Прежде чем решать логарифмические уравнения, повторим еще раз определение логарифма и основные формулы.
Логарифм положительного числа b по основанию a — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.
При этом 0,;a> 0,;aneq 1′ alt=’b> 0,;a> 0,;aneq 1′ />.
Обратим внимание на область допустимых значений логарифма:
Основное логарифмическое тождество:
Основные формулы для логарифмов:
(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)
(Логарифм частного равен разности логарифмов)
(Формула для логарифма степени)
Формула перехода к новому основанию:
Мы знаем, как выглядит график логарифмической функции. Эта функция монотонна. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает. Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. И в любом случае каждое свое значение она принимает только один раз. Это значит, что если логарифмы двух чисел по какому-либо основанию равны, то равны и сами числа.
Все это пригодится нам в решении логарифмических уравнений.
Простейшие логарифмические уравнения
Основания логарифмов равны, сами логарифмы тоже равны – значит, равны и числа, от которых они берутся.
Обычно ученики запоминают это правило в краткой жаргонной формулировке: «Отбросим логарифмы!» Конечно, мы «отбрасываем» их не просто так, а пользуясь свойством монотонности логарифмической функции.
Решая логарифмические уравнения, не забываем про область допустимых значений логарифма. Помним, что выражение определено при 0,;a> 0,;aneq 1′ alt=’b> 0,;a> 0,;aneq 1′ />.
Очень хорошо, если вы, найдя корень уравнения, просто подставите его в уравнение. Если после такой подстановки левая или правая часть уравнения не имеют смысла – значит, найденное число не является корнем уравнения и не может быть ответом задачи. Это хороший способ проверки на ЕГЭ.
2. Решите уравнение:
В левой части уравнения – логарифм, в правой – число 7. Применив основное логарифмическое тождество, представим число 7 в виде . Дальше все просто.
3. Решите уравнение:
Видите число 2 перед логарифмом в правой части уравнения? Сейчас оно мешает вам «отбросить логарифмы». Что с ним сделать, чтобы в левой и правой частях были просто логарифмы по основанию 5? Конечно же, поможет формула для логарифма степени.
4. Решите уравнение:
Область допустимых значений: 0.’ alt=’4+x> 0.’ /> Значит, -4.’ alt=’x> -4.’ />
Представим 2 в правой части уравнения как — чтобы слева и справа в уравнении были логарифмы по основанию 5.
Функция монотонно возрастает и каждое свое значение принимает ровно один раз. Логарифмы равны, их основания равны. «Отбросим» логарифмы! Конечно, при этом -4′ alt=’x> -4′ />.
5. Решите уравнение:
Запишем решение как цепочку равносильных переходов. Записываем ОДЗ и «убираем» логарифмы:
0\ x^-4> 0\ x^+x=x^-4 endright.Leftrightarrow left <beginx^+x> 0\ x^-4> 0\ x=-4 endright.Leftrightarrow x=-4′ alt=’log _left ( x^+x right )=log _left ( x^-4 right )Leftrightarrow left <beginx^+x> 0\ x^-4> 0\ x^+x=x^-4 endright.Leftrightarrow left <beginx^+x> 0\ x^-4> 0\ x=-4 endright.Leftrightarrow x=-4′ />
Ответ: –4.
Заметим, что решения логарифмических уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Это поможет нам не забыть про область допустимых значений.
Перейдем от логарифма по основанию 4 (в показателе) к логарифму по основанию 2. Мы делаем это по формуле перехода к другому основанию:
Запишем решение как цепочку равносильных переходов.
0 endright.Leftrightarrow left <beginleft (2^<log _left ( 4x+5 right )> right )^<frac>=9\ x> -1frac endright.Leftrightarrow left <beginleft ( 4x+5 right )^<frac>=9\ x> -1frac endright.Leftrightarrow left <beginsqrt=9\ x> -1frac endright.Leftrightarrow left <begin4x+5=81\ x> -1frac endright.Leftrightarrow left <beginx=19\ x> -1frac endright.’ alt=’2^<log _left ( 4x+5 right )>=9Leftrightarrow left <begin2^frac<<log _left ( 4x+5 right )>>=9\ 4x+5> 0 endright.Leftrightarrow left <beginleft (2^<log _left ( 4x+5 right )> right )^<frac>=9\ x> -1frac endright.Leftrightarrow left <beginleft ( 4x+5 right )^<frac>=9\ x> -1frac endright.Leftrightarrow left <beginsqrt=9\ x> -1frac endright.Leftrightarrow left <begin4x+5=81\ x> -1frac endright.Leftrightarrow left <beginx=19\ x> -1frac endright.’ />
Обратите внимание: переменная х и под логарифмом, и в основании логарифма. Мы помним, что основание логарифма должно быть положительно и не равно 1.
ОДЗ:
0\ x> 0\ xneq 1 endright.’ alt=’left <begin12-x> 0\ x> 0\ xneq 1 endright.’ />
Теперь можно «убрать» логарифмы.
— посторонний корень, поскольку должно выполняться условие 0′ alt=’x> 0′ />.
8. Решите уравнение .
ОДЗ уравнения: 0′ alt=’x> 0′ />
Сделаем замену . Как и в алгебраических уравнениях, мы делаем замену переменной всегда, когда только возможно.
Вернемся к переменной х:
Выражение под логарифмом всегда положительно – поскольку к неотрицательной величине прибавляем 25. Выражение под корнем в правой части также положительно. Значит, х может быть любым действительным числом.
Представим сумму логарифмов в левой части как логарифм произведения. В правой части – перейдем к логарифму по основанию 3. И используем формулу логарифма степени.
Такое уравнение называется биквадратным. В него входят выражения и . Сделаем замену
Вернемся к переменной х. Получим:
. Мы нашли все корни исходного уравнения.
Логарифмические уравнения могут встретиться вам и в задании №1 Профильного ЕГЭ по математике, и в задании №12. И если в задании №1 нужно решить простейшее уравнение, то в задаче 12 решение состоит из двух пунктов. Второй пункт – отбор корней на заданном отрезке или интервале.
Видео:Логарифмы с нуля за 20 МИНУТ! Introduction to logarithms.Скачать
Задания по теме «Логарифмические уравнения»
Открытый банк заданий по теме логарифмические уравнения. Задания B5 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Видео:Логарифм с нуля до уровня про. Уравнения, неравенства и параметр. Профильный ЕГЭСкачать
Задание №887
Условие
Найдите корень уравнения 5^<log_(10x-8)>=8.
Решение
Найдем ОДЗ: 10x-8>0.
10x-8=64, значит, условие 10x-8>0 выполняется.
Ответ
Видео:Логарифмические уравнения 2 части ЕГЭ | PARTAСкачать
Задание №885
Условие
Найдите корень уравнения log_3(28+4x)=log_3(18-x).
Решение
log_3 20=log_3 20. Верно, значит, x=-2 — корень уравнения.
Ответ
Видео:Задача №13 Показательные и логарифмические уравнения | Аня МатеманяСкачать
Задание №288
Условие
Найдите корень уравнения log_81=2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Решение
Согласно определению логарифма x-7>0 и x-7neq1, тогда x>7 и xneq8.
Так как 2=log_(x-7)^2 при x>7 и xneq8 , то получаем уравнение log_81=log_(x-7)^2.
Видео:Старт Щелчка. №14 Неравенства с нуля и до ЕГЭ за 5 часов | Логарифмы, степени для №5,6,12Скачать
Логарифмические уравнения
Логарифмом положительного числа $b$ по основанию $а$, где $a>0, a ≠ 1$, называется показатель степени, в которую надо возвести число $а$, чтобы получить $b$.
$log_8 = 3$, т.к. $2^3 = 8;$
Особенно можно выделить три формулы:
Основное логарифмическое тождество:
Это равенство справедливо при $b> 0, a> 0, a≠ 1$
Некоторые свойства логарифмов
Все свойства логарифмов мы будем рассматривать для $a> 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – любое действительное число.
1. Для любого действительного числа $m$ справедливы равенства:
2. Для решения задач иногда полезно следующее свойство: Если числа $а$ и $b$ на числовой оси расположены по одну сторону от единицы, то $log_b>0$, а если по разные, то $log_b 0$
Представим обе части уравнения в виде логарифма по основанию 2
Если логарифмы по одинаковому основанию равны, то подлогарифмические выражения тоже равны.
Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приводим подобные слагаемые
Проверим найденные корни по условиям: $
