Логарифмические уравнения и методы их решения реферат (6 видео)

Курсовая работа: Логарифмические уравнения

Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений. Идея логарифма, т. е. идея выражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития. Логарифмы были изобретены позже одновременно и независимо друг от друга шотландским учёным Джоном Непером(1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги(1552-1632) Первым опубликовал работу Непер в 1614г. под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», теория логарифмов Непера была дана в достаточно полном объёме, способ вычисления логарифмов дан наиболее простой, поэтому заслуги Непера в изобретении логарифмов больше, чем у Бюрги. Бюрги работал над таблицами одновременно с Непером, но долгое время держал их в секрете и опубликовал лишь в 1620г. Идеей логарифма Непер овладел около1594г. хотя таблицы опубликовал через 20 лет. Вначале он называл свои логарифмы «искусственными числами» и уже потом предложил эти «искусственные числа» называть одним словом «логарифм», который в переводе с греческого- «соотнесённые числа», взятые одно из арифметической прогресси, а другое из специально подобранной к ней геометрической прогресси. Первые таблицы на русском языке были изданы в1703г. при участии замечательного педагога 18в. Л. Ф Магницкого. В развитии теории логарифмов большое значение имели работы петербургского академика Леонарда Эйлера. Он первым стал рассматривать логарифмирование как действие, обратное возведению в степень, он ввёл в употребление термины «основание логарифма» и «мантисса» Бригс составил таблицы логарифмов с основанием 10. Десятичные таблицы более удобны для практического употребления, теория их проще, чем у логарифмов Непера. Поэтому десятичные логарифмы иногда называют бригсовыми. Термин «характеристика» ввёл Бригс.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел». В этом смысле исключением является «Арифметика» греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр» из арабского названия этого трактата – «Китаб аль-джебер валь-мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении») – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра», а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

Логарифмические уравнения и неравенства

1. Логарифмические уравнения

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = a b .

Пример 1. Решить уравнения:

a) log₂ x = 3, b) log₃ x = -1, c)

Решение. Используя утверждение 1, получим a) x = 2 3 или x = 8; b) x = 3 -1 или x = 1 /₃ ; c) или x = 1.

Приведем основные свойства логарифма.

Р1. Основное логарифмическое тождество:

Р2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:

Замечание. Если N ₁ ·N ₂ > 0, тогда свойство P2 примет вид

Р3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя

(a > 0, a ≠ 1, N ₁ > 0, N ₂ > 0).

Замечание. Если , (что равносильно N ₁ N ₂ > 0) тогда свойство P3 примет вид

(a > 0, a ≠ 1, N ₁ N ₂ > 0).

P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:

Замечание. Если k — четное число (k = 2s ), то

P5. Формула перехода к другому основанию:

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),

в частности, если N = b , получим

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)

Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (3)

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (4)

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (5)

и, если в (5) c — четное число (c = 2n ), имеет место

(b > 0, a ≠ 0, |a | ≠ 1). (6)

Перечислим и основные свойства логарифмической функции f (x ) = log_a x :

1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.

2. Область значений логарифмической функции — множество действительных чисел.

3. При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 log_a x ₂ ).

5. Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) и положительна при x (1;+∞), а если 0 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a (0;1) — выпукла вниз.

Следующие утверждения (см., например, [1]) используются при решении логарифмических уравнений.

Утверждение 2. Уравнение log_a f (x ) = log_a g (x ) (a > 0, a ≠ 1) равносильно одной из систем (очевидно, выбирается та система, неравенство которой решается проще)

Название: Логарифмические уравнения
Раздел: Рефераты по математике
Тип: курсовая работа Добавлен 22:55:07 09 октября 2010 Похожие работы
Просмотров: 4125 Комментариев: 20 Оценило: 5 человек Средний балл: 4.8 Оценка: неизвестно Скачать

	f (x ) = g (x ),		f (x ) = g (x ),
	f (x ) > 0,		g (x ) > 0.

	f (x ) = g (x ),		f (x ) = g (x ),
	h (x ) > 0,		h (x ) > 0,
	h (x ) ≠ 1,		h (x ) ≠ 1,
	f (x ) > 0,		g (x ) > 0.

Нужно подчеркнуть, что в процессе решения логарифмических уравнений часто используются преобразования, которые изменяют область допустимых значений (ОДЗ ) исходного уравнения. Следовательно, могут появиться «чужие» решения или могут быть потеряны решения. Например, уравнения

вообще говоря, неравносильны (ОДЗ уравнений справа уже).

Следовательно, при решении логарифмических уравнений полезно использовать равносильные преобразования. В противном случае, проверка полученных решений является составной частью решения. Более того, необходимо учитывать и преобразования, которые могут привести к потере корней.

2. Использование определения логарифма

Пример 1. Решить уравнения

a) log₂ (5 + 3log₂ (x — 3)) = 3,	c) log_{(x — 2)} 9 = 2,
b)	d) log_{2x + 1} (2x 2 — 8x + 15) = 2.

Решение. a) Логарифмом положительного числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1) называется степень, в которую нужно возвести число a , чтобы получить b . Таким образом, log_a b = c , b = a c и, следовательно,

Опять используя определение, получим

Проверка полученного корня является неотъемлемой частью решения этого уравнения:

Получим истинное равенство 3 = 3 и, следовательно, x = 5 есть решение исходного уравнения.

b) Аналогично примеру a), получим уравнение

откуда следует линейное уравнение x — 3 = 3(x + 3) с решением x = -6. Сделаем проверку и убедимся, что x = -6 является корнем исходного уравнения.

c) Аналогично примеру a), получим уравнение

Возведя в квадрат, получим квадратное уравнение x 2 — 4x — 5 = 0 с решениями x ₁ = -1 и x ₂ = 5. После проверки остается лишь x = 5.

d) Используя определение логарифма, получим уравнение

или, после элементарных преобразований,

откуда x ₁ = -7 и x ₂ = 1. После проверки остается x = 1.

3. Использование свойств логарифма

Пример 3. Решить уравнения

a) log₃ x + log₃ (x + 3) = log₃ (x + 24),

b) log₄ (x 2 — 4x + 1) — log₄ (x 2 — 6x + 5) = — 1 /₂

c) log₂ x + log₃ x = 1

Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество x  (0;+) которое определяется из системы неравенств (условия существования логарифмов уравнения)

	x > 0,
	x +3 > 0,
	x +24 > 0.

Используя свойство P2 и утверждение 1, получим


log₃ x + log₃ (x + 3) = log₃ (x + 24) 

	log₃ x (x + 3) = log₃ (x + 24),
	x > 0,


	x (x + 3) = x + 24,
	x > 0,

	x 2 + 2x — 24 = 0,
	x > 0,

		x ₁ = -6,
		x ₂ = 4,
	x > 0,
 x = 4.

b) Используя свойство P3, получим следствие исходного уравнения

откуда, используя определение логарифма, получим

откуда получаем уравнение

с решениями x ₁ = -1 и x = 3. После проверки остается лишь x = -1.

c) ОДЗ уравнения: x  (0;+). Используя свойство P5, получим уравнение

откуда или или log₂ x = log₆ 3. Следовательно,

Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании называется логарифмическим неравенством. В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.

Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство log_a f (x ) > log_a g (x ) равносильно системе неравенств

	f (x ) > g (x ),
	g (x ) > 0.

Утверждение 2. Если 0 log_a g (x ) равносильно системе неравенств

Логарифмические уравнения и методы их решения реферат

f (x ) 0.

Утверждение 3. Неравенство log_h _{(x )} f (x ) > log_h _{(x )} g (x ) равносильно совокупности систем неравенств

		h (x ) > 1,
		f (x ) > g (x ) > 0,
		0 log_a g (x ) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ≥ , 2 — x ) ≥ log₃ (x + 8);
		b)
c)

Решение. a) Используя утверждение 1 , получим

log₃ (x 2 — x ) ≥ log₃ (x + 8)	x 2 — x ≥ x + 8,		x 2 — 2x — 8 ≥ 0,
	x +8 > 0,		x > -8,

	x ≤ -2,
	x ≥ 4,	x (-8;-2][4;+∞).
x > -8,

b) Основание логарифма число между нулем и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим

c) Запишем 0 = log₂ 1 и, используя утверждение 1, получим

Запишем и, используя утверждение 2, получим

Содержание

Методика решения логарифмических уравнений
Методы решения логарифмических уравнений и неравенств
курсовая тимом.docx
🎦 Видео

Видео:Проще простого! Как решить Логарифмическое Уравнение?Скачать

Методика решения логарифмических уравнений

Разделы: Математика

Введение

Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем как поддержать у студентов интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. В связи с этим ведутся поиски новых эффективных методов обучения и таких методических приемов, которые активизировали бы мысль студентов, стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний.

Возникновение интереса к математике у значительного числа студентов зависит в большей степени от методики ее преподавания, от того, на сколько умело будет построена учебная работа. Вовремя обращая внимание студентов на то, что математика изучает общие свойства объектов и явлений окружающего мира, имеет дело не с предметами, а с отвлеченными абстрактными понятиями, можно добиться понимания того, что математика не нарушает связи с действительностью, а, напротив, дает возможность изучить ее глубже, сделать обобщенные теоретические выводы, которые широко применяются в практике.

Участвуя в фестивале педагогических идей «Открытый урок» 2004-2005 учебного года, я представила урок-лекцию по теме «Логарифмическая функция» (диплом № 204044). Считаю этот метод наиболее удачным в данном конкретном случае. В результате изучения у студентов имеется подробный конспект и краткая схема по теме, что облегчит им подготовку к следующим урокам. В частности, по теме «Решение логарифмических уравнений», которая полностью опирается на изучение логарифмической функции и ее свойств.

При формировании основополагающих математических понятий важно создать у студентов представление о целесообразности введения каждого из них и возможности их применения. Для этого необходимо, чтобы при формулировке определения некоторого понятия, работе над его логической структурой, рассматривались вопросы об истории возникновения данного понятия. Такой подход поможет студентам осознать, что новое понятие служит обобщением фактов реальной действительности.

История возникновения логарифмов подробно представлена в работе прошлого года.

Учитывая важность преемственности при обучении математике в среднем специальном учебном заведении и в вузе и необходимость соблюдения единых требований к студентам считаю целесообразным следующую методику ознакомления студентов с решением логарифмических уравнений.

Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма (в частности, в основании логарифма), называются логарифмическими. Рассмотрим логарифмические уравнения вида:

(1)

Решение этих уравнений основано на следующей теореме.

Теорема 1. Уравнение равносильно системе

(2)

Для решения уравнения (1) достаточно решить уравнение

(3)

и его решения подставить в систему неравенств

(4),

задающую область определения уравнения (1).

Корнями уравнения (1) будут только те решения уравнения (3), которые удовлетворяют системе (4), т.е. принадлежат области определения уравнения (1).

При решения логарифмических уравнений может произойти расширение области определения (приобретение посторонних корней) или сужение (потеря корней). Поэтому подстановка корней уравнения (3) в систему (4), т.е. проверка решения, обязательна.

Пример 1: Решить уравнение

Оба значения х удовлетворяют условиям системы.

Ответ:

Рассмотрим уравнения вида:

(5)

Их решение основано на следующей теореме

Теорема 2: Уравнение (5) равносильно системе

(6)

Корнями уравнения (5) будут только те корни уравнения , которые

принадлежат области определения, задаваемой условиями .

Логарифмическое уравнение вида (5) можно решить различными способами. Рассмотрим основные из них.

1. ПОТЕНЦИНИРОВАНИЕ (применение свойств логарифма).

Пример 2: Решить уравнение

Решение: В силу теоремы 2 данное уравнение равносильно системе:

Всем условиям системы удовлетворяет лишь один корень. Ответ:

2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛОГАРИФМА .

Пример 3: Найти х, если

Значение х = 3 принадлежит области определения уравнения. Ответ х = 3

3. ПРИВЕДЕНИЕ К КВАДРАТНОМУ УРАВНЕНИЮ.

Пример 4: Решить уравнение

Оба значения х являются корнями уравнения.

Ответ:

Пример 5: Решить уравнение

Решение: Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 и применим свойство «логарифм степени».

Оба корня принадлежат области допустимых значений логарифмической функции.

Ответ: х = 0,1; х = 100

5. ПРИВЕДЕНИЕ К ОДНОМУ ОСНОВАНИЮ.

Пример 6: Решить уравнение

Воспользуемся формулой и перейдем во всех слагаемых к логарифму по основанию 2:

Тогда данное уравнение примет вид:

Так как , то это корень уравнения.

Ответ: х = 16

6. ВВЕДЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Решим способом введения вспомогательной переменной уравнение, заданное в примере 6.

Пусть ; тогда

Учитывая, что

После проверки, проведенной устно, легко убеждаемся в правильности найденного ответа.

Многие уравнения, содержащие переменную не только под знаком логарифма или в показателе степени, удобно решать графически.

Графически решением уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций, заданных в уравнении.

Пример 7: Решить уравнение

Решение: Построим графики функций и y = x

Графики функций не пересекаются, и, значит, уравнение не имеет корней (см. рисунок).

Ответ: корней нет

Пример 8: Найти х, если

Решение: С помощью рассмотренных выше способов корни уравнения найти не удается. Найдем какой-нибудь корень методом подбора.

Пусть, например, х = 10. Проверкой убедимся в том, что 10 — корень уравнения. Действительно,

истинно

Докажем, что других корней данное уравнение не имеет.

Эти корни следует искать во множестве значений х.

Допустимые значения х находятся в промежутке

На этом промежутке функция убывает, а функция возрастает. И, значит, если уравнение имеет решение, то оно единственное.

Видео:Логарифмические уравнения. 11 класс.Скачать

Методы решения логарифмических уравнений и неравенств

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 10 Декабря 2012 в 20:14, курсовая работа

Описание

Цель исследования: Систематизировать и описать основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств.
Задачи исследования:
1. Провести краткий ретроспективный анализ возникновения логарифмов
2. Выбрать рабочее определение логарифмического уравнения и неравенства

Содержание

Введение……………………………………………………………………. ….3
1. История возникновения логарифмов…………………………….………….5
2. Логарифмические уравнения и неравенства………………………………..7
2.1. Понятие логарифма
2.2 Понятие логарифмического уравнения
2.3. Понятие логарифмического неравенства
2.4. Свойства логарифма
3. Методы решения логарифмических уравнений и неравенств……………12
3.1 по определению логарифма
3.2 замена переменной
3.3 по основным свойствам и формулам логарифма
3.4 метод потенцирования
3.5 метод приведения логарифмического уравнения к квадратному
3.6 метод логарифмирования обеих частей уравнения
3.7 метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию
3.8 графический метод
4. Методы решения логарифмических неравенств…………………………..17
5. Практикум по решению логарифмических уравнений и неравенств…. 20
Заключение………………………………………………………………………24
Список литературы……………………………………………………………. 25

Работа состоит из 1 файл

Видео:Логарифмы с нуля за 20 МИНУТ! Introduction to logarithms.Скачать

курсовая тимом.docx

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

1. История возникновения логарифмов…………………………….………….5

2. Логарифмические уравнения и неравенства………………………………..7

2.1. Понятие логарифма

2.2 Понятие логарифмического уравнения

2.3. Понятие логарифмического неравенства

2.4. Свойства логарифма

3. Методы решения логарифмических уравнений и неравенств……………12

3.1 по определению логарифма

3.2 замена переменной

3.3 по основным свойствам и формулам логарифма

3.4 метод потенцирования

3.5 метод приведения логарифмического уравнения к квадратному

3.6 метод логарифмирования обеих частей уравнения

3.7 метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию

3.8 графический метод

4. Методы решения логарифмических неравенств…………………………..17

5. Практикум по решению логарифмических уравнений и неравенств…. 20

Если в XVI в. логарифмы появились как средство для упрощения вычислений, то нужны ли они сегодня, когда вычислительная техника достаточно развита, чтобы справляться с самыми сложнейшими расчетами? Ведь не изучаются же в современной школе такие старинные средства для упрощения вычислений, как простейшие счетные приборы, не изучаются древние алгоритмы умножения и деления чисел, извлечения квадратных и кубических корней. Так зачем изучают логарифмы сегодня? Попробуем ответить на этот интересный вопрос.

Во-первых, уже умеем записывать решение показательного уравнения, например уравнения 2х = 5. А значит, знание логарифмов позволит нам решать задачи, сводящиеся к простейшим показательным уравнениям.

Во-вторых, логарифмы и сегодня позволяют упрощать вычисления.

В-третьих, частое применение находит логарифмическая функция. Испокон веков целью математической науки было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны. Математики, выделяя самые существенные черты того или иного наблюдаемого в природе явления, вводя числовые характеристики и связывая эмпирические данные с помощью различных математических зависимостей, тем самым составляют математическую модель явления. Изучение этой модели позволяет людям больше узнать о природном явлении, глубже уяснить его природу и свойства. Ряд явлений природы помогает описать именно логарифмическая зависимость. Иначе говоря, математики, пытаясь составить математическую модель того или иного явления, достаточно часто обращаются именно к логарифмической функции.

Объект исследования: Логарифмические уравнения и неравенства

Предмет исследования: Методы решения логарифмических уравнений и неравенств.

Цель исследования: Систематизировать и описать основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств.

Провести краткий ретроспективный анализ возникновения логарифмов
Выбрать рабочее определение логарифмического уравнения и неравенства
Систематизировать основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств
Разработать практикум по решению логарифмических уравнений и неравенств описанными методами.

Обратимся к материалам исследования.

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ЛОГАРИФМОВ

Принцип, лежащий в основе любой системы логарифмов, известен очень давно и может быть прослежен в глубь истории вплоть до древневавилонской математики (около 2000 до н.э.). В те времена интерполяция между табличными значениями целых положительных степеней целых чисел использовалась для вычисления сложных процентов. Гораздо позже Архимед (287–212 до н.э.) воспользовался степенями числа 108 для нахождения верхнего предела числа песчинок, необходимого для того, чтобы целиком заполнить известную в те времена Вселенную. Архимед обратил внимание на свойство показателей степеней, лежащее в основе эффективности логарифмов: произведение степеней соответствует сумме показателей степеней. В конце Средних веков и начале Нового времени математики все чаще стали обращаться к соотношению между геометрической и арифметической прогрессиями. М.Штифель в своем сочинении Арифметика целых чисел (1544) привел таблицу положительных и отрицательных степеней числа 2: Штифель заметил, что сумма двух чисел в первой строке (строке показателей степени) равна показателю степени двойки, отвечающему произведению двух соответствующих чисел в нижней строке (строке степеней). В связи с этой таблицей Штифель сформулировал четыре правила, эквивалентных четырем современным правилам операций над показателями степеней или четырем правилам действий над логарифмами: сумма в верхней строке соответствует произведению в нижней строке; вычитание в верхней строке соответствует делению в нижней строке; умножение в верхней строке соответствует возведению в степень в нижней строке; деление в верхней строке соответствует извлечению корня в нижней строке. По-видимому, правила, аналогичные правилам Штифеля, привели Дж.Непера к формальному введению первой системы логарифмов в сочинении Описание удивительной таблицы логарифмов, опубликованном в 1614. Но мысли Непера были заняты проблемой превращения произведений в суммы еще с тех пор, как более чем за десять лет до выхода своего сочинения Непер получил из Дании известие о том, что в обсерватории Тихо Браге его ассистенты располагают методом, позволяющим превращать произведения в суммы. Таблицы Непера состояли главным образом из логарифмов тригонометрических функций. Хотя понятие основания не входило в явном виде в предложенное Непером определение, роль, эквивалентную основанию системы логарифмов, в его системе играло число (1 – 10–7)ґ107, приближенно равное 1/e. Независимо от Непера и почти одновременно с ним система логарифмов, довольно близкая по типу, была изобретена и опубликована Й.Бюрги в Праге, издавшем в 1620 Таблицы арифметической и геометрической прогрессий. Это были таблицы антилогарифмов по основанию (1 + 10–4) ґ104, достаточно хорошему приближению числа e. В системе Непера логарифм числа 107 был принят за нуль, и по мере уменьшения чисел логарифмы возрастали. Когда Г.Бриггс (1561–1631) навестил Непера, оба согласились, что было бы удобнее использовать в качестве основания число 10 и считать логарифм единицы равным нулю. Тогда с увеличением чисел их логарифмы возрастали бы. Таким образом мы получили современную систему десятичных логарифмов, таблицу которых Бриггс опубликовал в своем сочинении Логарифмическая арифметика (1620). Логарифмы по основанию e, хотя и не совсем те, которые были введены Непером, часто называют неперовыми. Термины «характеристика» и «мантисса» были предложены Бриггсом.

Для чего были придуманы логарифмы? Конечно для ускорения и упрощения вычислений. Изобретатель первых логарифмических таблиц, Неппер, так говорит о своих побуждениях:

«Я старался, насколько мог и умел, отделаться от трудности и скуки вычислений, докучность которых обычно отпугивает весьма многих от изучения математики»

В самом деле, логарифмы чрезвычайно облегчают и ускоряют вычисления, не говоря уже о том, что они дают возможность производить такие операции, выполнение которых без их помощи очень затруднительно (извлечение корня любой степени).

2. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Определение 1: Логарифмом числа b по основанию а, называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

Определение 2: Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Определение 3: Любое логарифмическое неравенство может быть в конечном счете сведено к неравенству вида :

Все свойства формулируются и доказываются только для положительных значений переменных, содержащихся под знаками логарифмов.

Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел:

Введём следущие обозначения: Требуется доказать, что выполняется равенство

А так как степени двух положительных чисел равны и основания степеней равны и отличны от 1, то равны и показатели степеней. Значит, что и требовалось доказать.

Замечание: Теорема остается справедливой и для случая, когда логарифмируемое выражение представляет собой произведение более двух положительных чисел.

Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя:

Введём следущие обозначения:

Требуется доказать, что выполняется равенство

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени:

Введем следующие обозначения: Требуется доказать, что

Из следует, что из следует, что Возведя обе части последнего равенства в степень , получим .

Итак, , значит, что и требовалось доказать.

Равенство , справедливо тогда и только тогда, когда

Это достаточно очевидное следствие монотонности логарифмической функции.

Теорема 5: Если положительные числа, причем отличны от 1, то имеет место равенство

Это есть формула перехода к новому основанию логарифма.

Введем следующие обозначения: Требуется доказать, что

Из следует, что из следует, что Итак Далее, из следует, что . Значит, что фактически и требовалось доказать.

Рассмотрим два важных частных случая формулы перехода к новому основанию логарифма, два следствия из доказанной теоремы.

Если положительные и отличные от 1 числа, то справедливо равенство

Доказательство: Применив формулу перехода к случаю, когда , получим:

Если положительные числа, причем , то для любого числа справедливо равенство

Доказательство: Перейдем в выражении к логарифмам по основанию

Еще раз подчеркнем, что все свойства логарифмов получены при условии, что переменные принимают положительные значения. А как быть если о знаке переменной ничего не известно? Можно ли, например, написать , если о знаке числа ничего не известно? Ответ: нельзя! Поскольку при левая часть равенства определена, а правая не определена. В этом случае нас выручит знак модуля. Поскольку правильное равенство выглядит так: .

Это частный случай общей формулы:

Стоит помнить и о том, что заменять выражение выражением можно лишь в случае, когда . Если уверенности в этом нет, но известно, что , то, поскольку выполняется равенство , следует использовать формулу

Если некоторое выражение составлено из положительных чисел с помощью операций умножения, деления, возведения в степень, то, используя свойства логарифмов, можно выразить через логарифмы чисел . Такое преобразование называют логарифмированием. Ценность операции логарифмирования состоит в том, что она позволяет сводить вычисления к операциям более низкого порядка.

3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Логарифмические уравнения можно решать различными методами:

3.1 ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЛОГАРИФМА

X=8, потому что 2 3 =8

3.2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ

Замечание 1: Замену переменных нужно делать сразу, при первой же возможности.

Замечание 2: Уравнение относительно новой переменной нужно решать до конца, и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.

О.Д.З. уравнения: log₅(-x 7 )+2=log₂₅x 8 – множество отрицательных чисел.

Обозначим t=-x, тогда t>0.

log₅ t 7 +2=log₅ t 4 , используем формулу log_a α b β = log_a b

3.3. ПО ОСНОВНЫМ СВОЙСТВАМ И ФОРМУЛАМ ЛОГАРИФМА

ОДЗ данного уравнения:

Выполним цепочку преобразований, равносильных в ОДЗ.

1) 3 x – 4 = 0, − входит в ОДЗ.

2) ( x + 1 > 0 в ОДЗ),

x = 0 − не входит в ОДЗ.

x = 3 − входит в ОДЗ.

3.4. МЕТОД ПОТЕНЦИРОВАНИЯ

Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их:
если log_a f(х) = log_a g(х), то f(х) = g(х), f(х)>0, g(х)>0, а > 0, а 1.

Представим уравнение в виде log₆(3 x2 +1)-log₆(3 2-x2 +9)=log₆ 2-log₆6.

После потенцирования имеем

3 x2 +1 2 3 х2 +1 2

3 2-x2 9 6 9▪3 -х2 +9 6

Или 3 2х2 -2▪3 х2 -3=0 . Решая это уравнение как квадратное относительно 3 х2 , получим 3 х2 =-1, что не имеет смысла, и 3 х2 =3, откуда Х 2 =1или Х_1,2=± 1.

3.5. МЕТОД ПРИВЕДЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ К КВАДРАТНОМУ

Запишем уравнение в виде √log₃х 9 =1+4log₉√3х или √9log₃х+log₃3x, или √ уравнения 9log₃x=1+log₃3+log₃3, или √9log₃x=2+log₃x. Возведя обе части в квадрат, получим 9log₃x=4+4log₃x+log 2 ₃x или log 2 ₃x-5log₃x+4=0. Решая это уравнение как квадратное относительно log₃x, найдем (log₃х)₂=4, откуда получим Х₁=3, Х₂=3 4 =81.