Линейные уравнения — относительно несложная математическая тема, довольно часто встречающаяся в заданиях по алгебре. Разберемся, что это такое, и как решаются линейные уравнения.
Как правило, линейное уравнение — это уравнение вида ax + c = 0, где а и с — произвольные числа, или коэффициенты, а х — неизвестное число.
К примеру, линейным уравнением будет:
- Решение линейных уравнений.
- Как решать линейные уравнения?
- Пример линейного уравнения и его решение.
- График линейного уравнения.
- Решение простых линейных уравнений
- Понятие уравнения
- Какие бывают виды уравнений
- Как решать простые уравнения
- Примеры линейных уравнений
- Линейные, квадратные и кубические уравнения
- На этой странице вы узнаете:
- Понятие уравнения
- Линейные уравнения
- Квадратные уравнения
- Что такое дискриминант?
- Кубические уравнения
- Фактчек
- Проверь себя
- 📺 Видео
Видео:Как решать уравнения? уравнение 7 класс. Линейное уравнениеСкачать
Решение линейных уравнений.
Как решать линейные уравнения?
Решаются линейные уравнения совсем несложно. Для этого используются такой математический прием, как тождественное преобразование. Разберем, что это такое.
Пример линейного уравнения и его решение.
Пусть ax + c = 10, где а = 4, с = 2.
Таким образом, получаем уравнение 4х + 2 = 10.
Для того чтобы решить его было проще и быстрее, воспользуемся первым способом тождественного преобразования — то есть, перенесем все цифры в правую часть уравнения, а неизвестное 4х оставим в левой части.
Таким образом, уравнение сводится к совсем простенькой задачке для начинающих. Остается лишь воспользоваться вторым способом тождественного преобразования — оставив в левой части уравнения х, перенести в правую часть цифры. Получим:
4х + 2 = 10, где х = 2.
График линейного уравнения.
При решении линейных уравнений с двумя переменными также часто используется метод построения графика. Дело в том, что уравнение вида ах + ву + с = 0, как правило, имеет много вариантов решения, ведь на место переменных подходит множество чисел, и во всех случаях уравнение остается верным.
Поэтому для облегчения задачи выстраивается график линейного уравнения.
Чтобы построить его, достаточно взять одну пару значений переменных — и, отметив их точками на плоскости координат, провести через них прямую. Все точки, находящиеся на этой прямой, и будут вариантами переменных в нашем уравнении.
Видео:ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать
Решение простых линейных уравнений
О чем эта статья:
Видео:Линейное уравнение с одной переменной. 6 класс.Скачать
Понятие уравнения
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.
Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.
Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.
Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.
Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.
Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.
Видео:Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?Скачать
Какие бывают виды уравнений
Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.
Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.
Линейное уравнение выглядят так: ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Вот, что поможет в решении:
если а ≠ 0 — уравнение имеет единственный корень: х = -b : а;
если а = 0 — уравнение корней не имеет;
если а и b равны нулю, то корнем уравнения является любое число.
Квадратное уравнение выглядит так: ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.
Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.
Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:
Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.
Видео:Уравнение. 5 класс.Скачать
Как решать простые уравнения
Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.
1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.
Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5.
Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.
Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.
Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.
Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.
Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.
Приведем подобные и завершим решение.
2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.
Применим правило при решении примера: 4x=8.
При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.
Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.
Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:
Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:
Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: -4x = 12
- Разделим обе части на -4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.
-4x = 12 | : (-4)
x = −3
Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.
Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.
Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.
Алгоритм решения простого линейного уравнения |
---|
|
Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.
Видео:Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать
Примеры линейных уравнений
Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!
Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.
ЮПеренести 1 из левой части в правую со знаком минус.
Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.
Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3(х − 4) + 2х − 1.
5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1
Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.
5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2
Приведем подобные члены.
Ответ: х — любое число.
Пример 3. Решить: 4х = 1/8.
Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.
Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.
Видео:Линейное уравнение с одним неизвестным.Скачать
Линейные, квадратные и кубические уравнения
На этой странице вы узнаете:
- Почему неизвестное обозначают через x?
- Как находить корни квадратного уравнения, не считая их?
- Как дискриминант может повлиять на количество корней уравнения?
Видео:Урок 7 ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙСкачать
Понятие уравнения
Главный секрет математики в том, что любую задачу можно решить уравнением. А решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Давай разберемся как это сделать.
Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное, обозначенное буквой.
Корнем уравнения называется такое значение неизвестного, при котором уравнение становится верным равенством.
Например, число 8 будет корнем уравнения 2x — 3 = 5 + x, потому что равенство 2 * 8 — 3 = 5 + 8 верное.
Почему неизвестное обозначают через x? Арабские математики в IX веке для записи формул использовали слова. Неизвестную величину они называли “шей”, что буквально означает “нечто”. Выглядело это примерно так: Позднее испанские ученые переводили записи на свой язык. Они записывали неизвестное как xei, поскольку в их языке отсутствовал звук [ш]. С появлением формул слово сократилось до одной буквы x. |
Видео:Алгебра 7 Линейное уравнение с одной переменнойСкачать
Линейные уравнения
Что же такое линейное уравнение?
Линейное уравнение – это уравнение, в котором неизвестная находится в степени 1.
Вид линейного уравнения:
ax + b=0 , где
х – неизвестная
а – коэффициент при неизвестной
b – свободный член
Стоит отметить, что а и b в таком уравнение известны, также оба этих числа можно называть коэффициентами.
Как же решить такое уравнение?
Для решения линейного уравнения нужно выразить х и найти числовое значение, то есть сделать такие преобразования, чтобы в одной части уравнения осталась только неизвестная, а в другой собралось все остальное.
Преобразования, которые можно совершать:
- Переносить слагаемое в другую часть уравнения с противоположным знаком.
x — 5 = 0
x = 0 + 5
x = 5
- Умножать или делить обе части уравнение на одно и то же число или выражение, которое не равно нулю.
Давайте рассмотрим решение линейного уравнения на следующем примере
2(x + 5) — 4x + 2 = 0
- Сначала раскроем скобки
2x + 10 — 4x + 2 = 0
- Для упрощения сложим подобные слагаемые
-2x + 12 = 0
- Теперь перенесем слагаемое без неизвестной в правую часть и разделим обе части уравнения на коэффициент при неизвестной, то есть выразим х
-2x = -12 | : (-2)
x = 6
Значение неизвестной найдено, а значит единственное решение данного уравнения 6
С линейными уравнениями можно столкнуться и в жизни.
Допустим, нам нужно приготовить 570 грамм теста на пирожки.
Обозначим вес одной части за x. Составим и решим уравнение для получения этого количества теста:
12x + 6x + x = 570
19x = 570
x = 30
Мы узнали, что одна часть — это 30 грамм. Теперь посчитаем сколько грамм продуктов нам потребуется.
- Мука: 12 * 30 = 360 грамм
- Вода: 6 * 30 = 180 грамм
- Растительное масло: 1 * 30 = 30 грамм
Видео:Как решить уравнение #россия #сша #америка #уравненияСкачать
Квадратные уравнения
Мы уже знаем, что такое линейное уравнение. Но как же выглядит квадратное?
Квадратное уравнение – это уравнение, в котором неизвестная находится в степени 2.
Вид квадратного уравнения:
ax 2 + bx + c = 0 , где
х — неизвестная
а и b – коэффициенты при неизвестной
с – свободный член
Стоит отметить, что а, b и с – известные числа.
Какими бывают квадратные уравнения?
Эти виды квадратных уравнений отличаются тем, что у полного квадратного уравнения есть оба коэффициента и свободный член, а у неполного может отсутствовать или второй коэффициент, или свободный член.
Решение несколько неполных квадратных уравнений на примере:
x 2 + 2x = 0 x * (x + 2) = 0 Ответ: 0 и -2 | x 2 — 4 = 0 x 2 = 4 x = ±2 Ответ: 2 и -2 |
Полное квадратное уравнение может иметь 2 корня, 1 корень или не иметь корней. Количество корней зависит от дискриминанта
Видео:ЛИНЕЙНОЕ УРАНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ — Как решать линейное уравнение // Алгебра 7 классСкачать
Что такое дискриминант?
Дискриминант в квадратном уравнении — это выражение, которое ищется по следующей формуле, где а, b и с берутся из уравнения:
D = b 2 — 4 ⋅ a ⋅ c
Как дискриминант может повлиять на количество корней уравнения? Если D > 0, то уравнение имеет 2 корня. Дискриминант нужен не только для определения количества корней, но и для их нахождения одним из способов. Способы решения квадратных уравнений:
Корни квадратного уравнения находятся по этим формулам, где а и b берутся из уравнения, а D – это дискриминант:
где а, b и с – коэффициенты квадратного уравнения Давайте рассмотрим решение квадратного уравнения на следующем примере 1 способ: D = (-5) 2 — 4 ⋅ 2 ⋅ (-3) = 25 + 24 = 49
Решениями уравнения являются числа 3 и -12. 2 способ:
Значит, решениями уравнения являются числа 3 и -12. Видео:Линейное уравнение. Что это?Скачать Кубические уравненияПерейдем к последнему виду уравнений. Что же такое кубическое уравнение и как оно выглядит? Кубическое уравнение – это уравнение, в котором неизвестная находится в степени 3. Вид кубического уравнения: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, где Стоит отметить, что а, b, с и d – известные числа. Преобразования, которые можно совершать в кубических уравнениях: Вынесение общего множителя за скобки. Вынесение общего множителя за скобки можно сравнить с делением фруктов в обеих тарелках на одинаковые части и вынесением такой части в отдельную тарелку. Алгоритм:
x 3 — 2x 2 — 3x = x * x * x — 2 * x * x — 3 * x = x * (x 2 — 2x — 3) Группировка Алгоритм:
6x 3 + 9x 2 + 8x + 12 = (6x 3 + 9x 2 ) + (8x + 12) = 3x 2 * (2x + 3) + 4 * (2x + 3) = Рассмотрим решение кубического уравнения 4x + x 3 = x 2 + 4
4x + x 3 — x 2 — 4 = 0
(4x + x 3 ) — (x 2 + 4) = 0
x * (4 + x 2 ) — (x 2 + 4) = 0
(x — 1) * (4 + x 2 ) = 0
Из этого следует, что у данного уравнения есть только одно решение x=1 Видео:Алгебра 7 класс (Урок№43 - Решение линейных уравнений с одним неизвестным.)Скачать Фактчек
Видео:7 класс, 4 урок, Линейное уравнение с одной переменнойСкачать Проверь себяЗадание 1. Задание 2.
Задание 3. Задание 4. Задание 5. Ответы: 1. — 4; 2. — 3; 3. — 2; 4. -1; 5. — 3 📺 ВидеоСИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЕГЭ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать Видеоурок. 7 класс. Решение линейных уравнений с одним неизвестнымСкачать Уравнения. 5 классСкачать Решение уравнений, 6 классСкачать Как решать линейные уравнения #математика #математика7классСкачать |