Линии заданные уравнениями в полярных координатах

Помимо аффинной системы координат и её популярного частного случая – прямоугольной (декартовой) системы, существуют и другие подходы к построению координатной сетки плоскости и пространства. В частности, широкое распространение получила полярная система координат, которая невероятно удобна для решения целого спектра практических задач. И через считанные минуты, не успевши опомниться, вы уже будете уверенно ориентироваться в полярных координатах!

Чтобы определить полярную систему координат на плоскости, достаточно зафиксировать начало координат и задать единичный координатный вектор . Точка называется полюсом, а луч , сонаправленный с вектором – полярной осью. Графический шаблон – проще некуда, одна точка, один вектор, одна линия:

На практике вместо вектора можно где-нибудь в углу указать масштаб, например: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки). По возможности, старайтесь выбирать именно такую, удобную во многих отношениях метрику.

А теперь сама мякотка:

Любая отличная от начала координат точка плоскости однозначно определяется своим расстоянием от полюса и ориентированным углом между полярной осью и отрезком :

Для самого полюса , а угол не определён. Не напоминает ли это вам кое-что из темы Комплексные числа? 😉

Число называют полярным радиусом точки или первой полярной координатой. Расстояние не может быть отрицательным, поэтому полярный радиус любой точки . Первую полярную координату также обозначают греческой буквой («ро»), но я привык к латинскому варианту, и в дальнейшем буду использовать его.

Число называют полярным углом данной точки или второй полярной координатой. Полярный угол стандартно изменяется в пределах (так называемые главные значения угла). Однако вполне допустимо использовать диапазон , а в некоторых случаях и вовсе возникает прямая необходимость рассмотреть все значения угла от нуля до «плюс бесконечности». Рекомендую, кстати, привыкнуть к радианной мере угла, поскольку оперировать градусами в высшей математике считается не комильфо.

Пару называют полярными координатами точки . Из легко найти и их конкретные значения. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – есть отношение противолежащего катета к прилежащему катету: , следовательно, сам угол: . По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: , значит, полярный радиус:

Таким образом, .

Один пингвин хорошо, а стая – лучше :

Отрицательно ориентированные углы я на всякий случай отметил стрелками, вдруг кто-то из читателей ещё не знал об этой ориентации. При желании можно «прикрутить» к каждому из них 1 оборот ( рад. или 360 градусов) и получить, к слову, удобные табличные значения:

Но недостаток этих «традиционно» ориентированных углов состоит в том, что они слишком далеко (более чем, на 180 градусов) «закручены» против часовой стрелки. Предчувствую вопрос: «почему недостаток и зачем вообще нужны какие-то отрицательные углы?» В математике ценятся самые короткие и рациональные пути. Ну а уж с точки зрения физики направление вращения зачастую имеет принципиальное значение – каждый из нас пытался открыть дверь, дёргая ручку не в ту сторону =)

Порядок и техника построения точек в полярных координатах

Красивые картинки красивы, однако построение в полярной системе координат – занятие достаточно кропотливое. Трудностей не возникает с точками, у которых полярные углы составляют , в нашем примере это точки ; особых хлопот также не доставляют значения, кратные 45 градусам: . Но как правильно и грамотно построить, скажем, точку ?

Потребуется клетчатый листок бумаги, карандаш и следующие чертёжные инструменты: линейка, циркуль, транспортир. В крайнем случае, можно обойтись одной линейкой, а то… и вовсе без неё! Читайте дальше и вы получите ещё одно доказательство, что эта страна непобедима =)

Построить точку в полярной системе координат.

Прежде всего, нужно выяснить градусную меру угла . Если угол малознаком или вас есть сомнения, то всегда лучше воспользоваться таблицей либо общей формулой перевода радианов в градусы. Итак, наш угол составляет (или ).

Начертим полярную систему координат (см. начало урока) и возьмём в руки транспортир. Обладателям круглого инструмента не составит труда отметить 240 градусов, но с большой вероятностью у вас на руках будет полукруглая версия девайса. Проблема полного отсутствия транспортира при наличии принтера и ножниц решается рукоделием.

Есть два пути: перевернуть листок и отметить 120 градусов, либо «прикрутить» пол оборота и рассмотреть противоположный угол . Выберем взрослый способ и сделаем отметку в 60 градусов:

То ли транспортир лилипутский, то ли клетка гигантская =) Впрочем, чтобы отмерить угол масштаб не важен.

Проводим карандашом тонкую прямую, проходящую через полюс и сделанную отметку:

С углом разобрались, на очереди полярный радиус. Берём циркуль и по линейке устанавливаем его раствор в 3 единицы, чаще всего, это, конечно же, сантиметры:

Теперь аккуратно устанавливаем иглу на полюс, и вращательным движением выполняем небольшую засечку (красный цвет). Искомая точка построена:

Можно обойтись без циркуля, приложив линейку непосредственно к построенной прямой и отмерив 3 сантиметра. Но, как мы увидим позже, в задачах на построение в полярной системе координат типична ситуация, когда нужно отметить две или бОльшее количество точек с одним и тем же полярным радиусом, поэтому эффективнее закалять металл. В частности, на нашем чертеже, развернув ногу циркуля на 180 градусов, легко сделать вторую засечку и построить симметричную относительно полюса точку . На ней давайте и отработаем материал следующего параграфа:

Взаимосвязь прямоугольной и полярной системы координат

Очевидным образом присоединим к полярной системе координат «школьную» систему и изобразим на чертеже точку :

Такое присоединение всегда полезно держать в голове, когда выполняете чертёж в полярных координатах. Хотя, волей-неволей оно напрашивается и без лишнего намёка.

Установим взаимосвязь полярных и декартовых координат на примере конкретной точки . Рассмотрим прямоугольный треугольник , в котором гипотенуза равна полярному радиусу: , а катеты – «иксовой» и «игрековой» координатам точки в декартовой системе координат: .

Синус острого угла – есть отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинус острого угла – есть отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Заодно повторили определения синуса, косинуса (и чуть ранее тангенса) из программы 9 класса общеобразовательной школы.

Пожалуйста, занесите в свой справочник рабочие формулы , выражающие декартовы координаты точки через её полярные координаты – с ними нам придётся столкнуться ещё неоднократно, и в следующий раз прямо сейчас =)

Найдём координаты точки в прямоугольной системе координат:

Таким образом:

Полученные формулы открывают ещё одну лазейку в задаче построения, когда можно обойтись вообще без транспортира: сначала находим декартовы координаты точки (понятно, на черновике), затем мысленно находим нужное место на чертеже и отмечаем данную точку. На заключительном этапе проводим тонкую прямую, которая проходит через построенную точку и полюс. В результате получается, что угол якобы был отмерян транспортиром.

Забавно, что совсем отчаянные студенты, могут обойтись даже без линейки, используя вместо неё ровный край учебника, тетради или зачётной книжки – ведь о метрике позаботились производители тетрадей, 1 клетка = 5 миллиметров.

Напомнило мне всё это известный анекдот, в котором находчивые лётчики прокладывали курс по пачке Беломора =) Хотя, шутки шутками, а анекдот не так далёк от реальности, помнится, на одном из внутренних рейсов по РФ в лайнере отказали все навигационные приборы, и экипаж успешно посадил борт при помощи обычного стакана с водой, который показывал угол наклона самолёта относительно земли. А лётная полоса – вот она, из лобового стекла виднА.

Используя процитированную в начале урока теорему Пифагора, легко получить и обратные формулы: , следовательно:

Сам угол «фи» стандартно выражается через арктангенс – абсолютно так же как и аргумент комплексного числа со всеми его заморочками.

Вторую группу формул также целесообразно поместить в свой справочный багаж.

После подробного разбора полётов с отдельно взятыми точками перейдём к закономерному продолжению темы:

Видео:Полярная система координатСкачать

Уравнение линии в полярных координатах

По существу, уравнение линии в полярной системе координат представляет собой функцию полярного радиуса от полярного угла (аргумента). При этом полярный угол учитывается в радианах (!) и непрерывно принимает значения от до (иногда следует рассмотреть до бесконечности, или же в ряде задач для удобства от до ). Каждому значению угла «фи», которое входит в область определения функции , соответствует единственное значение полярного радиуса.

Полярную функцию можно сравнить со своеобразным радаром – когда луч света, исходящий из полюса, вращается против часовой стрелки и «обнаруживает» (прорисовывает) линию.

Дежурным примером полярной кривой является Архимедова спираль . На следующем рисунке изображен её первый виток – когда полярный радиус вслед за полярным углом принимает значения от 0 до :

Далее, пересекая полярную ось в точке , спираль продолжит раскручиваться, бесконечно далеко удаляясь от полюса. Но подобные случаи на практике встречаются довольно редко; более типичная ситуация, когда на всех последующих оборотах мы «пройдёмся по той же самой линии», которая получена в диапазоне .

В первом же примере мы сталкиваемся и с понятием области определения полярной функции: поскольку полярный радиус неотрицателен , то отрицательные углы здесь рассматривать нельзя.

! Примечание: в ряде случаев принято использовать обобщённые полярные координаты, где радиус может быть отрицательным, и такой подход мы вкратце изучим чуть позже

Кроме спирали Архимеда, есть множество других известных кривых, но искусством, как говорится, сыт не будешь, поэтому я подобрал примеры, которые очень часто встречаются в реальных практических заданиях.

Сначала простейшие уравнения и простейшие линии:

Уравнение вида задаёт исходящий из полюса луч. Действительно, вдумайтесь, если значение угла всегда (каким бы ни было «эр») постоянно, то какая это линия?

Примечание: в обобщённой полярной системе координат данное уравнение задаёт прямую, проходящую через полюс

Уравнение вида определяет… догадайтесь с первого раза – если для любого угла «фи» радиус остаётся постоянным? Фактически это определение окружности с центром в полюсе радиуса .

Например, . Для наглядности найдём уравнение данной линии в прямоугольной системе координат. Используя полученную в предыдущем параграфе формулу , проведём замену:

Возведём обе части в квадрат:

– уравнение окружности с центром в начале координат радиуса 2, что и требовалось проверить.

Со времён создания и релиза статьи о линейной зависимости и линейной независимости векторов я получил несколько писем от посетителей сайта, которые задавали вопрос в духе: «вот есть простая и удобная прямоугольная система координат, зачём нужен ещё какой-то косоугольный аффинный случай?». Ответ прост: математика стремится объять всё и вся! Кроме того, в той или иной ситуации немаловажно удобство – как видите, с окружностью значительно выгоднее работать именно в полярных координатах по причине предельной простоты уравнения .

А иногда математическая модель предвосхищает научные открытия. Так, в своё время ректор Казанского университета Н.И. Лобачевский строго доказал, через произвольную точку плоскости можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной. В результате он был ошельмован всем научным миром, но… опровергнуть данный факт никто не смог. Только спустя доброе столетие астрономы выяснили, что свет в космосе распространяется по кривым траекториям, где и начинает работать неевклидова геометрия Лобачевского, формально разработанная им задолго до этого открытия. Предполагается, что это свойство самого пространства, кривизна которого нам незаметна ввиду малых (по астрономическим меркам) расстояний.

Рассмотрим более содержательные задачи на построение:

Построить линию

Решение: в первую очередь найдём область определения. Так как полярный радиус неотрицателен, то должно выполняться неравенство . Можно вспомнить школьные правила решения тригонометрических неравенств, но в простых случаях как этот, я советую более быстрый и наглядный метод решения:

Представьте график косинуса. Если он ещё не успел отложиться в памяти, то найдите его на странице Графики элементарных функций. О чём нам сообщает неравенство ? Оно сообщает нам о том, что график косинуса должен располагаться не ниже оси абсцисс. А это происходит на отрезке . И, соответственно, интервал не подходит.

Таким образом, область определения нашей функции: , то есть график расположен справа от полюса (по терминологии декартовой системы – в правой полуплоскости).

В полярных координатах часто бывает смутное представление о том, какую линию определяет то или иное уравнение, поэтому чтобы её построить, необходимо найти принадлежащие ей точки – и чем больше, тем лучше. Обычно ограничиваются десятком-другим (а то и меньшим количеством). Проще всего, конечно же, взять табличные значения угла. Для бОльшей ясности к отрицательным значениям я буду «прикручивать» один оборот:

В силу чётности косинуса соответствующие положительные значения можно заново не считать:

Изобразим полярную систему координат и отложим найденные точки, при этом одинаковые значения «эр» удобно откладывать за один раз, делая парные засечки циркулем по рассмотренной выше технологии:

В принципе, линия отчётливо прорисовывается, но чтобы стопроцентно подтвердить догадку, давайте найдём её уравнение в декартовой системе координат. Можно применить недавно выведенные формулы , но я расскажу вам о более хитром приёме. Обе части уравнения искусственно домножаем на «эр»: и используем более компактные формулы перехода :

Выделяя полный квадрат, приводим уравнение линии к узнаваемому виду:

– уравнение окружности с центром в точке , радиуса 2.

Коль скоро по условию требовалось просто выполнить построение и всё, плавно соединяем найденные точки линией:

Готово. Ничего страшного, если получится немного неровно, вы же не обязаны были знать, что это окружность 😉

Почему мы не рассмотрели значения угла вне промежутка ? Ответ прост: нет смысла. Ввиду периодичности функции нас ждёт бесконечный бег по построенной окружности.

Несложно провести нехитрый анализ и прийти к выводу, что уравнение вида задаёт окружность диаметра с центром в точке . Образно говоря, все такие окружности «сидят» на полярной оси и обязательно проходят через полюс. Если же , то весёлая компания перекочует налево – на продолжение полярной оси (подумайте, почему).

Похожая задача для самостоятельного решения:

Построить линию и найти её уравнение в прямоугольной системе координат.

Систематизируем порядок решения задачи:

В первую очередь находим область определения функции, для этого удобно посмотреть на синусоиду, чтобы сразу же понять, где синус неотрицателен.

На втором шаге рассчитываем полярные координаты точек, используя табличные значения углов; проанализируйте, нельзя ли сократить количество вычислений?

На третьем шаге откладываем точки в полярной системе координат и аккуратно соединяем их линией.

И, наконец, находим уравнение линии в декартовой системе координат.

Примерный образец решения в конце урока.

Общий алгоритм и технику построения в полярных координатах мы детализируем
и существенно ускорим во второй части лекции, но перед этим познакомимся ещё с одной распространённой линией:

Полярная роза

Совершенно верно, речь пойдёт о цветке с лепестками:

Построить линии, заданные уравнениями в полярных координатах

а)
б)

Существует два подхода к построению полярной розы. Сначала пойдём по накатанной колее, считая, что полярный радиус не может быть отрицательным:

Решение:

а) Найдём область определения функции:

Такое тригонометрическое неравенство тоже нетрудно решить графически: из материалов статьи Геометрические преобразования графиков известно, что если аргумент функции удвоить, то её график сожмётся к оси ординат в 2 раза. Пожалуйста, найдите график функции в первом же примере указанного урока. Где данная синусоида находится выше оси абсцисс? На интервалах . Следовательно, неравенству удовлетворяют соответствующие отрезки, и область определения нашей функции: .

Вообще говоря, решение рассматриваемых неравенств представляет собой объединение бесконечного количества отрезков, но, повторюсь, нас интересует только один период.

Возможно, некоторым читателям более лёгким покажется аналитический способ нахождения области определения, условно назову его «нарезка круглого пирога». Резать будем на равные части и, прежде всего, найдём границы первого куска. Рассуждаем следующим образом: синус неотрицателен, когда его аргумент находится в пределах от 0 до рад. включительно. В нашем примере: . Разделив все части двойного неравенства на 2, получаем искомый промежуток:

Теперь начинаем последовательно «нарезать равные куски по 90 градусов» против часовой стрелки:

– найденный отрезок , понятно, входит в область определения;

– следующий интервал – не входит;

– следующий отрезок – входит;

– и, наконец, интервал – не входит.

Прямо, как по ромашке – «любит, не любит, любит, не любит» =) С тем отличием, что тут не гадание. Да, прямо какая-то любовь по-китайски получается….

Итак, и линия представляет собой розу с двумя одинаковыми лепестками. Чертёж вполне допустимо выполнить схематически, однако крайне желательно правильно найти и отметить вершины лепестков. Вершинам соответствуют середины отрезков области определения, которые в данном примере имеют очевидные угловые координаты . При этом длины лепестков составляют:

Вот закономерный результат заботливого садовника:

Следует отметить, что длину лепестка легко сразу усмотреть из уравнения – так как синус ограничен: , то максимальное значение «эр» заведомо не превзойдёт двух.

б) Построим линию, заданную уравнением . Очевидно, что длина лепестка этой розы тоже равна двум, но, прежде всего, нас интересует область определения. Применим аналитический метод «нарезки»: синус неотрицателен, когда его аргумент находится в пределах от нуля до «пи» включительно, в данном случае: . Делим все части неравенства на 3 и получаем первый промежуток:

Далее начинаем «нарезку пирога кускам» по рад. (60 градусов):
– отрезок войдёт в область определения;
– интервал – не войдёт;
– отрезок – войдёт;
– интервал – не войдёт;
– отрезок – войдёт;
– интервал – не войдёт.

Процесс успешно завершён на отметке 360 градусов.

Таким образом, область определения: .

Проводимые действия полностью либо частично несложно осуществлять и мысленно.

Построение. Если в предыдущем пункте всё благополучно обошлось прямыми углами и углами в 45 градусов, то здесь придётся немного повозиться. Найдём вершины лепестков. Их длина была видна с самого начала задания, осталось вычислить угловые координаты, которые равны серединам отрезков области определения:

Обратите внимание, что между вершинами лепестков должны обязательно получиться равные промежутки, в данном случае 120 градусов.

Чертёж желательно разметить на 60-градусные секторы (отграничены зелёными линиями) и провести направления вершин лепестков (серые линии). Сами вершины удобно наметить с помощью циркуля – единожды отмерять расстояние в 2 единицы и нанести три засечки на прочерченных направлениях в 30, 150 и 270 градусов:

Готово. Понимаю, что занятие хлопотное, но если хотите всё оформить по уму, то придётся потратить время.

Сформулируем общую формулу: уравнение вида , – натуральное число), задаёт полярную -лепестковую розу, длина лепестка которой равна .

Например, уравнение задаёт четырёхлистник с длиной лепестка в 5 единиц, уравнение – 5-лепестковую розу с длиной лепестка в 3 ед. и т.д.

О втором подходе я хотел вообще умолчать, однако не могу пройти мимо – уж слишком он распространён. Суть состоит в том, что полярная роза часто рассматривается в обобщённых полярных координатах, где полярный радиус может быть отрицательным. Вопрос области определения отпадает, но появляются другие приколы.

Во-первых, разберёмся, как строить точки с отрицательным значением «эр». Если , то нужно мысленно найти точку с таким же углом, но радиуса и отобразить её симметрично относительно полюса. Вернёмся к первой полярной розе и рассмотрим интервал , на котором полярный радиус отрицателен. Как, например, изобразить точку ? Мысленно находим точку (левый верхний сектор) и отображаем её симметрично относительно полюса в точку . Таким образом, когда угол принимает значения из интервала , то прорисовывается ещё один лепесток в правом нижнем секторе:

И, соответственно, когда угол проходит значения , то прорисовывается 4-й лепесток в противоположном (левом верхнем) секторе:

Интересно отметить, что при таком подходе вторая полярная роза сохраняет своё количество лепестков. А происходит это по одной простой причине: когда угол проходит пустующие секторы (ещё раз посмотрите на чертёж!), то полярный радиус принимает отрицательные значения и из этих пустых секторов точки отображаются напротив, ровнёхонько накладываясь на «легальные» лепестки.

Сформулируем правило розы для обобщенной системы координат: уравнение вида , – натуральное) задаёт полярную розу с длиной лепестка , при этом:

1) если — чётное, то роза имеет ровно лепестков;
2) если — нечётное, то роза имеет ровно лепестков.

Например, роза имеет 8 лепестков, роза – пять лепестков, роза – 12 лепестков, роза – 7 лепестков и т.д.

А почему закономерность столь необычна, я только что проиллюстрировал геометрически.

Какой способ выбрать, решать вам, …но я бы не особо рекомендовал использовать обобщенные полярные координаты – у преподавателя могут появиться дополнительные вопросы на счет отрицательных значений полярного радиуса (а то и вообще всё будет забраковано по этой причине)

Короткая задача для самостоятельного решения:

Построить линии, заданные уравнением в полярных координатах

а)
б)

Сформулировать общее правило о количестве и длине лепестков полярной розы вида , – натуральное)

В моём образце решение проведено 1-м способом. Повторим порядок действий:

– Сначала находим область определения. При этом для лучшего понимания своих действий рекомендую соотносить аналитический способ «нарезки» с графической интерпретацией. По материалам урока Геометрические преобразования графиков выясните, как выглядят, и при необходимости начертите графики функций .

– Находим угловые координаты вершин лепестков – они расположены ровно посередине промежутков области определения.

– Выполняем чертёж. Пойдёт схематическая версия, однако желательно разметить найденные секторы и угловые направления вершин лепестков (в случае необходимости – с помощью транспортира). Вершины удобно засекать циркулем, предварительно установив раствор, равный длине лепестка.

Существуют более солидные и общие формулы окружности, полярной розы и желающие могут с ними ознакомиться в других источниках информации. Я лишь ограничился практически значимыми (с моей точки зрения) примерами.

Предлагаю перейти ко 2-й части занятия под названием Как построить линию в полярной системе координат?, где мы продолжим рассматривать типовые задачи, и усовершенствуем свои навыки.

Решения и ответы:

Пример 3: Решение: найдём область определения:

Вычислим полярные координаты точек, принадлежащих данной линии:

Выполним чертёж:

Найдём уравнение линии в декартовой системе координат:

Проведём замены :

Выделим полный квадрат:

– окружность с центром в точке (координаты декартовы!) радиуса .

Дополнительная информация: уравнение вида задаёт окружность диаметра с центром в точке .

Пример 5: Решение:
а) Найдём область определения: косинус неотрицателен, когда его аргумент находится в пределах от до рад. включительно. В данном случае: . Или:
.
Таким образом:
– отрезок принадлежит области определения;
– интервал – не принадлежит;
– отрезок – принадлежит;
– интервал – не принадлежит.
Область определения: .
Роза имеет два лепестка, вершины которых находятся на полярной оси и её продолжении, длина лепестка равна :

б) область определения: . Роза имеет три лепестка единичной длины с вершинами, имеющими следующие угловые координаты:

Выполним чертёж:

Уравнение вида , – натуральное), задаёт полярную
-лепестковую розу, длина лепестка которой равна . Если рассматривается обобщенная полярная система координат, то при чётном значения «ка» количество лепестков удваивается.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

Видео:Построение кривой в полярной системе координатСкачать

Полярные координаты — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Видео:Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.Скачать

Полярные координаты. параметрические уравнения линии

Полярные координаты

Основная идея метода координат состоит в том, что положение точки на плоскости однозначно определяется с помощью двух чисел. Конкретный геометрический смысл этих чисел дает ту или иную систему координат. Наиболее важной после прямоугольной системы, исключительно употреблявшейся нами до сих пор, является полярная система координат, к рассмотрению которой мы и переходим.

Возьмем на плоскости точку О, которую назовем полюсом. Проведем из полюса О направленную полупрямую Ох, называемую полярной осью (рис. 41).

Пусть М — произвольная точка плоскости. Соединим точку М с полюсом О отрезком ОМ. Длина отрезка ОМ = р называется полярным радиусом точки М, а угол

Точка М с полярными координатами риф записывается следующим образом: М (р, ф), причем на первом месте ставится полярный радиус р, а на втором — полярный угол ф.

Что касается значений, принимаемых полярными координатами, то достаточно, очевидно, рассматривать значения р от 0 до и значения ф от 0 до , при этом, как мы условились, угол ф отсчитывается от полярной оси против хода часовой стрелки. Однако в некоторых вопросах приходится рассматривать углы, большие , а также отрицательные углы, т. е. углы, отсчитываемые от полярной оси по направлению движения часовой стрелки.

Связь между прямоугольными и полярными координатами

Рассмотрим переход от полярных координат к прямоугольным и обратно.

Предположим, что полюс полярной системы совпадает с началом прямоугольной системы координат Оху, а полярная ось является положительной полуосью Ох (рис. 42).

Тогда для произвольной точки М имеем

Считая угол ф острым, из прямоугольного треугольника АОМ находим

Полученные формулы справедливы для любого угла ф. Так выражаются прямоугольные координаты точки М через ее полярные координаты. Далее, из этого же прямоугольного треугольника АОМ получаем

Так выражаются полярные координаты точки через ее прямоугольные координаты.

Заметим, что при определении полярного угла ф по tg ф нужно учитывать знаки координат х и у.

Ранее мы видели, что линии могут быть заданы с помощью уравнений, связывающих их текущие прямоугольные координаты. Покажем теперь на простейшем примере, что линии могут определяться и уравнениями относительно полярных координат.

Пример:

Рассмотрим кривую , где а — некоторое положительное число. Эта кривая называется спиралью Архимеда. Для ее построения составляем таблицу соответственных значений ф и р:

По этой таблице наносим точки и соединяем их линией, уточняя, если в этом есть необходимость, положение промежуточных точек (рис. 43).

Параметрические уравнения линии

Иногда бывает удобнее вместо уравнения линии, связывающего прямоугольные координаты , рассматривать так называемые параметрические уравнения линии, дающие выражения текущих координат х и у в виде функций от некоторой переменной величины t (параметра). Параметрические уравнения играют важную роль, например, в механике, где координаты х и у движущейся точки М (х, у) рассматриваются как функции времени (уравнения движения).

Пример:

Выведем параметрические уравнения окружности.

Пусть М — произвольная точка окружности радиуса R с центром в начале координат (рис. 44). В определяемом ею прямоугольном треугольнике АОМ обозначим угол хОМ через t. Тогда, очевидно, будут иметь место равенства

Это и есть параметрические уравнения окружности.

Чтобы получить обычное уравнение окружности, нужно исключить параметр t. Для этого возводим уравнения (1) в квадрат и складываем их:

Пример:

Выведем параметрические уравнения эллипса.

Эллипс с полуосями а и b можно рассматривать как равномерно сжатую вдоль вертикального диаметра окружность радиуса а, где коэффициент сжатия k = b/a. Пусть М (х, у) — точка эллипса, N (X, У) — соответствующая точка окружности (рис. 45), где

За параметр t примем угол, образованный радиусом ON окружности с положительным направлением оси Ох: . Используя формулы (2), имеем

Таким образом, параметрические уравнения эллипса с полуосями а и b есть

Исключив из уравнений (3) параметр получим каноническое уравнение эллипса

Имея параметрические уравнения линии, можно по точкам построить ее.

Пример:

Решение:

Составляем таблицу значений:

Нанося точки с соответствующими координатами (х, у) на плоскость Оху и соединяя их линией, получим искомую кривую (рис. 46).

Эта кривая— парабола. В самом деле, исключив параметр t из уравнений (4), получим т. е. каноническое уравнение параболы.

Параметрические уравнения циклоиды

Определение: Циклоидой называется кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по прямой линии (рис. 47).

Выведем параметрические уравнения циклоиды, приняв прямую за ось Ох, предполагая, что радиус катящейся окружности равен айв начальном положении движущаяся точка М совпадает с началом координат. За параметр t примем угол поворота (в радианах) подвижного радиуса МС окружности относительно вертикального радиуса КС, где К — точка касания окружности с осью Ох (рис. 47). Так как качение окружности происходит без скольжения, то, очевидно, имеем

Отсюда на основании рис. 47 для координат текущей точки М циклоиды получаем следующие выражения:

Таким образом, параметрические уравнения циклоиды есть

Полярная система координат

Определение 1. Рассмотрим плоскость с прямоугольной декартовой системой координат Оху . Пусть М(х, у) – точка на плоскости, M ≠ 0. Полярными координатами точки М называются числа r − длина ее радиус-вектора (полярный
радиус) и ϕ − угол, образованный радиус-вектором с положительным направлением оси Ох (полярный угол), . Точка О при этом называется
полюсом, а полуось Ох – полярной осью.
Замечание. Зависимость между прямоугольными (х, у) и полярными ( , ) r ϕ
координатами точки М задается в виде: (1)

Рис.1. Полярные координаты точки.
Полярный полюс О и полярную ось можно выбрать на плоскости и не вводя
прямоугольную систему координат:

Пример 1.

Построим на плоскости линию, заданную уравнением:
− лемниската.
Решение.

Вычислим значения r при различных значениях ϕ :

Проводим лучи из начала координат под углами ϕ к оси Ох и на них откладываем
отрезки длины r , получим :

Рис.3. Лемниската

Пример 2.

а) Построим кривую − кардиоида. Рассуждая, как в примере 1 получим:




Замечание. Если в определении 1 отбросить требование 0 ≤ ϕ 0, то формулы (1) будут задавать непрерывное отображение точек плоскости (O, r, ϕ) на точки плоскости (x, O, y).

При этом, если r > 0, то векторы сонаправлены, если r

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатахСкачать

4.6. Как построить линию в полярных координатах?

Собственно:

– Сначала нужно построить полярную систему координат: отметить полюс, изобразить полярную ось и указать масштаб. Впрочем, этот пункт можно выполнить позже.

– Определяем область определения функции – угловые секторы, в которых линия существует, и в которых нет. Тонко прочерчиваем соответствующие угловые направления (прямые и / или лучи, разграничивающие эти секторы). Лучше пунктиром.

– В большинстве случаев потребуется найти десяток-другой точек, принадлежащих линии. Но иногда можно обойтись меньшим количеством, а то и вовсе отделаться схематическим чертежом.

– На следующем шаге следует прочертить угловые направления точек (тонкие прямые) и отметить на них найденные точки. Как это сделать с помощью каменного топора транспортира, циркуля и линейки, я подробнейшим образом объяснил выше.

– И, наконец, отложенные точки нужно аккуратно-аккуратно соединить линией (линиями).

Отработаем алгоритм на более основательных типовых задачах:

Задача 120

Построить по точкам линию, заданную в полярной системе координат уравнением , рассматривая значения угла с интервалом в рад. Найти уравнение линии в прямоугольной системе координат.

Решение: найдём область определения. Поскольку полярный радиус неотрицателен, то:
Неравенство опять же удобно решить графически. Мысленно либо на черновике изобразите график косинуса (см. Приложение Тригонометрия) и прямой . Что означает неравенство ? Оно означает, что нас устраивает та часть косинусоиды, которая не ниже прямой . График косинуса полностью удовлетворяет этому условию, поэтому может принимать любые значения, и нам предстоит «перепахать» весь круг от 0 до , причём, по условию сделать это требуется строго с интервалом в рад. (22,5 градусов). Ложку в зубы, калькулятор в руки:

и так далее, пока не будет пройден весь оборот до «двух пи»…., но хочется ли вам сидеть с калькулятором… и ложкой? J Используйте Приложение Геометрический Калькулятор, который позволит буквально в пару щелчков вычислить все значения !
Вычисления, как правило, не расписывают подробно, а сразу заносят их результаты в таблицу:

Изобразим на чертеже полярную систему координат и угловые направления – тонкие прямые, соответствующие вышеуказанным углам. Здесь можно опять воспользоваться Геометрическим Калькулятором, где все направления уже прочерчены, но вы должны быть готовы к самым суровым обстоятельствам 🙂

Если у вас под рукой нет ни программы, ни транспортира, ни даже линейки, то используйте мой handmade-продукт – выполните этот чертёж, ориентируясь по клеточкам:

(углы проставлены для удобства, и на чистовике их записывать не надо)
До сих пор бережно храню этот листок бумаги, чтобы лет через 10-20 продать его антикварном аукционе J

… Шутки шутками, а оперативная память моего первого компьютера ZX Spectrum составляла 32 килобайта. КИЛОбайта. При этом программисты умудрялись заталкивать туда аркадные игры с сотнями экранов и отличной графикой (по меркам 8-разрядных машин, конечно). …А ведь с той поры прошло немногим больше двух десятилетий.

После ностальгических воспоминаний отметим найденные точки на чертеже и аккуратно соединим их линией:

Напоминаю, что одинаковые значения радиуса эффективнее засекать циркулем,
а слишком малые значения для углов допустимо отметить и «на глазок».

Данная кривая называется кардиоидой. Найдём её уравнение в декартовой системе координат. Для этого используем знакомый приём – домножим обе части уравнения на «эр»:

И по формулам перехода к прямоугольным координатам , получим:

Перенесём «икс» налево и возведём обе части в квадрат:

Дальнейшее возведение левой части в квадрат только усложнит запись, поэтому результат целесообразнее оставить в таком виде.
Из полученного уравнения следует, что кардиоида – это алгебраическая линия 4-го порядка, и обратите внимание, насколько сложной получилась её формула по сравнению с полярной системой координат. Алгебраическим линиям 3-го, 4-го, 5-го, 6-го и высших порядков посвящены серьёзные исследования, и желающие без труда могут отыскать море информации по данной теме. Хорошая тема для курсовика, кстати, или реферата. Ну а я, как обычно, предлагаю полезную и здоровую пищу на каждый день:

Задача 121

Линия задана уравнением в полярной системе координат. Треба:

1) построить линию по точкам, придавая значения через интервал , начиная
с и заканчивая ;

2) найти уравнение линии в декартовой системе координат;

3) определить вид кривой.

Типовая формулировка, предвещающая час (а то и больше) усердного пыхтения,
а нередко и чертыханья студента. Но только не того, кто прочитал эту книгу! Примерный образец оформления задачи в конце урока.

Рассмотрим ряд других важных особенностей решения:

Задача 122

Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:

1) построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ;

2) найти уравнение данной линии в прямоугольной системе координат;

3) назвать линию, найти координаты фокусов и эксцентриситет.

Решение: 1) найдём область определения: .
Заметьте, что ноль в знаменателе нас тоже не устраивает, и поэтому неравенство строгое. Перенесём косинус направо: и развернём избушку – к нам передом, а к лесу задом:

Неравенство несложно решить аналитически, но для лучшего понимания я опять воспользуюсь графическим методом. Мысленно или на черновике изобразим графики , при этом нас будет интересовать только один период – от до :

Условию удовлетворяет та часть синусоиды, которая расположена ПОД прямой .

То есть, в нашем распоряжении оказываются почти все значения угла за исключением «макушки», расположенной на симметричном отрезке .
Таким образом, . Арккосинус составляет примерно , поэтому из рассмотрения исключаем углы и . Заполним расчётную таблицу с прочерками в соответствующих ячейках:

Изобразим полярную систему координат и лучи , между которыми нет точек линии. Прочертим угловые направления найденных точек и с помощью циркуля сделаем засечки. Аккуратно соединим отмеченные точки линией (точки, соответствующие углам , не вместились на чертёж):
2) Найдём уравнение линии в прямоугольной системе координат. Судя по всему должна получиться гипербола. Избавляемся от дроби:

Используем формулы перехода

и дальнейшее знакомо из задач с линиями второго порядка:

– искомое уравнение.

3) Данная линия представляется собой гиперболу с центром симметрии в точке , действительной полуосью , мнимой полуосью .
Вы спрОсите: «но в полярной же системе координат прорисовалась только одна ветвь гиперболы, поэтому не ошибочно ли сейчас говорить о целой гиперболе?». Не ошибочно! И вот по какой причине: если подразумевать обобщённую полярную систему координат с отрицательными значениями «эр», то при значениях угла из интервала прорисуется левая ветвь! Желающие могут провести самостоятельную проверку и анализ этого факта. Я не сторонник и даже противник обобщенных полярных координат, но в данном случае всё получается ловко и очень хитро – можно как бы и не оговариваться о том, что на чертеже только одна ветвь гиперболы.

Вычислим координаты фокусов и эксцентриситет. По условию уравнение не нужно приводить к каноническому виду, а значит, требуемые вещи проще найти напрямую – с учётом параллельного переноса гиперболы, к тому же, она не повёрнута.

Вычислим значение и поправкой на параллельный перенос в точку найдём фокусы:

Эксцентриситет:

Готово. Педантичные люди могут ещё записать развёрнутый ответ.

Заключительное задание для самостоятельного решения:

Задача 123

Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:

1) построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ;

2) найти уравнение данной линии в прямоугольной системе координат и определить её вид;

3) привести уравнение к каноническому виду и выполнить чертёж в прямоугольной системе координат. Найти фокусы кривой и её эксцентриситет.

Внимательно проанализируйте, что и в каком порядке требуется выполнить по условию. Сам много раз «налетал» – краем глаза показалось одно, а нужно совсем другое. В образце решения приведение уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду выполнено строгим академическим способом.

Когда удобно использовать полярные координаты? Ну, конечно, когда мы имеем дело со всевозможными окружностям, дугами, кругами, эллипсами, спиралями и т.д. А причина простА – уравнения получаются простые.

На основе полярных координат плоскости базируются цилиндрические и сферические координаты пространства. В частности, угловые величины широко используются в воздушной навигации и астрономии. Действительно, представьте земной шар (а если строго, эллипсоид), эллиптические орбиты планет и вы поймёте, что «распиаренная» прямоугольная система координат как-то здесь совсем «не в тему».

📺 Видео

Площадь фигуры, заданной в полярной системе координатСкачать

Линии в полярных координатах и параметрически заданныеСкачать

Занятие 01. Часть 3. Полярная система координатСкачать

§30 Уравнения кривых второго порядка в полярных координатахСкачать

Полярная система координатСкачать

Видеоурок "Полярная система координат"Скачать

Построение графика функции в полярных координатахСкачать

Лекция 22. Декартова система координат на плоскости и полярная система координатСкачать

Глаза гипножабы и площадь фигур в полярной системе координатСкачать

Скорость и ускорение точки в полярных координатахСкачать

Полярная система координат.Скачать

ПОИ-9. Длина линии в полярной системе координатСкачать

Оператор Лапласа в полярных координатахСкачать

§12 Полярное уравнение прямойСкачать

Двойной интеграл в полярных координатахСкачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать