Квадратные уравнения мотивация к изучению

Данная работа поможет учителю при изучении темы алгебры 8 класса «Решение квадратных уравнений по формуле», в ней приведены возможные способы построения уроков, рассмотрен системно деятельностный подход на уроке математики.

Видео:Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать

Скачать:

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Предварительный просмотр:

Панина Вероника Владимировна

«Пути активизации познавательной деятельности школьников при изучении темы «Формулы корней квадратных уравнений» курса математики 8 класса»

1. Методика преподавания темы «Формулы корней квадратных уравнений»

в курсе алгебры 8 класса…………………………………………………………. 4

1.1. Тема «Формулы корней квадратных уравнений» в курсе алгебры 8 класса……………………………………………………………………………… 4

1.2. Применение системно-деятельностного подхода на уроках . 6

2. Уроки по теме «Решение квадратных уравнений по формуле» …………11

2.1. Урок изучения и первичного закрепления нового материала …………11

2.2. Комбинированный урок . …………………………………….….16

2.3. Урок проверки, оценки знаний, умений и навыков учащихся . …. 19

Список использованной литературы…………………………………………. 22

Умение решать квадратные уравнения по формуле корней относится к числу важнейших умений в курсе алгебры 8 класса. И задача учителя — добиться безусловного усвоения формул дискриминанта и корней квадратного уравнения, а также умения применять их при решении конкретных квадратных уравнений каждым учеником. Без этого умения учащиеся не смогут усвоить материал следующих тем; оно служит базой для решения других уравнений и их систем (дробных рациональных, иррациональных, высших степеней) и также необходимо при изучении смежных дисциплин: геометрии, физики

Для формирования умения решать уравнения большое значение имеет самостоятельная работа учащегося при обучении решения уравнений. При изучении любой темы уравнения могут быть использованы как эффективное средство закрепления, углубления, повторения и расширения теоретических знаний, для развития творческой математической деятельности учащихся.

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. Они широко используются для познания естественных законов и служат конкретным практическим целям. Прикладная направленность линии уравнений раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, поскольку он связан с обучением приемам, используемым в приложениях математики. Прикладное значение уравнений, их систем определяется тем, что они являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании.

Поэтому учитель должен найти такие пути активизации познавательной деятельности школьников, которые обеспечат наиболее полное достижение целей урока.

1. Методика преподавания темы «Формулы корней квадратных уравнений» в курсе алгебры 8 класса

1.1. Тема «Формулы корней квадратных уравнений» в курсе алгебры 8 класса

К изучению темы «Квадратные уравнения» учащиеся приступают, уже накопив определенный опыт, владея достаточно большим запасом алгебраических и общематематических представлений, понятий, умений. В данной теме рассматриваются неполные, полные и приведенные квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения учащиеся могут решать, используя формулы сокращенного умножения, вынесение общего множителя за скобки, графическим методом. До изучения темы «Формулы корней квадратных уравнений», полные квадратные уравнения решались либо графически, либо с помощью выделения квадрата двучлена, что вызывает у большинства учащихся затруднения. Поэтому введение формул осознается школьниками как необходимый элемент для облегчения работы.

Для того чтобы решить любое квадратное уравнение, учащиеся должны знать:

· формулу нахождения дискриминанта;

· формулу нахождения корней квадратного уравнения;

· алгоритмы решения уравнений данного вида.

· решать неполные квадратные уравнения;

· решать полные квадратные уравнения;

· решать приведенные квадратные уравнения;

· находить ошибки в решенных уравнениях и исправлять их;

Решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:

· преобразования данного уравнения к простейшим;

· решения уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам .

На тему «Формулы корней квадратных уравнений» программой отведено 3 часа. Каждый учитель в зависимости от различных факторов: школьного расписания, степени подготовленности учащихся, с учетом того, каким по счету будет разрабатываемый урок, формулирует образовательные цели путем конкретизации основных знаний, умений, навыков и предполагаемых уровней их формирования на уроке.

Реализация воспитательных целей осуществляется комплексно и непрерывно на каждом уроке и включает воспитание умственное (формирование логического, абстрактного, системного мышления и др.), нравственное (дисциплинированность, организованность), эстетическое (например, аккуратность), физическое (способствовать поддержанию на высоком уровне общей работоспособности для учения, создание психологического комфорта на уроке и т.д.).

К развивающим целям на уроках по данной теме можно отнести развитие памяти учащихся; умение преодолевать трудности при решении математических задач, развитие познавательного интереса, ознакомиться с историей создания математических методов решения практических задач, с представлением о формуле как алгоритме вычисления.

Поставленные учителем цели влияют на отбор содержания материала учебника, относящегося к теме урока.

При подготовке уроков по теме «Формулы корней квадратных уравнений» с использованием учебника А.Г. Мордковича «Алгебра 8» выделяем все:

— символы и обозначения, запись которых осуществляется с использованием цифр, букв, знаков препинания, черты дроби, знаков операций; новым является обозначение дискриминанта квадратного уравнения и запись формулы корней;

— понятия формулы, уравнения, корня уравнения, понятия «решить уравнение», числа, дроби, тождественного преобразования выражений, равносильных уравнений, квадрата двучлена, квадратного уравнения, коэффициентов квадратного уравнения, дискриминанта, приведенного квадратного уравнения;

— факты, математические предложения и их применение в виде свойств равносильности уравнений, приведение подобных слагаемых, сложение и вычитание дробей, раскрытие скобок, выделения квадрата двучлена, решения неполных квадратных уравнений, алгоритма решения квадратного уравнения по формуле, применение формулы корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом;

— доказательства формул корней квадратного уравнения. Выясняем происхождение, правильную запись и чтение впервые вводимых символов, обозначений, терминов и понятий и при надобности ранее изученных.

Необходимо привести отобранное содержание из учебника и других источников с таким расчетом, чтобы не перегрузить урок и обеспечить усвоение учащимися необходимых знаний и умений в соответствии с поставленными целями.

1.2. Применение системно-деятельностного подхода на уроках

Я считаю, что для активизации познавательной деятельности учащихся желательно использовать на уроках системно-деятельностный подход.

Какие цели ставит перед собой такой урок? Каковы критерии его эффективности?

— Активная мыслительная деятельность каждого ученика в течение всего урока;

— Обеспечение эмоциональной деятельности и оценки ученика к собственным действиям и деятельности других;

— Поддержание интереса к изучаемому материалу;

— Обеспечение самоконтроля учащегося в течение всего урока;

— Наличие самостоятельной работы на уроке;

— Оценка уровня усвоения знаний, рефлексия;

— Достижение целей урока.

На каждом этапе урока учащийся отслеживает свои результаты, оценивает их. На таком уроке нет отметок «два» и «единица». Ученик переживает свои успехи и неудачи, что способствует включению мотивационных центров саморегуляции поведения (по Л.С. Выготскому). Учащийся работает в течение всего времени занятия: он проверяет домашнюю работу, выполняет устный счет, слушает и принимает участие в объяснении нового материала, работает на этапе закрепления, выполняет самостоятельную работу. При этом на каждом этапе работы оценивает свои действия с занесением результата в рабочую таблицу оценками, критерии которых даны учителем. Ученик имеет возможность изменить свой результат в лучшую сторону в течение всего урока. В конце урока обязательно подводится итог.

Оптимальный результат, когда на адаптивном уроке все учащиеся получают отметки. Объективность оценок подтверждается выполнением самостоятельной работы, для которой на том же уроке проводится самопроверка или взаимопроверка, или проверка учителем.

Триединые дидактические цели, а также все этапы урока сохраняются. Для учителя наиболее трудным является организация продуктивной работы мысли ученика в процессе изучения нового материала. Проведение этапов закрепления и самостоятельной работы требуют тщательной методической подготовки. Учителю необходимо также разработать точные критерии оценки результатов деятельности учащихся, спланировать не только собственную деятельность, но и работу каждого ученика.

Рассмотрим, как решается эта задача на конкретных примерах.

1 этап. Проверка домашнего задания

Можно использовать самопроверку, взаимопроверку, проверку по эталону (при этом на доске или экране можно дать образец). Если работа выполнена самостоятельно и без ошибок, то в таблицу выставляется отметка «5», если есть погрешности или ошибка, то работа оценивается на балл ниже. Учащийся может исправить или отметить свои ошибки.

2 этап. Устная работа (математический диктант и т. д.)

Ребята считают устно, выписывая в рабочую тетрадь только ответы. Ответы проверяются по эталону или в процессе обсуждения и проговаривания решения. Критерии оценки дает учитель.

3 этап. Изучение нового материала

Необходима активизация внимания учащихся, для чего применяются различные способы подачи нового, в том числе «открытие нового», т.е. применение деятельностного метода по системе Петерсон.

1. Самоопределение к деятельности (организационный момент).

— Включение детей в деятельность (« хочу»)

— Выделение содержательной области («могу»).

1. Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности .

— Подготовка мышления к проектировочной деятельности.

— Организация затруднений в индивидуальной деятельности.

— Фиксация учащимися затруднения (невыполнимость известного способа действий, недостаточность времени).

1. Постановка учебной задачи .

— Выявление того, где и почему возникло затруднение.

— Постановка цели урока, связанной с устранением причины затруднения.

— Формулировка темы урока.

1. Построение проекта выхода из затруднения (открытие детьми нового знания)

— Включение детей в ситуацию выбора учебной задачи.

— Построение нового способа действий.

— Фиксация разрешения учебной задачи.

4 этап. Первичное закрепление

— Решение детьми типовых заданий на новый способ действий.

— Проговаривание способа решения во внешней речи.

Используются приемы комментирования, парная и групповая формы работы, самостоятельная работа с самопроверкой по образцу.

Далее учитель предлагает ученикам выставить оценку в таблицу. Например: « если вы были внимательны, уверены, что поняли материал, справились со всеми заданиями, то поставьте себе «5», далее сообщаются критерии оценивания на «3» и на «4».

5 этап. Самостоятельная работа

— Самостоятельное решение учащимися заданий на новый способ действий.

— Самопроверка по эталону, выявление ошибки.

— Самооценка результата усвоения.

— Организация ситуации успеха.

Самостоятельная работа обязательно проверяется на этом же уроке примерно по той же схеме, что и домашняя работа. Полученные за нее отметки выставляются в таблицу.

6 этап. Включение в систему знаний и повторение

— Выполнение заданий, где новый способ используется как шаг в более общем алгоритме решения.

— Повторение и закрепление учебного материала, имеющего методическую ценность с точки зрения дальнейшего обучения.

7 этап. Рефлексия. Подведение итогов

— самооценка детьми собственной деятельности (что новое узнали, какой метод использовали, успешность выполненных шагов).

— Соотнесение полученных результатов с поставленной целью деятельности.

— Фиксация успешности деятельности и вывод о следующих шагах.

Ученики сообщают, поняли ли они данный материал, где возникли затруднения, выясняют причину. Итоговая оценка выставляется самими учащимися в таблицу. Учитель может собрать тетради и своей подписью подтвердить согласие с выставленной оценкой.

На данную тему отводится, в зависимости от планирования и уровня класса 3-4 урока. Распределить уроки по теме следующим образом:

— урок изучения и первичного закрепления нового материала;

— комбинированный урок (1-2 часа);

— урок проверки, оценки знаний, умений и навыков учащихся по теме.

2. Уроки по теме «Решение квадратных уравнений по формуле»

2.1. Урок изучения и первичного закрепления нового материала

До изучения темы «Решение квадратных уравнений по формуле», учащиеся научились решать неполные квадратные уравнения. Вывод формулы корней квадратного уравнения подготовлен изучением предыдущего пункта, а именно решением уравнений с помощью выделения квадрата двучлена. Следует заметить, что данная тема вызывала затруднения у учащихся.

Новый урок мы начали с устной разминки:

— какое уравнение называется квадратным? Приведите пример.

— назовите коэффициенты квадратных уравнений:

-какие из этих уравнений являются приведенными? Почему?

Что называется корнем уравнения?

Что значит решить уравнение?

Найдите корни уравнений:

Как называются такие квадратные уравнения?

Вспоминаем, что полные квадратные уравнения мы решали графическим способом и способом выделения квадрата двучлена, причем последний способ у большинства учеников вызывал затруднения.Далее я прошу «сильного» учащегося решить квадратное уравнение 5х+3х-8=0,

Запись на доске

Основные этапы решения (устно)

Уравнение не является приведенным, поэтому разделим обе его части на 5;

x 2 +2∙3/10х+(3/10) 2 =(3/10)+8/5,

Выделим удвоенное произведение, для применения формулы квадрата двучлена. Добавим к обеим частям уравнения (3/10) и свободный член перенесем в правую часть;

Выделяем квадрат двучлена, применяем формулу квадрата суммы и преобразуем это уравнение. Получили равносильное уравнение.

х+0,3=1,3 или х+0,3=-1,3,

Определяем количество корней данного уравнения. Уравнение имеет 2 корня. Найдем их.

Какой способ решения полных квадратных уравнений мы применили? Чем он неудобен? Давайте облегчим себе задачу. Решим квадратное уравнение а х 2 +b х +с=0 в общем виде, чтобы получить формулы корней квадратного уравнения, которые можно будет применять при решении любых квадратных уравнений.

Далее учитель проводит тождественные преобразования уравнения, причем дети комментируют каждый шаг учителя, предвосхищая его и вслух повторяя основные этапы решения.

Особое внимание уделяется введению понятия дискриминанта квадратного уравнения и определению его знака, что обуславливает количество корней квадратного уравнения или их отсутствие. А.Г. Мордкович в тексте учебника дает разъяснение происхождения слова дискриминант от латинского discriminan s – различающий и проводит интересную аналогию со словом дискриминация. Формулы дискриминанта и корней выделяются в рамочку и их запись целесообразно сохранить в течение всего урока. Затем важно еще раз выделить основные этапы решения квадратного уравнения с помощью формулы:

1. определить коэффициенты квадратного уравнения,
2. найти дискриминант квадратного уравнения и сравнить его с нулем, сделать вывод о наличии корней,
3. найти корни,
4. записать ответ.

На конкретных примерах нужно показать решение квадратных уравнений и оформление записи решения. Я считаю необходимым на первых уроках обязательное выписывание коэффициентов квадратного уравнения, формул дискриминанта и корней квадратного уравнения для их лучшего запоминания. Алгоритм решения квадратного уравнения по формулам можно оформить в виде плаката и вывесить на стенде или показать в виде слайда через проектор .

Алгоритм решения уравнения

1. Выписать коэффициенты а, b и c .

2. Вычислить дискриминант D по формуле D = b 2 – 4 ac.

4. Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень:

5. Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 3 x 2 + 8 x — 11=0,

3 x 2 + 8 x — 11 = 0

D = 8 2 -4∙3∙(-11)= 196

D  0, уравнение имеет 2корня

Пример 2. Решить уравнение 2 x 2 + 4 x + 7=0

При решении уравнения по образцу, получим D  0,данное квадратное уравнение не имеет корней.

Пример 3. Решить уравнение 4 x 2 — 20 x + 25=0

4 x 2 — 20 x + 25=0

a= 4 , b=- 20 , c= 25

D= (-20) 2 – 4 ∙ 4 ∙ 25 = 400 – 400 = 0.

D= 0 , уравнение имеет 1 корень

Пример 4. Решить уравнение :

б) -9 x 2 + 6 x — 1=0;

в) 2 x 2 — x + 3,5=0

Для решения данных уравнений можно вызвать к доске желающих учащихся. Нужно спросить учащихся, как можно по-другому решить данное уравнение под буквой б) и какой способ решения удобнее.

Учащихся можно ознакомить с записью формул корней квадратного уравнения в общем виде :

К тренировочным упражнениям на закрепление на первый урок можно вынести из задачника [5] задания 25.3. — для отработки умений вычислять дискриминант и устанавливать с его помощью число корней квадратного уравнения. Упражнения 25.5.ав, 25.7.ав, 25.8.ав, 25.10.ав, 25.12. служат для непосредственного применения выведенных формул, Задания 25.15.-25.17.- применение формул в совокупности с ранее изученным материалом. Сильные ученики увидят возможность упрощения данных уравнений, делением или умножением обеих его частей на число. Учителю нужно подчеркнуть, что прежде чем решать уравнение в него необходимо «вглядеться», и если возможно упростить. Работу можно организовать в парах со взаимопроверкой, учитель выступает в роли консультанта. Одновременно с этим по 2 человека можно приглашать к доске для контроля правильности оформления и решения уравнений.

В качестве итога провести фронтальный опрос (рефлексию) использованием ИКТ с самопроверкой.

1.Какое из данных уравнений является квадратным?

2.Назовите старший коэффициент, второй коэффициент и свободный член уравнения

3.Сколько корней имеет квадратное уравнение, если его дискриминант равен нулю, больше нуля, меньше нуля?

4.Назовите формулу дискриминанта квадратного уравнения, формулу корней квадратного уравнения.

5.Какие вопросы у вас возникли при выполнении упражнений? Кто понял данную тему?

При ознакомлении учеников с домашним заданием, можно предложить индивидуальное задание нескольким ученикам в виде сообщения- презентации на тему: «Квадратные уравнения». Перед учениками были поставлены проблемы:

— кем и когда был введен термин «квадратные уравнения»?

— кому впервые удалось сформулировать общее правило решения квадратных уравнений?

— история возникновения квадратных уравнений

— квадратные уравнения в занимательных задачах.

Эти задания направлены на усиление интереса к изучаемому материалу и развитию познавательной деятельности учащихся.

2.2. Комбинированный урок

На втором комбинированном уроке по данной теме я применила адаптивный метод, важнейшим компонентом которого является согласование самооценки и притязаний ученика с его реальными возможностями.

1 этап. В начале урока можно заслушать 1-2 доклада- презентации по теме. Проверка домашнего задания: самопроверка по результатам (готовым ответам), написанным на доске. Самооценка, с занесением в индивидуальную карту урока. Индивидуальные карты урока учащиеся изготовили заранее (в виде таблицы), ее можно выполнить отдельно или поместить в конце рабочей тетради.

Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

Реализация деятельностного метода при изучении темы «Квадратные уравнения»

Разделы: Математика

Современная школа видит свою основную цель в изучении ученика как неповторимой индивидуальности, в создании оптимальных условий для его становления, личностного развития, в поддержке на пути самоопределения и самореализации через образование. Безусловно, все это имеет большое значение для перехода к экспериментированию новых идей и педагогических решений.

Сегодня актуальны такие методики обучения, которые ориентированны на активную самостоятельную деятельность обучающихся, формируют личную позицию, мотивацию учения, предполагают использование и активное освоение различных источников информации[3]. Одним из вариантов такого обучения являются методики, ориентированные на действия.

Шаш Н.Н.[2] сформулировала принципы обучения действием, которые утверждают следующее:

1. Люди учатся только тогда, когда хотят учиться.
2. Люди учатся тогда, когда сталкиваются с трудноразрешимыми проблемами.
3. Обучение – это социальный процесс, процесс сотрудничества.
4. Обучение как изменение поведения начинается тогда, когда мы получаем входные сигналы о результате, порождаемом действием.
5. Обучение часто состоит в переосмыслении того, что уже «известно», а не в приобретении новых знаний и фактов. Устоявшийся образ мыслей может быть потенциальным барьером на пути к изменениям.

Ориентированность на действие предполагает самостоятельное добывание учащимися необходимых знаний в процессе решения определенной проблемы с обязательным выполнением всех фаз полного действия: информирование, планирование, принятие решения, выполнение, контроль и оценка.

Основой обучения методики дидактических задач становится не только самостоятельное планирование учащимися, проведение и контроль деятельности, но и организация ими собственного учебного процесса. Понимание постановки задания, добывание информации и планирование работы, выполнение деятельности, ее контроль и оценка образуют ядро обучения. В центре обучения стоит усвоение базы знаний, необходимой для успешного усвоения учебной деятельности [1].

Например, рассмотрим последовательность фаз такого занятия при изучении темы «Решение квадратных уравнений». Структуру этого урока представим в виде технологической карты (табл.2), указав соответствующие цели (табл.1) и методико-дидактическое обеспечение (МДО) (табл.3).

Таблица 1. Цели урока

Знать

Уметь

Формулу корней квадратного уравнения общего вида

1. Определять последовательность действий при решении квадратных уравнений.
2. Решать квадратные уравнения общего вида.
3. Анализировать выполненную работу.

Практика организации занятий, ориентированных на действие, показывает, что введение новых знаний целесообразно строить по методике дидактических задач. Изучение нового материала начинается с его подачи. Действие начинается с анализа информационной базы, в результате чего учащийся получает задание. Затем планируется ход действий, и выбирается одна из возможных альтернатив действий. Наконец выполняется запланированное действие. Результат действия проверяется весь цикл действия рефлексируется.

Таблица 2. Технологическая карта урока

Этапы занятия

Цели

Время

(мин.)

Содержание деятельности

Формы и методы

1. Постановка темы и целей

Мотивировать учащихся на активную познавательную деятельность

Обоснование значимости рассматриваемого материала в практической деятельности. Формирование целей

2. Постановка задачи

Воспринять и осмыслить задание

Ознакомление с дидактической задачей. Выяснение возможностей разрешения заданной ситуации (лист 1)

Усвоить новую информацию. Знать формулу нахождения корней квадратного уравнения

Работа с информационным листом (справочным материалом) (лист 2)

4. Планирование/ принятие решения

Уметь рационально использовать новую информацию

Составление плана действий (лист 3)

Самостоятельная работа в группах

Уметь составлять алгоритм решения квадратных уравнений; решать квадратные уравнения; анализировать выполненную работу

Определение последовательности действий при решении квадратных уравнений (лист 4); решение уравнений (лист 6); проверка предложенных решений (лист 7); решение дидактической задачи (лист 1)

Работа в группах; индивидуальная работа; фронтальная работа

Проверить полноту и правильность выполнения заданий

Сравнение последовательности действий при решении квадратных уравнений с эталоном (лист 5); выявление собственных ошибок (лист 8); анализ предложенного решения; проверка решения дидактической задачи

Контроль учителя; самоконтроль; фронтальная беседа; взаимопроверка

Уметь оценивать деятельность в соответствии с предложенными критериями

Заполнение оценочного листа (лист 10) и обсуждение достижения поставленных целей

Самооценка; работа в группах

Таблица 3. МДО урока по теме «Решение квадратных уравнений»

Содержание

Лист

Текст дидактической задачи (задание 4)

Информационный лист по теме «Решение квадратных уравнений»

Определение последовательности действий при решении квадратных уравнений (задание 1)

Эталон последовательности действий при решении квадратных уравнений

Примеры для решения (задание 2)

Примеры для проверки (задание 3)

Таблица перевода баллов в отметку

Рассмотрим последовательность фаз приведенного выше урока. Следует отметить, что перед началом занятия класс делится на группы и каждому учащемуся предлагается папка, содержащая МДО, т.е. определенный набор листов формата А4 (здесь мы позволили себе сократить их масштаб)

1. Информация. Занятие начинается с формирования целей (метоплан на доске) и постановки дидактической задачи практического характера (лист 1). Таким образом, через близкую к реальной жизни постановку задания достигается двойная цель. Во-первых, учащиеся видят, с какими требованиями они могут столкнуться в реальной дальнейшей жизни, и, во-вторых, возникает адекватная ситуация запроса необходимых в обучении знаний и умений.

Дидактическая задача

После выпуска из школы ученики обменялись фотографиями. Сколько было учеников, если по свидетельству одного выпускника они обменялись 870 фотографиями?

1. Планирование. Поскольку задание для учащихся является новым и подобрано так, что с помощью имеющихся знаний и умений его решить нельзя, то у них возникает информационный дефицит. Учащиеся запрашивают недостающую информацию, и учитель предоставляет ее в форме информационных листов, фрагмент которого приведен на листе 2, причем эта информация необязательно предлагается в форме каких-либо конкретных листов. Она может быть представлена подобранной литературой, информацией на электронных носителях и т.д. Эти особенности зависят от мастерства учителя и возможностей учащихся. Обучающиеся изучают предложенную им информацию и направляют ее для решения ранее возникшей проблемы.

Информационный лист по теме «Решение квадратных уравнений

Рассмотрим квадратное уравнение общего вида: , где .

(*)

Формулу (*) называют формулой корней квадратного уравнения общего вида.

Выражение называют дискриминантом и обозначают .

Пример. Решить уравнение .

Решение: Здесь , , , тогда .

По формуле (*) находим: , откуда получаем

, .

Ответ: , .

Желаем успехов при изучении данной темы!

1. Принятие решения. В этой фазе занятия планируется дальнейший ход действий для решения дидактической задачи. Число и последовательность учебных этапов определяется так же, как и средства, необходимые для каждого учебного этапа и может быть записано в Лист-планирования (лист 3).

Лист-планирование

Вам необходимо научиться решать квадратные уравнения.
Спланируйте свои действия в соответствии с целями урока.

Как вы действуете?
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________

1. Выполнение. За принятием решения следует воплощение запланированного в конкретные действия. В нашем случае на этой фазе происходит групповое составление алгоритмов решения примеров (лист 4) с подробным и полным решением, которые предлагает учитель в готовом виде на «Информационных листах» или посредством подобранной литературы; индивидуальное выполнение конкретных примеров (лист 6), групповой анализ решения задачи предложенного учителем типа «Найти ошибку в предложенном решении» (лист 7). Завершает этот этап решение дидактической задачи (возврат к листу 1).

Группа 1
Составить алгоритм решения примера 1 из информационного листа 2.

Группа 2
Составить алгоритм решения примера 2 из информационного листа 2.

Группа 3
Составить алгоритм решения примера 3 из информационного листа 2.

Вариант 1

1) ;

2) 4

3) .

Каждый учащийся группы получает свой вариант.

Проверь правильность решения и исправь найденные ошибки.

.

Решение: 1) ; ; .

Ответ: Действительных корней нет.

Каждая группа получает своё задание.

1. Контроль. После выполнения задания наступает этап контроля решения.
2. Оценка. Занятие заканчивается оценкой решения дидактической задачи.

Следует заметить, что фазы «контроль» и «оценка» могут идти параллельно (листы 5 и 8), причем сразу по мере выполнения промежуточных задач заполняется оценочный лист (лист 10). В конце занятия осуществляется перевод полученных баллов в отметку (лист 9).

Вариант 1

1) .

2) Действительных корней нет.

3) ; .

Алгоритм решения квадратных уравнений

2. Вычислить дискриминант(D).

3. По значению дискриминанта (D) определить количество корней и найти их:

3а) если D›0, то уравнение имеет два корня;
3б) если D=0, то уравнение имеет один корень;
3в) если D‹0, то уравнение не имеет действительных корней.

Видео:Квадратные уравнения.Скачать

Методика обучения решению квадратного уравнения

Итоговая практико-значимая работа

«Методика обучения решению квадратного уравнения»

Просмотр содержимого документа
«Методика обучения решению квадратного уравнения»

Государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования Московской области

«Академия социального управления»

кафедра математических дисциплин

Итоговая практико-значимая работа

«Методика обучения решению квадратного уравнения»

слушатель учебного курса

«Особенности методики обучения математике в условиях новой формы итоговой аттестации за курс основной школы»

учитель математики МОУ «СОШ№4

имени Героя Советского Союза Ф.Т. Жарова г. Шатуры»

Шатурского муниципального района Московской области

Куликова Ольга Александровна

Руководитель курса: к.п.н., доцент кафедры математических дисциплин Е.Л. Мардахаева

ГЛАВА 1. Методические аспекты организации обучения в условиях новой формы итоговой аттестации в основной школе.

§1.Логико-дидактический анализ темы «Методика обучения решению квадратного уравнения».

§ 2. Логико-дидактический анализ КИМов ОГЭ, анализ заданий КИМов ОГЭ по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения».

§ 3. Методические рекомендации по обучению учащихся решению задач с параметром.

3.1.Подборка задач с параметром по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения».

ГЛАВА 2. Проектирование системной работы по подготовке учащихся к итоговой аттестации.

§ 4. Краткая характеристика программного обеспечения Microsoft PowerPoint.

§ 5. Материал к уроку «Решение квадратных уравнений» с использованием программного обеспечения Microsoft PowerPoint.

§ 6. Методические рекомендации к использованию материала к уроку «Решение квадратных уравнений».

§ 7. Подборка задач по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения» из открытого банка.

