уравнения. Решать текстовые задачи алгебраическим способом: переходить от словесной формулировки задачи к алгебраической модели путем составления уравнения, решать составленное уравнение, интерпретировать результат.

2. Логико-дидактический анализ материала темы

При проведении логико-дидактического анализа выделены особенности структурного построения и методического изложения материала учебника, определено представление задачного материала. На основании данного анализа сделаны выводы.

Результаты логико-дидактического анализа учебного материала представлены в таблице 1.

Результаты логико-дидактического анализа учебного материала

темы «Квадратные уравнения»

Компоненты анализа учебника

Алгебра 8 (часть 1 учебник, часть 2 задачник)

материал в учебнике по данной теме представлен в четвертой главе в § 24, 25, 26, 27.

упражнения в задачнике по данной теме представлены в четвертой главе в § 24, 25, 26, 27.

структура наименьшей части

Представление задачного материала

Задачный материал разбит на следующие основные блоки в соответствии с теоретическим материалом

1. Отработка основных понятий связанных с квадратными уравнениями;
2. Неполные квадратные уравнения
3. Полные квадратные уравнения (Алгоритм решения квадратного уравнения по формуле)
4. Рациональные уравнения (Алгоритм решения рационального уравнения; решение рациональных уравнений методом введения новой переменной; биквадратные уравнения)
5. Текстовые задачи решаемые с помощь рациональных уравнений.

представление текста задачи

Во всех параграфах упражнения сгруппированы по двум блокам. Первый – до черты – содержит задания двух базовых уровней: устные (полуустные) и задания среднего уровня сложности (слева от номеров таких заданий поставлен значок «○»). Второй блок – после черты – содержит задания уровнем выше среднего и задания повышенной сложности (слева от номеров таких заданий поставлен значок «●»).

Другие структурные особенности

При изложении материала используются: Определения, теоремы, подробно разобраны примеры, замечания по решению примеров и задач, алгоритмы решения уравнений, вопросы для самопроверки, в конце каждой главы прописаны основные результаты и темы исследовательских работ.

Теоретический материал рассматривается в первой части комплекта учебнике. Стиль изложения доступный, во многом расцвеченный непривычными для математической лексики оборотами. В то же время выделяются основные этапы рассуждений с фиксацией внимания читателя на них. Практические задания представлены во второй части комплекта задачнике. В конце каждой главы домашняя контрольная работы.

использование цвета, особых выделений главного

В учебнике используются на полях значки-символы. Цель введения символов состоит в том, чтобы помочь учащимся усвоить и закрепить учебный материал, побудить учителей к воспитанию у школьников навыков быстрой ориентации в изучаемом материале, помочь родителям правильно проконтролировать знания детей. Материал для запоминания выделен жирным шрифтом.

Имеются рисунки и чертежи для наглядного представления теоретического и задачного материала.

Задачи на повторение расположены только в конце учебника. Хорошая подборка задач на повторение.

Доступно излагается теоретический материал. Много заданий на отработку материала.

Материал представлен в двух книгах.

Анализ дидактической единицы темы

С точки зрения логики:

– в теме представлены понятия: Квадратное уравнение. Формула корней квадратного уравнения. Решение рациональных уравнений. Решение задач, приводящих к квадратным уравнениям и простейшим рациональным уравнениям.

Основная цель – выработать умения решать квадратные уравнения и простейшие рациональные уравнения и применять их к решению задач.

В начале темы приводятся примеры решения неполных квадратных уравнений. Этот материал систематизируется. Рассматриваются алгоритмы решения неполных квадратных уравнений различного вида.

Основное внимание следует уделить решению уравнений вида ах 2 + bх + с = 0, где а ≠ 0, с использованием формулы корней. В данной теме учащиеся знакомятся с формулами Виета, выражающими связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Они используются в дальнейшем при доказательстве теоремы о разложении квадратного трехчлена на линейные множители.

