Линейность или нелинейность дифференциальных уравнений

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, записываются в виде математического уравнения, выражающего определенную зависимость между какими-то величинами. Часто речь идет о соотношении между величинами, изменяющимися с течением времени, например экономичность двигателя, измеряемая расстоянием, которое автомашина может проехать на одном литре горючего, зависит от скорости движения автомашины. Соответствующее уравнение содержит одну или несколько функций и их производных и называется дифференциальным уравнением. (Темп изменения расстояния со временем определяется скоростью; следовательно, скорость – производная от расстояния; аналогично, ускорение – производная от скорости, так как ускорение задает темп изменения скорости со временем.) Большое значение, которое имеют дифференциальные уравнения для математики и особенно для ее приложений, объясняются тем, что к решению таких уравнений сводится исследование многих физических и технических задач. Дифференциальные уравнения играют существенную роль и в других науках, таких, как биология, экономика и электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений (коль скоро окружающий мир изменяется во времени, а условия изменяются от одного места к другому).

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Примеры.

Следующие примеры позволяют лучше понять, как различные задачи формулируются на языке дифференциальных уравнений.

1) Закон распада некоторых радиоактивных веществ состоит в том, что скорость распада пропорциональна наличному количеству этого вещества. Если x – количество вещества в некоторый момент времени t, то этот закон можно записать так:

где dx/dt – скорость распада, а k – некоторая положительная постоянная, характеризующая данное вещество. (Знак «минус» в правой части указывает на то, что x убывает со временем; знак «плюс», подразумеваемый всегда, когда знак явно не указан, означал бы, что x возрастает со временем.)

2) Емкость первоначально содержит 10 кг соли, растворенной в 100 м 3 воды. Если чистая вода вливается в емкость со скоростью 1 м 3 в минуту и равномерно перемешивается с раствором, а образовавшийся раствор вытекает из емкости с такой же скоростью, то сколько соли окажется в емкости в любой последующий момент времени? Если x – количество соли (в кг) в емкости в момент времени t, то в любой момент времени t в 1 м 3 раствора в емкости содержится x/100 кг соли; поэтому количество соли убывает со скоростью x/100 кг/мин, или

3) Пусть на тело массы m, подвешенное к концу пружины, действует возвращающая сила, пропорциональная величине растяжения пружины. Пусть x – величина отклонения тела от положения равновесия. Тогда по второму закону Ньютона, который утверждает, что ускорение (вторая производная от x по времени, обозначаемая d 2 x/dt 2 ) пропорционально силе:

Правая часть стоит со знаком минус потому, что возвращающая сила уменьшает растяжение пружины.

4) Закон охлаждения тел утверждает, что количество тепла в теле убывает пропорционально разности температур тела и окружающей среды. Если чашка кофе, разогретого до температуры 90° С находится в помещении, температура в котором равна 20° С, то

где T – температура кофе в момент времени t.

5) Министр иностранных дел государства Блефуску утверждает, что принятая Лиллипутией программа вооружений вынуждает его страну увеличить военные расходы на сколько это только возможно. С аналогичными заявлениями выступает и министр иностранных дел Лиллипутии. Возникающую в результате ситуацию (в простейшей интерпретации) можно точно описать двумя дифференциальными уравнениями. Пусть x и y – расходы на вооружение Лиллипутии и Блефуску. Предполагая, что Лиллипутия увеличивает свои расходы на вооружение со скоростью, пропорциональной скорости увеличения расходов на вооружение Блефуску, и наоборот, получаем:

где члены —ax и —by описывают военные расходы каждой из стран, k и l – положительные постоянные. (Эту задачу впервые таким образом сформулировал в 1939 Л.Ричардсон.)

После того, как задача записана на языке дифференциальных уравнений, следует попытаться их решить, т.е. найти величины, скорости изменения которых входят в уравнения. Иногда решения находятся в виде явных формул, но чаще их удается представить лишь в приближенном виде или же получить о них качественную информацию. Часто бывает трудно установить, существует ли решение вообще, не говоря уже о том, чтобы найти его. Важный раздел теории дифференциальных уравнений составляют так называемые «теоремы существования», в которых доказывается наличие решения у того или иного типа дифференциальных уравнений.

Первоначальная математическая формулировка физической задачи обычно содержит упрощающие предположения; критерием их разумности может служить степень согласованности математического решения с имеющимися наблюдениями.

Видео:"Мы зажигаем свои звёзды" О роли нелинейных дифференциальных уравненийСкачать

Решения дифференциальных уравнений.

Дифференциальному уравнению, например dy/dx = x/y, удовлетворяет не число, а функция, в данном конкретном случае такая, что ее график в любой точке, например в точке с координатами (2,3), имеет касательную с угловым коэффициентом, равным отношению координат (в нашем примере 2/3). В этом нетрудно убедиться, если построить большое число точек и от каждой отложить короткий отрезок с соответствующим наклоном. Решением будет функция, график которой касается каждой своей точкой соответствующего отрезка. Если точек и отрезков достаточно много, то мы можем приближенно наметить ход кривых-решений (три такие кривые показаны на рис. 1). Существует ровно одна кривая-решение, проходящая через каждую точку с y № 0. Каждое отдельное решение называется частным решением дифференциального уравнения; если удается найти формулу, содержащую все частные решения (за исключением, быть может, нескольких особых), то говорят, что получено общее решение. Частное решение представляет собой одну функцию, в то время как общее – целое их семейство. Решить дифференциальное уравнение – это значит найти либо его частное, либо общее решение. В рассматриваемом нами примере общее решение имеет вид y 2 – x 2 = c, где c – любое число; частное решение, проходящее через точку (1,1), имеет вид y = x и получается при c = 0; частное решение, проходящее через точку (2,1), имеет вид y 2 – x 2 = 3. Условие, требующее, чтобы кривая-решение проходила, например, через точку (2,1), называется начальным условием (так как задает начальную точку на кривой-решении).

Можно показать, что в примере (1) общее решение имеет вид x = ce –kt , где c – постоянная, которую можно определить, например, указав количество вещества при t = 0. Уравнение из примера (2) – частный случай уравнения из примера (1), соответствующий k = 1/100. Начальное условие x = 10 при t = 0 дает частное решение x = 10e –t/100 . Уравнение из примера (4) имеет общее решение T = 70 + ce –kt и частное решение 70 + 130 –kt ; чтобы определить значение k, необходимы дополнительные данные.

Дифференциальное уравнение dy/dx = x/y называется уравнением первого порядка, так как содержит первую производную (порядком дифференциального уравнения принято считать порядок входящей в него самой старшей производной). У большинства (хотя и не у всех) возникающих на практике дифференциальных уравнений первого рода через каждую точку проходит только одна кривая-решение.

Существует несколько важных типов дифференциальных уравнений первого порядка, допускающих решения в виде формул, содержащих только элементарные функции – степени, экспоненты, логарифмы, синусы и косинусы и т.д. К числу таких уравнений относятся следующие.

Видео:Математика без Ху!ни. Линейное неоднородное уравнение 1 порядка. Метод вариации постоянной.Скачать

Уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнения вида dy/dx = f(x)/g(y) можно решить, записав его в дифференциалах g(y)dy = f(x)dx и проинтегрировав обе части. В худшем случае решение представимо в виде интегралов от известных функций. Например, в случае уравнения dy/dx = x/y имеем f(x) = x, g(y) = y. Записав его в виде ydy = xdx и проинтегрировав, получим y 2 = x 2 + c. К уравнениям с разделяющимися переменными относятся уравнения из примеров (1), (2), (4) (их можно решить описанным выше способом).

Видео:Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решатьСкачать

Уравнения в полных дифференциалах.

Если дифференциальное уравнение имеет вид dy/dx = M(x,y)/N(x,y), где M и N – две заданные функции, то его можно представить как M(x,y)dx – N(x,y)dy = 0. Если левая часть является дифференциалом некоторой функции F(x,y), то дифференциальное уравнение можно записать в виде dF(x,y) = 0, что эквивалентно уравнению F(x,y) = const. Таким образом, кривые-решения уравнения – это «линии постоянных уровней» функции, или геометрические места точек, удовлетворяющих уравнениям F(x,y) = c. Уравнение ydy = xdx (рис. 1) – с разделяющимися переменными, и оно же – в полных дифференциалах: чтобы убедиться в последнем, запишем его в виде ydy – xdx = 0, т.е. d(y 2 – x 2 ) = 0. Функция F(x,y) в этом случае равна (1/2)(y 2 – x 2 ); некоторые из ее линий постоянного уровня представлены на рис. 1.

Видео:ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Линейные уравнения.

Линейные уравнения – это уравнения «первой степени» – неизвестная функция и ее производные входят в такие уравнения только в первой степени. Таким образом, линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид dy/dx + p(x) = q(x), где p(x) и q(x) – функции, зависящие только от x. Его решение всегда можно записать с помощью интегралов от известных функций. Многие другие типы дифференциальных уравнений первого порядка решаются с помощью специальных приемов.

Видео:Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

Уравнения старших порядков.

Многие дифференциальные уравнения, с которыми сталкиваются физики, это уравнения второго порядка (т.е. уравнения, содержащие вторые производные) Таково, например, уравнение простого гармонического движения из примера (3), md 2 x/dt 2 = –kx. Вообще говоря, можно ожидать, что уравнение второго порядка имеет частные решения, удовлетворяющие двум условиям; например, можно потребовать, чтобы кривая-решение проходила через данную точку в данном направлении. В случаях, когда дифференциальное уравнение содержит некоторый параметр (число, величина которого зависит от обстоятельств), решения требуемого типа существуют только при определенных значениях этого параметра. Например, рассмотрим уравнение md 2 x/dt 2 = –kx и потребуем, чтобы y(0) = y(1) = 0. Функция y є 0 заведомо является решением, но если – целое кратное числа p, т.е. k = m 2 n 2 p2, где n – целое число, а в действительности только в этом случае, существуют другие решения, а именно: y = sin npx. Значения параметра, при которых уравнение имеет особые решения, называются характеристическими или собственными значениями; они играют важную роль во многих задачах.

Уравнение простого гармонического движения служит примером важного класса уравнений, а именно: линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Более общий пример (также второго порядка) – уравнение

где a и b – заданные постоянные, f(x) – заданная функция. Такие уравнения можно решать различными способами, например, с помощью интегрального преобразования Лапласа. То же можно сказать и о линейных уравнениях более высоких порядков с постоянными коэффициентами. Не малую роль играют также и линейные уравнения с переменными коэффициентами.

Видео:Что такое нелинейность?Скачать

Нелинейные дифференциальные уравнения.

Уравнения, содержащие неизвестные функции и их производные в степени выше первой или каким-либо более сложным образом, называются нелинейными. В последние годы они привлекают все большее внимание. Дело в том, что физические уравнения обычно линейны лишь в первом приближении; дальнейшее и более точное исследование, как правило, требует использования нелинейных уравнений. Кроме того, многие задачи нелинейны по своей сути. Так как решения нелинейных уравнений зачастую очень сложны и их трудно представить простыми формулами, значительная часть современной теории посвящена качественному анализу их поведения, т.е. разработке методов, позволяющих, не решая уравнения, сказать нечто существенное о характере решений в целом: например, что все они ограниченны, или имеют периодический характер, или определенным образом зависят от коэффициентов.

Приближенные решения дифференциальных уравнений могут быть найдены в численном виде, но для этого требуется много времени. С появлением быстродействующих компьютеров это время сильно сократилось, что открыло новые возможности численного решения многих, ранее не поддававшихся такому решению, задач.

Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать

Теоремы существования.

Теоремой существования называется теорема, утверждающая, что при определенных условиях данное дифференциальное уравнение имеет решение. Встречаются дифференциальные уравнения, не имеющие решений или имеющие их больше, чем ожидается. Назначение теоремы существования – убедить нас в том, что у данного уравнения действительно есть решение, а чаще всего заверить, что оно имеет ровно одно решение требуемого типа. Например, уже встречавшееся нам уравнение dy/dx = –2y имеет ровно одно решение, проходящее через каждую точку плоскости (x,y), а так как одно такое решение мы уже нашли, то тем самым полностью решили это уравнение. С другой стороны, уравнение (dy/dx) 2 = 1 – y 2 имеет много решений. Среди них прямые y = 1, y = –1 и кривые y = sin(x + c). Решение может состоять из нескольких отрезков этих прямых и кривых, переходящих друг в друга в точках касания (рис. 2).

Видео:13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

Дифференциальные уравнения в частных производных.

Обыкновенное дифференциальное уравнение – это некоторое утверждение о производной неизвестной функции одной переменной. Дифференциальное уравнение в частных производных содержит функцию двух или более переменных и производные от этой функции по крайней мере по двум различных переменным.

В физике примерами таких уравнений являются уравнение Лапласа

где, согласно одной из возможных интерпретаций, u – температура в плоской области, точки которой задаются координатами x и y; уравнение теплопроводности

где t – время, x – расстояние от одного из концов однородного стержня, по которому распространяется тепловой поток; и волновое уравнение

где t – снова время, x и y – координаты точки колеблющейся струны.

Решая дифференциальные уравнения в частных производных, обычно не стремятся найти общее решение, поскольку оно скорее всего окажется слишком общим, чтобы быть полезным. Если решение обыкновенного дифференциального уравнения определяется заданием условий в одной или нескольких точках; то решение дифференциального уравнения в частных производных обычно определяется заданием условий на одной или нескольких кривых. Например, решение уравнения Лапласа может быть найдено в точке (x, y) внутри круга, если значения u заданы в каждой точке ограничивающей окружности. Поскольку проблемы с более чем одной переменной в физике являются скорее правилом, чем исключением, легко представить, сколь обширен предмет теории дифференциальных уравнений в частных производных.

Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 1977
Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1982
Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1984
Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. М., 1986

Видео:16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Разница между линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями

Разница между линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями — Наука

Видео:Алексей Семихатов — «Общая теория относительности: гравитация и космос»Скачать

Содержание:

Видео:Линейное уравнение с одной переменной. 6 класс.Скачать

Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения

Уравнение, содержащее хотя бы один дифференциальный коэффициент или производную неизвестной переменной, называется дифференциальным уравнением. Дифференциальное уравнение может быть линейным или нелинейным. Задача этой статьи — объяснить, что такое линейное дифференциальное уравнение, что такое нелинейное дифференциальное уравнение и в чем разница между линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями.

С момента развития исчисления в 18 веке математиками, такими как Ньютон и Лейбниц, дифференциальное уравнение сыграло важную роль в истории математики. Дифференциальные уравнения имеют большое значение в математике из-за их диапазона приложений. Дифференциальные уравнения лежат в основе каждой модели, которую мы разрабатываем для объяснения любого сценария или события в мире, будь то физика, инженерия, химия, статистика, финансовый анализ или биология (список бесконечен). Фактически, до тех пор, пока исчисление не стало устоявшейся теорией, надлежащие математические инструменты были недоступны для анализа интересных проблем природы.

Уравнения, получаемые в результате конкретного применения математического анализа, могут быть очень сложными и иногда неразрешимыми. Однако есть проблемы, которые мы можем решить, но они могут выглядеть одинаково и сбивать с толку. Поэтому для упрощения идентификации дифференциальные уравнения классифицируются по их математическому поведению. Линейный и нелинейный — одна из таких категорий. Важно определить разницу между линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями.

Видео:2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1.Скачать

Что такое линейное дифференциальное уравнение?

Предположим, что f: X → Y и f (x) = y, а дифференциальное уравнение без нелинейных членов неизвестной функции y и его производные известны как линейное дифференциальное уравнение.

Это налагает условие, что y не может иметь более высокие индексные члены, такие как y 2 , y 3 ,… И кратные производные финансовые инструменты, такие как

Он также не может содержать нелинейные термины, такие как Sin y, е y^-2 , или ln y. Это принимает форму,

где y и грамм являются функциями Икс. Уравнение представляет собой дифференциальное уравнение порядка п, который является индексом производной высшего порядка.

В линейном дифференциальном уравнении дифференциальный оператор является линейным оператором, а решения образуют векторное пространство. В результате линейного характера набора решений линейная комбинация решений также является решением дифференциального уравнения. То есть, если y₁ и y₂ являются решениями дифференциального уравнения, то C₁ y₁+ C₂ y₂ тоже решение.

Линейность уравнения — это только один параметр классификации, и его можно в дальнейшем разделить на однородные или неоднородные, а также обыкновенные или дифференциальные уравнения в частных производных. Если функция грамм= 0, то уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением. Если ж является функцией двух или более независимых переменных (е: X, T → Y) и f (x, t) = y , то уравнение является линейным уравнением в частных производных.

Метод решения дифференциального уравнения зависит от типа и коэффициентов дифференциального уравнения. Самый простой случай возникает, когда коэффициенты постоянны. Классическим примером для этого случая является второй закон движения Ньютона и его различные приложения. Второй закон Ньютона дает линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Видео:Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать

Что такое нелинейное дифференциальное уравнение?

Уравнения, содержащие нелинейные члены, известны как нелинейные дифференциальные уравнения.

Все это нелинейные дифференциальные уравнения. Нелинейные дифференциальные уравнения сложно решить, поэтому для получения правильного решения требуется тщательное изучение. В случае уравнений с частными производными большинство уравнений не имеют общего решения. Следовательно, каждое уравнение следует рассматривать независимо.

Уравнение Навье-Стокса и уравнение Эйлера в гидродинамике, полевые уравнения Эйнштейна общей теории относительности являются хорошо известными нелинейными уравнениями в частных производных. Иногда применение уравнения Лагранжа к системе переменных может привести к системе нелинейных уравнений в частных производных.

Видео:4. Однородные дифференциальные уравнения (часть 1)Скачать

В чем разница между линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями?

• Дифференциальное уравнение, которое имеет только линейные члены неизвестной или зависимой переменной и ее производных, известно как линейное дифференциальное уравнение. Он не имеет члена с зависимой переменной индекса больше 1 и не содержит кратных его производных. Он не может иметь нелинейных функций, таких как тригонометрические функции, экспоненциальные функции и логарифмические функции по отношению к зависимой переменной. Любое дифференциальное уравнение, содержащее вышеупомянутые члены, является нелинейным дифференциальным уравнением.

• Решения линейных дифференциальных уравнений создают векторное пространство, и дифференциальный оператор также является линейным оператором в векторном пространстве.

• Решения линейных дифференциальных уравнений относительно проще, и существуют общие решения. Для нелинейных уравнений в большинстве случаев общего решения не существует, и решение может быть специфическим для конкретной задачи. Это делает решение намного более сложным, чем решение линейных уравнений.

Видео:19. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные диф уравнения 2-го порядкаСкачать

Дополнение 1: Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения

В большинстве исследований отмечается, что классическая наука ньютоновского типа превращает мир в громадный механизм, управляемый разумной волей и состоящий из локализуемых в пространстве частей. Именно такого рода представления превратились в конечном счете в то, что принято сегодня называть механистическим пониманием природы. Такое понимания нашло свое емкое выражение в знаменитом мысленном эксперименте Лапласа, где главным персонажем выступает гипотетический разумный наблюдатель, чей сверхмощный интеллект обладает в каждый данный момент полным знанием всех сил природы, как в большом, так и в малом, и который способен посредством этого знания иметь “полную картину состояния, в котором природа находится”, а также “обозреть одним взглядом как будущее, так и прошлое”. Речь фактически идет об абсолютной наблюдаемости, если угодно, “прозрачности” самых мельчайших деталей происходящего в природе —наблюдаемости как принципе, внутренне связанном с идеей абсолютной управляемости природы, подчиненности ее вечным и неизменным законам. Природа выступает в качестве полностью подчиненного универсальным механистическим законам посредствующего звена между богом и человеком, звена, которое мыслится в образе огромной механической машины, постижение которой равнозначно постижению замысла Бога. С этой картиной хорошо согласуется рационалистический взгляд на ученого как на существо, хотя и конечное и, очевидно, в этом качестве не равное бесконечномерному Богу, но тем не менее способное по “конечным проекциям” как проявлениям высших начал расшифровывать план творения природы, видеть ее с божественной точки зрения, приобщившись тем самым к высшей мудрости, а заодно и к могуществу верховного законодателя.

Не углубляясь в вопросы генезиса классической науки, ее корней в социальной истории западного общества, отмечу, что вся эта бегло обрисованная выше гносеологическая схема, отделяющая наблюдаемое от наблюдателя и воссоздающая их связь на рациональной основе, оказалась хорошо приспособленной для естественного включения в нее как экспериментального, так и математического методов познания в качестве тех средств, с помощью которых человеческий разум “получает доступ к той самой сокровенной точке, откуда Бог наблюдает природу, к тому божественному плану, осязаемым выражением которого является наш мир” [xxxviii] . Именно в рамках этой, по сути дела, платонистски ориентированной схемы познания сформировалась одна из самых фундаментальных идеализаций классического естествознания (впрочем, не только классического) — идеализация абсолютно автономной, не взаимодействующей со своим “внешним” окружением системы. Ю.И.Манин называет ее также абстракцией изолированной или замкнутой системы, характеризуя которую, он пишет: “Это часть Вселенной, эволюция которой в течение некоторого периода существования определяется лишь внутренними законами. Внешний мир или не взаимодействует с системой вовсе, или в некоторых моделях это взаимодействие учитывается суммарно как эффект связей, внешнего поля, термостата. Петли обратной связи нет или она искусственно прервана. Мир разбирается на детали, узлы и сборки как в заводских спецификациях. И в самом деле, это идеология не только Человека Размышляющего, но и Человека Делающего. Винтики и шестеренки большой машины мира, когда их поведение понято, могут быть собраны и соединены в новом порядке. Так является лук, ткацкий станок и большая интегральная схема” [xxxix] . Данная идеализация (или абстракция) обособленной, изолированной системы, наблюдаемой “внешним” наблюдателем, явилась одной из методологических предпосылок симбиоза эксперимента и математики, лежащего у истоков классического естествознания XVII в.

Упомянутый симбиоз приобрел в истории научного познания разные, порой весьма специфические, формы. Среди многообразия этих форм особое место принадлежит мысленному эксперименту, сыгравшему важную роль в научном творчестве многих знаменитых физиков. Проблеме, связанной с ролью и местом мысленного эксперимента в научном познании, посвящена обширная литература. Я же коротко хочу остановиться на принципиальной роли мысленного эксперимента — как конструктивного фактора — в развитии теоретического знания не только в физике как таковой, но и в математике. Эта роль обычно остается скрытой в тех случаях, когда методологический анализ проблем физики или научного знания вообще ориентирован на рассмотрение только готового, завершенного знания-результата, отдельно от методов и средств его получения, то есть, по сути, вне конкретного контекста человеческой познавательной деятельности как развивающегося исторического процесса. Мысленный эксперимент как относительно самостоятельная форма теоретического познания – это, прежде всего, задаваемый природе конкретный вопрос, проблематизирующий последнюю и имеющий обычно вид: “Что увидит наблюдатель, если. ”. В контексте же готового знания мысленный эксперимент – это ответ на ранее задававшийся вопрос. Но в силу все той же укоренившейся в естествознании традиции внеисторического, вневременного рассмотрения, о которой говорилось выше, этот готовый ответ часто необоснованно представляется в форме универсально истинного декларативного утверждения, в полном забвении того вопроса, который когда-то вызвал его к жизни.

Именно так зачастую и бывает, когда мы оцениваем роль и место аппарата математического анализа, в частности аппарата дифференциальных уравнений как средства математического описания физических процессов, то есть их моделирования, которое всегда предполагает явное или неявное принятие некоторой совокупности идеализирующих предпосылок относительно моделируемой реальности. К их числу относится и упомянутая идеализация изолированной, замкнутой системы. “Классическая замкнутая система, — отмечает Ю.И.Манин, —изолирована от всего внешнего мира, значит, и от внешнего наблюдателя. Она изолирована от воздействий, которые на нее может оказать наблюдатель. Наблюдение — не воздействие. Наблюдение — это важнейший мысленный эксперимент, который можно произвести над системой и цель которого состоит в первую очередь в локализации системы в ее фазовом пространстве. Можно сказать и наоборот: фазовое пространство есть множество возможных результатов мгновенных полных наблюдений. Эволюция — это набор результатов наблюдений во все моменты времени” [xl] . С точки зрения сказанного, дифференциальное уравнение, посредством которого выражается, например, второй закон Ньютона — F=mx — есть компактная форма записи связи последовательности мысленных экспериментов — наблюдений над локализуемой системой. И эти классические мысленные эксперименты, в отличие от широко известных квантовых мысленных экспериментов типа g-микроскопа Гейзенберга и др., исходят из идеализированного допущения принципиальной возможности достижения абсолютной точности наблюдения (измерения) путем устанавливания полного контроля над всеми возможными воздействиями на систему, рассматриваемыми как источник случайных или систематических ошибок.

Создание математического аппарата дифференциальных уравнений (Ньютоном и Лейбницем) знаменовало собой в глазах современников становление абсолютно точной идеальной науки, полностью защищенной от субъективного произвола тех или иных земных авторитетов. Вольтер в предисловии к французскому переводу “Математических начал” писал: “Того же, кто освоил исчисление бесконечно малых, кто проделал эксперименты со светом, кто усвоил законы притяжения, в Англии более не именую ньютонианцем: теперь давать название какой-нибудь секте стало привилегией ошибки” [xli] . Обоснованием нового математического приема явилась теоретическая механика, в которую в качестве универсальной переменной было введено время. Причем “время как таковое его [Ньютона] не интересовало, он рассматривал только его равномерное течение” [xlii] . Время здесь (в отличие от времени Декарта, у которого оно определялось порядком сменяющих друг друга явлений) выступает как некий однородный фон, на котором совершаются все природные процессы и который “трансцендентен” им. Помимо всего прочего в такой картине мира нет места и идее необратимости, ибо прошлое и будущее практически ничем не отличаются друг от друга в качественном отношении. В рамках математического формализма данное обстоятельство выражается в том, что в уравнениях движения Ньютона время присутствует во второй производной [xliii] .

Другой особенностью классического естествознания, внутренне связанной с концепциями однородного, “опространствленного” времени, а также с изолируемостью (локализуемостью) природных процессов, является принцип линейности фундаментальных законов, которым эти процессы подчиняются. Физический смысл принципа линейности сводится к утверждению, согласно которому отклик (или реакция) системы на относительно малые воздействия линейно (пропорционально) зависит от их силы. С математической точки зрения речь идет о линейных дифференциальных уравнениях, в которые неизвестные величины входят в степени не выше первой (например: уравнения Гамильтона, уравнения Максвелла и т.д.). Принципиальная возможность представить почти любую закономерную связь явлений в виде линейного уравнения, в левой части которого стояло бы выражение в виде комбинации из вторых производных по времени (ускорений) от неизвестных величин, а в правой – сила, записанная в виде функции той или иной степени сложности, превратилась в один из важнейших идеалов классического физико-математического естествознания. Разумеется, были и исключения, например процессы, связанные с трением или взаимным притяжением тел, где силы нелинейно зависели от расстояния, но их исследование долгое время не оказывало существенного влияния на “линейную” установку физиков и математиков. При этом считалось (и это вытекало из типа уравнений), что любое, пусть даже малое, изменение в начальных условиях однозначно приводит к пропорциональному изменению конечного результата движения, ради которого, собственно, и предпринимались вычисления. Причем если начальные условия не задавались исчерпывающим образом, то задача в классической физике теряла смысл. Позднее, с появлением статистической физики, некоторые вопросы, касающиеся объективных оснований всякого рода неточностей, неопределенностей и ошибок, стали предметом дискуссий в контексте вероятностных представлений. Тем не менее фундаментальный статус принципа линейности остался в общем не поколебленным.

XIX век, особенно его вторая половина, стала для математиков периодом интенсивного поиска методов решения линейных дифференциальных уравнений. Было выработано немало эффективных способов интегрирования. Но далеко не для всех типов уравнений удавалось найти формульную запись решения, а многие из полученных формул имели столь замысловатый вид, что воспроизведение по ним возможной траектории движущегося тела требовало немалых усилий. Это обстоятельство стимулировало попытки извлечь качественные характеристики движения непосредственно из формы самого уравнения, минуя трудности интегрирования. Указанная проблема нашла свое разрешение в 90-х годах XIX века в цикле статей А.Пуанкаре, озаглавленных: “О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями”, где излагались качественные методы теории дифференциальных уравнений. К тому времени уже было известно, что поведение кривой определяется лежащими на ее пути специфическими точками, в окрестности которых она ведет себя особым образом. Тогда изучение кривой можно свести к извлечению из уравнения сведений об этих точках. Пуанкаре обнаружил, что число таких точек весьма ограничено (он ввел представление о четырех типах устойчивых или неустойчивых особых точек и о предельном цикле — замкнутой кривой, выступающей одним из решений дифференциального уравнения, на которую наматываются либо изнутри, либо снаружи все остальные кривые, неограниченно приближаясь к ней, но не касаясь ее).

Другим нововведением Пуанкаре стало представление о фазовой плоскости, каждой точке которой ставится в соответствие определенное состояние (фаза) моделируемого объекта, характеризующееся набором его параметров. Для построения фазового портрета системы из совокупности дифференциальных уравнений (для фазовой плоскости их два), описывающих временные изменения параметров, исключается время (например, делением одного уравнения на другое) и рассматривается зависимость между самими параметрами, что позволяет, как с птичьего полета, увидеть все состояния, возможные для данного объекта. Именно здесь важную роль играет присутствие на фазовой плоскости устойчивых особых точек, говорящее о наличии у объекта состояний, к которым он эволюционирует от заданных начальных условий, когда на него не действуют внешние возмущающие факторы. Такие притягивающие к себе состояние системы особые точки на фазовой плоскости получили наименование аттракторов. Аттрактором может быть узел, устойчивый фокус или же предельный цикл, причем в последнем случае устанавливается так называемое динамическое равновесие между параметрами системы, когда ее состояние представляет собой незатухающий почти периодический процесс. При переходе к фазовому пространству (многомерный аналог фазовой плоскости) вид аттракторов усложняется, здесь ими могут быть не только точки, но и n-мерные структуры. Итак, характерной особенностью линейных дифференциальных уравнений является одинаковый тип поведения интегральных кривых на фазовой плоскости (или в фазовом пространстве). Это соответствует основному свойству линейных уравнений — принципу суперпозиции, согласно которому сумма частных решений линейного уравнения также является его решением.

Качественная теория дифференциальных уравнений была использована также для исследования нелинейных дифференциальных уравнений, в которых неизвестные величины входят в степени выше первой, а в правой части содержится сложная функция, нелинейным образом зависящая от искомой величины. Как уже говорилось, нелинейные уравнения долгое время не были в фокусе физико-математического естествознания, хотя, конечно, ни математика, ни физика не могли их полностью игнорировать. Уже у Ньютона уравнение для силы взаимного притяжения тел имеет нелинейный характер. Тем не менее мир классики — это в принципе такой стабильный мир, все изменения в котором происходят непрерывно и плавно. Нелинейность в таком мире имеет как бы вторичный, производный, а потому не фундаментальный характер. Одним из первых исследований нелинейных уравнений была математическая модель формирования уединенных волн на поверхности жидкости, полученная голландскими математиками Д.И.Кортевегом и Г.де Фризом (в наши дни за такими волнами закрепилось название “солитонов”). Изучение этой модели показало, что одним из принципиальных отличий нелинейных дифференциальных уравнений от линейных является нарушение у первых принципа суперпозиции (или аддитивности): сумма частных решений нелинейного уравнения не есть также его решение. Это свойство нашло свое отражение при качественном анализе нелинейных уравнений с помощью фазовой плоскости. Оказалось, что, будучи изображенным на фазовой плоскости, вид траекторий интегральных кривых, полученных из нелинейного уравнения, меняется при переходе от одной области фазовой плоскости к другой. Тут можно говорить о качественном разнообразии поведения одного и того же объекта.

Еще раз подчеркнем, что одним из основных моментов представления того или иного процесса с помощью фазовой плоскости является исключение времени. Фазовый портрет акцентирует внимание не столько на временной последовательности событий (хотя в неявной форме она присутствует через характеристики особых точек), сколько на возможности одновременного представления всего набора возможных состояний данного объекта. Мы как будто видим все пути и остановочные пункты, которые способен пройти (но не обязательно пройдет в каждом конкретном случае) исследуемый объект, и, следовательно, мы можем оценить, так сказать, его “судьбу” в целом, независимо от того, с какого конкретного набора начальных условий он начинает “жить”. Если непосредственное формульное решение дифференциального уравнения дает возможность увидеть ситуацию “изнутри” события, как бы с точки зрения объекта, уже находящегося на интегральной кривой, и тем самым оценить его предыдущую историю и предсказать последующие стадии изменения и конечный результат (если таковой имеется), то видение “извне” с помощью фазовой плоскости позволяет осознать все возможные для данного объекта пути эволюционирования и таким образом выработать конструктивную стратегию воздействий, принципиально меняющую ход процесса, что увеличивает способность исследователя ориентироваться в сложных, чаще всего не описываемых линейными способами, ситуациях. Фазовая плоскость наглядно демонстрирует тот факт, что даже в несложном нелинейном уравнении в непроявленном виде присутствует широкий спектр способов существования данного фрагмента реальности. Причем каждое конкретное воплощение моделируемого объекта есть видимая форма скрытого содержания, заключенного в нелинейном уравнении. Перед физиком здесь встает задача, по образному выражению Л.И.Мандельштама, научиться “допрашивать нелинейные уравнения” [xliv] , задача, в решении которой за последние годы достигнут большой прогресс, обусловленный во многом успехами в области создания и применения ЭВМ. В свою очередь, видение реальности, вырабатываемое посредством нелинейности дифференциальных уравнений и ставшее возможным благодаря широкому использованию вычислительной техники, открыло новые горизонты в понимании не только физических, но и биологических, экологических, а также социальных процессов. Сказанное не означает, что нам теперь не нужны линейные модели как слишком грубые абстракции. И линейные, и нелинейные уравнения являются лишь средствами познания, конкретное применение которых зависит от задачи, поставленной перед исследователем. И все же, чем сложнее изучаемый природный объект, чем разнообразнее его поведение в качественном отношении, тем труднее он поддается средствам линейного моделирования. Процессы, связанные с эволюцией, морфогенезом системы, как правило, укладываются только в рамки нелинейных дифференциальных уравнений. На смену линейному миру ньютоновской механики пришел нелинейный мир с его качественным многообразием.

Дата добавления: 2015-08-05 ; просмотров: 6 ; Нарушение авторских прав

🔥 Видео

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения. Однородное уравнение.Скачать