Линейная независимость решений однородного уравнения

ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСМОСТЬ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Высшая математика

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение

Справедливо следующее этого уравнения.

Решения y ₁( x ), y ₂( x ), . y _n( x ) линейного однородного дифференциального уравнения линейно независимы на отрезке [ a ; b ] тогда и только тогда, когда определитель Вронского этих функций W ( x ; y ₁( x ), y ₂( x ), . y _n( x )) не обращается в нуль ни в одной точке отрезка [ a ; b ] .

Для определителя Вронского W ( x ; y ₁( x ), y ₂( x ), . y _n( x )) решений y ₁( x ), y ₂( x ), . y _n( x ) линейного однородного дифференциального уравнения с непрерывными на [ a ; b ] коэффициентами, справедлива формула Остроградского–Лиувилля:

Из формулы Остроградского-Лиувилля, в частности, следует:

Линейная зависимость и линейная независимость функций

Понятие линейной независимости функций вводится аналогично понятию линейной независимости векторов.

называются линейно-зависимыми на отрезке [a, b], если существуют действительные числа α₁, α₂, …, α_n, не все равные нулю (α²₁+α²₂+ … + α²_n≠0), такие, что для любых x∈[a, b] выполняется равенство

а также функции

линейно независимы на любом отрезке [a, b].

Определитель Вронского

Определение. Определителем Вронского называется определитель

с коэффициентами p_k(x) (k=l, …, n), непрерывными на отрезке [a, b], то определитель Вронского w(x) = w[y₁, y₂, …, y_n] не обращается в нуль ни в одной точке отрезка [a, b].

Общее решение линейного однородного уравнения n-го порядка

коэффициенты которого непрерывны на этом отрезке, то его общее решение определяется формулой

Следствие. Максимальное число линейно-независимых решений линейного однородного уравнения равно порядку этого уравнения.

Определение. Любые n линейно-независимых решений линейного однородного уравнения n-го порядка называются его фундаментальной системой решений.

Лекция 20.

Линейная зависимость и независимость системы функций. Определитель Вронского, его свойства. Фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения. Общее решение однородного уравнения.

Определение 20.1. Функции у₁(х), у₂(х),…, у_п(х) называются линейно зависимыми на некотором отрезке [a,b], если существуют такие числа α₁, α₂,…, α_п, хотя бы одно из которых не равно нулю, что

на рассматриваемом отрезке. Если же равенство (20.1) справедливо только при всех α_i=0, функции у₁(х), у₂(х),…, у_п(х) называются линейно независимымина отрезке [a,b].

1. Функции 1, x, x², …, x n линейно независимы на любом отрезке, так как равенство α₁ + α₂x + α₃x² + … + α_n+1x n = 0 справедливо только при всех α_i= 0. Иначе в левой части равенства стоял бы многочлен степени не выше п, который может обращаться в нуль не более, чем в п точках рассматриваемого отрезка.
2. Линейно независимой на любом отрезке является система функций . Если предположить, что эта система линейно зависима, то существуют такие числа α₁, α₂,…, α_п(пусть для определенности ), что . Разделим полученное равенство на и продифференцируем: . Проделав эту операцию п-1 раз, придем к равенству , что невозможно, так как по предположению .
3. Подобным образом можно доказать линейную независимость системы функций

Определение 20.2. Определитель вида

(20.2)

называется определителем Вронскогосистемы функций у₁, у₂,…, у_п.

Теорема 20.1. Если функции у₁, у₂,…, у_п линейно зависимы на отрезке [a,b], то их определитель Вронского на этом отрезке тождественно равен нулю.

которая по условию должна иметь нетривиальное решение при любом х из отрезка [a,b], а это возможно только в том случае, если главный определитель этой системы (см. правило Крамера) равен нулю. Поскольку этот главный определитель является определителем Вронского для выбранной системы функций, теорема доказана.

Теорема 20.2. Если линейно независимые функции у₁, у₂,…, у_п являются решениями линейного однородного уравнения (19.2) с непрерывными на отрезке [a,b] коэффициентами, то определитель Вронского для этих функций не может обратиться в нуль ни в одной точке отрезка [a,b].

Пусть Выберем числа , не все равные нулю, так, чтобы удовлетворялась система уравнений

(20.3)

(Определитель этой системы, неизвестными в которой считаем , равен W(x₀) и, следовательно, равен нулю, поэтому система имеет ненулевое решение). Тогда по условию теоремы — решение уравнения (19.2) с нулевыми начальными условиями , что следует из системы (20.3). Очевидно, что этим условиям удовлетворяет нулевое решение:

, (20.4) а по теореме существования и единственности это решение единственно. Но при этом из равенства (20.4) следует, что функции у₁, у₂,…, у_п линейно зависимы, что противоречит условиям теоремы. Следовательно, ни в одной точке отрезка [a,b].