Учащиеся овладевают способом решения дробных рациональных уравнений, который состоит в том, что решение таких уравнений сводится к решению соответствующих целых уравнений с последующим исключением посторонних корней.

Изучение данной темы позволяет существенно расширить аппарат уравнений, используемых для решения текстовых задач.

– алгоритмов в теме «Квадратные уравнения»:

1. Алгоритм решения неполных квадратных уравнений;
2. Алгоритм решения уравнений вида ах 2 + bх + с = 0, где а ≠ 0, с использованием формулы корней ;
3. Алгоритм решения рациональных уравнений.

Обязательные результаты обучения теме:

– Знать : Определение квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения, приведенного квадратного уравнения. Дискриминант квадратного уравнения. Зависимость количества корней от знака дискриминанта. Формула корней квадратного уравнения. Формула коней квадратного уравнения, в котором второй коэффициент является четным числом.

– Уметь : Умение решать квадратные уравнения, простейшие рациональные уравнения и применять их к решению задач.

3. Анализ задачного материала темы

При проведении анализа задачного материала темы определён вид задач и их дидактическая цель. Задачный материал классифицирован по способу задания, характеру требования, способу решения. Результаты анализа представлены в таблице 2.

Результаты анализа задачного материала темы

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Логико-математический анализ содержания темы «Квадратное уравнение»

Разделы: Математика

Тема «Квадратные уравнения» в курсе алгебры 8 класса по программе Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк разбита на 11 часов. На первых уроках даётся общий вид квадратного уравнения, вводится неполное квадратное уравнение (п.21 по учебнику Ю.Н. Макарычева, 2ч.), понятие приведенного квадратного уравнения. Далее приводится алгоритм решения уравнений по формулам через дискриминант (п.22, 3ч.).

В этой теме отводится параграф и на решение задач с помощью квадратного уравнения, начиная с простейших до более сложного уровня (п.23, 2ч.), что позволяет ученику выбирать и осваивать свой уровень знакомства с темой, её усвоением.

Говоря о решении квадратного уравнения, можно показать несколько способов их решения, одним из таких является нахождение корней по теореме Виета. Этот материал знакомит учащихся и с новыми формулами, доступными для запоминания и понимания. Дает учащимся возможность подготовить сообщение по теореме; о биографии французского математика Ф.Виет.
Тема «Квадратные уравнения предусматривает одну самостоятельную работу и заканчивается выполнением контрольной работы №5. После чего ребятам даётся понятие дробно-рационального уравнения, уравнения, сводящегося к квадратному.

Таким образом, в ходе работы над темой в школьном курсе алгебры 8 класса учащиеся

– определение квадратного уравнения, неполного, приведенного;
– формулы для нахождения его корней, алгоритм их поиска через дискриминант и по теореме Виета;
– теорему обратную теореме Виета.

– определять по виду квадратное уравнение, неполное, приведенное;
– решать неполное квадратное уравнение;
– определять количество корней в уравнении;
– решать квадратное уравнение по формулам;
– применять т. Виета при решении;
– решать задачи с помощью квадратных уравнений.

Логико-математический анализ задач по теме включает:

1. Выявление видов задач (и возможностей составления предписаний определённого типа для их решения).
2. Выявление методов решения задач: на доказательство, на вычисление, на построение и их количества.
3. Выявление обоснований решения задач: базиса решения.
4. Выявление аналогичных задач.
5. Выявление опорных задач.

Цели обучения теме «Квадратные уравнения»

В ходе изучения данной темы рассматривается целый ряд целей. Согласно Программе развития универсальных учебных действий (УУД), о формировании которых так много говорится в ФГОС ООО, к формированию которых мы и должны стремиться на каждом из уроков, речь идет о четырёх видах:

1) познавательные; 2) регулятивные; 3) коммуникативные; 4) личностные.

Рассмотрим на примере темы «Квадратные уравнение» формирование каждого из них.

2.1. Развитие познавательных УУД.

