Линейное уравнение ax b где x переменная при a 0 и b не равно 0

Уравнение вида ax = b, где x — неизвестное, a и b — числа, называется уравнением с одним неизвестным или линейным уравнением.

Число a называется коэффициентом при неизвестном, а число b — свободным членом.

Если в уравнении ax = b коэффициент не равен нулю (a ≠ 0), то, разделив обе части уравнения на a, получим . Значит, уравнение ax = b, в котором a ≠ 0, имеет единственный корень .

Если в уравнении ax = b коэффициент равен нулю (a = 0), а свободный член не равен нулю (b ≠ 0), то уравнение не имеет корней, так как равенство 0x = b, где b ≠ 0, не является верным ни при каком значении x.

Если в уравнении ax = b и коэффициент, и свободный член равны нулю (a = 0 и b = 0), то уравнение имеет бесконечное множество корней, так как равенство 0x = 0 верно при любом значении x.

Видео:Алгебра 7 класс. Линейное уравнение с одной переменной ax=b.Скачать

Решение уравнений с одним неизвестным

Все уравнения с одним неизвестным решаются одинаково с помощью преобразований, которые могут выполняться в любом порядке. Список возможных преобразований, которые могут быть использованы для решения уравнений:

• освобождение от дробных членов;
• раскрытие скобок;
• перенос всех членов, содержащих неизвестное, в одну часть, а известные — в другую (члены с неизвестными, как правило, переносят в левую часть уравнения);
• сделать приведение подобных членов;
• разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.

Пример 1. Решить уравнение

Освобождаем уравнение от дробных членов:

20x — 28 — 24 = 9x + 36.

20x — 9x = 36 + 28 + 24.

Выполняем приведение подобных членов:

Делим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном (на 11):

Делаем проверку, подставив в данное уравнение вместо x его значение:

Уравнение обратилось в верное равенство, следовательно, корень был найден верно.

Пример 2. Решить уравнение

Это уравнение проще решить, не раскрывая скобок, поэтому делим обе части уравнения на 5:

Выполняем приведение подобных членов:

Обычно все рассуждения при решении уравнения производят устно, а само решение записывается так:

Видео:ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Линейные уравнения с одной переменной

Уравнение вида ax = b, где x — переменная, а a и b — некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Если коэффициент a ≠ 0, то решение этого уравнения единственно и равно x =

.
Если же a = 0, а b ≠ 0, то уравнение корней не имеет, так как 0*x ≠ b ни при каком b ≠ 0.

Осталось рассмотреть случай a = 0 и b = 0. В этом случае любое значение x будет корнем уравнения, так как равенство 0*x = 0 верно для любого значения x.

Таким образом, линейное уравнение ax = b имеет единственный корень при a ≠ 0, вообще не имеет корней при a = 0 и b ≠ 0, и имеет бесконечное число корней при a = 0 и b = 0.

Примеры решения линейных уравнений с одной переменной.

Пример 1. Решить уравнение x = -x.

x = -x x + x=0 2x=0 x=0/2 x=0.

Пример 2. Решить уравнение 3(2.5 — 2x) = 5 — 6x.

3(2.5 — 2x) = 5 — 6x 7.5 — 6x = 5 — 6x -6x + 6x = 5 — 7.5 0*x = -2.5.

Но 0 ≠ -2.5 ни при каком x. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

Пример 3. Решить уравнение 8x = 6 + 2(4x — 3).

8x = 6 + 2(4x — 3)x 8x = 6 + 8x — 6 8x — 8x = 6 — 6 0*x = 0. Мы получили тождество, верное для любых значений x. Следовательно, корнем уравнения является любое число.

Ответ: x — любое число.

Пример 4. Решить уравнение 3x — (10 + 5x) = 54.

3x — (10 + 5x) = 54 3x — 10 — 5x = 54 -2x = 54 + 10 -2x = 64 x = -32.

Пример 5. Решить уравнение 6x — (x — 1) = 4 + 5x.

6x — (x — 1) = 4 + 5x 6x — x + 1 = 4 + 5x 5x — 5x = 4 — 1 0 = 3.

Но 0 ≠ 3 ни при каком x. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Видео:Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать

Решение линейных неравенств

О чем эта статья:

Видео:Урок 7 ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙСкачать

Основные понятия

Алгебра не всем дается легко с первого раза. Чтобы не запутаться во всех темах и правилах, важно изучать темы последовательно и по чуть-чуть. Сегодня узнаем, как решать линейные неравенства.

Неравенство — это алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, , ≤, ≥.

Линейные неравенства — это неравенства вида:

где a и b — любые числа, a ≠ 0, x — неизвестная переменная. Как решаются неравенства рассмотрим далее в статье.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти все значения переменной, при которой неравенство верное.

Видео:ЛИНЕЙНОЕ УРАНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ — Как решать линейное уравнение // Алгебра 7 классСкачать

Типы неравенств

1. Строгие — используют только больше (>) или меньше ( b — это значит, что a больше, чем b.
2. a > b и b > и

Видео:Линейное уравнение с одной переменной. 6 класс.Скачать

Линейные неравенства: свойства и правила

Вспомним свойства числовых неравенств:

1. Если а > b , то b а.
2. Если а > b и b > c, то а > c. И также если а b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c).

Если же а b и c > d, то а + c > b + d.

Если а 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.

Если а d, то а – c b, m — положительное число, то mа > mb и

Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).

Если же а > b, n — отрицательное число, то nа

Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак неравенства поменять на противоположный.

1. Если а > b и c > d, где а, b, c, d > 0, то аc > bd.

Если а 0, то аc b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а b, где а, b > 0, то
b» height=»45″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/MuRDPQeqxIZvVG_mHVaktFp6nlIEEbz8zdRs1ZW8CZbZacJrS4aKzrDyhKxXpJvc35TSAgiRpqr-63sGzL9_sPU80vFhR0ZDAmSmRFZtwEldDkWRttfSGuaJJIb7xWxZDugU3xTt»>

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое трансформирует его в верное числовое неравенство.

Чтобы упростить процесс нахождения корней неравенства, нужно провести равносильные преобразования — то заменить данное неравенство более простым. При этом все решения должны быть сохранены без возникновения посторонних корней.

Свойства выше помогут нам использовать следующие правила.

Видео:7 класс, 8 урок, Линейное уравнение с двумя переменными и его графикСкачать

Правила линейных неравенств

1. Любой член можно перенести из одной части в другую с противоположным знаком. Знак неравенства при этом не меняется.

• 2x − 3 > 6 ⇒ 2x > 6 + 3 ⇒ 2x > 9.

1. Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число. Знак неравенства при этом не меняется.

• Умножим обе части на пять 2x > 9 ⇒ 10x > 45.

1. Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число. Знак неравенства при этом меняется на противоположный.

• Разделим обе части на минус два 2x > 9 ⇒ 2x : (–2) > 9 : (–2) ⇒ x
  

  Видео:Алгебра 7 Линейное уравнение с одной переменнойСкачать

  

  Решение линейных неравенств

  Линейные неравенства с одной переменной x выглядят так:

  где a и b — действительные числа. А на месте x может быть обычное число.

  Видео:МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать

  

  Равносильные преобразования

  Для решения ax + b , ≥) нужно применить равносильные преобразования неравенства. Рассмотрим два случая: когда коэффициент равен и не равен нулю.

  Алгоритм решения ax + b , ≥) является верным, когда исходное имеет решение при любом значении. Неверно тогда, когда исходное не имеет решений.

  Рассмотрим пример: 0 * x + 5 > 0.

  Как решаем:

  • Данное неравенство 0 * x + 5 > 0 может принимать любое значение x.
  • Получается верное числовое неравенство 5 > 0. Значит его решением может быть любое число.

  Видео:Как решать уравнения? уравнение 7 класс. Линейное уравнениеСкачать

  

  Метод интервалов

  Метод интервалов можно применять для линейных неравенств, когда значение коэффициента x не равно нулю.

  Метод интервалов заключается в следующем:

  • вводим функцию y = ax + b;
  • ищем нули для разбиения области определения на промежутки;
  • отмечаем полученные корни на координатной прямой;
  • определяем знаки и отмечаем их на интервалах.

  Алгоритм решения ax + b , ≥) при a ≠ 0 с использованием метода интервалов:

  • найдем нули функции y = ax + b для решения уравнения ax + b = 0.

  Если a ≠ 0, тогда решением будет единственный корень — х₀;

  • начертим координатную прямую с изображением точки с координатой х₀, при строгом неравенстве точку рисуем выколотой, при нестрогом — закрашенной;
  • определим знаки функции y = ax + b на промежутках.

  Для этого найдем значения функции в точках на промежутке;

  если решение неравенства со знаками > или ≥ — добавляем штриховку над положительным промежутком на координатной прямой, если 0.

  Как решаем:

  В соответствии с алгоритмом, сначала найдем корень уравнения − 6x + 12 = 0,

  Изобразим координатную прямую с отмеченной выколотой точкой, так как неравенство является строгим.

  

  Определим знаки на промежутках.

  Чтобы определить на промежутке (−∞, 2), необходимо вычислить функцию y = −6x + 12 при х = 1. Получается, что −6 * 1 + 12 = 6, 6 > 0. Знак на промежутке является положительным.

  Определяем знак на промежутке (2, + ∞) , тогда подставляем значение х = 3. Получится, что −6 * 3 + 12 = − 6, − 6

  Видео:7 класс, 4 урок, Линейное уравнение с одной переменнойСкачать

  

  Графический способ

  Смысл графического решения неравенств заключается в том, чтобы найти промежутки, которые необходимо изобразить на графике.

  Алгоритм решения y = ax + b графическим способом

  • во время решения ax + b 0 определить промежуток, где график изображается выше Ох;
  • во время решения ax + b ≥ 0 определить промежуток, где график находится выше оси Ох или совпадает.

  Рассмотрим пример: −5 * x − √3 > 0.

  Как решаем

  • Так как коэффициент при x отрицательный, данная прямая является убывающей.
  • Координаты точки пересечения с Ох равны (−√3 : 5; 0).
  • Неравенство имеет знак >, значит нужно обратить внимание на промежуток выше оси Ох.
  • Поэтому открытый числовой луч (−∞, −√3 : 5) будет решением.

  Ответ: (−∞, −√3 : 5) или x

  Видео:Алгебра 7 класс (Урок№43 - Решение линейных уравнений с одним неизвестным.)Скачать

  

  Решение линейного уравнения ax + b = 0

  Линейное уравнение ax + b = 0

  Решение заключается в выполнении математической операции x = -b/a

  Уравнение 10х + 5 = 0

  Тогда x = -5 / 10 = -1/2 = -0.5

  Быстро выполнить эту математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.

  На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор решения любого линейного уравнения. С помощью этого калькулятора вы в один клик сможете быстро вычислить корень линейного уравнения.

  💥 Видео

  Решение линейного уравнения ax=b. Сколько корней может быть у линейного уравнения. Алгебра 7 класс.Скачать

  

  Решение уравнений, 6 классСкачать

  

  Линейное уравнение с одной переменной | Алгебра 7 класс #17 | ИнфоурокСкачать

  

  Линейное уравнение с одной переменнойСкачать

  

  Линейное уравнение с одной переменнойСкачать

  

  Линейное уравнение с одной переменной - как решать?Скачать

  

  Линейное уравнение с двумя переменными и его график. График линейной функции - 7 класс алгебраСкачать

  

  Линейные уравнения с одной переменной . Алгебра . 7 класс .Скачать