Замечание. В теореме 20.2 важно, что функции у₁, у₂,…, у_п – решения уравнения (19.2). Для произвольной системы функций утверждение теоремы не справедливо.

Теорема 20.3. Общим решением на [a,b] уравнения (19.2) с непрерывными коэффициентами p_i является линейная комбинация (20.5) п линейно независимых на [a,b] частных решений y_i с произвольными постоянными коэффициентами.

Доказательство. Для доказательства теоремы с учетом теоремы существования и единственности достаточно показать, что можно подобрать постоянные c_i так, чтобы удовлетворялись произвольно заданные начальные условия:

, (20.6) где х₀ – произвольная точка отрезка [a,b].

Подставив в равенства (20.6) выражение для у вида (20.5), получим линейную систему из п уравнений относительно неизвестных с₁, с₂,…, с_п:

,

определителем которой является определитель Вронского для выбранных п линейно независимых решений рассматриваемого уравнения, который по теореме 20.2 не равен нулю. Следовательно, по правилу Крамера система имеет решение при любых правых частях. Теорема доказана.

Следствие. Максимальное число линейно независимых решений однородного уравнения (19.2) равно его порядку.

Определение 20.3. Любые п линейно независимых решений однородного линейного уравнения (19.2) называются его фундаментальной системой решений.

Таким образом, общее решение уравнения (19.2) является линейной комбинацией любой его фундаментальной системы решений.

Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Построение фундаментальной системы решений. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Частное и общее решения.

Определим вид частных решений однородного линейного уравнения

, (21.1)

в котором коэффициенты a_i постоянны. Можно показать, что они имеют вид , где k – постоянная. Действительно, при этом , и после подстановки в уравнение (21.1) получаем:

,

или, после сокращения на e kx ,

— (21.2)

так называемое характеристическое уравнение для уравнения (21.1). Числа k, являющиеся его решениями, при подстановке в функцию дают частные решения уравнения (21.1). Исследуем различные возможности количества и вида решений характеристического уравнения.

1. Все корни уравнения (21.2) действительны и различны: k₁, k₂,…, k_n . Тогда они задают максимально возможное количество линейно независимых решений уравнения (21.1) (их линейная независимость показана в примере 2 лекции 20), то есть определяют фундаментальную систему решений. Следовательно, в этом случае общее решение уравнения (21.1) может быть записано в виде: . Пример. Общее решение уравнения можно найти, решив характеристическое уравнение . Разложим левую часть на множители: . Следовательно, корни характеристического уравнения: . Поэтому общее решение исходного уравнения имеет вид: .
2. Корни уравнения (21.2) различны, среди них есть комплексные. При этом, как было показано ранее, они образуют пары комплексно сопряженных чисел. При этом решения уравнения (21.1), соответствующие паре комплексно сопряженных решений уравнения (21.2) и , имеют вид и и могут быть заменены двумя действительными решениями: действительной и мнимой частями указанных решений. Следовательно, так как , решениями уравнения (21.1) будут и . Пример.
3. Характеристическое уравнение имеет кратные корни. В этом случае число линейно независимых решений предыдущих типов меньше п, и для получения фундаментальной системы нужно найти дополнительные решения иного вида. Докажем, что при наличии у характеристического уравнения корня k_i кратности α_iтакими решениями будут Предположим вначале, что выбранный кратный корень k_i = 0. Тогда характеристическое уравнение имеет вид:

,

а соответствующее дифференциальное уравнение:

.

Очевидно, что частными решениями такого уравнения будут функции 1,x, x²,…, , все производные которых порядка α_i и выше равны нулю. Кстати, линейная независимость такой системы функций показана в примере 1 лекции 20.

Пусть теперь корень характеристического уравнения k_i кратности α_i не равен нулю. Сделаем замену переменной: , тогда при подстановке в дифференциальное уравнение его линейность и однородность не нарушается, а коэффициенты изменяются, но по-прежнему остаются постоянными:

.

При этом корни характеристического уравнения

(21.3)

отличаются от корней уравнения

на слагаемое –k_i, так как при , то есть k = k_i + p. Следовательно, уравнение (21.3) имеет корень р = 0 кратности α_i , которому соответствуют линейно независимые частные решения . При обратной замене получаем набор линейно независимых решений исходного уравнения: . (21.4)

Таким образом, каждый кратный корень уравнения (21.2) задает серию линейно независимых частных решений уравнения (21.1), количество которых равно его кратности. Следовательно, вновь построена фундаментальная система решений.

Замечание. Кратные комплексно сопряженные корни задают частные решения вида .

1. Характеристическое уравнение для уравнения имеет вид (k + 1)³=0, то есть k = -1 – корень кратности 3. Следовательно, фундаментальная система решений состоит из функций , а общее решение можно записать в виде .

2. Для уравнения характеристическим уравнением является то есть (k²+4)²= 0. Следовательно, — корни кратности 2. Тогда общим решением исходного дифференциального уравнения является

.

📽️ Видео