В ходе изучения темы учащийся должен научиться сравнивать квадратные уравнения по признакам и составлять схему определения понятия данного вида уравнения; сравнивать решение однотипных. Должен выполнять анализ и выявлять необходимые преобразования. Составляет приёмы решения уравнения, решает уравнения по теореме Виета. Эти цели чаще ставятся на первых уроках, где знания учащихся только формируются.

2.2. Развитие регулятивных УУД.

Развивая регулятивные УУД, учащиеся самостоятельно выбирают уровень освоения темы, выбирают задачи. Осуществляют самопроверку, составляют план своих действий при изучении темы и оценивают свою работу, свои действия при изучении темы.

2.3. Развитие коммуникативных УУД.

На мой взгляд, одной из самых важных этапов урока – это формирование коммуникативных учебных действий у учащихся. В век компьютерных технологий, где дети проводят большое количество времени в социальных сетях, где заводят виртуальных друзей, в результате чего живое общение сводится к нулю. На уроках важно научить высказывать свои мысли; давать полные формулировки понятий. Уметь ставить вопросы, проводить дискуссии по теме. Ученик на этом этапе должен научиться работать в группе, оказывая помощь. При изучении темы «Квадратные уравнения» ученику даётся возможность выступить с сообщением. Очень полезно при формировании коммуникативных УД научить ребёнка разбирать, анализировать ошибки в ходе решения.

2.4. Развитие личностных УУД.

Личностные учебные действия включают самопознание и самоопределение. Способствует профессиональному, жизненному самоопределению и построению жизненных планов. На уроках по данной теме ученик должен определиться с результатами своей деятельности при решении уравнений, своих мотивов. Учитель должен показать значимость этой темы, решение задач с помощью квадратных уравнений.

Карта изучения темы и её использование

В ходе работы над темой в рамках ФГОС ООО был разработан полезный материал как для учителя так и для ученика – карта изучения темы «Квадратные уравнения» в курсе алгебры 8 класса (Приложение 1). Эта карта вывешивается на стенде для знакомства учащихся с этапами ознакомления темы, где указаны уровни обучения теме, с которыми ребёнок вправе сам определиться, спланировать свои действия при обучении.

Если говорить подробнее, то карта изучения темы включает в себя 8 блоков:

1. Логическая структура и цели изучения темы;
2. Блок актуализации знаний учащихся;
3. Основные понятия, методы, изучаемые в теме;
4. Примеры заданий контрольной работы;
5. Средства обучения теме;
6. Задания для внеурочной самостоятельной работы;
7. Темы индивидуальных заданий;
8. Перечень УУД для освоения темы.

Карта составляется учителем перед изучением темы, планируя каждый урок, особенно деятельность учащегося во время формирования знаний и дальнейшего изучения темы. (Приложение 2).

Видео:Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Методика введения понятия «Квадратное уравнение»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Домашняя контрольная работа №1 по методике обучению математике. Выполнил студент группы ПОМО132 Куликов Александр. Вариант – 9

Цель данной работы: разработать методику работы с таким математическим понятием как квадратное уравнение.

Для написания данной работы мною был выбран учебник Алгебра – 8. Авторы: Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б.Суворова. Год издания – 2010.

В данном учебнике определение выглядит следующим образом:

Проведём логико – математический анализ. Определение выглядит следующим образом:

– объект x является квадратным уравнением

– тогда и только тогда, когда

– объект x принадлежит множеству уравнений

Термин – квадратное уравнение

Видовые отличия — имеет вид вида выполняется условие .

Для того, чтобы ввести понятие «квадратное уравнение», нужно знать, что такое уравнение, что означает решить уравнение, что такое одночлен и многочлен.

Уравнением называется равенство, содержащую неизвестную переменную. Решить уравнение – значит найти такие значения переменной, при которой равенство обращается в верное выражение. Одночленом называется произведение, состоящее из чисел, переменных и их степеней. Многочленом называется сумма одночленов.

Для того, чтобы ввести понятие «квадратное уравнение» нужно уметь вычислять арифметические квадратные корни, квадратные корни из произведения и дроби, выносить множитель из-под знака корня и вносить множитель под знак корня, решать линейные уравнения.

Найти значение выражения

Этап введения определения

Рассмотрим с вами уравнения . Каждое из этих уравнений имеет вид , . В первом уравнение ; во втором уравнении ; в третьем .

Зададимся вопросом: а может ли быть равным 0? Рассмотрим вид уравнений . Если , то получим уравнение вида , а из курса 7-ого класса мы знаем, что уравнение полученного вида называется линейным. Следовательно, не может быть равным 0.

Рассмотрев примеры и получив ответ на наш вопрос, мы можем составить определение квадратного уравнения:

Поработаем с нашим определением. Числа называются коэффициентами квадратного уравнениями, где

– первый коэффициент (чисто, стоящее перед )

– второй коэффициент (число, стоящее перед )

– свободный член (число, не имеющее переменных).

Почему уравнение называется квадратным? Потому что в каждом уравнении вида , где наибольшая степень переменной – квадрат.

Заметим, что квадратным назовём уравнение второй степени, если одна из частей уравнений есть многочлен второй степени.

Приведённым называется квадратное уравнение, у которого .

Неполным называется квадратное уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов равен нулю. Неполные квадратые уравнения бывают трёх видов:

Этап усвоения определения

На этом этапе закрепим полученные знаний. Выполним следующие задания

Являются ли квадратным следующие уравнения? Если являются таковыми, то определите коэффициенты .

Какие из данных уравнений являются неполными?

Составьте квадратные уравнения, если известны коэффициенты

Какие из данных уравнений являются неполными? приведёнными?

Этап закрепления понятия

Данное понятие имеет широкий спектр применения:

решение квадратных уравнений и задач и помощью квадратных уравнений

решение дробно-рациональных уравнений

определение квадратичной функции, её свойства и график

разложение квадратного трёхчлена

решение квадратных неравенств, биквадратных уравнений и т.д.

Задание №1. Вывести формулы корней неполного квадратного уравнения

Задание №2. Решите уравнения

Задание №3. Найдите корни уравнений

Путь свободно падающего тела вычисляется по формуле , где t (с) – время, , s (м) – пройденный путь. Через сколько секунд от начала падения камень достигнет дна шахты глубиной 80 метров?

Из условия задачи получаем → → → . По смыслу задачи → .

Ответ: 4 секунды.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 945 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 315 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:КАК РАЗОБРАТЬСЯ В ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕСкачать

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 590 601 материал в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 12.06.2016
• 626
• 0

• 12.06.2016
• 6692
• 48

• 12.06.2016
• 8698
• 83

• 12.06.2016
• 3739
• 11

• 12.06.2016
• 1018
• 2

• 12.06.2016
• 1165
• 5

• 12.06.2016
• 1536
• 13

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 12.06.2016 2453
• DOCX 37.8 кбайт
• 31 скачивание
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Куликов Александр Юрьевич. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 3 месяца
• Подписчики: 25
• Всего просмотров: 84198
• Всего материалов: 41

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

В России действуют более 3,5 тысячи студенческих отрядов

Время чтения: 2 минуты

Минобрнауки создаст для вузов рекомендации по поддержке молодых семей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

🌟 Видео

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Матан за час. Шпаргалка для первокурсника. Высшая математикаСкачать

Квадратное уравнение. 1 урок.Скачать

Введение в логику, урок 1: Базовые понятияСкачать

Алгебра 9 класс. 8 сентября. квадратные уравненияСкачать

Квадратный Трехчлен / Разложение квадратного трехчлена на множители, Как решать Квадратные УравненияСкачать

Конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция, отрицание. На примерах из жизни. Логика.Скачать

Кванторы Определение и видыСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Множества и операции над нимиСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать