Линия уравнения функции двух переменных

Содержание:

Линии и поверхности уровня

Понятие линии и поверхности уровня:

Для характеристики функций двух переменных вводится понятие линий уровня.

Определение 2. Линией уровня функции z = f (x, y) называется совокупность всех точек на плоскости Oxy, для которых выполняется условие f (x, y) = C.

Линии уровня можно получить, пересекая поверхность z = f (x, y) плоскостями z = C, где С = соnst.

Пример 1. Найти линии уровня функции z = x 2 + y 2 .

Решение.
Пусть z = C. x 2 + y 2 = C (C ≥ 0),

В этом случае линиями уровня является множество концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусом С (рис. 2) .Аналогично вводится понятие поверхности уровня для функции трех переменных u = f (x, y, z), (f (x, y, z) = C).

Пример 2. Найти поверхности уровня функции u = x 2 + y 2 + z 2 .

Решение. Пусть u = C. Тогда x 2 + y 2 + z 2 = C (C ≥ 0) — это множество сфер с центром в точке O(0; 0; 0) и радиусом C.

Поверхности второго порядка

Наиболее изучены поверхности в курсе аналитической геометрии — поверхности второго порядка. В общем случае уравнение такой поверхности имеет вид:
a₁₁ x 2 + 2a₁₂ xy + a₂₂ y 2 + 2a₁₃ xz + 2a₂₃ yz + a₃₃ z 2 + 2a₁₄ x + 2a₂₄ y + 2a₃₄ z + a₄₄ = 0.

В зависимости от значений коэффициентов получают различные поверхности второго порядка.

Например:
1) — конус;

2) — полусфера;

Рис. 4.

3) — эллиптический параболоид;

Рис. 5.

4) — гиперболический параболоид;

рис.6

5) — трехосный эллипсоид.

Рис. 7.

Для изучения поверхностей в трехмерном пространстве применяется метод сечений. Суть этого метода такова: пересекаем заданную поверхность плоскостями x = C₁, y = C₂, z = C₃. В результате получим некоторые кривые, характеризующие поверхность.

Пример 3. z = x 2 + y 2 . Пусть z = C₁ (C₁ ≥ 0). Получим уравнение x 2 + y 2 = C₁ (уравнение окружности). Положим y = C₂ , тогда — уравнение параболы в плоскости Оxz, которая смещена на единиц вверх по оси Oz. Положим x = C₃ , получим уравнение
Получили уравнение параболы в плоскости Оyz, которая смещена на единиц вверх по оси Оz. Из этих исследований вытекает, что графиком функции z = x 2 + y 2 является параболоид вращения вокруг оси Оz.

Гиперповерхности уровня

Пусть задана функция от n переменных u = f (x₁, x₂, . x_n) . Если положить u = C, то получим уравнение f (x₁, x₂, . x_n) = C, которое называется уравнением гиперповерхности уровня в пространстве R n . Например: Если u = C, то уравнение является уравнением гиперсферы в R n с центром в точке O (0,0, . 0) и радиусом .

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Функции нескольких переменных

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть: z — переменная величина с областью изменения R; R- числовая прямая; D — область на координатной плоскости R2.

Любое отображение D->R называют функцией двух переменных с областью определения D и пишут z = f(x;y).

Если каждой паре (х; у) двух независимых перемен­ных из области D по некоторому правилу ста­вится в соответствие одно определенное значение z из R, то переменную величину z называют функцией двух не­зависимых переменных х и у с областью определения D и пишут

Аналогичным образом определяются функции многих переменных

П р и м е р 1. Найти и изобразить область определения функции

Область определения – есть плоскость хОу за исключением точек, лежащих на параболе у = х2, см. рисунок.

П р и м е р 2. Найти и изобразить область определения функции

Область определения – есть часть плоско­сти, лежащая внутри круга радиуса г = 3 , с центром в начале координат, см. рисунок.

П р и м е р 3. Найти и изобразить область определения функции

Область определения – есть часть плоско­сти, в которой абсцисса и ордината ка­ждой точки имеют одинаковые знаки, т. е. это часть плоскости, лежащая в пер­вом и третьем координатных углах, см. рисунок.

К числу функций нескольких переменных относятся производственные функции.

Производственными функциями называют функ­ции, представляющие зависимости величин объемов вы­пускаемой продукции от переменных величин затрат ре­сурсов.

Производственные функции применяются не только в микроэкономических, но и в макроэкономических рас­четах.

Простейшая производственная функция — функция зависимости объема произведенной работы V от объемов трудовых ресурсов R и вложенного в производство капи­тала К

2.ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ФУНКЦИИ ДВУХ

2.1.График функции двух переменных

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат и область D на плоскости хОу. В каждой точке М(х;у) из этой области восстановим перпендикуляр к плос­кости хОу и отложим на нем значение z = f(x; у). Геомет­рическое место полученных точек

является пространственным графиком, функции двух переменных.

Это некоторая поверхность.

Равенство z = f(x; у) называется уравнением этой по­верхности.

Функция двух переменных имеет наглядную геомет­рическую интерпретацию. Для функции числа перемен­ных n > 2 аналогом поверхности является гиперповерх­ность (n + 1) — мерного пространства, не имеющая геомет­рической интерпретации.

Линией уровня функции двух переменных z = f(x; у) называется линия f(x; у) = С (С = const) на плоскости хОу, в каждой точке которой функция сохраняет постоянное значение С.

Линия уровня представляет собой сечение поверхности графика функции двух переменных z = f(x; у) плоскостью z = С.

Поверхностью уровня функции трех переменных

u = f(x; у; z) называется поверхность в R3 (трехмерном про­странстве), в каждой точке которой функция сохраняет постоянное значение f(x;y;z) = C (С = const).

П р и м е р. Найти и построить линии уровня функции

Решение.

Линии уровня z = С данной функции имеют уравнения

Это окружности с центром в начале координат, радиусом R = C1/2 и уравнением

x2 + y2 = R2, см. рисунок.

Линии уровня позволяют представить рассматриваемую поверхность, дающую в сечении плоскостями z = C концентрические окружности.

При построении графика функции часто пользуются методом сечений.

П р и м е р. Построить график функции и найти .

Решение. Воспользуемся методом сечений.

– в плоскости – парабола.

– в плоскости –парабола.

– в плоскости – окружность.

Искомая поверхность – параболоид вращения.

Расстоянием между двумя произвольными точками и (евклидова) пространства называется число

Множество точек называется открытым кругом радиуса с центром в точке r.

Открытый круг радиуса ε с центром в точке A называется — ε — окрестностью точки А.

Найти и изобразить графически область определения функции:

Построить линии уровня функций:

3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Основные понятия математического анализа, введен­ные для функции одной переменной, распространяются и на функции нескольких переменных.

О п р е д е л е н и е:

Постоянное число А называется пределом функции двух переменных z = f(x;у) при х —> х0, у —> у0, если для лю­бого

ε >0 существует δ >0 такое, что |f(х; у) — А| 0 — постоянное число.

Постоянное число А называется пределом функции двух переменных f(x;y) = f(M) при стремлении точки М к точке М0, если для любого ε >0 можно найти такое число г >0, что как только расстояние |М0М| 0.

Предел отношения при Δs—>0 называется произ-

водной функции z = f(х; у) в точке (х; у) по направлению вектора и обозначается

Переходя к этому пределу, получим

(*)

Таким образом, зная част­ные производные функции

z = f(x; у) можно найти произ­водную этой функции по любому направлению, а каждая частная производная является частным случаем произ­водной по направлению.

П р и м е р. Найти производную функции

в точке М(1;0) в направлении, составляющем с Ох угол в 30°.

Следовательно, функция z = f(x;y) в данном направлении возрастает.

Градиентом функции z = f(x; у) называется вектор , координатами которого являются соответствующие частные производные данной функции

Связь между производной функции по направлению и градиентом этой функции осуществляется соотношени­ем

т. е. производная функции z = f(x;y) в данном направле­нии равна проекции градиента функции на направле­ние дифференцирования.

Градиент функции в каждой точке направлен по нормали к соответствующей линии уровня данной функ­ции.

Направление градиента функции в данной точке есть направление наибольшей скорости возрастания функции в этой точке.

Линия уравнения функции двух переменных

V . 1 . Дифференцируемость функции двух переменных

Функции двух переменных – частный случай функций нескольких (многих) переменных.

Если каждой паре ( x , y ) значений, двух независимых друг от друга переменных величин x и y из некоторой области их изменения D , ставится в соответствие одно и только одно значение переменной величины z , то z называется функцией двух независимых переменных x и y , определенной в области D плоскости x 0 y , и обозначается z = f ( x ; y ) (рис. 5.1).

При этом множество D называется областью определения функции и представляет собой либо всю плоскость x 0 y , либо ее часть. Линия, ограничивающая область D , называется ее границей. Точки области, не лежащие на границе, называются внутренними. Область, состоящая только из внутренних точек, называется открытой (незамкнутой). Если же к области относятся и точки границы, то область называется замкнутой.

Пример 5.1. Найти область определения функции

Решение . Выражение, стоящее под знаком корня четной степени, должно быть неотрицательно, то есть . Следовательно, область определения заданной функции представляет собой круг с центром в начале координат и радиусом R =3 . Графиком самой функции является верхняя полусфера с центром в точке O (0;0;0) и радиусом R =3 (см. рис. 5.1)

Если в точке M ( x , y ) области D восстановить перпендикуляр к плоскости x 0 y и на нем отложить отрезок длины z = f ( x ; y ) , то получим точку трехмерного пространства P ( x ; y ; z ).

Геометрическое место точек пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению z = f ( x ; y ) , называется графиком функции двух переменных и представляет собой поверхность в пространстве. Координата z точки P называется ее аппликатой (см. рис. 5.1).

Для функции двух (нескольких) переменных вводятся понятия предела функции, ее непрерывности и дифференцируемости в точке. Дадим понятие окрестности точки. δ-окрест­ностью точки M ₀ ( x ₀ ; y ₀ ) назы­вается совокупность всех внутренних точек круга радиуса δ с центром в точке M ₀ или множество всех точек M ( x , y ) плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству (рис. 5.2).

Число А называется пределом функции z = f ( x ; y ) при стремлении точки M ( x , y ) к точке M ₀ ( x ₀ ; y ₀ ) ( при x → x ₀ ; y → y ₀ ), если для любого ε>0 существует δ>0, что для всех точек M ( x , y ) из δ-окрестности точки M ₀ ( x ₀ ; y ₀ ) , отличных от точки M ₀ (для всех , удовлетворяющих неравенству

Заметим, что для функции одной переменной стремление аргумента х к значению х₀ возможно только по двум направлениям (справа и слева). Для функции двух переменных число таких направлений бесконечно, и если предел существует, то он не зависит от пути, по которому М стремится к М₀.

Сформулируем геометрический смысл предела функции двух переменных: каково бы ни было число ε>0, найдется δ— окрестность точки M ₀( x ₀; y ₀) , что во всех ее точках M ( x , y ), отличных от M ₀ , аппликаты соответствующих точек поверхности z = f ( x ; y ) отличаются от числа A по абсолютной величине меньше, чем на ε.

Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствам предела функции одной переменной.

Пусть дана поверхность z = f ( x ; y ) и точка M ( x , y ), принадлежащая ее области определения D . Пересечем поверхность плоскостями x = const и y = const , проходящими через точку M . Дадим переменным приращения ∆ x = x — x ₀ и ∆ y = y — y ₀ , называемые приращениями аргументов. Тогда функция z получит приращения по направлениям x и y , которые обозначим ∆ _y z и ∆ _x z соответственно и назовем частными приращениями. Имеем Сообщив переменным оба приращения, получим приращение самой функции, которое называется ее полным приращением

Заметим, что полное приращение не равно сумме частных приращений.

­– она определена в этой точке и некоторой ее окрестности,

– имеет предел

Можно дать другое определение непрерывности функции z = f ( x ; y ) , равносильное (5.2): функция двух переменных называется непрерывной в точке если выполняется равенство

Если существует предел отношения частного приращения функции ∆ _x z по аргументу x к приращению ∆ x , при стремлении последнего к нулю

y : (5.5)

и обозначить ее

Пример 5.2. Найти частные производные по переменным функции

Решение. Считая переменную y = const , учитывая правило (3.31) дифференцирования сложной функции и формулы (3.17), (3.18), (3.23), получим частную производную заданной функции по переменной x :

Аналогично, считая переменную x = const , учитывая формулы (3.17) и (3.19), получим частную производную заданной функции по переменной y :

Сумма первых двух слагаемых последнего равенства для ∆ z представляет собой главную часть приращения и называется полным дифференциалом dz функции двух переменных. Таким образом

Каждое слагаемое правой части равенства (5.6) называется частным дифференциалом функции двух переменных по переменной х и у соответственно.