Логарифмические уравнения и неравенства курсовая

Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений. Идея логарифма, т. е. идея выражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития. Логарифмы были изобретены позже одновременно и независимо друг от друга шотландским учёным Джоном Непером(1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги(1552-1632) Первым опубликовал работу Непер в 1614г. под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», теория логарифмов Непера была дана в достаточно полном объёме, способ вычисления логарифмов дан наиболее простой, поэтому заслуги Непера в изобретении логарифмов больше, чем у Бюрги. Бюрги работал над таблицами одновременно с Непером, но долгое время держал их в секрете и опубликовал лишь в 1620г. Идеей логарифма Непер овладел около1594г. хотя таблицы опубликовал через 20 лет. Вначале он называл свои логарифмы «искусственными числами» и уже потом предложил эти «искусственные числа» называть одним словом «логарифм», который в переводе с греческого- «соотнесённые числа», взятые одно из арифметической прогресси, а другое из специально подобранной к ней геометрической прогресси. Первые таблицы на русском языке были изданы в1703г. при участии замечательного педагога 18в. Л. Ф Магницкого. В развитии теории логарифмов большое значение имели работы петербургского академика Леонарда Эйлера. Он первым стал рассматривать логарифмирование как действие, обратное возведению в степень, он ввёл в употребление термины «основание логарифма» и «мантисса» Бригс составил таблицы логарифмов с основанием 10. Десятичные таблицы более удобны для практического употребления, теория их проще, чем у логарифмов Непера. Поэтому десятичные логарифмы иногда называют бригсовыми. Термин «характеристика» ввёл Бригс.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел». В этом смысле исключением является «Арифметика» греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр» из арабского названия этого трактата – «Китаб аль-джебер валь-мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении») – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра», а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

Логарифмические уравнения и неравенства

1. Логарифмические уравнения

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = a b .

Пример 1. Решить уравнения:

a) log₂ x = 3, b) log₃ x = -1, c)

Решение. Используя утверждение 1, получим a) x = 2 3 или x = 8; b) x = 3 -1 или x = 1 /₃ ; c) или x = 1.

Приведем основные свойства логарифма.

Р1. Основное логарифмическое тождество:

Р2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:

Замечание. Если N ₁ ·N ₂ > 0, тогда свойство P2 примет вид

Р3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя

(a > 0, a ≠ 1, N ₁ > 0, N ₂ > 0).

Замечание. Если , (что равносильно N ₁ N ₂ > 0) тогда свойство P3 примет вид

(a > 0, a ≠ 1, N ₁ N ₂ > 0).

P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:

Замечание. Если k — четное число (k = 2s ), то

P5. Формула перехода к другому основанию:

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),

в частности, если N = b , получим

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)

Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (3)

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (4)

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (5)

и, если в (5) c — четное число (c = 2n ), имеет место

(b > 0, a ≠ 0, |a | ≠ 1). (6)

Перечислим и основные свойства логарифмической функции f (x ) = log_a x :

1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.

2. Область значений логарифмической функции — множество действительных чисел.

3. При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 log_a x ₂ ).

5. Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) и положительна при x (1;+∞), а если 0 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a (0;1) — выпукла вниз.

Следующие утверждения (см., например, [1]) используются при решении логарифмических уравнений.

Утверждение 2. Уравнение log_a f (x ) = log_a g (x ) (a > 0, a ≠ 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)

	f (x ) = g (x ),		f (x ) = g (x ),
	f (x ) > 0,		g (x ) > 0.

	f (x ) = g (x ),		f (x ) = g (x ),
	h (x ) > 0,		h (x ) > 0,
	h (x ) ≠ 1,		h (x ) ≠ 1,
	f (x ) > 0,		g (x ) > 0.

Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться «чужие» решения или могут быть потеряны решения. Например, уравнения

вообще говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже).

Следовательно, при решении логарифмических уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней.

2. Использование определения логарифма

Пример 1. Решить уравнения

a) log2 (5 + 3log2 (x — 3)) = 3,	c) log(x — 2) 9 = 2,
b)	d) log2x + 1 (2x 2 — 8x + 15) = 2.

Решение. a) Логарифмом положительного числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1) называется степень, в которую нужно возвести число a , чтобы получить b . Таким образом, log_a b = c , b = a c и, следовательно,

Опять используя определение, получим

Проверка полученного корня является неотъемлемой частью решения этого уравнения:

Получим истинное равенство 3 = 3 и, следовательно, x = 5 есть решение исходного уравнения.

b) Аналогично примеру a), получим уравнение

откуда следует линейное уравнение x — 3 = 3(x + 3) с решением x = -6. Сделаем проверку и убедимся, что x = -6 является корнем исходного уравнения.

c) Аналогично примеру a), получим уравнение

Возведя в квадрат, получим квадратное уравнение x 2 — 4x — 5 = 0 с решениями x ₁ = -1 и x ₂ = 5. После проверки остается лишь x = 5.

d) Используя определение логарифма, получим уравнение

или, после элементарных преобразований,

откуда x ₁ = -7 и x ₂ = 1. После проверки остается x = 1.

3. Использование свойств логарифма

Пример 3. Решить уравнения

Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество x  (0;+) которое определяется из системы неравенств (условия существования логарифмов уравнения)

	x > 0,
	x +3 > 0,
	x +24 > 0.

Используя свойство P2 и утверждение 1, получим

log3 x + log3 (x + 3) = log3 (x + 24) 
	log3 x (x + 3) = log3 (x + 24),
	x > 0,

	x (x + 3) = x + 24,
	x > 0,
	x 2 + 2x — 24 = 0,
	x > 0,
		x 1 = -6,
		x 2 = 4,
	x > 0,
 x = 4.

b) Используя свойство P3, получим следствие исходного уравнения

откуда, используя определение логарифма, получим

откуда получаем уравнение

с решениями x ₁ = -1 и x = 3. После проверки остается лишь x = -1.

c) ОДЗ уравнения: x  (0;+). Используя свойство P5, получим уравнение

откуда или или log₂ x = log₆ 3. Следовательно,

Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании называется логарифмическим неравенством. В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.

Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство log_a f (x ) > log_a g (x ) равносильно системе неравенств

	f (x ) > g (x ),
	g (x ) > 0.

Утверждение 2. Если 0 log_a g (x ) равносильно системе неравенств

f (x ) 0.

Утверждение 3. Неравенство log_{h (x )} f (x ) > log_{h (x )} g (x ) равносильно совокупности систем неравенств

		h (x ) > 1,
		f (x ) > g (x ) > 0,
		0 loga g (x ) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ≥ , 2 — x ) ≥ log3 (x + 8);
		b)
c)

Решение. a) Используя утверждение 1 , получим

log3 (x 2 — x ) ≥ log3 (x + 8)	x 2 — x ≥ x + 8,		x 2 — 2x — 8 ≥ 0,
	x +8 > 0,		x > -8,

		x ≤ -2,
		x ≥ 4,	x (-8;-2][4;+∞).
	x > -8,

b) Основание логарифма число между нулем и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим

c) Запишем 0 = log₂ 1 и, используя утверждение 1, получим

Запишем и, используя утверждение 2, получим

Видео:✓ Как решать логарифмические уравнения и неравенства, не помня свойства логарифмов | Борис ТрушинСкачать

Курсовая работа на тему «Методика изучения логарифмических уравнений и неравенств.»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Министерство просвещения Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Чеченский государственный

Геометрии и методики преподавания математики

по дисциплине: «Методика обучения математики» .

на тему: «Методика изучения логарифмических уравнений и неравенств»

Выполнена студенткой 4 курса МИ1 группы

очной формы обучения

Профиль «Математика» и «Информатика»

__________ Тепсуркаева Хава Адаовна

Подпись ФИО студента

(Ученая степень и звание)

___________ Багашева Аймани Бураевна

подпись ФИО руководителя

Работа защищена «___» _________2021г. протокол №______

ГЛАВА 1. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ……………………………………. 5

1.1. Методические особенности изучения логарифмических уравнений и неравенств…..………………………………………………………….………….5

1.2. Анализ заданий на решение логарифмических уравнений в составе ЕГЭ……………………………………………………………………………..…..8

ГЛАВА 2. ВИДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ……………………………….11

2.1. Метод решения по определению логарифма………………..…………..11

2.3. Метод замены переменной………………………………………..……. 13

2.5. Метод логарифмирования обеих частей уравнения……………..……. 16

2.6. Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию……….17

Актуальность работы. В школьном курсе математики важное место занимает решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств. В зависимости от авторов учебника эта тема изучается в 10 или 11 классе. Показательные и логарифмические уравнения, неравенства встречаются в заданиях ЕГЭ. Поэтому, изучению методов решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств должно быть уделено особое внимание. Из вышеуказанного следует актуальность выбранной темы, необходимость рассмотрения этой темы для будущего учителя математики.

При решении логарифмических уравнений часто возникают трудности, связанные со следующими особенностями:

— незнание четкого алгоритма решения логарифмических уравнений;

— при решении логарифмических уравнений, ученики производят преобразования, которые не равносильны исходным уравнениям;

— при решении логарифмического уравнения введением новой переменной забывают возвращаться к обратной замене.

Цель данной работы: изучить теоретический материал по теме «Логарифмические уравнения в школьном курсе», провести анализ этой темы в учебниках алгебра и начала анализа, рассмотреть основные методы решения логарифмических уравнений, систематизировать и обобщить основные особенности этой темы.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

— изучить требования государственных стандартов по теме «Логарифмические уравнения»;

— проанализировать материал по теме в учебниках алгебры и начала анализа;

— систематизировать методы решения логарифмических уравнений;

— систематизировать и обобщить методические особенности изучения данной темы.

Объектом исследования является процесс обучения математики в старших классах.

Предметом исследования являются методические особенности изучения показательных и логарифмических уравнений, неравенств.

− анализ психолого-педагогической литературы по проблеме исследования;

− методы статистической обработки полученной информации.

Структура работы : введение, две главы, заключение, список литературы. Объем работы: 27 стр.

ГЛАВА 1. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ.

1.1 Методические особенности изучения логарифмических уравнений и неравенств.

Первоначально в курсе алгебры изучались такие функции, вычисление значений которых сводилось к четырем арифметическим действиям и возведению в степень. Для вычисления значений логарифмической функции нужно уметь находить логарифмы чисел, т.е. выполнять новое для учащихся действие – логарифмирование. До появления компьютеров логарифмы широко использовались для выполнения вычислений и детально изучались в школе. Теперь же их роль стала вспомогательной, а изучение в школе не стало столь подробным.

Знакомство с логарифмами чисел и их свойствами для многих учащихся достаточно сложно. Поэтому полезны подробные и наглядные объяснения. Обычно логарифм определяется как показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить данное число: , т.к. . Следует обратить внимание на то, что является корнем уравнения , а поэтому . Таким образом, получается основное логарифмическое тождество , где Это равенство является краткой символической записью определения логарифма.

Доказательство свойств логарифма опирается на его определение. Т.к., например, по определению логарифма , , то, перемножая эти равенства и используя свойство умножения степеней, получаем , . Последнее равенство показывает, что отсюда и следует свойство логарифма произведения

На практике рассматриваются логарифмы по различным основаниям, в частности по основанию 10 ( десятичный логарифм) и по основанию ( — натуральный логарифм), отсюда возникает необходимость формулы перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию: , где

Т.к. на микрокалькуляторе есть клавиши и , то для вычисления логарифма по основаниям, отличным от 10 и , нужно использовать формулу перехода.

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

(1)

Утверждение 1. Если , уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение

Пример 1 . Решить уравнения:

Решение. Используя утверждение 1, получим

Приведем основные свойства логарифма.

. Основное логарифмическое тождество:

где

Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:

Замечание. Если тогда свойство примет вид

Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя:

Замечание. Если , тогда свойство примет вид

,

Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:

. Формула перехода к другому основанию:

, в частности, если , получим ,

Используя свойства , легко получить следующие свойства

и, если в (5) c — четное число ), имеет место

[1 c .214]

Перечислим и основные свойства логарифмической функции :

1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.

2. Область значений логарифмической функции — множество действительных чисел.

3. При логарифмическая функция строго возрастает а при , — строго убывает

4.

5. Если , то логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) и положительна при а если , то логарифмическая функция положительна при и отрицательна при .

6. Если то логарифмическая функция выпукла вверх, а если — выпукла вниз [1 c .217].

Важнейшей частью школьного курса математики является обучение методам решения уравнений. Для успешного решения уравнений необходимо знать и использовать свойства показательной и логарифмической функций, свойства действий со степенями, определение логарифма, основные логарифмические тождества.

Цель темы – обучение учащихся методам решения логарифмических уравнений.

Для передачи теоретического материала наиболее эффективна исследовательская работа учеников, которая сопровождается беседами учителя с учащимися. Для закрепления материала используются задания из учебника, дополнительной литературы.

Особое место отводится самостоятельной работе – решению уравнений, подготовка сообщений, проработке теоретического материала. При изучении темы «логарифмические уравнения» учащиеся должны уметь:

1. Определять методы решения логарифмических уравнений.

2. Решать логарифмические уравнения.

1.2 Анализ заданий на решение логарифмических уравнений в составе ЕГЭ.

Рассмотрим задания из состава ЕГЭ, содержащие примеры на решение логарифмических выражений уравнений:

1. Найдите корень уравнения .

2. Найдите корень уравнения

Ответ : 21.[2 c .40]

3. Решите уравнение

Если, уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

На ОДЗ перейдем к уравнению на основание логарифма:

Итак, на ОДЗ уравнение имеет только один корень.

4. а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

а) Запишем исходное уравнение в виде:

б) Поскольку отрезку принадлежит единственный корень −2.

Ответ : а) −2; 1, б) −2.

5. а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

а) Из уравнения получаем:

б) Заметим, что .

Значит, указанному отрезку принадлежит только корень −2.

Ответ: а) −2 и 16; б) −2. [2 c.30]

Анализируя задания ЕГЭ, можно сделать вывод о том, что задачи на решение логарифмических уравнений могут встречаться в любой части заданий ЕГЭ. В первойчасти обычно предлагают решить простейшие логарифмические уравнения. Во второй части можно встретить более сложные логарифмические уравнения, решение которых обычно является одним из этапов выполнения задания. Уравнения в части «С» могут быть и комбинированные, т.е. быть логарифмическими, иррациональными, тригонометрическими и показательными и т.д.

В части «С» предложены не только логарифмические уравнения, но и системы уравнений. Задание «С-1» заключается в том, чтобы решить уравнение и выбрать подходящий корень из определенного промежутка [10 c .162].

ГЛАВА 2. ВИДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ.

2.1. Метод решения по определению логарифма

Решение уравнений, основанных на определении логарифма.

Пример 1

Решение: По определению логарифма

корень уравнения.

Ответ:

ОДЗ

Используем определение логарифма:

Ответ:

2.2. Метод потенцирования

Решение логарифмических уравнений типа сводится к решению уравнения

Это следует из монотонности логарифмической функции.

Потенцирование — это переход от уравнения вида к уравнению , где — отличное от единицы положительное число, — элементарные алгебраические функции,

Для решения рассматриваемого типа уравнений достаточно найти все решения уравнения .Среди полученных выбрать те, которые принадлежат ОДЗ уравнения

В случае, если уравнение решений не имеет, то их не имеет и исходное логарифмическое уравнение.[3 c .168]

принадлежит интервалу значит, является корнем исходного логарифмического уравнения.

Ответ:

значит, −5,5 не является корнем исходного уравнения.
Ответ: [4 c .87].

2.3. Метод замены переменной

Уравнения вида решаются с помощью подстановки , которая приводит уравнение к виду

Если t — корень уравнения , то после возвращения к подстановке можно найти корень исходного логарифмического уравнения, т. е. (аналогично находятся и другие корни, если они есть) [1 c .219].

оба принадлежат ОДЗ.

Пример:

Обозначив получим уравнение

Корни этого уравнения

Из уравнения находим, что а из уравнения =2 следует, что

Оба корня принадлежат ОДЗ:

Пример:

Введём новую переменную:

Вернёмся к обозначенному:

Первый корень не принадлежит ОДЗ, а значит, решением является

Ответ: [4 c .89].

2.4. Графический метод

Метод основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций.

В одной системе координат строим графики функций, записанные в левой и в правой частях уравнения, затем находим точку (точки) их пересечения. Абсцисса найденной точки является решением уравнения.

· левую и правую части уравнения представить в виде функций;

· построить графики обеих функций в одной системе координат;

· найти точки пересечения графиков, если они есть;

· указать абсциссы точек пересечения, это корни уравнения [3c. 118]

Пример . (обратить внимание на несовершенность этого способа)

Р

ис.1

2.5. Метод логарифмирования обеих частей уравнения

Уравнения вида решаются логарифмированием обеих частей уравнения.

Логарифмирование — это переход от уравнения к уравнению

Рассмотрим на примерах.

Пример:

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

Ответ:

Пример:

Прологарифмируем обе части по основанию 3:

Пусть

По теореме Виета

Вернёмся к обозначенному

значения принадлежат ОДЗ.

Ответ: .

2.6. Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию

Решение: Приведем все логарифмы к основанию 2, по формуле перехода находим: , аналогично .

Ответ:

ОДЗ

Пусть

Тогда

Отвеет: .

2.7. Методическая разработка урока по теме «Решение логарифмических уравнений»

План — конспект урока по теме:

«Решение логарифмических уравнений»

Цель урока: повторить понятие и свойства логарифма; изучить способы решения логарифмических уравнений и закрепить их при выполнении упражнений.

— обучающие: повторить определение и основные свойства логарифмов, уметь применять их в вычислении логарифмов, в решении логарифмических уравнений;

-развивающие: развить память, внимание, умение работать самостоятельно;

-воспитательные: воспитывать настойчивость, самостоятельность; прививать интерес к предмету.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Педагогические технологии: информационно-коммуникационные, коллективная система обучения – вариационная пара.

Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор, экран.

Структура и ход урока:

I. Организационный момент.

Проверка готовности обучающихся и кабинета к занятию. Объявление темы.

Закрепление понятия логарифма, повторение его основных свойств и свойств логарифмической функции:

1. Разминка по теории :

1. Дайте определение логарифма.

2. От любого ли числа можно найти логарифм?

3. Какое число может стоять в основании логарифма?

4. Функция является возрастающей или убывающей? Почему?

5. Какие значения может принимать логарифмическая функция?

6. Какие логарифмы называют десятичными, натуральными?

7. Назовите основные свойства логарифмов.

8. Можно ли перейти от одного основания логарифма к другому? Как это сделать?

2. Работа по карточкам :

Вычислить:

Вычислить:

3. Фронтальный опрос класса (сопровождается слайдами презентации)

ЕГЭ 2009. Математика. Справочник / А. М. Титаренко, И.

В. Третьяк, Т. М. Виноградова. – М: Эксмо, 2018. – 448 с.

3. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10–11 кл. общеобразовательных учреждений /А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под. ред. А.Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 2014.

4. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса /Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд. – М.: Просвещение, 2013. – 143 с.

5. Система тренировочных задач и упражнений по математике./ Симонов А.Я., Бакаев Д.С., Эпельман А.Г. и др. – М.:Просвещение, 2015. – 208 с.

6. Мордковича А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы: задачник /А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская.-М.: Мнемозина, 2017. – 315 с.

7. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый уровень/ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева и др., 2012. – 464 с.

8. ЕГЭ – 2012. Математика: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов/ под редакцией А.В. Семенова, И.В. Ященко. – М.: Национальное образование, 2015. – 192 с.

9. Алгебраический тренажер: пособие для школьников и абитуриентов/ под редакцией Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.

– М.: Илекса, 2017. – 320 с.

10. Математика. Репетитор. ЕГЭ-2009. Авторы: В.В.Кочагин; М.Н.Кочагина. — М.: Эксмо, 2019. – 272 с.

11. Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства: учебное пособие/ Севрюков П.Ф., Смоляков А.Н. М.: Илекса; Народное образование; Ставрополь: Сервисшкола, 2018. – 352 с.

12. Математика для поступающих в вузы: учебное пособие/ И.Ф. Шарыгин. М.: Дрофа, 2016. – 479 с.

13. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – М.: Просвещение, 2017. – 416 с.

Видео:Логарифм с нуля до уровня про. Уравнения, неравенства и параметр. Профильный ЕГЭСкачать

Логарифмические уравнения и неравенства

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 10 Октября 2013 в 15:29, курсовая работа

Краткое описание

Цель данной курсовой работы: разработать средства оценивания учащихся логарифмических уравнений и неравенств в школе, а также выявить возможности использования общих методов решения уравнений при решении логарифмических уравнений и неравенств.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
Изучить стандарты образования по данной теме;
Подобрать теоретический материал, связанный с равносильностью уравнений и неравенств, равносильностью преобразований, методами решения логарифмических уравнений и неравенств;
Показать, как общие методы решения уравнений применимы для решения логарифмических уравнений и неравенств;
Подобрать средства оценивания логарифмических уравнений и неравенств для демонстрации излагаемой теории.

Содержание

Глава I. Логарифмические уравнения и неравенства

Определение логарифмических уравнений и неравенств
1.2 Методика решения логарифмических уравнений и неравенств

Глава II. Средства оценивания знаний и умений учащихся по теме «Логарифмические уравнения и неравенства»

2.1.Тренинг
2.2. Самостоятельная работа
2.3. Контрольная работа

Глава III. Приложение

Вложенные файлы: 1 файл

Видео:Логарифмы с нуля за 20 МИНУТ! Introduction to logarithms.Скачать

курсовик Садриева Эльмира 597 ма.doc

МИНИСТЕРСТВО образования и науки

Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ИМ. Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО

КАФЕДРА ТЕОРИИ И ТЕХНОЛОГИЙ ПРЕПОДАВАНИЯ

МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

Направление: (математика и английский язык)

Средства оценивания учащихся по теме:

«Логарифмические уравнения и неравенства»

Студент 4 курса

«4» апреля 2013 г. Садриева Эльмира

д.п.н., профессор кафедры теории и технологий
преподавания математики и информатики

«___»_________ 2013 г. Л.Р. Шакирова

Глава I. Логарифмические уравнения и неравенства

1. Определение логарифмических уравнений и неравенств

1.2 Методика решения логарифмических уравнений и неравенств

Глава II. Средства оценивания знаний и умений учащихся по теме «Логарифмические уравнения и неравенства»

Видео:Решение логарифмических уравнений. Вебинар | МатематикаСкачать

2.1.Тренинг

Видео:11 класс, 17 урок, Логарифмические уравненияСкачать

2.2. Самостоятельная работа

2.3. Контрольная работа

Глава III. Приложение

Материал, связанный с уравнениями и неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики.

В школе логарифмическим уравнениям и неравенствам уделяется достаточно мало внимания.

Однако задачи по теме «Логарифмические уравнения и неравенства» встречаются в ЕГЭ, и они довольно часто становятся затруднительными для выпускников.

Так как при решении логарифмических уравнений и неравенств в школе применяется потенцирование, то ОДЗ уравнения расширяется, то есть возможно приобретение корней, в этом случае нужна проверка. Чаще всего возникают ошибки, обычно связаны с потерей или приобретением посторонних корней в процессе решения. Поэтому необходимо рассмотреть такие ситуации, показать, как их распознавать и как с ними можно бороться.

Цель данной курсовой работы: разработать средства оценивания учащихся логарифмических уравнений и неравенств в школе, а также выявить возможности использования общих методов решения уравнений при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Изучить стандарты образования по данной теме;
2. Подобрать теоретический материал, связанный с равносильностью уравнений и неравенств, равносильностью преобразований, методами решения логарифмических уравнений и неравенств;
3. Показать, как общие методы решения уравнений применимы для решения логарифмических уравнений и неравенств;
4. Подобрать средства оценивания логарифмических уравнений и неравенств для демонстрации излагаемой теории.

Объектом исследования является процесс обучения решению логарифмических уравнений и неравенств на уроках математики.

Предметом исследования являются методические особенности решения логарифмических уравнений и неравенств.

— изучить методы решения логарифмических уравнений и неравенств.

🎥 Видео

Логарифмические уравнения. 11 класс.Скачать

11 класс, 18 урок, Логарифмические неравенстваСкачать

Логарифмы с нуля за 30 минут. Логарифмы 10 класс ЕГЭ профиль математика | УмскулСкачать

Логаримы для чайников с нуля — Как решать Логарифмы?Скачать

ЕГЭ база #7 / Логарифмические уравнения / Свойства, определение логарифма / решу егэСкачать

Логарифмические уравнения. Видеоурок 18. Алгебра 10 классСкачать

ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ: ОДЗ ИЛИ НЕ ОДЗ?Скачать

Проще простого! Как решить Логарифмическое Уравнение?Скачать

Показательные и логарифмические уравнения. Вебинар | МатематикаСкачать

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ НА ЕГЭ | Решаем №12 из профильной математикиСкачать

Решаем 15 задание из ЕГЭ: логарифмические неравенства | TutorOnlineСкачать

Логарифмические уравнения и их системы. Практическая часть. 11 класс.Скачать

84 людей этого не знают! Секретный способ решения Логарифмических УравненийСкачать

Логарифмы с Нуля, Что Такое Логарифм? + ДЗ (ЕГЭ 2024 Математика Профиль и База, 10 и 11 класс)Скачать