Линеаризация нелинейных функций и уравнений (8 видео)

Суть и способы линеаризации нелинейных динамических систем

Линеаразиция — один из наиболее распространенных методов анализа нелинейных систем. Идея линеаризации — использование линейной системы для аппроксимации поведения решений нелинейной системы в окрестности точки равновесия.

Линеаризация позволяет выявить большинство качественных и особенно количественных свойств нелинейной системы.

Методы линеаризации имеют ограниченный характер, то есть эквивалентность исходной нелинейной системы и ее линейного приближения сохраняется лишь для ограниченных пространственных или временных масштабов системы, или для определенных процессов, причем, если система переходит из одного режима работы в другой, то следует изменить и ее линеаризованную модель.

Содержание

Линеаризация нелинейных динамических систем методом замены переменных
Линеаризация на основе якобиана
Линеаризация нелинейных моделей регрессии
Понятие регрессии
Нелинейные модели регрессии
Готовые работы на аналогичную тему
Линеаризация нелинейных моделей регрессии
Линеаризация нелинейных уравнений (Тема)
🔥 Видео

Видео:Теория автоматического управления. Лекция 5. Гармоническая линеаризацияСкачать

Линеаризация нелинейных динамических систем методом замены переменных

Линеаризация системы нелинейных уравнений в окрестности точки равновесия может быть достигнута путем замены переменных так, чтобы точка равновесия превратилась в начало координат.

Уравнения, полученные в результате указанного действия, будут линейными и называться линеаризацией исходной системы. Точки исходной системы, находящиеся в окрестности точки равновесия, будут соответствовать точкам в окрестности начала координат новой системы. Нас будет интересовать:

значение новых переменных, близкие к нулю;
при каких условиях нелинейными выражениями можно пренебречь.

Рассмотрим нелинейную систему: (1) что имеет точки равновесия (p, q). Преобразование u=x-p v=y-q переводит точки равновесия p, q в начало координат. Дифференцирование дает: (2) После замены переменных, подставив их новые значения в каждое уравнение, выделим линейную часть: где F(u,v) и G(u,v) и состоят только из нелинейных выражений. Говорят, что линейная система есть линерализацией системы (1) при таких условиях: Эти последние условия обеспечивают то, что нелинейные выражения F(u,v) и G(u,v) на столько малы по сравнению с u и v при приближении к точке равновесия, что ими можно пренебречь.

Видео:Линейная алгебра. Алексей Савватеев и Александр Тонис. Лекция 3.5. Линеаризация систем диф.уровСкачать

Линеаризация на основе якобиана

Замену переменных можно использовать и при другой организации линеаризации. Производят замену: где Это может быть записано в виде: где называется якобиан.

Видео:После этого видео, ТЫ РЕШИШЬ ЛЮБУЮ Систему Нелинейных УравненийСкачать

Линеаризация нелинейных моделей регрессии

Вы будете перенаправлены на Автор24

Видео:Атмосфера #10 | Линеаризация уравнений и уравнения для АГВСкачать

Понятие регрессии

Регрессия – это односторонняя зависимость, которая устанавливает соответствие между случайными величинам.

Сущность регрессии заключается в том, чтобы через математическое выражение установить связь между зависимой и независимыми переменными. Ее отличительной особенностью от функциональной зависимости является тот факт, что каждому значению независимой соответствует одно определенное значение зависимой. В регрессионной связи одной и той же величине могут соответствовать абсолютно разные величины.

Впервые регрессию стали использовать в конце девятнадцатого века. Она была применена для установления зависимости между параметрами человека. Регрессию смогли перенести на плоскость. Точки легли на одну прямую, поэтому ее назвали линейной.

Построение линейной регрессии подразумевает, что ошибок в ней нет. Тогда распределение величин происходит под влиянием нормального закона. То есть, среднее значение равно нулю, а отклонение постоянно.

Чтобы вычислить параметры модели часто применяют программное обеспечение. Оно позволяет обрабатывать большие массивы информации с минимальными ошибками. Существуют специальные методы, позволяющие проверить величину отклонения. Ошибки необходимы для того, чтобы находить доверительные интервалы и проверять выдвинутые в начале исследования гипотезы. Например, в статистике используется критерий Стьюдента, позволяющий сопоставить средние значения двух выборок.

Самое простое представление регрессии состоит из зависимости между соотношениями случайной и независимой величины. Этот подход необходим для установления функциональной связи, если величины не случайны. В практической деятельности коэффициенты неизвестны, поэтому их исследуют с помощью экспериментальных данных.

Видео:Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать

Нелинейные модели регрессии

Построение нелинейной регрессии осуществляется для того, чтобы провести анализ. В нем экспериментальные данные записываются в функциональную зависимость, описывающей нелинейную комбинацию, представляющую модель, которая зависит от одной или нескольких переменных. Чтобы приблизить полученные данные к практическим величинам используется метод последовательных приближений.

Готовые работы на аналогичную тему

Этот метод заключается в следующем. Исследователем определяются корни уравнения или системы уравнений для того, чтобы упростить решаемую задачу, либо определить неизвестные параметры.

Структура нелинейной регрессии состоит из независимых и зависимых переменных. Для каждой переменной устанавливается случайная величина со средним значением. Погрешность может появиться, но есть ее обрабатывать, то она выйдет за пределы модели. В случае, если переменные не свободны, то модель становится ошибочной, поэтому для исследования становится непригодной.

Вот некоторые примеры нелинейных функций:

Показательные.
Логарифмические.
Тригонометрические.
Степенные.
Функция Гаусса.
Кривые Лоуренца.

В некоторых случаях регрессионный анализ может быть сведен к линейному, но данный способ должен применяться с осторожностью. Чтобы получить наилучший вариант расчета применяются оптимизационные алгоритмы. На практике могут применяться оценочные значения совместно с методиками оптимизации. В результате надо найти глобальный минимум суммы квадратов.

Нелинейная регрессия чаще всего применяется, как статистика линейной. Это позволяет сместить статистику, поэтому полученные данные интерпретируются с осторожностью.

Видео:Способы решения систем нелинейных уравнений. 9 класс.Скачать

Линеаризация нелинейных моделей регрессии

Линеаризация – это преобразование. Оно осуществляется для того, чтобы упростить определенные модели и вычисления. Например, применение логарифма к обеим частям линейной регрессии позволяет оценить неизвестные параметры более простым способом.

Но использование нелинейного изменения уравнения требует осторожности. Это связано с тем, что данные будут изменяться. Поэтому появятся ошибки модели. Их интерпретация может привести к ошибочному суждению о гипотезе. Обычно в нелинейных уравнениях используется модель Гаусса для исследования ошибок, что необходимо учитывать при проверке.

В которых случаях применяется уравнение Лайнуивер – Берк, либо обобщенная линейная модель.

Чтобы уточнить построенную модель и снизить вероятность ошибок, независимая переменная разбивается на классы. Вследствие этого линейная регрессия разбивается посегментно. Она может дать результат, в котором будет видно, как ведет себя параметр в зависимом положении. Отображение изменений производится графически.

То есть сущность линеаризации заключается в том, что исследователь применяет особые методики для того, чтобы провести преобразования исходных данных. Это позволяет исследовать нелинейную зависимость. Переменные нелинейного уравнения преобразуются с помощью специальных методик в линейные. Это может привести к ошибкам, что необходимо учитывать в процессе преобразования уравнения. Метод может быть опасным, так как влияет на результат вычислений.

Сущность метода заключается в том, что нелинейные переменные заменяются линейными. Регрессия сводится к линейной. Такой подход часто используется для полиномов. Далее применяются известные и простые оценки исследования линейных регрессии. Но изменение полиномов должно так же проводиться с осторожностью. Чем выше порядок полинома, тем сложнее удержаться в рамках реалистичной интерпретации коэффициентов регрессии.

В логарифмических моделях составляется линейная модель с новыми переменными. Оценка результата происходит с помощью метода наименьших квадратов. Эта методика подходит для исследования кривых спроса и предложения, производственных функций, кривых освоения связи между трудоемкостью и производственными масштабами. Такой подход актуален при запуске новых видов продукции.

Видео:Алгоритмы. Линеаризация функцийСкачать

Линеаризация нелинейных уравнений (Тема)

На практике все системы управления нелинейные, однако в некоторых случаях нелинейности настолько малы, что их эффект незначителен, или при больших нелинейностях система работает на линейных участках.

Процесс замены нелинейных уравнений близкими к ним по динамическим свойствам линейными уравнениями называется линеаризацией.

Существует несколько приёмов линеаризации. В данном подразделе рассматривается линеаризация, в основе которой лежит разложение нелинейностей в ряд Тейлора. Ниже дается упрощенная процедура линеаризации.

Пусть дана функция

. (1)

Предполагается, что система работает в режиме стабилизации, т.е.

. (2)

В идеальном установившемся режиме

. (3)

В действительности имеют место отклонения от точки (2), т.е.

. (4)

Предполагается что на порядок меньше .

Подставим (4) в (1). Тогда

. (5)

Последним слагаемым в (5) вследствие малости можно пренебречь.

Вычтем из (5) (3). Получим

. (6)

Уравнение (6) линейно относительно новых переменных .

Геометрический смысл линеаризации представлен на рисунке ниже.

Линеаризация путём разложения в ряд Тейлора представляет собой перенос начала координат из т. О в т. О ₁ и переход от переменных к новым переменным . В этом случае нелинейная функция АВ заменяется на касательную, проведенную в точке О₁.