Как решить логарифмическое уравнение? Этим вопросом задаются многие школьники, особенно в преддверии сдачи ЕГЭ по математике. Ведь в задании С1 профильного ЕГЭ могут встретиться именно логарифмические уравнения.
Уравнение, в котором неизвестное находится внутри логарифмов, называется логарифмическим. Причем неизвестное может находится как в аргументе логарифма, так и в его основании.
Способов решения таких уравнений существует несколько. В этой статье мы разберем способ, который легко понять и запомнить.
- Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерами
- Пример решения логарифмического уравнения с разными основаниями
- Пример решения логарифмического уравнения с переменными основаниями
- Как сделать проверку
- Как решать логарифмические уравнения подробный разбор примеров
- Сложение и вычитание логарифмов.
- Что такое логарифм и как его посчитать
- Два очевидных следствия определения логарифма
- Свойства логарифмов
- Степень можно выносить за знак логарифма
- Логарифм произведения и логарифм частного
- Формула перехода к новому основанию
- Сумма логарифмов. Разница логарифмов
- Логарифмический ноль и логарифмическая единица
- Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерами
- Сравнение логарифмов
- Пример Найдите корень уравнения.
- Логарифмы со специальным обозначением
- Десятичный логарифм
- Натуральный логарифм
- Пример решения логарифмического уравнения с разными основаниями
- Пример решения логарифмического уравнения с переменными основаниями
- Использование свойств логарифмов при решении логарифмических уравнений и неравенств
- Алгебра
- Уравнения вида logaf(x) = logag(x)
- Уравнения, требующие предварительных преобразований
- Логарифмические уравнения с заменой переменных
- Логарифмирование уравнений
- Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим
Видео:Логарифмы с нуля за 20 МИНУТ! Introduction to logarithms.Скачать
Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерами
Решить логарифмическое уравнение можно разными способами. Чаще всего в школе учат решать логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма. То есть мы имеем уравнение вида:
Вспоминаем определение логарифма и получаем следующее:
Таким образом мы получаем простое уравнение, которое сможем легко решить.
При решении логарифмических уравнений важно помнить об области определения логарифма, т.к. аргумент f(x) должен быть больше ноля. Поэтому после решения логарифмического уравнения мы всегда делаем проверку!
Давайте посмотрим, как это работает на примере:
Воспользуемся определением логарифма и получим:
Теперь перед нами простейшее уравнение, решить которое не составит труда:
Сделаем проверку. Подставим найденный Х в исходное уравнение:
Так как 3 2 = 9, то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения.
Основной минус данного метода решения логарифмических уравнений в том, что многие ребята путают, что именно нужно возводить в степень. То есть при преобразовании logaf(x) = b, многие возводят не a в степень b, а наоборот b в степень a. Такая досадная ошибка может лишить вас драгоценных баллов на ЕГЭ.
Поэтому мы покажем еще один способ решения логарифмических уравнений.
Чтобы решить логарифмическое уравнение, нам нужно привести его к такому виду, когда и в правой, и в левой части уравнения будут стоять логарифмы с одинаковыми основаниями. Это выглядит вот так:
Когда уравнение приведено к такому виду, то мы можем «зачеркнуть» логарифмы и решить простое уравнение. Давайте разбираться на примере.
Решим еще раз то же самое уравнение, но теперь этим способом:
В левой части у нас логарифм с основанием 2. Следовательно, правую часть логарифма нам нужно преобразовать так, чтобы она тоже содержала логарифм с основанием 2.
Для этого вспоминаем свойства логарифмов. Первое свойство, которое нам здесь понадобится – это логарифмическая единица. Напомним его:
То есть в нашем случае:
Возьмем правую часть нашего уравнения и начнем ее преобразовывать:
Теперь нам нужно 2 тоже внести в логарифмическое выражение. Для этого вспоминаем еще одно свойство логарифма:
Воспользуемся этим свойством в нашем случае, получим:
Мы преобразовали правую часть нашего уравнения в тот вид, который нам был нужен и получили:
Теперь в левой и в правой частях уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, поэтому мы можем их зачеркнуть. В результате, получим такое уравнение:
Да, действий в этом способе больше, чем при решении с помощью определения логарифма. Но все действия логичны и последовательны, в результате чего шансов ошибиться меньше. К тому же данный способ дает больше возможностей для решения более сложных логарифмических уравнений.
Разберем другой пример:
Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом:
После преобразования правой части наше уравнение принимает следующий вид:
Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим:
Вспоминаем свойства степеней:
Теперь делаем проверку:
то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения.
Еще один пример решения логарифмического уравнения:
Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим:
Теперь преобразуем правую часть уравнения:
Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили:
Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:
Решим данное квадратное уравнение, найдем дискриминант:
Сделаем проверку, подставим х1 = 1 в исходное уравнение:
Верно, следовательно, х1 = 1 является корнем уравнения.
Теперь подставим х2 = -5 в исходное уравнение:
Так как аргумент логарифма должен быть положительным, выражение не является верным. Следовательно, х2 = -5 – посторонний корень.
Видео:✓ Как решать логарифмические уравнения и неравенства, не помня свойства логарифмов | Борис ТрушинСкачать
Пример решения логарифмического уравнения с разными основаниями
Выше мы решали логарифмические уравнения, в которых участвовали логарифмы с одинаковыми основаниями. А что же делать, если основания у логарифмов разные? Например,
Правильно, нужно привести логарифмы в правой и левой части к одному основанию!
Итак, разберем наш пример:Преобразуем правую часть нашего уравнения:
Мы знаем, что 1/3 = 3 -1 . Еще мы знаем свойство логарифма, а именно вынесение показателя степени из логарифма:
Применяем эти знания и получаем:
Но пока у нас есть знак «-» перед логарифмом в правой части уравнения, зачеркивать мы их не имеем права. Необходимо внести знак «-» в логарифмическое выражение. Для этого воспользуемся еще одним свойством логарифма:
Тогда получим:
Вот теперь в правой и левой части уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями и мы можем их зачеркнуть:
Делаем проверку:
Если мы преобразуем правую часть, воспользовавшись свойствами логарифма, то получим:
Верно, следовательно, х = 4 является корнем уравнения.
Видео:10 класс. Алгебра. Логарифмические уравнения, сводящиеся к квадратным.Скачать
Пример решения логарифмического уравнения с переменными основаниями
Выше мы разобрали примеры решения логарифмических уравнений, основания которых были постоянными, т.е. определенным значением – 2, 3, ½ … Но в основании логарифма может содержаться Х, тогда такое основание будет называться переменным. Например, logx+1(х 2 +5х-5) = 2. Мы видим, что основание логарифма в данном уравнении – х+1. Как же решать уравнение такого вида? Решать мы его будем по тому же принципу, что и предыдущие. Т.е. мы будем преобразовывать наше уравнение таким образом, чтобы слева и справа были логарифмы с одинаковым основанием.
Преобразуем правую часть уравнения:
Теперь логарифм в правой части уравнения имеет такое же основание, как и логарифм в левой части:
Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:
Но данное уравнение неравносильно исходному уравнению, так как не учтена область определения. Запишем все требования, относящиеся к логарифму:
1. Аргумент логарифма должен быть больше ноля, следовательно:
2. Основание логарифма должно быть больше 0 и не должно равняться единице, следовательно:
Сведем все требования в систему:
Данную систему требований мы можем упростить. Смотрите х 2 +5х-5 больше ноля, при этом оно приравнивается к (х + 1) 2 , которую в свою очередь так же больше ноля. Следовательно, требование х 2 +5х-5 > 0 выполняется автоматически и мы можем его не решать. Тогда наша система будет сведена к следующему:
Перепишем нашу систему:
Следовательно, наша система примет следующий вид:
Теперь решаем наше уравнение:
Справа у нас квадрат суммы:
Данный корень удовлетворяет наши требования, так как 2 больше -1 и не равно 0. Следовательно, х = 2 – корень нашего уравнения.
Для полной уверенности можем выполнить проверку, подставим х = 2 в исходное уравнение:
Т.к. 3 2 =9, то последнее выражение верно.
