Пусть дано N-Мерное линейное пространство L и пусть в нём зафиксирован базис Е = (Е1, Е2, … , Еn ). Пусть М – линейное подпространство в L .
Определение 30. Будем говорить, что Система линейных уравнений задаёт подпространство М, если этой системе удовлетворяют координаты всех векторов из М и не удовлетворяют координаты никаких других векторов.
Из свойств решений однородной системы линейных уравнений следует, что любая однородная линейная система уравнений ранга R с n Переменными задаёт в любом N-Мерном пространстве Ln (если в нём зафиксирован базис) (N–r )-мерное линейное подпространство.
Справедливо и обратное утверждение. А именно, имеет место следующая теорема.
Теорема 30. Если в линейном N-Мерном пространстве Ln Зафиксирован базис, то любое его К-мерное линейное подпространство можно задать системой линейных однородных уравнений с N Неизвестными ранга (N – к).
Доказательство. Пусть в Ln зафиксирован базис Е = (Е1, Е2, … , Еn ). Пусть Lк – линейное К-мерное подпространство в Ln. Выберем в Lк Любой базис А = (А1, а2,… , ак). Пусть 
В матричной форме А = Е × А, где А = 
.
Так как А – базис, то ранг матрицы А Равен К.
Получили параметрические уравнения, определяющие Lк .
После исключения параметров получится система (N – к) линейных однородных уравнений. Векторы А1, а2, … , ак являются её линейно независимыми решениями. Все остальные решения являются их линейными комбинациями.
Следовательно, система векторов (А1, а2, … , ак) будет фундаментальной системой решений полученной системы уравнений и поэтому ранг этой системы уравнений равен (N – к).
Пример. В пространстве L5 зафиксирован базис Е = (Е1, Е2, е3, е4 , Е5 ). Найти систему линейных однородных уравнений, задающих L3 = , если А1 = (1, –2, 2, 0, 1), А2 = (0, 4, 7, 0, 1), А3 = (–2, 3, –1, 0, 0).
Решение. Найдём ранг системы векторов (А1, а2, а3 ). Для этого достаточно найти ранг матрицы 
. Минор 
. Окаймляющий минор 
¹ 0, следовательно, ранг матрицы равен 3, т. е. векторы А1, а2, а3 линейно независимы и подпространство L3 – трёхмерное. Согласно доказанной теоремы, оно может быть задано системой линейных однородных уравнений ранга 2.
D Î L3 Û D = с1А1 + С2А2 + С3А3 . Отсюда D Î L3 Û Х1 = с1 – 2с3 , х2 = –2с1 + 4с2 + 3с3 , х3 = 2с1 + 7с2 – с3 , х4 = 0, х5 = с1 + с2. Если из первого, второго и пятого уравнений выразить С1, с2 и С3 И подставить их в третье и четвёртое уравнения, то получим следующую систему
Замечание. Очевидно, система, задающая данное подпространство, определяется не единственным образом. К найденным уравнениям можно добавлять новые уравнения, являющиеся их линейными комбинациями.
Видео:§43 Линейные пространстваСкачать
Примеры решений. Линейные пространства
В этом разделе вы найдете бесплатные решения задач о линейных пространствах по темам: проверка линейности подпространства, базис пространства и подпространства, ортогональное подпространство, размерность.
Видео:Базис линейного пространства (02)Скачать
Решения задач: линейные пространства
Задача 1. Образует ли линейное подпространство пространства $R^4$ множество $V$, заданное по правилу:
Задача 2. Даны векторы $e_1, e_2, e_3, e_4$ и $a$ в стандартном базисе пространства $R^4$.
Требуется:
а) убедиться, что векторы $e_1, e_2, e_3, e_4$ образуют базис пространства $R^4$;
б) найти разложение вектора $a$ по этому базису;
в) найти угол между векторами $e_1$ и $e_2$.
Задача 3.Найти ортогональный базис подпространства $L$, заданного системой уравнений, и базис подпространства $L^$
Задача 4. Для каждого из следующих множеств геометрических векторов определить, будет ли это множество линейным подпространством пространства $V_3$ :
1) радиус-векторы точек данной плоскости;
2) векторы, образующие с данным ненулевым вектором $overline$ угол $alpha$;
3) множество векторов, удовлетворяющих условию $|overline|=1$ .
Задача 5. Пусть $L$ — множество многочленов степени не выше 2, удовлетворяющих условию $p(1)+p'(1)+p»(1)=0$. Доказать, что $L$ — линейное подпространство в пространстве $P_2$. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.
Задача 6. Образуют ли многочлены $p_1(x)=x^3+x^2-1$, $p_2(x)=x^2-2x$, $p_3(x)=x^3+x$, $p_4(x)=x^2-3$ базис в пространстве $P_3$?
Задача 7. Доказать, что матрицы вида $$ begin 2a & a+3b-2c\ b & 5c\ end $$ образуют линейное подпространство в пространстве матриц $M_$. Найти его базис и размерность. Дополнить базис подпространства до базиса всего пространства.
Видео:Базис линейного пространства (01)Скачать
Способы описания подпространств линейного пространства
Рассмотрим два важных способа описания линейных подпространств, которые условно будем называть внутренним и внешним. В первом (внутреннем) способе используется понятие линейной оболочки векторов, когда все элементы подпространства выражаются через некоторые его элементы (образующие). При втором (внешнем) способе применяются однородные системы уравнений. В этом случае подпространство описывается как пересечение некоторых содержащих его множеств. Для каждого способа описания подпространств укажем методики на хождения размерностей, базисов, алгебраических дополнений, пересечений и сумм подпространств.
Любое n-мерное вещественное линейное пространство изоморфно n-мерному арифметическому пространству . Чтобы установить изоморфизм , достаточно выбрать в пространстве базис и каждому вектору поставить в соответствие его координатный столбец. Поэтому в данном разделе будем рассматривать описание подпространств n-мерного арифметического пространства .
Первый (внутренний) способ. Пусть в пространстве заданы столбцы . Напомним, что для систем столбцов были определены понятия базы (максимальной линейно независимой подсистемы столбцов) и ранга (максимального числа линейно не зависимых столбцов системы), а также методы их нахождения.
Рассматривая линейную оболочку столбцов как линейное подпространство , заключаем, что база системы столбцов является базисом этого подпространства, а ранг системы столбцов равен размерности подпространства .
Поэтому для нахождения размерности и базиса подпространства нужно выполнить следующие действия:
1) составить из данных столбцов матрицу размеров ;
2) привести ее к ступенчатому виду (1.4), используя элементарные преобразования строк;
3) определить размерность и базис подпространства
– количество ненулевых строк в матрице равняется размерности подпространства, т.е. ,
– столбцы матрицы , содержащие единичные элементы (в начале каждой «ступеньки»), определяют номера линейно независимых столбцов матрицы , т.е. искомый базис.
Таким образом, если подпространство задано своими образующими , то его размерность равна рангу системы столбцов , т.е. , а базисом служит максимальная линейно независимая подсистема образующих.
Второй (внешний) способ. Пусть подпространство задано как множество решений однородной системы уравнений с неизвестными. Множество решений системы уравнений можно рассматривать как пересечение подпространств , где — множество решений i-го уравнения системы . Напомним, что любое решение однородной системы представляется в виде линейной комбинации элементов фундаментальной системы решений. Поэтому раз мерность пространства , а базисом служит фундаментальная система решений однородной системы . Способы нахождения фундаментальной системы решений рассмотрены ранее.
Видео:Линейная оболочка. Базис и размерностьСкачать
Переход от одного способа описания подпространств к другому
Переход от внутреннего описания к внешнему. Пусть подпространство задано линейной оболочкой столбцов . Требуется составить такую однородную систему уравнений, множество решений которой совпадает с , т.е. . Для этого нужно выполнить следующие действия.
1. Из данных столбцов составить матрицу размеров , а затем блочную матрицу , приписав к матрице единичную матрицу n-го порядка.
2. Элементарными преобразованиями над строками блочной матрицы и первыми ее столбцами привести матрицу к виду , где — простейший вид матрицы .
3. Из последних строк матрицы составить матрицу .
4. Записать искомую систему уравнений .
Поясним содержание алгоритма. Заданное подпространство состоит из линейных комбинаций данных векторов, т.е. все его элементы имеют вид . Решаемую задачу можно сформулировать так: для каких векторов найдутся такие числа , чтобы выполнялось равенство . Другими словами, при каких неоднородная система ( уравнений с неизвестными ) имеет решения? Используя необходимое и достаточное условие (5.24) совместности системы, получаем равенство . Заметим, что решение поставленной задачи неоднозначно, так как существует много однородных систем, имеющих од но и то же множество решений.
Пример 8.8. Подпространство задано линейной оболочкой столбцов . Составить систему уравнений, определяющую подпространство .
Решение. 1. Составляем матрицу и блочную матрицу:
2. Приводим левый блок к простейшему виду. Вычитаем первую строку из остальных, а затем к четвертой строке прибавляем вторую, умноженную на (-2):
Преобразовываем столбцы левого блока: ко второму столбцу прибавим пер вый, умноженный на (-1), к третьему столбцу прибавим первый, умноженный на (-3), а затем второй, умноженный на (-1). Эти преобразования не изменяют правый блок полученной матрицы. Находим простейший вид Л матрицы и матрицу
3. Из последних строк матрицы составляем матрицу искомой системы.
4. Записываем систему уравнений Заданные в условии примера столбцы являются решениями полученной системы, в чем можно убедиться при их подстановке в систему уравнений вместо .
Переход от внешнего описания к внутреннему. Пусть подпространство задано как множество решений однородной системы т уравнений с л неизвестными: . Требуется найти размерность и базис этого подпространства, т.е. представить его в виде линейной оболочки . Для этого нужно выполнить следующие действия.
1. Найти фундаментальную систему решений однородной системы . Искомая размерность .
2. Представить заданное пространство как линейную оболочку .
Первый пункт алгоритма удобно выполнять следующим образом:
– составить блочную матрицу , приписав к матрице единичную матрицу n-го порядка;
– элементарными преобразованиями над столбцами блочной матрицы и строками верхнего блока привести матрицу к виду , где — простейший вид матрицы ;
– из последних столбцов матрицы составить фундаментальную матрицу .
Столбцы фундаментальной матрицы составляют искомую фундаментальную систему решений.
Заметим, что решение поставленной задачи неоднозначно, так как существует много базисов одного и того же линейного подпространства.
Пример 8.9. Найти размерность и базис подпространства , заданного системой уравнений
Решение. 1. Фундаментальная матрица для этой системы была найдена в примере 5.6
Ее столбцы образуют фундаментальную систему решений. Размерность подпространства равна , .
2. Столбцы являются искомым базисом, так как они линейно независимы и .
🔍 Видео
Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать
Линейное пространство, системы линейных уравнений, матрицы | 2 | Константин Правдин | ИТМОСкачать
Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать
Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.Скачать
3 1 Базис линейного пространстваСкачать
Что такое линейное пространствоСкачать
3.1 Линейные пространства.Скачать
1 5 Подпространство линейного пространстваСкачать
Линейные пространства и линейные подпространства.Скачать
Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать
Овчинников А. В. - Линейная алгебра - Понятие линейного пространства и его свойстваСкачать
Высшая математика. Линейные пространства 2 — практикаСкачать
15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать
Базисные решения систем линейных уравнений (02)Скачать
Базисные решения систем линейных уравнений (03)Скачать
1 1 Что такое линейное пространствоСкачать
