Линейные рекуррентные уравнения с постоянными коэффициентами

Видео:Райгородский А. М. - Комбинаторика - Линейные рекуррентные соотношенияСкачать

Рекуррентные соотношения и уравнения

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений рекуррентных соотношений методом характеристического уравнения и подбора частного решения по правой части. Также приведены краткие алгоритмы решения для двух методов и пример их использования для последовательности Фибоначчи.

Видео:15. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Как решать рекуррентные соотношения?

Для решения рекуррентных соотношений применяют один из двух основных способов:

• Метод производящих функций
• Метод характеристического уравнения

В следующем разделе мы сравним, как выглядит процесс решения для одной и той же последовательности двумя методами.

Метод производящих функций

1. Записать рекуррентное соотношение и начальные данные для него в следующем виде (если порядок соотношения равен $k$) $$a_ = …, \ a_ = …, \ a_ = …, \ … \ a_ = …, ngeqslant k$$
2. Домножить каждую строчку на $z$ в соответствующей степени $z^ cdot a_$ и сложить все выражения для $n ge 0$. В левой части получится сумма $displaystylesum_^ a_nz^n$ — это производящая функция, назовем ее $G(z)$. Правую часть преобразовать так, чтобы она превратилась в выражение, включающее $G(z)$.
3. Решить полученное уравнение относительно $G(z)$.
4. Разложить $G(z)$ в степенной ряд, тогда коэффициент при $z_n$ будет искомым выражением для $a_n$.

Метод характеристических функций

Этот метод практически полностью аналогичен методу решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, кратко алгоритм выглядит так:

1. Записать соответствующее однородное рекуррентное уравнение (РУ): $$ p_ a_ + p_a_ + . + p_n a_n =f to \ to p_ a_ + p_a_ + . + p_n a_n =0. $$
2. Выписать для него характеристическое уравнение и найти его корни $lambda_i$ $$ p_ lambda^ + p_lambda^ + . + p_lambda + p_n =0. $$
3. Выписать согласно полученным корням $lambda_1, . lambda_k$ общее решение однородного рекуррентного соотношения (подробнее теорию см. по ссылке [1] ниже). $$ C_1 lambda_1^n +. +C_k lambda_k^n , mbox , $$ $$ C_1 lambda_1^n + C_2 nlambda_1^n +. +C_m n^m lambda_1^n+. +C_k lambda_k^n mbox , lambda_1 , , m. $$
4. Подобрать частное решение неоднородного рекуррентного соотношения по виду правой части (особенно удобно для правых частей вида $mu^n*P(n)$, $P(n)$ — многочлен от $n$).
5. Представить общее решение неоднородного РУ как сумму общего решения соответствующего однородного РУ и частного решения неоднородного РУ.
6. Подставить начальные условия $a_0, a_1, . a_$ и получить значения констант $C_1, . C_k$.

Видео:21.04 - дискра, рекуррентные соотношенияСкачать

Решение для последовательности чисел Фибоначчи

Последовательность чисел Фибоначи — это последовательность, каждый элемент которой (кроме нулевого и первого) равен сумме двух предыдущих:

$$ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 , . $$

Числа Фибоначчи растут быстро: $f_=55$, $f_=6765$, а $f_=354224848179261915075$.

Общая формула данной рекуррентной последовательности имеет вид6

Способ 1. Производящяя функция

Начинаем с второго шага алгоритма, домножаем на $z^n$:

$$begin 1cdot f_0 &= &0cdot 1,\ zcdot f_1 &= &1cdot z,\ zcdot f_n & = &(f_+f_)cdot z^n, quad ngeq2.\ end $$

Складываем все строчки:

На третьем шаге алгоритма приводим все суммы к замкнутому виду:

откуда выводим искомое выражение для производящей функции:

Теперь разложим ее в степенной ряд. Для этого сначала разложим знаменатель на множители. Найдем корни уравнения:

Чтобы разложить данные дроби в ряды, используем известное разложение для дроби:

Рассмотрим первую дробь и поделим в ней числитель и знаменатель на $z_1$:

Аналогично (но с делением на $z_2$) действуем со второй дробью:

Преобразуем данное выражение, используя то, что

$$1/z_1=-z_2, quad 1/z_2 = -z_1, quad z_1-z_2=sqrt $$ $$f_n=frac<sqrt>left( biggl( frac<1+sqrt> biggr)^n — biggl( frac<1-sqrt> biggr)^n right). $$

Способ 2. Характеристическое уравнение

Запишем характеристический многочлен для $f_n=f_+f_$, и найдем его корни:

Тогда общее решение однородного рекуррентного уравнения имеет вид:

Осталось найти значения произвольных постоянных $C_1, C_2$ из начальных условий $f_0=0, f_1=1$.