Видео:Интересная задача на логарифмы в ЕГЭСкачать
Как сделать проверку
Еще раз обращаем ваше внимание, что при решении логарифмических уравнений необходимо учитывать область допустимых значений. Так, основание логарифма должно быть больше ноля и не должно равняться единице. А его аргумент должен быть положительным, т.е. больше ноля.
Если наше уравнение имеет вид loga (f(x)) = loga (g(x)), то должны выполняться следующие ограничения:
После решения логарифмического уравнения нужно обязательно сделать проверку. Для этого вам необходимо подставить получившееся значения в исходное уравнение и посчитать его. Времени это займет немного, зато позволит не записать в ответ посторонние корни. Ведь так обидно правильно решить уравнение и при этом неправильно записать ответ!
Итак, теперь вы знаете, как решить логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма и с помощью преобразования уравнения, когда в обеих его частях стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, которые мы можем «зачеркнуть». Отличное знание свойств логарифма, учет области определения, выполнение проверки – залог успеха при решении логарифмических уравнений.
Видео:Решение логарифмических уравнений. Вебинар | МатематикаСкачать
Как решать логарифмические уравнения подробный разбор примеров
Видео:Умножаем логарифмы В УМЕ🧠Скачать
Сложение и вычитание логарифмов.
Возьмем два логарифма с одинаковыми основаниями: loga x и loga y. Тогда сними возможно выполнять операции сложения и вычитания:
Как видим, сумма логарифмов равняется логарифму произведения, а разность логарифмов – логарифму частного. Причем это верно если числа а, х и у положительны и а ≠ 1.
Важно обращать внимание, что основным аспектом в данных формулах выступают одни и те же основания. Если основания отличаются друг от друга, эти правила не применимы!
Правила сложения и вычитания логарифмов с одинаковыми основаниями читаются не только с лева на право, но и на оборот. В результате мы имеем теоремы логарифма произведения и логарифма частного.
Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме их логарифмов; перефразируя данную теорему получим следующее, если числа а, x и у положительны и а ≠ 1, то:
Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя. Говоря по другому, если числа а, х и у положительны и а ≠ 1, то:
Применим вышеизложенные теоремы для решения примеров:
Если числа x и у отрицательны, то формула логарифма произведения становится бессмысленной. Так, запрещено писать:
так как выражения log2(-8) и log2(-4) вообще не определены (логарифмическая функция у = log2х определена лишь для положительных значений аргументах).
Теорема произведения применима не только для двух, но и для неограниченного числа сомножителей. Это означает, что для всякого натурального k и любых положительных чисел x1, x2, . . . ,xn существует тождество :
Из теоремы логарифма частного можно получить еще одно свойство логарифма. Общеизвестно, что loga1= 0, следовательно,
А значит имеет место равенство:
Логарифмы двух взаимно обратных чисел по одному и тому же основанию будут различны друг от друга исключительно знаком. Так:
Видео:Логарифмические уравнения. 11 класс.Скачать
Что такое логарифм и как его посчитать
Логарифм имеет следующий вид:
где a – это основание логарифма,
b – это аргумент логарифма
Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X. 
и преобразовываем в 
и преобразовываем в Запомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.
Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!
Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо приравнять его к X и воспользоваться правилом, описанным выше:
А в какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно же в третью степень, таким образом:
Еще раз обращаю ваше внимание, что основание (в нашем случае это – 2) всегда находится внизу и именно оно возводится в степень.
Видео:Проще простого! Как решить Логарифмическое Уравнение?Скачать
Два очевидных следствия определения логарифма
log a 1 = 0 ( a > 0, a ≠ 1 )
Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень – единицу.
Видео:Логарифм с нуля до уровня про. Уравнения, неравенства и параметр. Профильный ЕГЭСкачать
Свойства логарифмов
Перечисленные ниже свойства логарифмов вытекают из основного логарифмического тождества:
 |  | ||||||||||||||
|  | ||||||||||||||
|  | ||||||||||||||
| |||||||||||||||
| |||||||||||||||
| |||||||||||||||
|
| ||||||||||||||
|
( формула перехода к новому основанию логарифмов ), | ||||||||||||||
| |||||||||||||||
|
Видео:Десятичный логарифмСкачать  Степень можно выносить за знак логарифмаИ вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример: log a ( f ( x ) 2 = 2 log a f ( x ) Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть – только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени. Видео:84 людей этого не знают! Секретный способ решения Логарифмических УравненийСкачать  Логарифм произведения и логарифм частногоlog a b c = log a b − log a c ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0 ) Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании “слева направо” происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного – расширение ОДЗ. log a ( f ( x ) g ( x ) ) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля. Преобразуя данное выражение в сумму log a f ( x ) + log a g ( x ) , мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6). Видео:ЕГЭ база #7 / Логарифмические уравнения / Свойства, определение логарифма / решу егэСкачать  Формула перехода к новому основаниюТот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной. Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8): log a b = 1 log b a ( a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1 ) Видео:11 класс, 17 урок, Логарифмические уравненияСкачать  Сумма логарифмов. Разница логарифмовЛогарифмы с одинаковыми основаниями можно складывать: Обратите внимание, что формулы суммы и разности логарифмов верны только для логарифмов с одинаковыми основаниями! Если основания разные, то данные свойства применять нельзя! Видео:Логарифмы-1. Уравнения: от базы до олимпиадСкачать  Логарифмический ноль и логарифмическая единица
Это следствия из определения логарифма. И их нужно обязательно запомнить. Эти простейшие свойства нередко вводят учеников в ступор. Запомните, что логарифм от a по основанию а всегда равен единице: loga a = 1 – это логарифмическая единица. Если же в аргументе стоит единица, то такой логарифм всегда равен нулю независимо от основания, так как a 0 = 1: loga 1 = 0 – логарифмический ноль. Видео:Уравнения, квадратные относительно логарифмаСкачать  Как решать уравнения с логарифмами: 2 способа с примерамиРешить логарифмическое уравнение можно разными способами. Чаще всего в школе учат решать логарифмическое уравнение с помощью определения логарифма. То есть мы имеем уравнение вида: При решении логарифмических уравнений важно помнить об области определения логарифма, т.к. аргумент f(x) должен быть больше ноля. Поэтому после решения логарифмического уравнения мы всегда делаем проверку! Давайте посмотрим, как это работает на примере:
Воспользуемся определением логарифма и получим: Теперь перед нами простейшее уравнение, решить которое не составит труда: Сделаем проверку. Подставим найденный Х в исходное уравнение: Основной минус данного метода решения логарифмических уравнений в том, что многие ребята путают, что именно нужно возводить в степень. То есть при преобразовании logaf(x) = b, многие возводят не a в степень b, а наоборот b в степень a. Такая досадная ошибка может лишить вас драгоценных баллов на ЕГЭ. Поэтому мы покажем еще один способ решения логарифмических уравнений. Чтобы решить логарифмическое уравнение, нам нужно привести его к такому виду, когда и в правой, и в левой части уравнения будут стоять логарифмы с одинаковыми основаниями. Это выглядит вот так:
Когда уравнение приведено к такому виду, то мы можем «зачеркнуть» логарифмы и решить простое уравнение. Давайте разбираться на примере. Решим еще раз то же самое уравнение, но теперь этим способом: Для этого вспоминаем свойства логарифмов. Первое свойство, которое нам здесь понадобится – это логарифмическая единица. Напомним его: Воспользуемся этим свойством в нашем случае, получим: Да, действий в этом способе больше, чем при решении с помощью определения логарифма. Но все действия логичны и последовательны, в результате чего шансов ошибиться меньше. К тому же данный способ дает больше возможностей для решения более сложных логарифмических уравнений. Разберем другой пример: Теперь делаем проверку: Еще один пример решения логарифмического уравнения:
Теперь подставим х2 = -5 в исходное уравнение: Видео:ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯСкачать  Сравнение логарифмов
| ||||||||||||||
| |||||||||||||||
| |||||||||||||||
| |||||||||||||||
| |||||||||||||||
| |||||||||||||||
| |||||||||||||||
|
Логарифмы с одинаковыми основаниями можно вычитать: 
Мы видим, что исходные выражения состояли из логарифмов, которые по отдельности не вычисляются, а при применении свойств логарифмов у нас получились нормальные числа. Поэтому повторим, что основные свойства логарифмов нужно знать обязательно!
Вспоминаем определение логарифма и получаем следующее: 
Вспоминаем определение логарифма и получаем следующее: Таким образом мы получаем простое уравнение, которое сможем легко решить.
Так как 3 2 = 9, то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения.
В левой части у нас логарифм с основанием 2. Следовательно, правую часть логарифма нам нужно преобразовать так, чтобы она тоже содержала логарифм с основанием 2.
То есть в нашем случае: 
То есть в нашем случае: Возьмем правую часть нашего уравнения и начнем ее преобразовывать:
Теперь нам нужно 2 тоже внести в логарифмическое выражение. Для этого вспоминаем еще одно свойство логарифма:
Мы преобразовали правую часть нашего уравнения в тот вид, который нам был нужен и получили:
Теперь в левой и в правой частях уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями, поэтому мы можем их зачеркнуть. В результате, получим такое уравнение:
Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом: 
Итак, как и в предыдущем примере применяем свойства логарифмов и преобразовываем правую часть уравнения следующим образом: После преобразования правой части наше уравнение принимает следующий вид: 
Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим: 
Теперь можно зачеркнуть логарифмы и тогда получим: Вспоминаем свойства степеней:
то последнее выражение верно. Следовательно, х = 3 является корнем уравнения.
Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим: 
Преобразуем сначала левую часть нашего уравнения. Здесь мы видим сумму логарифмов с одинаковыми основаниями. Воспользуемся свойством суммы логарифмов и получим: Теперь преобразуем правую часть уравнения: 
Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили: 
Выполнив преобразования правой и левой частей уравнения, мы получили: Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы:
Решим данное квадратное уравнение, найдем дискриминант:
Сделаем проверку, подставим х1 = 1 в исходное уравнение: 
Сделаем проверку, подставим х1 = 1 в исходное уравнение: 
Верно, следовательно, х1 = 1 является корнем уравнения.
Так как аргумент логарифма должен быть положительным, выражение не является верным. Следовательно, х2 = -5 – посторонний корень.
Чтобы вычислить десятичный логарифм, нужно 10 возвести в степень X.
Правильно, нужно привести логарифмы в правой и левой части к одному основанию!
Применяем эти знания и получаем: 
Но пока у нас есть знак «-» перед логарифмом в правой части уравнения, зачеркивать мы их не имеем права. Необходимо внести знак «-» в логарифмическое выражение. Для этого воспользуемся еще одним свойством логарифма: 
Но пока у нас есть знак «-» перед логарифмом в правой части уравнения, зачеркивать мы их не имеем права. Необходимо внести знак «-» в логарифмическое выражение. Для этого воспользуемся еще одним свойством логарифма:
Вот теперь в правой и левой части уравнения у нас стоят логарифмы с одинаковыми основаниями и мы можем их зачеркнуть: 
Делаем проверку: 
Делаем проверку: Если мы преобразуем правую часть, воспользовавшись свойствами логарифма, то получим:
Верно, следовательно, х = 4 является корнем уравнения.
Преобразуем правую часть уравнения: 
Преобразуем правую часть уравнения: Теперь логарифм в правой части уравнения имеет такое же основание, как и логарифм в левой части: 
Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы: 
Теперь мы можем зачеркнуть логарифмы: Но данное уравнение неравносильно исходному уравнению, так как не учтена область определения. Запишем все требования, относящиеся к логарифму:
Перепишем нашу систему: 
Перепишем нашу систему: Следовательно, наша система примет следующий вид: 
Теперь решаем наше уравнение: 
Теперь решаем наше уравнение: Справа у нас квадрат суммы:
Данный корень удовлетворяет наши требования, так как 2 больше -1 и не равно 0. Следовательно, х = 2 – корень нашего уравнения.