Логарифмические уравнения классификация и методы решения

Разделы: Математика

Форма урока: лекция.

Цель урока: рассмотреть виды логарифмических уравнений и методы их решения.

I. Устный опрос по теории логарифмов.

II. Объяснение новой темы.

I. Устный опрос.

1. Дайте определение логарифма числа.
2. Сформулируйте свойство “Логарифм произведения”.
3. Сформулируйте свойство “Логарифм частного”.
4. Запишите формулу “Логарифм степени”.
5. Запишите формулу перехода от одного основания логарифма к другому.
6. Что называется уравнением?
7. Что называется корнем уравнения?
8. Что значит решить уравнение?

Ход урока

I. Рассмотрим равенство log_ab=c.

Это равенство устанавливает связь между тремя числами a,b,c. Сколько уравнений можно составить, используя это равенство?

Уравнения №1 и №2 называются простейшими логарифмическими уравнениями. Сколько решений имеют эти простейшие уравнения? (Единственное решение при любом с)

II. Рассмотрим другие виды уравнений и способы их решения.

Виды уравнений

Способы решения

Примеры1)log_a f(x) = g(x)

a>0, a 1, f(x)>0.Функционально-графический. Основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций (чаще всего свойств монотонности).1) lgx = 1-x

y = lgx- возрастающая на D(y)

y= 1-x — убывающая

Уравнение имеет один корень х = 1

Дома: Сколько корней имеет уравнение:

lg x = sinx (6 корней)2)log_af(x)=b

a>0, a1.По определению логарифма имеем f(x) = a b .log₃(2x+1)=23)log_a f(x) = log_ag(x)a>0,a 1.Уравнение равносильно системе:

Почему достаточно проверить одно неравенство из двух?

Например, можно опустить неравенство g(x)>0, т.к. оно вытекает из равенства f(x)=g(x) и неравенства f(x)>0

Таким образом, для решения уравнения нужно:

1) pешить уравнение f(x)=g(x);

2) из найденных решений отобрать те, которые удовлетворяют неравенству f(x)>0 ( или g(x)>0; используя более простое из этих двух неравенств), а остальные решения отбросить.log₃(x 2 -3) = log₃2x

log₂(x 2 -3x-5) = log₂ (7-2x)4) log_a f(x)+log_ag(x)=b

a>0, a1.Воспользуемся формулой log_af(x)+log_ag(x)=log_a(f(x)g(x)). Но это преобразование может привести к появлению посторонних корней. Действительно f(x)g(x)>0, когда f(x) 0 и g(x)>0. Поэтому, уравнение равносильно системе:

I способ:

II Способ.

1. Свести уравнение к виду log_a(f(x)g(x)) = b.
2. Решить уравнение f(x)g(x) = a b .

3) Сделать проверку, подставив найденные значения х в исходное уравнение.

log₅(3x-11)+log₅(x-27)= =3+log₅85) log_af(x)-log_ag(x)=b

a>0,a 1.I Способ. Воспользоваться равенством log_af(x)-log_ag(x) =log_a(f(x)/g(x)).Уравнение преобразуется к виду log_a(f(x)/g(x))= b.Может ли это преобразование привести к появлению посторонних корней? Решить уравнене f(x)/g(x)= a b и сделать проверку, подставив найденные значения х в исходное уравнение.

II.Способ.Уравнение равносильно системе:

Решить уравнение системы и отобрать те корни, для которых выполняются неравенства.

III.Способ. Перейти от исходного уравнения к виду log_af(x)=b+log_ag(x)

log_af(x)=log_a(a b g(x)).Решить уравнение и сделать проверкуlg(x-1)-lg(2x-11)=lg2

Дома: lg(x 2 +19)-lg(x-8)=26) log_af(x)+log_bg(x)=c

a>0, a1.При решении уравнения применяется формула log_ab=log_cb/log_ca. Выбор основания должен быть таким, что бы переход к новому основанию не осложнил решения уравненя, но позволил бы избежать потери корнейlog _2xx=log _8/xx (к основанию 2) log₂x/log₂2x = =log₂x/log₂(8/x); log₂x(log₂(8/x)-log₂2x)=0; x=1 , x=2;-2 — посторонний. Ответ: 1;2

1+log₂(x-1)=log_(x-1)47) log 2 _af(x)+log_af(x)=b

a>0, a1.I Способ. Ввести новую переменную log_af(x) = t и свести уравнение к квадратному: t 2 +t=b. Решить это уравнение и сделать проверку.

IIСпособ. Найти область определения уравнения. Решить уравнение с помощью введения новой переменной. Проверить, принадлежат ли найденные значения переменной области определения уравнения.(lgx) 3 -lgx 3 +2=0

5log₃x-9(log₃x) 0,5 -2=08) f(x) k(x) =g(x) h(x)Найти ОДЗ уравнения. Логарифмировать обе части уравнения по выгодному основанию. Проверить принадлежность найденных значений переменной ОДЗ уравнения.

Этот способ применяется, когда невозможно уравнять основания степеней.

a>0, a 1(x+1) lg(x+1) =100(x+1)

ОДЗ: х>-1. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10.

lg 2 (x+1)-lg(x+1) –2=0 – квадратное уравнение относительно lg(x+1). Решая его находим x₁=99; x₂= -0,9 .Оба корня удовлетворяют условию

При решении уравнений нужно руководствоваться следующими правилами:

1) решать, находя ОДЗ уравнения, и проверять принадлежность найденных значений переменной ОДЗ уравнения;

2) решать, не учитывая ОДЗ уравнения, но в конце решения сделать проверку по отбору корней;

3) преобразования, допускающие потерю корней, лучше не использовать

1) изучить лекцию;

2) решить уравнения, предложенные в лекции на дом.

Видео:Логарифмы с нуля за 20 МИНУТ! Introduction to logarithms.Скачать

Алгебра

План урока:

Задание. Укажите корень логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

В чуть более сложных случаях под знаком логарифма может стоять не сама переменная х, а выражение с переменной. То есть урав-ние имеет вид

Задание. Найдите решение логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

Задание. Решите урав-ние

Получили показательное уравнение. Показатели степеней можно приравнять, если равны их основания:

Видео:Решение логарифмических уравнений. Вебинар | МатематикаСкачать

Уравнения вида log_af(x) = log_ag(x)

Порою логарифм стоит в обеих частях равенства, то есть и слева, и справа от знака «равно». Если основания логарифмов совпадают, то должны совпадать и аргументы логарифмов.

Задание. Решите урав-ние

Задание. Найдите корень урав-ния

Ситуация несколько усложняется в том случае, когда, под знаком логарифма в обоих частях равенства стоят выражения с переменными, то есть оно имеет вид

С одной стороны, очевидно, что должно выполняться равенство f(x) = g(x). Но этого мало, ведь под знаком логарифма не должно стоять отрицательное число. Поэтому после получения корней следует подставить их в урав-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями.

Задание. Решите урав-ние

Получили квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта:

Получили два корня, (– 3) и 4. Однако теперь подставим их в исходное урав-ние и посмотрим, что у нас получится. При х = – 3 имеем:

Это верное равенство, поэтому х = – 3 действительно является корнем урав-ния. Теперь проверяем х = 4:

Хотя выражения и справа, и слева одинаковы, равенство верным считать нельзя, ведь выражение log₃ (– 1) не имеет смысла! Действительно, нельзя вычислять логарифм от отрицательного числа. Поэтому корень х = 4 оказывается посторонним, и у нас остается только один настоящий корень – число (– 3).

Видео:Логарифмические уравнения. 11 класс.Скачать

Уравнения, требующие предварительных преобразований

Естественно, не всегда в обоих частях логарифмических уравнений и неравенств стоят только логарифмы с совпадающими основаниями. Часто требуется выполнить некоторые предварительные преобразования, чтобы привести урав-ние к виду log_af(x) = log_ag(x).

Задание. Решите урав-ние

с помощью которой любой множитель можно внести под знак логарифма. Сделаем это и в нашем случае:

Теперь в обеих частях равенства не стоит ничего, кроме логарифмов с одинаковыми основаниями. Поэтому мы можем приравнять их аргументы:

Задание. Решите урав-ние

Снова проверяем каждый из корней, подставляя его в исходное ур-ние. Прих = –1 получаем

Задание. Решите урав-ние

Решение. В правой части снова стоит сумма, но на этот раз не логарифмов. Однако число 1 можно представить как log₅ 5. Тогда урав-ние можно преобразовать:

Задание. Решите урав-ние

Решение. Данный пример похож на простейшее логарифмическое уравнение, однако переменная находится в основании логарифма, а не в аргументе. По определению логарифма мы можем записать, что

Первый вариант придется отбросить, так как основание логарифма, (а в данном случае это выражение х – 5) не может быть отрицательным числом. Получается, что

Задание. Решите урав-ние

Решение. Здесь ситуация осложняется тем, что основания логарифмов разные. Поэтому один из них необходимо привести к новому основанию. Попробуем привести log₂₅x 4 к основанию 5, используя известную нам формулу

Мы добились того, что у логарифмов одинаковые основания, а потому мы можем приравнять их аргументы:

Видео:Логарифмические уравнения. Видеоурок 18. Алгебра 10 классСкачать

Логарифмические уравнения с заменой переменных

Иногда приходится делать некоторые замены, чтобы уравнение приняло более привычный вид.

Задание. Решите уравнение методом замены переменной

Задание. Найдите решение уравнения методом замены переменной

Решение. Для начала напомним, что символ lg означает десятичный логарифм. Отдельно знаменатель дроби в правой части:

Видео:Проще простого! Как решить Логарифмическое Уравнение?Скачать

Логарифмирование уравнений

Ясно, что если от равных величин взять логарифмы по одному и тому же основанию, то тогда эти логарифмы окажутся также равными. Если подобный прием применяют при решении урав-ния, то, говорят, что производится логарифмирование уравнения. Иногда оно позволяет решить некоторые особо сложные примеры.

Задание. Укажите корни урав-ния

Здесь переменная величина находится одновременно и в основании степени, и в ее показателе. Возьмем от правой и левой части урав-ния логарифм по основанию 5:

Возвращаемся от переменной t к переменной х:

Видео:✓ Как решать логарифмические уравнения и неравенства, не помня свойства логарифмов | Борис ТрушинСкачать

Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим

Рассмотрим график логарифмической функции у = log_ax при условии а > 1. Она является возрастающей функцией. Если на оси Ох отложить два числа tи s так, чтобы t располагалось левее s (то есть t 1). Но это не совсем так. Дело в том, что надо учесть ещё и тот факт, что под знаком логарифма может стоять исключительно положительное число. Получается, что от простейшего логарифмического неравенства

Естественно, вместо величин t и s могут стоять как числа, так и выражения с переменными.

Задание. Найдите решение логарифмического неравенства

Ответ можно оставить и в такой форме, однако всё же принято записывать его в виде промежутка. Очевидно, что нерав-во 0 log_as:

Но, снова-таки, мы должны учесть, числа t может быть лишь положительным (тогда s, которое больше t, автоматически также окажется положительным). Получается, что при 0 log_a s можно перейти к двойному нерав-ву 0 2 – 45х + 200 имеет решение

Однако в системе (5) есть ещё два неравенства, х > 0 и 45 >x. Их решениями являются промежутки (0; + ∞) и (– ∞; 45). Чтобы определить решение всей системы, отметим на одной прямой решения каждого отдельного нерав-ва и найдем область их пересечения:

Видно, что решениями нерав-ва будут являться промежутки (0; 5) и (40; 45), на которых справедливы все три нерав-ва, входящих в систему (5).

Видео:84 людей этого не знают! Секретный способ решения Логарифмических УравненийСкачать

Логарифмические уравнения и системы

п.1. Методы решения логарифмических уравнений

При решении логарифмических уравнений используются следующие основные методы:
1) переход от логарифмического уравнения к равносильному уравнению (f(x)=g(x)) с системой неравенств, описывающих ОДЗ;
2) графический метод;
3) замена переменной.

п.2. Решение уравнений вида (log_a f(x)=log_a g(x))

Неравенства ( begin f(x)gt 0\ g(x)gt 0 end ) в системе соответствуют ограничению ОДЗ для аргумента логарифмической функции.

Решать логарифмическое уравнение принято в таком порядке:
1) решить систему неравенств и получить промежутки допустимых значений для (x) в явном виде;
2) решить уравнение (f(x)=g(x));
3) из полученных корней выбрать те, что входят в промежутки допустимых значений. Записать ответ.

Однако, если выражения (f(x)) и (g(x)) слишком сложны для явного решения, возможен другой порядок действий:
1) решить уравнение (f(x)=g(x));
2) провести подстановку: полученные корни подставить в выражения для (f(x)) и (g(x)), и проверить, получатся ли положительные значения для этих функций;
3) из корней выбрать те, для которых подстановка оказалась успешной. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение (lg(2x+3)+lg(x+4)=lg(1-2x))
Найдем ОДЗ в явном виде:
( begin 2x+3gt 0\ x+4gt 0\ 1-2xgt 0 end Rightarrow begin xgt-frac32\ xgt-4\ xltfrac12 end Rightarrow -frac32lt xltfrac12Rightarrow xinleft(-frac32;frac12right) )
Решаем уравнение:
(lgleft((2x+3)(x+4)right)=lg(1-2x))
((2x+3)(x+4)=1-2x)
(2x^2+11x+12-1+2x=0)
(2x^2+13x+11=0)
((2x+11)(x+1)=0)
( left[ begin x_1=-5,5\ x_2=-1 end right. )
Корень (x_1=-5,5notin left(-frac32;frac12right),) т.е. не подходит.
Корень (x_2=-1in left(-frac32;frac12right)) — искомое решение.
Ответ: -1

п.3. Решение уравнений вида (log_ f(x)=log_ g(x))

Как и в предыдущем случае, можно сначала найти ОДЗ, а потом решать уравнение.
Или же, можно решить уравнение, а потом проверить требования ОДЗ прямой подстановкой полученных корней.

Например:
Решим уравнение (log_(x^2-4)=log_(2-x))
Найдем ОДЗ в явном виде:
( begin x^2-4gt 0\ 2-xgt 0\ x+5gt 0\ x+5ne 1 end Rightarrow begin xlt -2cup xgt 2\ xlt 2\ xgt -5\ xne -4 end Rightarrow begin -5lt xlt -2\ xne -4 end Rightarrow xin (-5;-4)cup(-4;-2) )
Решаем уравнение:
(x^2-4=2-x)
(x^2+x-6=0)
((x+3)(x-2)=0)
( left[ begin x_1=-3\ x_2=2 — text end right. )
Ответ: -3

В логарифмическом уравнении перед отбрасыванием логарифмов основания обязательно должны быть равны. Не забывайте это проверять!

Например:
Решим уравнение (log_(x+1)=log_(x+3))
Основания (2ne 4), и нельзя сразу написать (x+1=x+3).
Нужно привести к одному основанию, преобразовав левую часть:
(log_2(x+1)=log_(x+1)^2=log_4(x+1)^2)
Тогда исходное уравнение примет вид: (log_4(x+1)^2=log_4(x+3))
И теперь: ((x+1)^2=x+3)
(x^2+x-2=0)
((x+2)(x-1)=0)
( left[ begin x_1=-2\ x_2=1 end right. )
Что касается ОДЗ, то её нужно искать для исходного уравнения:
( begin x+1gt 0\ x+3gt 0 end Rightarrow begin xgt -1\ xgt -3 end Rightarrow xgt -1 )
Корень (x_1=-2lt -1) — не подходит.
Ответ: 1

Преобразования могут расширить первоначальную область допустимых значений (например, при возведении в квадрат), и вы включите в решение лишние корни.
Преобразования также могут сузить ОДЗ (например, при взятии корня), и некоторые решения окажутся потеряны.
Поэтому ОДЗ определяется для исходного уравнения (выражения, неравенства), а не того, которое получено после преобразований.

п.4. Примеры

Пример 1. Решите уравнения:
a) ( log_2(x+1)-log_2(x-1)=1 )
ОДЗ: ( begin x+1gt 0\ x-1gt 0 end Rightarrow begin xgt -1\ xgt 1 end Rightarrow xgt 1 )
(log_2left((x+1)(x-1)right)=log_22)
(x^2-1=2Rightarrow x^2 =3)
( left[ begin x_1=-sqrtlt 2 — text\ x_2=sqrt end right. )
Ответ: (sqrt)

б) ( 2log_5(x-1)=log_5(1,5x+1) )
ОДЗ: ( begin x-1gt 0\ 1,5x+1gt 0 end Rightarrow begin xgt 1\ xgt-frac23 end Rightarrow xgt 1 )
Преобразуем: (2log_5(x-1)=log_5(x-1)^2)
Получаем: (log_5(x-1)^2=log_5(1,5x+1))
((x-1)^2=1,5x+1)
(x^2-2x+1-1,5x-1=0Rightarrow x^2-3,5x=0Rightarrow x(x-3,5)=0)
( left[ begin x_1=0lt 1 — text\ x_2=3,5 end right. )
Ответ: 3,5

в) ( log_3(3-x)+log_3(4-x)=1+2log_3 2 )
ОДЗ: ( begin 3-xgt 0\ 4-xgt 0 end Rightarrow begin xlt 3\ xlt 4 end Rightarrow xlt 3 )
Преобразуем: (1+2log_3 2=log_3 3+log_3 2^2=log_3(3cdot 4)=log_3 12)
Получаем: (log_3left((3-x)(4-x)right)=log_3 12)
((3-x)(4-x)=12Rightarrow 12-7x+x^2=12Rightarrow x(x-7)=0)
( left[ begin x_1=0\ x_2=7gt 3 — text end right. )
Ответ: 0

г) ( log_2^2x+log_2 x^2+1=0 )
ОДЗ: (xgt 0)
(log_2x^2=2log_2x)
Получаем: (log_2^2x+2log_2x+1=0)
Замена: (t=log_2 x)
(t^2+2t+1=0Rightarrow(t+1)^2=0Rightarrow t=-1)
Возвращаемся к исходной переменной: (log_2x=-1)
(x=2^=frac12)
Ответ: (frac12)

д) ( x^=10 )
ОДЗ: (xgt 0)
Замена: (t=lg ⁡x). Тогда (x=10^t)
Подставляем:
((10^t)^t=10Rightarrow 10^=10^1Rightarrow t^2=1Rightarrow t=pm 1)
Возвращаемся к исходной переменной:
( left[ begin lg x=-1\ lg x=1 end right. Rightarrow left[ begin x=10^\ x=10 end right. Rightarrow left[ begin x_1=0,1\ x_2=10 end right. )
Оба корня подходят.
Ответ:

e) ( sqrtcdot log_5(x+3)=0 )
ОДЗ: ( begin xgeq 0\ x+3gt 0 end Rightarrow begin xgeq 0\ xgt -3 end Rightarrow xgeq 0 )
( left[ begin sqrt=0\ log_5(x+3)=0 end right. Rightarrow left[ begin x=0\ x+3=5^0=1 end right. Rightarrow left[ begin x_1=0\ x_2=-2lt 0 — text end right. )
Ответ: 0

ж) ( log_2+2log_x=log_(x+1) )
ОДЗ: ( begin xgt 0\ x+1gt 0\ 5x-2gt 0\ 5x-2ne 1 end Rightarrow begin xgt 0\ xgt -1\ xgtfrac25\ xnefrac35 end Rightarrow begin xgtfrac25\ xnefrac35 end )
Преобразуем: (log_2+2log_x=log_(2x^2))
Подставляем: (log_(2x^2)=log_(x+1))
( 2x^2=x+1Rightarrow 2x^2-x-1=0Rightarrow (2x+1)(x-1)=0 Rightarrow left[ begin x_1=-frac12 — text\ x_2=1 end right. )
Ответ: 1

Пример 2*. Решите уравнения:
a) ( log_4log_2log_3(2x-1)=frac12 )
ОДЗ: ( begin 2x-1gt 0\ log_3(2x-1)gt 0\ log_2log_3(2x-1)gt 0 end Rightarrow begin xgtfrac12\ 2x-1gt 3^0\ log_3(2x-1)gt 2^0 end Rightarrow begin xgtfrac12\ xgt 1\ 2x-1gt 3^1 end Rightarrow )
( Rightarrow begin xgtfrac12\ xgt 1\ xgt 2 end Rightarrow xgt 2 )
Решаем:
(log_2log_3(2x-1)=4^=2)
(log_3(2x-1)=2^2=4)
(2x-1=3^4=81)
(2x=82)
(x=41)
Ответ: 41

б) ( log_2(9-2^x)=25^<log_5sqrt> )
ОДЗ: ( begin 9-2xgt 0\ 3-xgt 0 end Rightarrow begin 2^xlt 9\ xlt 3 end Rightarrow begin xltlog_2 9\ xlt 3 end Rightarrow xlt 3 )
Преобразуем: (25^<log_5sqrt>=25^<log_(sqrt)^2>=25^<log_(3-x)>=3-x)
Подставляем: (log_2(9-2^x)=3-x)
(9-2^x=2^)
(9-2^x-frac=0)
Замена: (t=2^xgt 0)
( 9-t-frac8t=0Rightarrow frac=0Rightarrow begin t^2-9t+8gt 0\ tne 0 end Rightarrow begin (t-1)(t-8)=0\ tne 0 end Rightarrow left[ begin t_1=1\ t_2=8 end right. )
Возвращаемся к исходной переменной:
( left[ begin 2^x=1\ 2^x=8 end right. Rightarrow left[ begin 2^x=2^0\ 2^x=2^3 end right. Rightarrow left[ begin x_1=0\ x_2=3 end right. )
По ОДЗ (xlt 3), второй корень не подходит.
Ответ: 0

в) ( lgsqrt+lgsqrt+1=lg 30 )
ОДЗ: ( begin x-5gt 0\ 2x-3gt 0 end Rightarrow begin xgt 5\ xgtfrac32 end Rightarrow xgt 5 )
Преобразуем: (lg 30-1=lg 30-lg 10=lgfrac=lg 3)
Подставляем: (lgsqrt+lgsqrt=lg 3)
(frac12lg(x-5)+frac12lg(2x-3)=lg 3 |cdot 2)
(lg(x-4)+lg(2x-3)=2lg 3)
(lgleft((x-5)(2x-3)right)=lg 3^2)
((x-5)(2x-3)=9Rightarrow 2x^2-13x+15-9=0 Rightarrow 2x^2-13x+6=0)
( (2x-1)(x-6)=0Rightarrow left[ begin x_1=frac12lt 5 — text\ x_2=6 end right. )
Ответ: 6

г) ( frac+frac+frac=0 )
ОДЗ: ( begin xgt 0\ lg xne 0\ lg 10xne 0\ lg 100xne 0 end Rightarrow begin xgt 0\ xne 1\ 10xne 1\ 100xne 1 end Rightarrow begin xgt 0\ xneleft<frac;frac;1right> end )
Преобразуем: (lg 10x=lg 10+lg x=1+lg 10)
(lg 100x=lg 100+lg x=2+lg x)
Подставляем: (frac+frac+frac=0)
Замена: (t=lg x)
begin frac1t+frac+frac=0Rightarrow frac1t+frac=-fracRightarrow frac=-fracRightarrow (1+2t)(2+t)=(1+t)\ 2_5t+2t^2=-3t-3t^2Rightarrow 5t^2+8t+2=0\ D=8^2-4cdot 5cdot 2=24, t=frac<-8pm 2sqrt>=frac<-4pm sqrt> end Возвращаемся к исходной переменной:
$$ left[ begin lg x=frac<-4- sqrt>\ lg x=frac<-4+ sqrt> end right. Rightarrow left[ begin x=10frac<-4- sqrt>\ x=10frac<-4+ sqrt> end right. $$ Оба корня подходят.
Ответ: (left<10frac<-4pmsqrt>right>)

e) ( x^<frac>=10^ )
ОДЗ: (xgt 0)
Замена: (t=lg x.) Тогда (x=10^t)
Подставляем: begin (10^t)^<frac>=10^\ frac=t+1Rightarrow t(t+7)=4(t+1)Rightarrow t^2+7t-4t-4=0\ t^2+3t-4=0Rightarrow (t+4)(t-1)=0Rightarrow left[ begin t_1=-4\ t_2=1 end right. end Возвращаемся к исходной переменной:
$$ left[ begin lg x=-4\ lg x=1 end right. Rightarrow left[ begin x=10^\ x=10 end right. Rightarrow left[ begin x_1=0,0001\ x_2=10 end right. $$ Оба корня подходят.
Ответ: (left)

ж) ( 4^=(2x^2+2x+5)^ )
ОДЗ: ( begin 1-xgt 0\ 2x^2+2x+5gt 0 end Rightarrow begin xlt 1\ Dlt 0, xinmathbb end Rightarrow xlt 1 )
По условию: begin log_3(1-x)=log_4left((2x^2+2x+5)^right)\ log_3(1-x)=log_32cdotlog_4(2x^2+2x+5) end Перейдем к другому основанию: $$ frac=fraccdotfrac |cdot lg 3 $$ (frac=frac=frac=frac12) begin lg(1-x)=frac12cdotlg(2x^2+2x+5) |cdot 2\ 2lg(1-x)=lg(2x^2+2x+5)\ lg(1-x)^2=lg(2x^2+2x+5)\ (1-x)^2=2x^2+2x+5\ 1-2x+x^2=2x^2+2x+5\ x^2+4x+4=0\ (x+2)^2=0\ x=-2 end Ответ: -2

Пример 3. Решите систему уравнений:
a) ( begin lg x+lg y=lg 2\ x^2+y^2=5 end )
ОДЗ: ( begin xgt 0\ ygt 0 end )
Из первого уравнения: (lg(xy)=lg 2Rightarrow xy=2)
Получаем: ( begin xy=2\ x^2+y^2=5 end Rightarrow begin y=frac2x\ x^2+left(frac2xright)^2-5=0 end )
Решаем биквадратное уравнение: begin x^2+frac-5=0Rightarrowfrac=0Rightarrow begin x^4-5x^2+4=0\ xne 0 end \ (x^2-4)(x^2-1)=0Rightarrow left[ begin x^2=4\ x^2=1 end right. Rightarrow left[ begin x=pm 2\ x=pm 1 end right. end Согласно ОДЗ, оставляем только положительные корни.
Получаем две пары решений: ( left[ begin begin x=1\ y=frac2x=2 end \ begin x=2\ y=frac22=1 end end right. )
Ответ: (left)

б) ( begin x^=27\ x^=frac13 end )
ОДЗ: (xgt 0, xne 1)
Логарифмируем: ( begin y+1=log_x27=log_x3^3=3log_x3\ 2y-5=log_xfrac13=log_x3^=-log_x3 end )
Замена: (z=log_x3) begin begin y+1=3z\ 2y-5=-z |cdot 3 end Rightarrow begin y+1=3z\ 6y-15=-3z end Rightarrow begin 7y-14=0\ z=5-2y end Rightarrow begin y=2\ z=1 end end Возвращаемся к исходной переменной: $$ begin y=2\ log_x3=1 end Rightarrow begin x^1=3\ y=2 end Rightarrow begin x=3\ y=2 end $$
Ответ: (3;2)

в*) ( begin 3(log_y x-log_x y)=8\ xy=16 end )
ОДЗ: ( begin xgt 0, xne 1\ ygt 0, yne 1 end )
Сделаем замену (t=log_x y). Тогда (log_y x=frac=frac1t)
Подставим в первое уравнение и решим его: begin 3left(frac1t-tright)=8Rightarrowfrac=frac83Rightarrow begin 3(1-t^2)=8t\ tne 0 end\ 3t^2+8t-3=0Rightarrow (3t-1)(t+3)=0Rightarrow left[ begin t_1=frac13\ t_2=-3 end right. end Прологарифмируем второе уравнение по (x): $$ log_x(xy)=log_x16Rightarrow 1+log_x y=log_x16Rightarrow 1+t=log_x 16 $$ Получаем: begin left[ begin begin t=frac13\ log_x16=1+t=frac43 end \ begin t=-3\ log_x16=1+t=-2 end end right. Rightarrow left[ begin begin t=frac13\ x^=16 end \ begin t=-3\ x^=16 end end right. Rightarrow left[ begin begin t=frac13\ x=(2^4)^=2^3=8 end \ begin t=-3\ x=(16)^=frac14 end end right. end Возвращаемся к исходной переменной: begin left[ begin begin x=8\ log_x y=frac13 end \ begin x=frac14\ log_x y=-3 end end right. Rightarrow left[ begin begin x=8\ y=8^=2 end \ begin x=frac14\ y=left(frac14right)^=64 end end right. end
Ответ: (left)

г*) ( begin (x+y)cdot 3^=frac\ 3log_5(x+y)=x-y end )
ОДЗ: (x+ygt 0)
Прологарифмируем первое уравнение по 3: begin log_3left((x+y)cdot 3^right)=log_3frac\ log_3(x+y)+(y-x)=log_3frac\ log_3(x+y)-log_3frac=x-y end Получаем:(x-y=3log_5(x+y)=log_3(x+y)-log_3frac)
Решим последнее уравнение относительно (t=x+y) begin 3log_5 t=log_3 t-log_3frac\ 3cdotfrac-log_3t=-log_3frac\ log_3tcdotleft(frac-1right)=-log_3frac\ log_3t=-frac<log_3frac><frac-1>=-frac=log_35\ t=5 end Тогда: (x-y=3log_5t=3log_55=3)
Получаем систему линейных уравнений: begin begin x+y=5\ x-y=3 end Rightarrow begin 2x=5+3\ 2y=5-3 end Rightarrow begin x=4\ y=1 end end Требование ОДЗ (x+y=4+1gt 0) выполняется.
Ответ: (4;1)

🔥 Видео

11 класс, 17 урок, Логарифмические уравненияСкачать

ЕГЭ база #7 / Логарифмические уравнения / Свойства, определение логарифма / решу егэСкачать

Алгебра 10 класс (Урок№27 - Логарифмические уравнения.)Скачать

Методы решения логарифмических уравненийСкачать

Логарифм с нуля до уровня про. Уравнения, неравенства и параметр. Профильный ЕГЭСкачать

Логарифмические неравенства. 11 класс.Скачать

ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

Учимся решать сложные логарифмические уравненияСкачать

Логарифмы с нуля за 30 минут. Логарифмы 10 класс ЕГЭ профиль математика | УмскулСкачать

Решение логарифмических уравнений методом группировкиСкачать

Математика. Методы решения логарифмических уравнений (1-2)Скачать

Логарифмические уравнения и их системы. Практическая часть. 11 класс.Скачать

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯСкачать