Квадратные уравнения в физике задачи

Вы будете перенаправлены на Автор24

Видео:Алгебра 8 класс (Урок№29 - Решение задач с помощью квадратных уравнений.)Скачать

Общая теория решения задач при помощи уравнений

Перед тем, как перейти к конкретным видам задач приведем сначала общую теорию для разрешения различных задач с помощью уравнений. Прежде всего к уравнениям сводят задачи в таких дисциплинах как экономика, геометрия, физика и многих других. Общий порядок для решения задач при помощи уравнений заключается в следующем:

• Все искомые нами величины из условия задачи, а также какие либо вспомогательные обозначаются удобными для нас переменными. Чаще всего этими переменными выступают последние буквы латинского алфавита.
• Используя данные в задачи числовые значения, а также словесные соотношения составляется одно или несколько уравнений (в зависимости от условия задачи).
• Разрешают полученное уравнение или их систему и выкидывают «не логичные» решения. К примеру, если надо найти площадь, то отрицательное число, очевидно, будет посторонним корнем.
• Получаем окончательный ответ.

Далее будем рассматривать конкретные задачи, уравнения для которых получаются квадратными.

Видео:Решение задач с помощью квадратных уравнений. Алгебра, 8 классСкачать

Пример задачи в алгебре

Здесь мы приведем пример задачи, сводящейся к квадратному уравнению без опоры на какую-либо конкретную область.

Найдите два таких иррациональных числа при сложении квадратов которых будет получаться пятерка, а при их обычном сложении друг с другом тройка.

Обозначим эти числа буквами $x$ и $y$. По условию задачи довольно легко составить два уравнения $x^2+y^2=5$ и $x+y=3$. Видим, что одно из них является квадратным. Для нахождения решения нужно решить систему:

Вначале выражаем из второго $x$

Подставляя в первое и производим элементарные преобразования

Мы перешли к решению квадратного уравнения. Сделаем это с помощью формул. Найдем дискриминант:

Найдем вторую переменную.

Для первого корня:

Для второго корня:

Так как последовательность чисел нам не важна получаем одну пару чисел.

Готовые работы на аналогичную тему

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Пример задачи в физике

Рассмотрим пример задачи, приводящейся к решению квадратного уравнения в физике.

Вертолет, летящий равномерно в безветренную погоду имеет скорость $250$ км/ч. Ему необходимо со своей базы долететь до места пожара, которое находится в $70$ км от нее и вернуться обратно. В это время ветер дул в сторону базы, замедляя движение вертолета к лесу. Из-за чего обратно до базы он добирался на 1 час раньше. Найдите скорость ветра.

Обозначим скорость ветра через $v$. Тогда мы получим, что в сторону леса вертолет будет лететь с реальной скоростью, равной $250-v$, а обратно его реальная скорость будет составлять $250+v$. Посчитаем время на путь туда и на путь обратно.

Так как обратно до базы вертолет добирался на $1$ час раньше, будем иметь

Приведем левую часть к общему знаменателю, применим правило пропорции и произведем элементарные преобразования:

Получили квадратное уравнение, для решения данной задачи. Решим его.

Будем решать его с помощью дискриминанта:

Уравнение имеет два корня:

Так как мы искали скорость (которая не может быть отрицательна), очевидно, что первый корень лишний.

Видео:Как решать квадратные уравнения. 8 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Пример задачи в геометрии

Рассмотрим пример задачи, приводящейся к решению квадратного уравнения в геометрии.

Найдите площадь прямоугольного треугольника, который удовлетворяет следующим условиям: его гипотенуза равняется $25$, а катеты по длине относятся как $4$ к $3$.

Для того, чтобы найти искомую площадь нам нужно найти катеты. Отметим одну часть катета через $x$. Тогда выражая через эту переменную катеты получим что их длины равняются $4x$ и $3x$. Таким образом, из теоремы Пифагора мы можем составить следующее квадратное уравнение:

(корень $x=-5$ можно не рассматривать, так как катет не может быть отрицателен)

Получили, что катеты равны $20$ и $15$ соответственно, то ест площадь

Видео:Решение задач с помощью квадратных уравненийСкачать

Интегрированный урок (математика + физика) по темам «Квадратные уравнения» и «Реактивное движение»

Презентация к уроку

Посвящается году космонавтики

Урок посвящён году космонавтики и совмещает обобщение темы «Квадратные уравнения» с темой «Реактивное движение». Эти две темы близки прежде всего тем, что графиком квадратичной функции является парабола, а ракета же при своём полёте описывает путь, напоминающий параболу.

Цели урока:

1. обобщение и систематизация изученного материала;
2. формирование умений применять знания в комплексе с решением различной сложности задач, требующих привлечения сведений из различных разделов школьного курса физики;
3. воспитание чувства коллективизма, патриотизма учащихся.

Оформление: портреты русского учёного К.Э.Циолковского, главного конструктора ракетно-космических систем академика С.П.Королёва и космонавтов (Ю.А. Гагарина, А.Н. Николаева и др.) (Приложение 3).

Оборудование: «бортовые журналы» полёта (т.е. тетради и дневники).

Использованная литература:

1. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений /Макарычев Ю.Н. и др., – М.: Просвещение, 2010. – 288с.
2. Физика: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / С.В. Громов, Н.А. Родина. – 3-е изд. –2001. – С. 31-37.
3. Енохович А.С. Справочник по физике и технике: учеб. Пособие для учащихся. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Просвещение, 1989.– С. 69-85.
4. Первопроходцы космоса. Андриян Николаев / Сост.: В.А. Иванова, А.А. Парпара, П.Р. Попович. – Чебоксары: Чуваш. книжн. изд-во, 1989. – 302с.

Ход урока

I. Постановка перед учащимися учебной проблемы

– Ребята, в жизни чувашского народа произошло знаменательное событие. Какое? Сейчас узнаем. В помощь я прочту вам строчки из стихотворения Петра Градова (Слайд 1):

Здесь тебя глубоко уважают,
Здесь земляк ни один не забыт.
Как Василий Иваныч Чапаев,
Ты в родной стороне знаменит.
Андриян!
Так тебя называют в Чувашии,
И улыбкою светится взгляд.
Андриян!
И фамилию можно не спрашивать
И понятно о ком говорят.

Сегодняшний урок мы посвятим году космонавтики. Используя наши знания по теме «Квадратные уравнения», узнаем некоторые интересные факты из космической биографии Андрияна Николаева (Слайд 2). Для проведения урока класс разделим на группы:

а) центр подготовки космонавтов (первый ряд);
б) экипаж космического корабля «Восток-3» (второй ряд);
в) центр управления полётом (третий ряд).

(Каждый ряд получает свой бортовой журнал, где будет отмечаться, кто как отвечал).

Итак, «Поехали!» (Слайд 3).

II. Устные упражнения

Но прежде чем отправиться в космос, экипажу нужно много и упорно тренироваться, чем мы сейчас и займемся. (Слайд 7).

В начале 1959 года под председательством академика М.В. Келдыша состоялось совещание, на котором вопрос о полете человека обсуждался уже вполне конкретно, вплоть до того: «А кому лететь?» [4, с. 86]. А кому, мы узнаем из следующей задачи.

Задача. (Слайды 8, 9).«Для такого дела, – сказал тогда Королев, – лучше всего подготовлены летчики: возраст не более лет, рост не более см, вес – до * кг». Комиссии было предложено более кандидатур, но пройти удалось лишь кандидатам. В ходе тренировок была сформирована группа в составе ()2 человек: Варламов, Гагарин, Карташов, Николаев, Попович, Титов. Скоро в этом составе произошли изменения. Вместо отчисленного по болезни Карташова в шестерку был введен Нелюбов. Вместо Варламова – Быковский.

(Так как данную задачу выдвинул центр управления полетом, то он и следит за правильностью ответа).

III. Устные вопросы

(Слайд 10). «После организации группы подготовки к полетам Королев стал больше уделять внимания обучению космонавтов, приезжал в Звездный городок, осматривал тренажеры, беседовал с космонавтами» [4, с. 87]. Мы тоже сейчас побеседуем с экипажем.

Вопросы (Слайд 11). (Проверяют задание первый и третий ряды).

IV. Решение задач

(Слайд 12). «Неплохо, – подвел итог Сергей Павлович, – на первых порах неплохо, но надо думать, что делать дальше. Без «заделов» нужного хода вперед не получится. Нам с вами предстоит большая работа. И чем дальше, тем работы будет больше» [4, с. 92].

– Ребята, нам тоже предстоит большая работа.

1. (Слайд 13). «Первая группа проходила положенные испытания на различных стендах. В декабре эти космонавты провели на тренажере зачетные тренировки… Наконец на 17-18 января 1960 года были назначены экзамены «шестерке». Первый день сдавали «практику» – в тренажере проверялось умение управлять кораблем» [4, с. 92].

А мы же сейчас, ребята, проверим ваше умение решать квадратные уравнения. Пусть это было экзаменом не только для космонавтов, а также будет экзаменом для наших центров подготовки и управления.

(Ученикам раздаются карточки с приведенными квадратными уравнениями и с кодами к ним: х1 – наименьший корень, х2 – наибольший корень. При решении уравнений применяется теорема Виета. Из ответов квадратных уравнений можно нарисовать космическую ракету).

Карточки с уравнениями (Приложение 1 или Слайды 14-17).

р 2 — 11р + 10 = 0

По этим расчетам конструкторы из центра подготовки строят на доске ракету (Приложение 2). В это время другие ученики изучают Слайд 18 и отвечают на вопрос: Какую температуру должна выдержать вся эта конструкция? (Ответ: Высокую.В термосфере (от 80 до 600 км от Земли) температура возрастает с увеличением высоты и достигает очень больших размеров (свыше 1000 °С).

2. (Слайд 19)Всё интенсивнее становились тренировки… Нагрузки возрастали. Космонавты тихо роптали. «Будущему космонавту-3 предстояло пройти исследование в термокамере» [4, с. 180].

Задача. (Слайд 20) Один из корней данного уравнения равен Т=-90. Найдите коэффициент t и второй коэффициент уравнения T 2 +20T-70t=0, где t – продолжительность пребывания Андрияна Николаева в термокамере перед стартом (в минутах), Т – температура в термокамере (в °С).

Ответ: (слайд 20).1,5 часа пробыл при температуре +70 °С (сверяется по тексту [4, с. 180]).

3. «На следующий день был экзамен по теории» (слайды 22, 23) [4, с.92].Давайте и мы обратимся к теории. Вспомним тему из курса физики тему «Реактивное движение».

4. Физкультминутка (Музыка песни «Пора в путь дорогу»)

Мы немножко подустали,
И поэтому все встали,
Высоко так подтянулись,
Раз нагнулись, два нагнулись.
Все тетрадки, ручки взяли
И к компьютерам пошли.
Сейчас у нас предстоит небольшое тестирование.

5. Тестирование на компьютере.

6. Подготовка к полету подходит к концу. Космический корабль построен и смотрит в небо (Чертёж, построенный по координатам на доске и слайд 24). (После чего учитель знакомит учащихся с некоторыми техническими характеристиками ракеты-носителя космического корабля «Восток-3») (слайд24):

Полёты ракет основаны на принципе реактивного движения. Реактивное движение − это движение тела, возникающее при отделении от него некоторой его части. Как известно из химии, горение топлива представляет собой бурно протекающий процесс окисления. Поэтому для горения необходим кислород (окислитель). В авиационных реактивных двигателях этот кислород берется из окружающего воздуха. Ракетные же двигатели должны работать и в верхних слоях атмосферы, где кислорода очень мало, и в космическом пространстве, где его вообще нет. По этой причине, помимо баков с горючим (например, с керосином), на ракетах размещают и значительные запасы окислителя. С помощью специальных насосов или под давлением сжатого газа горючее и окислитель подаются в камеру сгорания. Вступая в химическую реакцию между собой, компоненты топлива воспламеняются и сгорают. Истечение продуктов сгорания происходит через сопло специальной формы. Львиную долю от всей массы ракеты на старте должна составлять именно масса топлива. Полезная же нагрузка по сравнению с ней должна иметь очень малую массу.

По мере истечения рабочего тела освободившиеся баки, лишние части оболочки и т.д. начинают обременять ракету ненужным грузом, затрудняя ее разгон. Поэтому для достижения космических скоростей применяют многоступенчатые ракеты. Сначала в таких ракетах работают лишь блоки первой ступени. Когда запасы топлива в них кончаются, они отделяются, и включается вторая ступень; после исчерпания в ней топлива она также отделяется, и включается третья ступень. Находящийся в головной части спутник или какой-либо другой космический аппарат укрыт головным обтекателем, обтекаемая форма которого способствует уменьшению сопротивления воздуха при полете ракеты в атмосфере земли.

7. Далее дело берет в свои руки центр управления. Взревели двигатели, и корабль «Восток-3», преодолев земное притяжение, 11 августа 1962 г. вышел в открытый космос.

Задача. (слайд 25)Сколько времени пробыл Николаев первый раз в космосе и сколько оборотов он совершил вокруг Земли? Ответить на эти вопросы и поможет следующее уравнение: х 2 -95х+64=0, где t=-(х₁+х₂) – время (в часах), n=х₁*х₂ – число оборотов. (Используется теорема Виета).

Ответ: 95 часов, 64 оборота.

8. Задача. (слайд 26) На какой средней высоте прошел полет А. Николаева? Один из корней данного уравнения поможет ответить на этот вопрос: h 2 -251h+250=0. (Выполнить устно, используя свойства корней квадратного уравнения).

9. Задача. (слайд 27) Какой путь прошел корабль «Восток-3»? Используются формула , где , и результат предыдущей задачи. (При вычислении применяется калькулятор – пульт управления).

Ответ: 2 672 768 км.

Ответы можно сверить по отрывку из речи Андрияна Николаева на митинге на Красной площади » [4, с.109]: (слайд 28) «Космический корабль «Восток-3» находился в полете почти четверо суток и совершил более 64 оборотов вокруг земного шара. Корабль прошел путь свыше 2 млн. 600 тыс. километров, превысив почти в 7 раз расстояние от Земли до Луны». Здесь также можно вспомнить темы «Стандартный вид числа», «Относительная погрешность», вычислить расстояние от Земли до Луны и после его сверить по справочнику.

10. (слайд 29) «Готовился новый старт. По замыслу руководителей он должен был стать самым продолжительным по времени и самым результативным в исследовательской деятельности. Утвержден экипаж: командир космического корабля «Союз-9» А.Г. Николаев, бортинженер В.И. Севастьянов. Всё уже готово к многодневному полёту. Всё проверено, всё отлажено» [4, с. 106].

Но тут случилось непредвиденное, из-за чего второй полёт А. Николаева чуть не сорвался. Что же могло произойти?

Задание.Из учебника [1] подбираются дробно-рациональные уравнения – это №№592 (ж), 593 (е), 595 (а): (слайд 30)

x+2=;

;

.

По ответам уравнений, используя следующую таблицу, можно прочитать слово «щука» (слайд 31).

Видео:КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ дискриминантСкачать

План-конспект урока математики и физики «Применение квадратных уравнений при решении физических задач»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ – ЛИЦЕЙ № 2

Г. АЛЬМЕТЬЕВСКА РЕСПУБЛИКИ ТАТАРСТАН

РЕГИОНАЛЬНОЕ СОВЕЩАНИЕ РУКОВОДИТЕЛЕЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ ПО ТЕМЕ «ОПЫТ РАБОТЫ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ УЧРЕЖДЕНИЙ С ОДАРЕННЫМИ ДЕТЬМИ. ПРОФОРИЕНТАЦИЯ ШКОЛЬНИКОВ»

План-конспект урока математики и физики

Тема: Применение квадратных уравнений при решении физических задач

Класс: 8Е
учитель математики

Горбунова Нина Вячеславовна;

учитель математики и физики

Домнина Марина Николаевна

Интегрированный урок по математике и физике по теме:

Применение квадратных уравнений при решении физических задач

способствовать приобретению умений решать физические задачи с помощью квадратных уравнений.

способствовать нахождению приемов решения физических задач;

проверить усвоение учащимися физических формул для расчета силы тока, напряжения, сопротивления при различном соединении проводников.

способствовать нахождению применения свойств квадратичной функции в других сферах науки и их взаимосвязь с математикой и физикой.

способствовать развитию монологической речи с использованием физических и математических терминов;

способствовать формированию и развитию самостоятельности учащихся.

пробудить интерес к истории математики и физическим явлениям;

способствовать расширению кругозора через информационный материал;

способствовать развитию аккуратности при решении задач в тетради, оформлении классной доски, доброжелательности.

Геометрический материал, наглядный методический материал.

Компьютер, проектор, интерактивная доска.

Мяч, катушка индуктивности.

Методы: 1. Словесный.

3. Индивидуальный и групповой.

Организационный этап (ознакомление с планом урока) – 1 мин.

1 этап — актуализация знаний по математике (работа с карточками) — 3мин.

2 этап – демонстрация полета мяча — 1 мин.

3 этап — индивидуальная самостоятельная работа по решению задачи — 8 мин.

4 этап – физкультминутка (демонстрация катушки индуктивности) — 2 мин.

5 этап — актуализация знаний по физике (заполнение карточек) – 3 мин.

6 этап – совместное решение задачи – 5мин.

7 этап – презентация – 2 мин.

8 этап – демонстрация решения задачи повышенной сложности – 3 мин.

Подведение итогов урока. Домашнее задание – 2 мин.

«В каждой естественной науке

заключено столько истины,

сколько в ней есть математики»

Организационный момент урока — 1 мин.

Актуализация знаний по математике (работа с карточками) — 3мин.

Учащиеся по группам получают задания на карточках. Отвечают устно по выбору учителя.

Что такое квадратное уравнение?

От чего зависит наличие корней квадратного уравнения?

Назовите 2 формулы корней квадратного уравнения.

(Ответ : х_1,2= , если b -нечетное число х_1,2=)

Задана функция: y =-2х 2 +4х-16

Ука жите направление ветвей параболы.

Вычислите координаты вершины параболы.

Как найти точки пересечения графика данной функции:

а) с осью ординат;

б) с осью абсцисс?

Кто впервые ввел понятие квадратного уравнения?

(Ответ: Впервые ввел и исследовал термин квадратного уравнения в 1313 году советск ий ученый Квадрат Олег Лаврентьевич . Однако, как ни старался, Квадрат О. Л . не смог стать свидетелем всеобщего признания его работы. По обидному совпадению, уравнение было признанно в день рождения автора 13 января 1414 года — всего лишь через год после смерти знаменитого в настоящее время человека. В дальнейшем теория квадратного уравнения развивалась последователями Квадрата О.Л.)

III . Демонстрация полета мяча — 1 мин.

Учитель: Скажите по какой траектории (с математической точки зрения) движется мяч?

Ответ: по параболе

Индивидуальная самостоятельная работа по решению задачи — 8 мин.

Учащимся предлагается физическая задача, которая решается с помощью квадратного уравнения. Учащиеся делятся на два варианта, каждый вариант должен решить задачу своим способом: алгебраическим и графическим.

Задача: Мяч брошен вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. Через сколько секунд он окажется на высоте 60 м.

Решение: Из курса физики известно, что высота, на которой окажется мяч через t секун д определяется по формуле: h = V ₀ t — gt 2 /2

Дано : V ₀=40 м/с Найти: h

I способ: 60=40 t -5 t 2

=400-300=100 t ₁ ==6 (c)

t ₂= =2 ( c )

Ответ: на высоте 60 м от земли мяч окажется через 2с и через 6с.

II способ: -5 t 2 +40 t =60

h ( t )=-5 t 2 +40 t O ( m ; n ) m = =4, n = -80+160=80

Ответ: на высоте 60 м от земли мяч окажется через 2с и через 6с.

Физкультминутка (демонстрация катушки индуктивности) — 2 мин.

Двое учащихся показывают «Фокус»: загорание лампы, поднесенной к катушке, искра.

Учащиеся: Данная установка собрана из двух резисторов, трех конденсаторов, двух самодельных катушек и транзистора и носит название катушка Тесла. Как вы убедились с ее помощью можно передавать энергию на расстояние без проводов. А также может такие установки помогут в будущем «заделать» озоновую дыру, так как при ее работе выделяется озон.

Актуализация знаний для решения задачи по физике с помощью квадратного уравнения

А) На интерактивной доске выведены две схемы. Прочтите их.

Б) Ниже – описание этих схем. Необходимо совместить стрелками законы последовательного и параллельного соединений.

В) Запишите формулу закона Ома и формулу мощности электрического тока.

Решение физической задачи с помощью квадратного уравнения

Один учащийся выходит решать задачу у доски, остальные в тетрадях.

Задача: Два резистора соединяют сначала последовательно, затем параллельно и дважды подключают к источнику постоянного напряжения. В первом случае в цепи рассеивается мощность Р₁ =4 Вт, во втором – Р₂=18 Вт. Найдите мощность электрического тока в каждом резисторе в случае поочередного подключения резисторов к тому же источнику.

Решение: В первом случае сопротивление цепи равно R ₁ + R ₂ (соединение последовательное). Мощность, рассеиваемая в цепи, U 2

Р₁ =

Во втором случае сопротивление цепи равно (соединение параллельное). Мощность, рассеиваемая в цепи,

Р₂=

Разделив второе равенство на первое, получим квадратное уравнение для отношения z = сопротивлений

Z 2 – ( — 2) z + 1 = 0,

корни которого находим по формуле

z _1,2 = ( — 2) ±= ,

z ₁ = 2, z ₂ = 0.5. Оба корня имеют физический смысл – одно из сопротивлений вдвое больше другого. Для определенности будем считать R ₁ = 2 R ₂. Тогда из равенства

Р₁ = = =

Находим мощности, рассеиваемые на резисторах, в случае их поочередного подключения к источнику постоянного напряжения,

Р₁ * = = = Р₁ = ·4 = 6 Вт, Р₂ * = = 3 Р₁ = 3·4 = 12 Вт

Ответ: 6Вт, 12 Вт

Презентация «Применение параболы в физике, технике, баллистике»

Учащиеся готовят доклад «Применение параболы в физике, технике, баллистике»

I Х. Задача повышенной сложности

Наиболее сильные учащиеся на предыдущем уроке получили индивидуальное задание. Решение, которого демонстрирует один из них.

Задача: Сколько корней имеет уравнение

Решение: Раскроем скобки

Х 2 -201х+10100+х 2 -203х+101*102+х 2 -202х+101200=0

3х 2 -606х+С=0, С  0

Так как а=3, то ветви параболы направлены вверх.

Чтобы уравнение имело 2 корня необязательно считать D , важно определить, где находится вершина параболы относительно оси (ОХ).

Вершина параболы О ( m ; n ) m =

( x -100)*( x -101)+( x -101)*( x -102)+( x -102)*( x -100)=0

Значит парабола пересекает ось х в двух точках, т.е. данное уравнение имеет 2 корня.

Подведение итогов урока.

Домашнее задание: задача № 11 из ЗФТШ

💡 Видео

5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать

ТМОЛ Летняя олимпиада по физике 9 класс.Скачать

Решение задач по физике и химии с применением знаний о квадратных уравнениях. STEAM урокСкачать

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Практическая часть. 1ч. 8 класс.Скачать

Урок 98 Решение текстовых задач с помощью квадратных уравнений (8 класс)Скачать

Алгебра 8. Урок 12 - Задачи на составление дробно-рациональных уравнений (Часть 1)Скачать

Быстрый способ решения квадратного уравненияСкачать

Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Алгоритм решения задач с помощью систем уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Как быстро решать квадратные уравнения #егэ2024Скачать

Квадратное уравнение. 8 класс.Скачать

Квадратное уравнение. Практическая часть. 2ч. 8 класс.Скачать

Урок 147. Задачи на основное уравнение МКТ идеального газаСкачать