Решая систему, найдем

Итоговое выражение для последовательности чисел Фибоначчи:

Результаты обоих методов совпали, решение вторым методом оказалось проще и короче.

Видео:Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентамСкачать

Примеры решений

Задача 1. Решить рекуррентное соотношение $f(n+2)=-6f(n+1)+7f(n)+n-3$ с начальными условиями $f(0)=2$ и $f(1)=4$, сделать проверку

Задача 2. Решить рекуррентное соотношение $f(n+2)=-2f(n+1)+3f(n)-3^n$ с начальными условиями $f(0)=1$, $f(1)=3$ и сделать проверку

Задача 3. 1. Решить рекуррентное соотношение $f(n+2) =-5f(n+1) -4f(n) + 3n^2$ с начальными условиями $f(0) = 2$, $f(1) = 3$.
2. Проверить, удовлетворяет ли найденное решение начальным условиям и обращает ли оно рекуррентное соотношение в справедливое тождество.

Задача 4. Найти последовательность $$, удовлетворяющую рекуррентному соотношению $a_ + 4 a_ + 3 a_ = 0$ и начальным условиям $a_1=2$, $a_2=4$.

Видео:16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Мудров В.В. Высшая математика в задачах и упражнениях: основы комбинаторного анализа — файл n5.doc

приобрести
Мудров В.В. Высшая математика в задачах и упражнениях: основы комбинаторного анализа
скачать (456.8 kb.)
Доступные файлы (10):

Видео:ДУ Линейные уравнения с постоянными коэффициентамиСкачать

n5.doc

Глава 4. Рекуррентные уравнения (соотношения)
4.1. Основные понятия и определения
Рекуррентные уравнения (соотношения), которые ранее уже неоднократно встречались (в том числе получались, строились), являются дискретными аналогами обыкновенных дифференциальных уравнений. Они, в отличие от дифференциальных, используемых в качестве математических моделей непрерывных систем, описывают динамику дискретных (импульсных) систем (одна из таких простейших систем фигурирует, в частности, в задаче Фибоначчи, рассмотренной в главе 2).

Любое рекуррентное уравнение связывает неизвестную величину f (n) – значение бесконечной числовой последовательности (решетчатой функции), служащей решением уравнения, с аналогичными величинами f ( i ), имеющими меньший индекс i ( i 0), характеризующий глубину (продолжительность) связей между элементами искомой последовательности;

g (n) – заданная, как правило, аналитическим выражением последовательность – возмущающая функция натурального аргумента (ее присутствие в рекуррентном уравнении необязательно).

Так, например, три соотношения
f (n+1) = f (n) + 2 sin n ,

f (n+3) = f (n) + 3 f (n+1) ∙ f (n+2)
являются соответственно рекуррентными уравнениями 1-го, 2-го и 3-го порядков. При этом в первых двух уравнениях роль возмущающей функции g (n) выполняют две последовательности
< 2 sin n >, < -5n ∙ exp (- n) >,
а в третьем уравнении функция g (n) отсутствует, т.е. g (n) = 0.

Частное решение (или просто решение) рекуррентного уравнения — любая последовательность (решетчатая функция), удовлетворяющая уравнению (4.1), т.е. приводящая после ее подстановки в рекуррентное уравнение к тождеству.

Так, например, последовательность y (n) = < 2,4,8. , . > является одним из частных решений рекуррентного уравнения
f (n+2) = 10 f (n) – 3 f (n+1),
в чем легко убедиться, если подставить y (n) в это уравнение.

Начальные условия рекуррентного уравнения. Если в (4.1) n = 0, то будем иметь соотношение для k-го элемента последовательности
f (k ) = F [ g (0), f (k-1), f (k-2). f (0) ],
значение которого может быть вычислено с помощью уравнения, если предварительно задать совокупность значений
= . ( 4.2 )

Эти значения (по аналогии с теорией дифференциальных уравнений, когда интегрирование сводится к решению задачи Коши) называются начальными условиями рекуррентного уравнения (4.1).

Общее решение рекуррентного уравнения — последовательность
f (n) = f (n ,C ), ( 4.3 )
зависящая от k произвольных постоянных ( j = 1,2. k ) и отвечающая двум требованиям (см. пример 4.1):

1) для любых допустимых значений произвольных постоянных эта последовательность удовлетворяет уравнению (4.1), т.е. является одним из его частных решений;

2) для любой заданной совокупности начальных условий (4.2) найдутся такие постоянные , что последовательность (4.3) будет удовлетворять этим условиям, т.е. системе k уравнений
, ( i = 0,1,2. k—1)
относительно k искомых значений постоянных .
4.2. Линейные рекуррентные уравнения

с постоянными коэффициентами
Линейное уравнение — рекуррентное соотношение вида
,( 4.4 )
где ( i = 1,2. k ) — коэффициенты уравнения, являющиеся в общем случае функциями натурального аргумента.

Линейное уравнение с постоянными коэффициентами – частный случай уравнения (4.4), когда все коэффициенты — постоянные действительные числа, не зависящие от натурального аргумента n.

Линейное однородное уравнение — линейное рекуррентное уравнение

, ( 4.5 )
у которого отсутствует правая часть, т.е. g (n) = 0.

Свойство аддитивности решений однородного уравнения: если последовательности x (n), y (n) являются частными решениями уравнения (4.5), т.е.

,
то при любых (произвольных ) числах A , B последовательность
z (n) = A ∙ x (n) + B ∙ y (n),
представляющая собой линейную комбинацию решений x (n), y (n), также будет являться решением, т.е. для z (n) будет выполняться
.
Так, например, две последовательности , являются (в чем несложно удостовериться путем подстановки) решениями рекуррентного уравнения
f (n+2) – f (n+1) — 6f (n) = 0. ( 4.6 )
Как следует из свойства аддитивности, решениями уравнения (4.6) будут также любые линейные комбинации этих последовательностей и, в частности, функции натурального аргумента
, ,
где r – любое действительное число. В этом легко убедиться, если z (n) и w (n) подставить в уравнение ( 4.6 ).

Общее решение однородного уравнения — последовательность , представляющая собой линейную комбинацию вида
, ( 4.7 )
где f j (n) ( j = 1,2. k ) — линейно независимые частные решения, составляющие фундаментальную систему решений.

Общее решение неоднородного уравнения — последовательность f (n), которую можно записать в виде суммы
, ( 4.8 )
слагаемыми которой служат

— общее решение однородного уравнения;

— любое частное решение неоднородного уравнения.

Так, для рассмотренного в качестве примера линейного однородного рекуррентного уравнения (4.6) общее решение можно записать в виде линейной комбинации
.
Если это уравнение дополнить правой частью – решетчатой функцией , в результате чего уравнение станет неоднородным, то последовательность

будет удовлетворять полученному неоднородному уравнению
,
т.е. являться его частным решением.

Таким образом, согласно (4.8) общее решение уравнения (4.6) можно записать следующим образом
.
4.3. Построение общего решения

однородного рекуррентного уравнения

по корням характеристического многочлена
Характеристический многочлен линейного рекуррентного уравнения (4.4) с постоянными коэффициентами – полином k—й степени
, ( 4.9 )
получающийся посредством замены на всех f (n + j ) ( j = 0,1. k ), фигурирующих в левой части неоднородного уравнения .

Уравнение принято называть характеристическим уравнением.

Формулировка задачи. Пусть имеется линейное однородное рекуррентное уравнение вида (4.5), в котором все коэффициенты ( i = 1,2. k ) — постоянные действительные числа. Требуется найти его общее решение , т.е. построить фундаментальную систему решений
,
входящих в линейную комбинацию (4.7).

Обоснование возможности использования характеристического многочлена для решения сформулированной задачи.

Запишем решение уравнения в виде и подставим его в (4.5). После преобразований получим
, ( 4.10 )
где есть не что иное, как записанный в виде (4.9) характеристический многочлен.

Так как нас не интересует тривиальное решение ( когда h = 0 ), то из (4.10) следует — аргумент h должен удовлетворять характеристическому уравнению . Решая это уравнение, получим (с учетом кратности) k корней. Каждому корню соответствует одно частное решение, причем аналитический вид решения зависит от типа (характера) корня (действительный, комплексный, кратный).

Правила определения вида частных решений уравнения (4.5) по корням характеристического многочлена:

1. Если h — простой (однократный) действительный корень, то ему соответствует частное решение вида
. ( 4.11 )
2. Если h = a + ib — простой комплексный корень, то этому корню и сопряженному с ним (т.е. паре сопряженных корней) соответствуют два линейно независимых частных решения

( 4.12 )

— модуль комплексного числа (комплексного корня) ;

? = arctg ( b / a ) — аргумент комплексного числа .
3. Если h — действительный корень кратности m, то ему

(точнее всем совпадающим корням ) соответствуют частные решения
, , . , ( 4.13 )
составляющие группу m линейно независимых функций натурального аргумента.
4. Если h = a + ib — комплексный корень кратности m, то с учетом предыдущих правил группе совпадающих пар сопряженных корней соответствуют частные решения
( 4.14 )

составляющие группу 2m линейно независимых функций натурального аргумента.

Порядок построения общего решения линейного однородного рекуррентного уравнения с постоянными коэффициентами:

1. По заданному рекуррентному уравнению (4.5) записываем характеристический многочлен (4.9) и находим его корни.

2. Каждому корню характеристического уравнения, строго придерживаясь сформулированных правил и выражений (4.11)– (4.14), ставим в соответствие одно частное решение.

3. Используя полученную на предыдущем этапе совокупность частных решений (фундаментальную систему решений), записываем искомое общее решение в виде линейной комбинации (4.7).

Построению общих решений конкретных линейных однородных рекуррентных уравнений с помощью сформулированных выше правил посвящен пример 4.2.

1. Нахождение частного решения

неоднородного рекуррентного уравнения

с помощью метода неопределенных коэффициентов
Метод неопределенных коэффициентов предназначен (как и в случае интегрирования дифференциальных уравнений) для нахождения частного решения линейного неоднородного рекуррентного уравнения (4.4) с постоянными коэффициентами. Он применим в ситуации, когда правая часть g ( n ) уравнения представляет собой некоторую сумму, слагаемыми которой служат функции натурального аргумента двух видов:
, ( 4.15 )

, ( 4.16 )
в которых b,  — действительные числа, а d(n), , — полиномы относительно переменной n с действительными коэффициентами.

Ниже рассматривается возможность применения метода неопределенных коэффициентов, когда правая часть g (n) рекуррентного уравнения является последовательностью вида (4.15). Для правой части вида (4.16) удобнее использовать рассматриваемый в следующей главе операционный подход.

Формулировка задачи. Пусть имеется линейное неоднородное рекуррентное уравнение с постоянными коэффициентами
( 4.17 )
в котором d (n) — полином s-й степени,
.
Требуется с помощью метода неопределенных коэффициентов найти аналитическое выражение частного решения записанного уравнения.

Правила определения аналитического вида частного решения неоднородного уравнения (4.17):

1. Если b не принадлежит к корням характеристического многочлена (4.9), то частное решение будет иметь вид

, ( 4.18 )
где D (n) – полином с неизвестными (неопределенными) коэффициентами,

, ( 4.19 )
порядок которого совпадает с порядком заданного полинома d ( n ).

2. Если b — действительный корень характеристического многочлена (4.9) кратности m, то частное решение будет иметь вид
( 4.20 )
где D (n) – полином вида (4.19).

Порядок нахождения частного решения линейного неоднородного рекуррентного уравнения с постоянными коэффициентами:

1. По заданному рекуррентному уравнению (4.17) записываем характеристический многочлен (4.9).

2. Проверяем, является ли величина b корнем характеристического уравнения, и если да, то определяем его кратность m.

3. Записываем, строго придерживаясь сформулированных правил и выражений (4.18) –(4.20), аналитический вид частного решения .

4. Подставив частное решение в рекуррентное уравнение, после преобразований получаем — слева и справа от знака равенства стоят многочлены s-й степени.

5. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях натурального аргумента n, получим систему (s+1) уравнений относительно неизвестных коэффициентов

6. Решая систему линейных алгебраических уравнений, определяем коэффициенты полинома (4.19) и записываем конкретный вид искомого частного решения.

Замечание. Если корни характеристического уравнения известны, то выполнение пункта 2 не вызывает трудностей. В противном случае можно предложить следующий алгоритм (не требующий вычисления корней). Сначала проверяем (посредством подстановки в характеристическое уравнение ), является ли величина b корнем. Если да, то путем последовательного дифференцирования характеристического многочлена и подстановки величины b в его производные находим порядок первой, не обращающейся в ноль, производной. Именно этот порядок и будет искомой кратностью m корня.

Нахождению с помощью сформулированных выше правил частных решений линейных неоднородных рекуррентных уравнений с различными правыми частями посвящен пример 4.3.

1. Определение решения рекуррентного уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям

Формулировка задачи. Пусть имеется линейное неоднородное рекуррентное уравнение и известно его общее решение
( 4.21 )
в котором — любое частное решение, а (j = 1,2. k) – решения, образующие фундаментальную систему решений однородного уравнения .

Требуется среди всего множества решений, составляющих общее решение (4.21), выделить (найти) единственное решение , удовлетворяющее заданным начальным условиям f (i) ( i = 0,1. k-1).

Система уравнений для нахождения решения — линейная неоднородная алгебраическая система k уравнений относительно совокупности неизвестных постоянных

квадратная матрица которой составлена из значений = элементов последовательностей ( j = 1,2. k ), входящих в фундаментальную систему решений.

Замечание 1. Система всегда совместна и имеет единственное решение, так как ее квадратная матрица является (в силу независимости фундаментальной системы решений) невырожденной, т.е. определитель матрицы не равен нулю.

Замечание 2. Ясно, что в ситуации, когда исходное рекуррентное уравнение однородное, частное решение = 0 и, как следствие, все значения , входящие в правую часть системы, будут нулевыми.

Порядок нахождения решения линейного неоднородного рекуррентного уравнения по заданным начальным условиям:

1. Вычисляем значения последовательностей , для всех

значений n = i (i = 0,1. k-1) и записываем систему (4.22).

2. Решая алгебраическую систему, находим неизвестные постоянные (j = 1,2. k).

3. Подставляя в общее решение (4.21) вместо найденные значения постоянных , получаем конечный аналитический вид искомого решения f (n,).

В примере 4.4 для двух линейных рекуррентных уравнений (однородного и неоднородного) с заданными начальными условиями находятся решения, удовлетворяющие этим условиям. При этом в качестве однородного фигурирует уравнение, описывающее динамику изменения последовательности чисел Фибоначчи.

Примеры задач с решениями
Пример 4.1. Показать, что общее решение рекуррентного уравнения
f (n+2) = 7∙f (n+1) — 12∙f (n)
можно записать в виде

.
Легко проверить, что последовательность f (n) при любых значениях произвольных констант обращает заданное рекуррентное уравнение в тождество, т.е. первое требование к общему решению удовлетворяется. Действительно,

Чтобы убедиться в выполнении второго требования, выберем в качестве начальных условий произвольные числа A, B, т.е. f (0 ) = A,

f (1) = B. Так как из предполагаемого общего решения имеем
, ,
то для нахождения постоянных используем систему линейных уравнений

Решая эту систему, получим аналитические выражения для искомых величин

.
Из полученных выражений следует — для любых начальных условий A, B существует единственная последовательность
,
удовлетворяющая этим условиям и самому рекуррентному уравнению, что подтверждает выполнение второго требования к общему решению.
Пример 4.2. Найти общие решения однородных рекуррентных уравнений
a) f (n+3) – 9 f (n+2) + 26 f (n+1) – 24 f (n) = 0,

б) f (n+4) – f (n) = 0,

1. в) f (n+3) + 6 f (n+2) + 12 f (n+1) + 8 f (n) = 0,

г) f (n+4) + 2 f (n+2) + f (n) = 0.
a) Характеристическое уравнение, соответствующее первому из заданных рекуррентных уравненений,
,
имеет три различных действительных корня
.
В соответствии с правилом 1 функции натурального аргумента

составляют фундаментальную систему решений. В итоге общее решение рекуррентного уравнения имеет вид

.
б) Характеристическое уравнение

имеет четыре различных корня:

два комплексных сопряженных ;

два действительных .

