Линейные уравнения с дробями примеры для тренировки (7 видео)

Линейные уравнения с дробями

Линейные уравнения с дробями не содержат переменной в знаменателе. Чтобы решить линейное уравнение с дробями, удобно избавиться от знаменателей.

Для этого нужно найти наименьший общий знаменатель всех входящих в уравнение дробей и обе части уравнения умножить на это число.

Наименьший общий знаменатель данных дробей равен 6. Дополнительный множитель к первой дроби равен 2, ко второй — 3, к 5 — 6. Умножаем обе части уравнения на наименьший общий знаменатель:

В результате наименьший общий знаменатель и знаменатель каждой дроби сокращаются, и получаем линейное уравнение, не содержащее дробей.

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

Из полученной неправильной дроби выделяем целую часть

Наименьший общий знаменатель данных дробей равен 20. Найдем дополнительный множитель к каждой дроби и умножим обе части уравнения на 20:

Можно, конечно, сразу же умножить дополнительный множитель на числитель каждой дроби. Но, к сожалению, наибольшее количество ошибок при решении линейных уравнений с дробями допускается именно на этом шаге. Скобки — друзья ученика :). Поэтому лучше воспользоваться их помощью:

Особенно полезны скобки в случае, когда перед дробью стоит знак «минус».

После раскрытия скобок можно сразу же перенести неизвестные в одну сторону уравнения, известные — в другую (не забыв при переносе изменить их знаки), а можно сначала упростить каждую часть, приведя подобные слагаемые, а потом уже переносить.

Здесь наименьший общий знаменатель дробей равен 12. Находим дополнительный множитель к каждой дроби и умножаем обе части уравнения на 12:

Раскрываем скобки и упрощаем

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

Уравнения такого вида можно решить, использовать основное свойство пропорции (в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов):

при делении двух отрицательных чисел получается положительное число, поэтому минусы можно сразу же не писать.

Если это возможно, лучше ответ записать в виде десятичной дроби:

Содержание

Решение уравнений с дробями
Понятие дроби
Основные свойства дробей
Понятие уравнения
Понятие дробного уравнения
Как решать уравнения с дробями
1. Метод пропорции
2. Метод избавления от дробей
Что еще важно учитывать при решении
Универсальный алгоритм решения
Примеры решения дробных уравнений
Уравнения с дробями
💥 Видео

Видео:Уравнения с дробями. Алгебра 7 класс.Скачать

Решение уравнений с дробями

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Видео:№7 Линейное уравнение (5х+4)/2+3=9x/5 Простое уравнение с дробями Решите уравнение с дробью ОГЭ ЕГЭСкачать

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

обыкновенный вид — ½ или a/b,
десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Видео:ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Видео:Решить уравнение с дробями - Математика - 6 классСкачать

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Линейное уравнение выглядит так	ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Что поможет в решении: если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = −b : а; если а равно нулю, а b не равно нулю — у уравнения нет корней; если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так:	ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Линейное уравнение выглядит так

ах + b = 0, где a и b — действительные числа.

Что поможет в решении:

если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = −b : а;
если а равно нулю, а b не равно нулю — у уравнения нет корней;
если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.

Квадратное уравнение выглядит так:

ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Видео:Как решать линейные уравнения Решите уравнение 5 класс 6 класс 7 класс Как решать простое уравнениеСкачать

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Видео:№6 Линейное уравнение х-х/3=3 Простое уравнение с дробями Решите уравнение с дробью 9кл 11кл ОГЭ ЕГЭСкачать

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Видео:Уравнение с дробями видео урок ( Математика 5 класс )Скачать

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравнения

Область допустимых значений: х ≠ −2.
Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Переведем новый множитель в числитель..

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

Вывод: числа −3 и 3 не являются корнями уравнения, значит у данного уравнения нет решения.

Видео:КАК РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ С ДРОБЯМИ, СВОДЯЩЕЕСЯ К ЛИНЕЙНОМУ? Примеры | АЛГЕБРА 7 классСкачать

Уравнения с дробями

Линейные уравнения с дробями в 6 классе можно решать по обычной схеме: неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знак. Другой путь — предварительно упростить уравнение, превратив его из линейного уравнения с дробями в линейное уравнение с целыми числами.

Сначала на примере одного линейного уравнения с дробями рассмотрим оба способа решения.

1 способ: Это — линейное уравнение. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

Приводим к общему знаменателю дроби в каждой части уравнения:

Это — простейшее линейное уравнение . Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

При делении чисел с разными знаками получаем отрицательное число. По правилу деления дробей :

После сокращения имеем:

(В данном случае ответ можно записать и в виде десятичной дроби: х=-0,8).

Обе части уравнения умножим почленно на наименьший общий знаменатель всех входящих в него дробей, в данном случае он равен 24:

При умножении на знаменатель дроби сокращаются, в знаменателе остается единица, которую не пишем. От линейного уравнения с дробями перешли к линейному уравнению с целыми числами:

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

Как видите, второй способ существенно упрощает решение линейного уравнения с дробями.

Обе части уравнения умножаем почленно на наименьший общий знаменатель всех входящих в него дробей. Здесь он равен 60:

Вместо линейного уравнения с дробями получили линейное уравнение с целыми числами. Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки: