Видео:ЛЕКЦИЯ 1.4. Линейно независимые решения и Теорема об общем решенииСкачать
Высшая математика
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение
Справедливо следующее этого уравнения.
Решения y 1( x ), y 2( x ), . y n( x ) линейного однородного дифференциального уравнения линейно независимы на отрезке [ a ; b ] тогда и только тогда, когда определитель Вронского этих функций W ( x ; y 1( x ), y 2( x ), . y n( x )) не обращается в нуль ни в одной точке отрезка [ a ; b ] .
Для определителя Вронского W ( x ; y 1( x ), y 2( x ), . y n( x )) решений y 1( x ), y 2( x ), . y n( x ) линейного однородного дифференциального уравнения с непрерывными на [ a ; b ] коэффициентами, справедлива формула Остроградского–Лиувилля:
Из формулы Остроградского-Лиувилля, в частности, следует:
Видео:Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать
Линейная независимость функций. Определители Вронского и Грама
Пусть имеем конечную систему из функций , определенных на интервале . Функции называют линейно зависимыми на интервале , если существуют постоянные , не все равные нулю, такие, что для всех значений из этого интервала справедливо тождество
Если же это тождество выполняется только при , то функции называют линейно независимыми на интервале .
Пример 1. Показать, что система функций линейно независима на интервале .
Решение. В самом деле, равенство может выполняться для всех только при условии, что . Если же хоть одно из этих чисел не равно нулю, то в левой части равенства будем иметь многочлен степени не выше третьей, а он может обратиться в ноль не более, чем при трех значениях из данного интервала.
Пример 2. Показать, что система функций , где попарно различны, линейно независима на интервале .
Решение. Предположим обратное, т. е. что данная система функций линейно зависима на этом интервале. Тогда
на интервале , причем, по крайней мере, одно из чисел отлично от нуля, например . Деля обе части тождества (1) на , будем иметь
Дифференцируя тождество, получаем
Делим обе части тождества (2) на :
Дифференцируя (3), получаем , что невозможно, так как по предположению, по условию, а .
Наше предположение о линейной зависимости данной системы функций привело к противоречию, следовательно, эта система функций линейно независима на интервале , т.е. тождество (1) будет выполняться только при .
Пример 3. Показать, что система функций , где , линейно независима на интервале .
Решение. Определим значения и , при которых будет выполняться тождество
Разделим обе его части на :
Подставляя в (5) значение , получаем и, значит, ; но функция не равна тождественно нулю, поэтому . Тождество (5) и, следовательно, (4) имеют место только при , т. е. данные функции линейно независимы в интервале .
Замечание. Попутно доказана линейная независимость тригонометрических функций .
Пример 4. Доказать, что функции
линейно зависимы в интервале .
Решение. Покажем, что существуют такие числа , не все равные нулю, что в интервале справедливо тождество
Предполагаем тождество (7) выполненным; положим, например, . Тогда получим однородную систему трех уравнений с тремя неизвестными
Определитель этой системы трёх уравнений с тремя неизвестными равен нулю:
Следовательно, однородная система (8) имеет ненулевые решения, т. е. существуют числа , среди которых имеется по крайней мере одно отличное от нуля. Для нахождения такой тройки чисел возьмем, например, два первых уравнения системы (8):
Из первого уравнения имеем , из второго . Полагая , получим ненулевое решение системы (8):
Покажем теперь, что при этих значениях тождество (7) будет выполняться для всех . Имеем
каково бы ни было . Следовательно, система функций (6) линейно зависима на интервале .
Замечание. Для случая двух функций можно дать более простой критерий линейной независимости. Именно, функции и будут линейно независимыми на интервале , если их отношение не равно тождественной постоянной на этом интервале; если же , то функции будут линейно зависимыми.
Пример 5. Функции и линейно независимы в интервале , так как их отношение в этом интервале.
Пример 6. Функции и линейно зависимы в интервале , так как их отношение в этом интервале (в точках разрыва функции доопределяем это отношение по непрерывности).
Пусть функций имеют производные (n–1)-го порядка. Определитель
называется определителем Вронского для этой системы функций. Определитель Вронского вообще является функцией от , определенной в некотором интервале.
Пример 7. Найти определитель Вронского для функций .
Пример 8. Найти определитель Вронского для функций:
так как первая и последняя строки определителя пропорциональны.
Теорема. Если система функций линейно зависима на отрезке , то ее определитель Вронского тождественно равен нулю на этом отрезке.
Так, например, система функций линейно зависима в интервале , и определитель Вронского этих функций равен нулю всюду в этом интервале (см. примеры 4 и 8).
Эта теорема дает необходимое условие линейной зависимости системы функций. Обратное утверждение неверно, т. е. определитель Вронского может тождественно обращаться в ноль и в том случае, когда данные функции образуют линейно независимую систему на некотором интервале.
Пример 9. Рассмотрим две функции:
Графики их имеют вид, указанный на рис. 25.
Эта система функций линейно независима, так как тождество выполняется только при . В самом деле, рассматривая его на отрезке , мы получаем , откуда , так как ; на отрезке же имеем , откуда , так как на этом отрезке.
Найдем определитель Вронского системы. На отрезках и :
Таким образом, определитель Вронского на отрезке тождественно равен нулю.
Пусть имеем систему функций на отрезке . Положим
называется определителем Грама системы функций .
Теорема. Для того, чтобы система функций была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель Грама равнялся нулю.
Пример 10. Показать, что функции и линейно зависимы на отрезке .
Вычислим определитель Грама следовательно, функции и линейно зависимы.
Видео:15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Оговорим сразу тот факт, что нахождение решения общего аналитического вида для линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков зачастую невозможно. В основном пользуются приближенными методами решения.
Материал данной статьи представлен базовой теоретической информацией на тему решения ЛОДУ
n -ого порядка записи y ( n ) + f ( n — 1 ) ( x ) · y n — 1 + . . . + f 0 ( x ) · y = 0 и ЛНДУ n -ого порядка записи y ( n ) + f ( n — 1 ) ( x ) · y n — 1 + . . . + f 0 ( x ) · y = f ( x ) .
Сначала поговорим о линейных однородных дифференциальных уравнениях n -ого порядка, а затем займемся неоднородными ДУ.
Видео:Решение системы дифференциальных уравнений методом ЭйлераСкачать
Линейные однородные дифференциальные уравнения
Общее решение для линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка y ( n ) + f ( n — 1 ) ( x ) · y n — 1 + . . . + f 0 ( x ) · y = 0 при непрерывных на интервале интегрирования
X коэффициентах f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n — 1 ( x ) определяет линейная комбинация y 0 = ∑ j = 1 n C j · y j , в которой y j , j = 1 , 2 , . . . , n являются линейно независимыми частными решениями ЛОДУ на X , а C j , j = 1 , 2 , . . . , n являются произвольными постоянными.
Когда тождество a 1 · y 1 + a 2 · y 2 + . . . + a n · y n ≡ 0 верно только при нулевых коэффициентах a 1 = a 2 = . . . = a n = 0 , функции y j , j = 1 , 2 , . . . , n являются линейно независимыми на неком интервале X .
Для линейно независимых функций y j , j = 1 , 2 , . . . , n определитель Вронского при любых
x из X отличен от нуля:
W ( x ) = y 1 y 2 … y n y ‘ 1 y ‘ 2 … y ‘ n y » 1 y » 2 … y » n … … … … y 1 ( n — 1 ) y 2 ( n — 1 ) … y n ( n — 1 ) ≠ 0
Тот факт, что определитель Вронского не равен нулю, возможно применять в качестве критерия линейной независимости функций на интервале.
Каким же образом определяются y j , j = 1 , 2 , . . . , n — линейно независимые частные решения линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка?
В большинстве случаев данные функции возможно подобрать, используя стандартные системы линейно независимых функций:
1 ) 1 , x , x 2 , . . . , x n 2 ) e k 1 · x , e k 2 · x , . . . , e k n · x 3 ) e k 1 · x , x · e k 1 · x , . . . , x n 1 · e k 1 · x , e k 2 · x , x · e k 2 · x , . . . , x n 2 · e k 2 · x , . . . e k p · x , x · e k p · x , . . . , x n p · e k p · x
Когда подобраны все n линейно независимые частные решения y j , j = 1 , 2 , . . . , n , возможно составить общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка y ( n ) + f ( n — 1 ) ( x ) · y n — 1 + . . . + f 0 ( x ) · y = 0 — оно будет иметь запись y 0 = ∑ j = 1 n C j · y j . Когда подобраны только несколько линейно независимых частных решений, мы можем понизить степень заданного уравнения при помощи замены. Детально этот пункт мы не будем рассматривать, в случае необходимости следует изучить дополнительные материалы по теме.
Видео:Дифференциальные уравнения, 9 урок, Линейные дифференциальные уравнения высших порядковСкачать
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
Приступим к рассмотрению линейных неоднородных дифференциальных уравнений n -ого порядка записи y ( n ) + f ( n — 1 ) ( x ) · y n — 1 + . . . + f 0 ( x ) · y = f ( x ) .
Общее решение на интервале X линейного неоднородного дифференциального уравнения порядка n записи y ( n ) + f ( n — 1 ) ( x ) · y n — 1 + . . . + f 0 ( x ) · y = f ( x ) при непрерывных на интервале интегрирования X коэффициентах f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n — 1 ( x ) и непрерывной функции f ( x ) определяется как сумма общего решения y 0 соответствующего ЛОДУ и некоторого частного решения y
заданного неоднородного уравнения: y = y 0 + y
Нахождение y 0 — общего решения соответствующего ЛОДУ n -ого порядка — было рассмотрено выше. Остается разобрать, как находится y
— частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n -ого порядка.
Иногда некое частное решение y
бывает достаточно явным, то есть его возможно подобрать. Когда
y
подобрать затруднительно, при этом определены n линейно независимых частных решений y j , j = 1 , 2 , . . . , n соответствующего ЛОДУ, общее решение исходного ЛНДУ n -ого порядка возможно определить при помощи метода вариации произвольных постоянных.
В таком случае общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y ( n ) + f ( n — 1 ) ( x ) · y n — 1 + . . . + f 0 ( x ) · y = f ( x ) определяется как y = ∑ j = 1 n C j ( x ) · y j , а функции C 1 ( x ) , C 2 ( x ) , … , C n ( x ) находятся интегрированием после решения системы уравнений:
∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y j = 0 ∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y ‘ j = 0 ∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y » j = 0 … ∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y j ( n — 2 ) = 0 ∑ j = 1 n C j ‘ ( x ) · y j ( n — 1 ) = 0
💥 Видео
Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентамСкачать
7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать
Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать
16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать
ЛЕКЦИЯ 1.2. Определитель ВронскогоСкачать
Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать
4. Однородные дифференциальные уравнения (часть 1)Скачать
14. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядкаСкачать
ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентамиСкачать
Лукьяненко Д. В. - Дифференциальные уравнения - Лекция 5Скачать
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать
13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать
10. Уравнения БернуллиСкачать
Видеоурок "Нахождение частных решений по виду правой части"Скачать