В соответствии с правилами 1, 2 четыре линейно независимые функции натурального аргумента

в которых  = , составляют фундаментальную систему решений.

Следовательно, искомое общее решение рекуррентного уравнения имеет вид
.
в) Характеристическое уравнение

имеет один корень h = — 2 кратности m = 3.

Согласно правилу 3, фундаментальную систему решений составляют три функции натурального аргумента

и, как следствие, искомое общее решение рекуррентного уравнения записывается в виде равенства
.
г) Характеристическое уравнение

имеет два комплексных сопряженных корня кратности m = 2. В этом случае, согласно правилу 4, фундаментальная система решений включает четыре линейно независимые функции натурального аргумента

в которых  =  , и общее решение однородного рекуррентного уравнения имеет вид
.

Пример 4.3. Найти частное решение рекуррентного уравнения

для следующих вариантов правых частей:
a) а = 5, d (n) = 12,

в) а = 3, d (n) = 2.
Запишем характеристический многочлен
,
который является общим для всех вариантов исходных данных и имеет три различных действительных корня
.
а) Число а = 5 не относится к корням характеристического многочлена (R (5) = 6). Учитывая, что полином d (n) = 12 в правой части имеет нулевой порядок, записываем (в соответствии с правилом 1) аналитический вид частного решения и подставляем его в исходное уравнение. В результате будем иметь равенство
,
из которого находим D = 2, т.е. искомое частное решение можно записать в виде
.
б) Число а = — 2 также не относится к корням характеристического многочлена ( R (-2) = — 120 ). В данном случае полином d (n) имеет первый порядок, т.е. согласно правилу 1, неизвестный полином D (n), входящий в частное решение, можно записать следующим образом
D (n) = An + B,
где A, B — неопределенные коэффициенты. Подставим частное решение в рекуррентное уравнение

и преобразуем полученное выражение с учетом равенств
D ( n + 1 ) = A∙n + ( A + B ),

в результате чего будем иметь
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях n (при нулевой и первой), получим систему уравнений

-148 А – 120В = 28,
разрешая которую, находим A = -1, B = 1, т.е. искомое частное решение можно записать следующим образом
.
в) Число а = 3 является простым (однократным) корнем характеристического многочлена. Для данного варианта исходный полином d (n) = 2 .

Записываем, согласно правилу 2, аналитический вид частного решения и подставляем его в исходное уравнение
.
После сокращения на и приведения подобных членов несложно заметить, что будет выполняться равенство
,
где R (3), — значения характеристического многочлена и его производной при h = 3.

Учитывая R (3) = 0, получаем , т.е. D существует, если значение отлично от нуля. Это подтверждает необходимость строгого соблюдения правила 2 (проверки и учета кратности корня).

Так как в рассматриваемом случае , то и искомое решение имеет вид

.
Пример 4.4. Найти решения рекуррентных уравнений с известными начальными условиями:
a) f (n+2) – f (n+1) – f (n) = 0, f (0) = 1, f (1) = 2,
б) f (n+2) – 2 f (n+1) + f (n) = 6n, f (0) = 1, f (1) = 3.
a) Характеристическое уравнение

имеет два действительных корня
, ( А = ).
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют две функции натурального аргумента
, ,
а общее решение имеет вид
.
Вычисляем необходимые значения функций ( n = 0,1 ):
, , ,
и записываем систему линейных уравнений относительно неизвестных значений произвольных постоянных:

Решая эту систему, получим выражения для неизвестных величин
, .
После подстановки последних в общее решение записываем аналитический вид искомого решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям:
.
На первый взгляд, кажется удивительным, что это выражение, с помощью которого получаются числа Фибоначчи, для любого n принимает целые значения.

б) Характеристическое уравнение

имеет один действительный корень h = 1 кратности m = 2. Следовательно, фундаментальную систему решений составляют две функции

а общее решение однородного уравнения записывается следующим образом

.
Правая часть рекуррентного уравнения, согласно условиям примера, имеет вид (4.15) с параметрами
a = 1, d ( n ) = 6 n,

т.е. a = h = 1 — двукратный корень характеристического уравнения.

Исходя из этого, записываем аналитический вид частного решения

и подставляем его в исходное уравнение
.
После преобразования имеем 6A∙n + 6A + 2B = 6n. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях n, получаем систему уравнений
6 A = 6,

6 A + 2 B = 0,
разрешая которую, находим A = 1, B = — 3, т.е. частное решение неоднородного уравнения удовлетворяет равенству
,
а с учетом ранее записанного его общее решение имеет вид
.
Для нахождения решения, удовлетворяющего начальным условиям, вычисляем значения функций , , ( n = 0,1 )
=1, =1, =0, =1, , ,
записываем систему линейных уравнений

и, решая эту систему, получаем .

Подставляя полученные значения в общее решение, будем иметь функцию натурального аргумента
f (n) = (n – 3)∙+ 4 n + 1,
представляющую искомое частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Образовательный блог — всё для учебы

Определение: Уравнение L(x(k)) = x(k+n) + a₁(k)x(k+n+1) + … + a_n(k)x(k) = , причём
0 – (R₀) однородное уравнение.
F(k) – R₁ неоднородное уравнение.
где a_i(k) – функция в N→R, i = 1…n и F(k)≠0 (тривиально) – неизвестная функция, x(k) – неизвестная функция называются линейными рекуррентными уравнениями (ЛРУ) однородными и неоднородными соответственно с постоянными коэффициентами.

Замечание: Такие уравнения R₀ и R₁ называют стационарными ЛРУ или СЛРУ однородными и неоднородными соответственно.

Определение: Выражение L(y) = λ n + a₁λ n-1 + … + a_n-1λ + a_n есть характеристический компонент для однородного СЛРУ R₀ (Равно как и для неоднородного СЛРУ R₁).

Теорема: Если:
λ₁, … , λ_p – вещественные кокни характеристического уравнения
l₁, … , l_p – их кратности
μ₁, … , μ_s – группа комплексных корней
μ_j = α_j+β_j, j=1, … ,s
μ₁*, … , μ_s* — группа комплексно сопряженных корней.

Замечание:. Если x₁(k),…, x_n(k) есть ФСР для однородного СРЛУ (r0), то его общее решение x_oo(k)=C₁x₁(k)+…+ C_nx_n(k), где произвольные постоянные пробегают множество вещественных чисел R – независимо друг от друга.

Нахождение частного решения часто бывает непростой задачей, но для некоторых специальных правых частей R₁, такое решение может быть найдено, например, если правая часть R₁ есть квазиполином.
f(k)=P_m(k), то функция x_чн может быть найдена в виде x_чн=k r Q_m(k)λ k ,где r есть кратность корня характеристического уравнения, а Q_m(k) – есть полином степени m, неизвестные коэффициенты которого: a₀,a₁,…,a_m – подлежат определению.

Замечание: СЛРУ, определена на элементах групп, широко используемых в криптографии.

🎦 Видео

ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентамиСкачать

Линейные рекуррентные соотношения || Гущин Д. Д.Скачать

Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.Скачать

Дифференциальные уравнения, 8 урок, Линейные дифференциальные уравнения с const коэф-ами 2 порядкаСкачать

ОКТЧ 12. Диаграммы Юнга и линейные рекуррентные соотношенияСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать

7. ДУ. ЛНДУ с правой частью спец вида (4270 Берман Г.Н)Скачать

ЛНДУ II п. со спец. правой ч. (sin, cos)Скачать

10. Линейные однородные рекуррентные соотношения. Дискретная математикаСкачать

Рекуррентные уравненияСкачать

Решение неоднородного рекуррентного уравненияСкачать

Видеоурок "Нахождение частных решений по виду правой части"Скачать

Основы комбинаторики и теории чисел 5. Рекуррентные соотношенияСкачать