Лабораторная работа решение систем линейных алгебраических уравнений методом гаусса

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ

ОБРАЗРВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

«ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИСЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Институт «Архитектурно-строительный»
Кафедра «Строительное производство и теории сооружений»

по лабораторной работе №1

«Решение системы линейных уравнений методом Гаусса на ПЭВМ»

«Численные методы расчета строительных конструкций»

15 вариант
Проверил доцент кафедры :

___________/ Мусихин В.А./

___________________ 2019 г.

Выполнил студент АСИ-371:

___________/ Кукушкин К.Е./

___________________ 2019 г.

Лабораторная работа № 1
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса на ПЭВМ
Цель лабораторной работы: обучить студентов решению линейных уравнений методом Гаусса, обучить методике решения задач на ПЭВМ с разработкой алгоритма , составления и отладкой программы, а так же закрепить и углубить знания студентов по программированию задач на ПЭВМ на алгоритмическом языке « Q BASIC», закрепить полученные навыки работы студентов на персональном компьютере.

a=b=c=d=2 м;e=f=g=h= l =1,3м;

P1=6kH; φ=45° (sin φ = cos φ = 0,707);

P2=5,5kH; α=30° (sin α = 0,5;cos α = 0,866);

q=1,5kH/м;
W = 3Д-2Ш-С = 3*3-2*2-5=0

W – число степеней свободы;

Д – число дисков;

С – число связей;

Т.к. число степеней свободы равно нулю , система является статически определимой.

Требуется определить опорные реакции балки ХА, YA, RB, YC, YD.

1. Составление системы уравнений равновесий

3. Преобразование системы в стандартную форму

4. Преобразование системы в матричную форму

Матрица А Х В
Подставим исходные данные в полученную систему уравнений и представим её в матричной форме:

5. Блок-схема программы

6. Текст программ решения системы уравнений методом Гаусса и исходных данных на алгоритмическом языке «QBASIC»

Файл nxm.dat – 5 (с первой позиции с первой строки)

4,595 13,395 59,296 -21,11 -47,279

20 DIM a(10, 10), b(10), x(10)

30 OPEN «nxm.dat» FOR INPUT AS #1

40 OPEN «axm.dat» FOR INPUT AS #2

50 OPEN «bxm.dat» FOR INPUT AS #3

60 OPEN «resultm.dat» FOR OUTPUT AS #4

70 PRINT #4, «Решение СЛАУ методом Гаусса «

80 PRINT #4, «Кукушкин К.Е., AC-371, вариант 15»

100 PRINT #4, «Размерность СЛАУ n=5»

110 PRINT #4, «Матрица констант при переменных А:»

120 FOR i = 1 TO n

130 FOR j = 1 TO n

140 INPUT #2, a(i, j)

150 PRINT #4, a(i, j);

180 PRINT #4, «Матрица свободных членов В:»

190 FOR i = 1 TO n

230 FOR k = 1 TO n — 1

250 max = ABS(a(k, k))

260 FOR i = k + 1 TO n

270 IF max >ABS(a(i, k)) GOTO 300

290 max = ABS(a(i, k))

310 IF m = k GOTO 400

320 FOR j = k TO n

400 FOR i = k + 1 TO n

410 d = a(i, k) / a(k, k)

420 FOR j = k + 1 TO n

430 a(i, j) = a(i, j) — d * a(k, j)

450 b(i) = b(i) — d * b(k)

480 x(n) = b(n) / a(n, n)

490 FOR i = n — 1 TO 1 STEP -1

510 FOR j = i + 1 TO n

520 s = s + a(i, j) * x(j)

540 x(i) = (b(i) — s) / a(i, i)

560 PRINT #4, «Величиныпеременных:»

570 FOR i = 1 TO n

580 PRINT #4, «X(«, i, «)=», X(i)

7.Решение системы уравнения на ПК

Решение СЛАУ методом Гаусса

Кукушкин К.Е., AC — 371, вариант 15

Размерность СЛАУ n = 5

Матрица констант при переменных А:

Матрица свободных членов В:

4,595 13,395 59,296 -21,11 -47,379

8. Проверка правильности решения

1) 10,981 – 12,770 * 0.5 = 4,595

10,981 – 6,385 = 4,595

2) 1,507 + 12,770 * 0,866 – 3,239 + 4,067 = 13,395

1,507 + 11,058 – 3,239 + 4,067 = 13,395

3) 4 * 12,770 * 0,866 + 6,4 * (-3,239) + 8,8 * 4,067 = 59,296

44,235 – 20,729 + 35,789 = 59,296

4) – 5,9 * 1,507 – 12,770 * 0,866 * 1,2 = – 21,11

– 8,891 – 13,270 = – 21,11

– 21,11 = – 21,11
5) –7,9 * 1,507 – 12,770 * 0,866 * 3,6 + 3,239 * 1,2 = – 47,379

– 11,905 – 39,811 + 3,886 = – 47,379

Вывод: после решения системы уравнений методом Гаусса делается проверка правильности решения. Проверка сходится, следовательно, система линейных алгебраических уравнений решена правильно.

Видео:СЛУ Метод Гаусса в ExcelСкачать

Метод Гаусса с выбором главного элемента

Московский Государственный Технически Университет

«МАМИ»

Лабораторная работа №3 по курсу «Вычислительная Математика»

«РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»

3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Справочная информация

Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

,

записываемых в матричной форме в виде

,

,

делятся на точные и итерационные. Они используются для систем, у которых количество неизвестных равно количеству уравнений и матрица A — не вырождена (её определитель не равен нулю). Точными методами условно называют методы, которые дают решение задачи посредством конечного числа арифметических операций. Итерационные методы позволяют получить решение системы как предел бесконечной последовательности его приближений. При применении итерационных методов существенным вопросом является вопрос об их сходимости.

Точные методы, к которым относятся метод Гауссаи его разновидности, не имеют дополнительных ограничений на свойства матрицы системы.

В основе метода Гаусса лежит идея последовательного исключения неизвестных, приводящая исходную систему с квадратной матрицей к легко разрешимой системе с верхней треугольной матрицей

.

Данное преобразование может быть осуществлено многими способами. Однако все они основаны на свойстве систем, которое заключается в неизменности их решений при умножении любого уравнения на отличную от нуля постоянную или его замене на сумму с любым другим уравнением.

Один из простейших способов исключения состоит в следующем. Первое уравнение системы

,

которое на этом шаге считается ведущим, нормируется – делится на значение диагонального элемента a₁₁

,

.

Если в исходной системе a₁₁= 0, то в качестве первого уравнения следует взять любое другое с ненулевым первым коэффициентом, поменяв их местами. Полученное уравнение умножается на первый коэффициент второго уравнения a₂₁ и вычитается из него. В результате во втором уравнении пропадает слагаемое a₂₁x₁, содержащее первое неизвестное x₁. Такие же операции проводятся со всеми последующими уравнениями. В результате система уравнений принимает вид

.

Далее процесс повторяется. За ведущее берется второе уравнение и исключается неизвестное x₂ из всех уравнений, начиная с третьего

.

Таким образом, за n шагов система уравнений последовательно сводится к треугольному виду, при этом для последнего уравнения выполняется только операция нормирования:

.

Полученная система с верхней треугольной матрицей может быть легко разрешена относительно неизвестных. Последнее уравнение системы определяет значение x_n, что позволяет определить x_n–1 из предпоследнего уравнения как

.

Выполняя аналогичные подстановки найденных неизвестных в вышестоящие уравнения, удается определить все компоненты решения x_n–2. x₂, x₁.

Метод Гаусса даёт точное решение, если все исходные данные точны и все вычисления производятся точно. На практике, при выполнении вычислений, неизбежно проводятся округления. Ошибка округлений вносит погрешность в решение метода Гаусса. Таким образом, при операциях с округленными десятичными числами метод Гаусса даёт не точное решение x_т системы линейных алгебраических уравнений, а некоторое приближённое решение , где

, .

Степень отличия приближённого решения от точного определяется длиной разрядной сетки ЭВМ: чем больше разрядов в ней учитывается, тем это отличие меньше.

При определении погрешности вектора решения необходимо учитывать, что его компоненты в общем случае могут иметь разную погрешность. В силу этого погрешность решения принято оценивать по его норме

или или

,

где двойные модульные скобки обозначают норму вектора.

Для определения величины погрешности полученного решения на практике используют следующий алгоритм вычисления её главной части. Сначала по имеющемуся решению пересчитывается вектор правых частей системы

,

а затем посредством повторного решения системы уравнений

находится вектор погрешностей . С его помощью определяется как реальная абсолютная погрешность полученного решения

или или ,

так и его относительная погрешность

.

Величина погрешности решения системы уравнений, получаемого методом Гаусса, зависит от двух основных факторов. Первый из них, как это было сказано выше – длина разрядной сетки, используемой в процессе вычислений, а второй – обусловленность матрицы системы. Обусловленность матрицы можно рассматривать как степень её чувствительности к накоплению ошибок округления в процессе преобразований. Снижение величины погрешности решения может быть достигнуто увеличением длины разрядной сетки. Повлиять на величину погрешности посредством изменения степени обусловленности матрицы системы невозможно, так как она является одной из её характеристик и изменение степени обусловленности матрицы требует изменения самой матрицы.

Метод Гаусса с выбором главного элемента

Основное накопление погрешностей решения в методе Гаусса происходит на этапе приведения системы к треугольному виду. Механизм накопления основной части этой погрешности заключается в привнесении погрешностей вычисления коэффициентов ведущего уравнения в коэффициенты последующих уравнений при исключении каждого очередного неизвестного. Анализ соотношений метода Гаусса показывает, что погрешности вычисления коэффициентов ведущего уравнения привносятся в соответствующие коэффициенты всех последующих уравнений в долях отношений этих коэффициентов к диагональному (главному) коэффициенту ведущего уравнения. В связи с этим привносимая погрешность будет тем меньше, чем меньше доли этих отношений. Поэтому в методе Гаусса с выбором главного элемента на каждом шаге исключения i-го неизвестного в качестве ведущего используетсяуравнение (с i-го по n-ое), содержащее максимальный по модулю коэффициент – главныйэлемент. При этом в качестве него может использоваться один из коэффициентов i-го столбца, i-ой строки или всей непреобразованной части матрицы. Первый подход называется выбором главного элементапостолбцу, второй – по строке, а третий – по всейматрице. При использовании двух последних происходит перестановка столбцов матрицы системы. Это приводит к изменению порядка следования компонент вектора неизвестных и требует его восстановления по окончании процесса решения.

В качестве примера применения метода Гаусса можно рассмотреть задачу отыскания решения следующей системы уравнений

при ограничении разрядной сетки вычислений до трёх знаков и с оценкой погрешности получаемого решения.

Поставленная задача будет решаться методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцу.

а. Выбор главного элемента среди элементов первого столбца

.

б. Нормировка первого уравнения

.

в. Исключение элементов первого столбца

.

г. Выбор главного элемента среди элементов второго столбца второго и третьего уравнений

.

д. Нормировка второго уравнения

.

е. Исключение элементов второго столбца

.

ё. Нормировка последнего уравнения

.

,

.

В итоге получено решение системы уравнений

.

3. Погрешность найденного решения.

а. Пересчёт вектора правых частей системы

б. Формирование системы уравнений, определяющей погрешности решения

,

в. Решение системы относительно погрешностей оно выполняется аналогично пунктам 1 и 2. Прямой ход (пункт 1) даёт следующую систему с верхней треугольной матрицей

,

а обратный ход позволяет получить решение

.

г. Оценка абсолютной и относительной погрешностей решения системы линейных алгебраических уравнений

,

,

.

Реализация описанного метода без нахождения погрешности решения в рамках программы Excel приведена на рис.1.

О выборе метода решения систем уравнений

Каждый из рассмотренных методов имеет свои достоинства и недостатки. В частности, метод Гаусса позволяет получить решение за конечное число шагов. Для этого требуется выполнить n(n 2 + 3n – 1)/3 операций умножения и деления и n(n – 1)(2n + 5)/6 операций сложения и вычитания, количество которых при больших порядках системы (n > 100) можно принять равным n 3 /3 в обоих случаях. Однако его методические ошибки, связанные с размером разрядной сетки вычислений, резко нарастают с увеличением порядка системы и не позволяют применять его для систем высоких порядков без использования специальных приёмов.

Итерационные методы позволяют получать решение систем бóльшего порядка. Для выполнения каждой итерации с их помощью необходимо выполнить n(n + 1) операций умножения и деления и столько же операций сложения и вычитания. При больших порядках системы уравнений (n > 100) их количество можно принять равным n 2 . Из сравнения трудоёмкости итерационных методов и метода Гаусса следует оценка, которой можно руководствоваться при окончательном выборе метода решения системы при необходимости его многократного нахождения. Если количество итераций, требуемое для получения решения системы итерационными методами, не превышает n/3, то выгоднее применять их, а не методы типа Гаусса. Однако здесь следует помнить, что итерационные методы требуют, чтобы матрица системы обладала определёнными свойствами, обеспечивающими их сходимость. Необходимо также отметить, что выполнение этих требований часто не гарантирует высокой скорости их сходимости.

📹 Видео

Решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в Excel МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса 4x4Скачать

Математика это не ИсламСкачать

12. Решение систем линейных уравнений методом ГауссаСкачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Метод Гаусса решения систем линейных уравненийСкачать

Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравненийСкачать

Система линейных уравнений. Общее решение. Метод ГауссаСкачать

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать

Решение систем линейных уравнений, урок 4/5. Метод ГауссаСкачать

Общее, частное, базисное решение системы линейных уравнений Метод ГауссаСкачать

решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

День студента мехмата МГУ #мгу #умскул #физика #математика #учеба #подготовкаогэ #подготовкакегэСкачать

Линейная алгебра, Матрицы: Метод Гаусса. Высшая математикаСкачать

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЕГЭ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать

метод Гаусса СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ решение СЛАУСкачать