§ 8. Методические рекомендации по обучению учащихся решению задач по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения», профилактике возможных затруднений и ошибок.

Актуальность. Перемены, происходящие в современном обществе, требуют ускоренного совершенствования образовательного пространства, определение целей образования, учитывающих государственные, социальные и личностные потребности и интересы. В связи с этим приоритетным направлением становится обучения математике в условиях новой формы итоговой аттестации за курс основной школы.

Цель итоговой практико-значимой работы: «Разработать систему подготовки учащихся к итоговой аттестации в основной школе на примере темы «Методика обучения решению квадратного уравнения»

Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач.

1. Выявить теоретические основы обучения теме «Методика обучения решению квадратного уравнения».

2. Выполнить отбор средств обучения теме «Методика обучения решению квадратного уравнения», в том числе средства ИКТ.

3. Разработать методические рекомендации по использованию выбранного программного средства при изучении темы «Методика обучения решению квадратного уравнения».

4. Отобрать систему задач по теме «Квадратные уравнения», в том числе задач с параметром, для организации подготовки к итоговой аттестации.

5. Разработать методические рекомендации по использованию отобранной системы задач в образовательном процессе.

Решение поставленных задач потребовало использования следующих методов исследования: анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы по проблеме исследования, учебников и учебных пособий по математике; беседы с учителями, тестирование учащихся, проведение опытной проверки.

ГЛАВА 1. Методические аспекты организации обучения в условиях новой формы итоговой аттестации в основной школе.

§ 1. Логико-дидактический анализ темы «Методика обучения решению квадратного уравнения».

Математическое образование является обязательной и неотъемлемой частью общего образования на всех ступенях школы. Без базовой математической подготовки невозможно стать образованным современным человеком. Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определенных умственных навыках.

Логико-дидактический анализ – один из инструментов формирования и развития профессионально значимых умений учителя

видеть структуру содержания учебного предмета в целом,

видеть логику построения основных линий и тем школьного курса математики,

видеть особенности процесса формирования знаний и умений по тем или иным темам с учетом особенностей конкретных учащихся.

Логико-дидактический анализ темы – последовательность действий, которые условно объединяются в III блока:

методический (дидактический) анализ.

Каждому из блоков соответствуют определенные цели и задачи

Логико-дидактический анализ является системообразующим фактором организации изучения учащимися темы. На основе логико-дидактического анализа

составляется развернутый тематический план изучения темы,

определяются цели и задачи уроков,

отбирается содержание уроков,

организовывается деятельность учащихся.

На изучение темы «Квадратные уравнения, 8 класс, учебник «Алгебра, 8 класс»: учебник для общеобразовательных учреждений /Ю.Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова/под ред. С. А.Теляковского 18-е изд., стер. М.: Просвещение, 2013. по программе отводится 30 часов.

Рабочая программа составлена основе Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования, рабочей программы к предметной линии учебников (УМК Ю.Н. Макарычев и др.)

Алгебра. Рабочие программы. Предметная линия учебников Ю.Н. Макарычев и др .7 – 9 классы: учеб. пособие для общеобразоват. организаций / Н. Г. Миндюк. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 2016.

Тематическое планирование изучения данной темы представлено в таблице

Тематическое планирование, 4часа в неделю

Характеристика основных видов деятельности ученика

(на уровне учебных действий)

Решать квадратные уравнения. Находить подбором кор­ни квадратного уравнения, используя теорему Виета. Исследовать квадратные уравнения по дискриминанту и коэффициентам. Решать дробные рациональные урав­нения, сводя решение таких уравнений к решению ли­нейных и квадратных уравнений с последующим исклю­чением посторонних корней.

Решать текстовые задачи, используя в качестве алге­браической модели квадратные и дробные рациональ­ные уравнения

Квадратное уравнение и его корни

Анализ контрольной работы № 5

Дробные рациональные уравнения

Тема: «Квадратные уравнения» изучается в 8 классе. Учащиеся должны уметь распознавать квадратные уравнения, решать их, исследовать по дискриминанту и коэффициентам. Решать текстовые задачи алгебраическим способом, переходить от словесной формулировки условия задачи к алгебраической модели путем составления уравнения, решать составленное уравнение, интерпретировать результат.

При изучении этой темы в учебнике Макарычева рассматриваются понятия:

определение квадратного уравнения

понятие приведенного квадратного уравнения

понятие неполного квадратного уравнения

вводятся формулы дискриминанта и корней уравнения

Для этой темы характерна большая глубина изложения и богатство устанавливаемых с ее помощью связей в обучении, логическая обоснованность изложения. Поэтому она занимает исключительное положение в линии уравнений и неравенств. К изучению этой темы учащиеся приступают, уже накопив определенный опыт, владея достаточно большим запасом алгебраических и общематематических представлений, понятий, умений. В значительной мере именно на материале этой темы осуществляется синтез материала, относящегося к уравнениям.

Термин, и объем понятия квадратного уравнения одинаковы. Понятие вводится посредством явного определения, что обязывает организовать работу по усвоению его формальных признаков. Это тем более необходимо, что соответствующие признаки существенно используются при построении теории квадратных уравнений, в частности при выводе формулы корней и в теореме Виета.

Вывод формулы корней квадратного уравнения может быть осуществлен следующим способом: сначала для приведенного квадратного уравнения, сведением к уравнению = 0 или к уравнению . Приходиться использовать выделение полного квадрата в трехчлене , сводящее уравнение к двучленному. Выделение последовательности шагов, приводящих к решению квадратных уравнений, проводится сначала на конкретных примерах.

Необходимым этапом при выводе формулы корней квадратного уравнения служит исследование, выявляющее три возможных случая: отсутствие корней, наличие одного или двух корней. При этом вводится дискриминант уравнения. В результате исследования формулируется вывод: «Если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то оно не имеет действительных корней; если дискриминант равен нулю, то имеется один корень, равный ; если дискриминант положителен, то уравнение имеет два корня ».

Учитывая этот вывод, решение конкретных квадратных уравнений проводится следующим образом: сначала вычисляется дискриминант, сравнивается с нулем, и если он неотрицателен, то применяются формулы для нахождения корней.

Кроме основной формулы для корней квадратного уравнения , приводятся еще формулы корней уравнения или . Использование этих формул упрощает вычисления.

При изучении темы «Квадратные уравнения» рассматриваются и неполные квадратные уравнения. Они изучаются перед выводом корней общего квадратного уравнения. Хотя различные виды неполных квадратных уравнений имеют разные алгоритмы решения, при изучении данной темы необходимо показать, что общая формула корней применима и для этих случаев.

Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрение теоремы Виета, которая утверждает наличие зависимости между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Сложность освоения теоремы Виета связана с несколькими обстоятельствами. Прежде всего, требуется учитывать различие прямой и обратной теоремы. В прямой теореме Виета даны квадратное уравнение и его корни; в обратной – только два числа, а квадратное уравнение появляется в заключении теоремы. Учащиеся часто совершают ошибку, обосновывая свои рассуждения неверной ссылкой на прямую или обратную теорему Виета. Например, при нахождении корней квадратного уравнения подбором ссылаться нужно на обратную теорему Виета, а не на прямую, как часто делают учащиеся. Для того, чтобы распространить теоремы Виета на случай нулевого дискриминанта, приходится условиться, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных корня. Удобство такого соглашения проявляется при разложении квадратного трехчлена на множители.

Далее рассматриваются дробные рациональные уравнения (§9). Отрабатывается алгоритм решения таких уравнений.

1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

2. Умножить на общий знаменатель обе части уравнения.

3. Решить полученное целое уравнение.

4. Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:
· преобразования данного уравнения к простейшим;
· решения уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.

На последующих уроках рассматриваются задачи на составление рациональных уравнений.

Владение теорией квадратных уравнений существенно расширяет возможности решения уравнений методами, изучаемыми в курсе алгебры. Так, прямо сводятся к квадратным дробно-рациональные уравнения вида и биквадратные уравнения. Еще один класс составляют алгебраические уравнения, которые разложением на множители могут быть сведены к линейному и квадратному уравнениям. Богатство и разнообразие приемов, имеющихся у учащихся, овладевших сведением различных уравнений к квадратным, служат необходимой предпосылкой перехода к завершающему этапу освоения методов решения уравнений. Особенно это сказывается на приложении к алгебраическому методу решения текстовых задач. Сюжеты их становятся более разнообразными, возрастает так же сложность перевода на язык математики.

Таим образом, решение каждого уравнения складывается из двух основных частей:
· преобразования данного уравнения к простейшим;
· решения уравнений по известным правилам, формулам или алгоритмам.

Для того чтобы решить любое квадратное уравнение, учащиеся должны знать:
· формулу нахождения дискриминанта;
· формулу нахождения корней квадратного уравнения;
· алгоритмы решения уравнений данного вида;
уметь:
· решать неполные квадратные уравнения;
· решать полные квадратные уравнения;
· решать приведенные квадратные уравнения;
· делать проверку.

Анализ математических задач по теме показал, что в учебнике Макарычева задания разбиваются на уровни: подчеркнутые номера – это задания обязательного уровня, выделенные номера – это задания повышенной сложности, отдельно выделены задания для повторения.

Упражнения для домашней работы никак не обозначены. В теме решения текстовых задач рассматриваются две старинные задачи, часть задач носит геометрический характер, есть несколько задач с практическим содержанием. Для разнообразия работы с учащимися в учебнике предлагаются дополнительные задания разного уровня сложности. Так же есть параграф под рубрикой «Для тех, кто хочет знать больше» — это уравнения с параметром. В этом параграфе все задания, кроме двух первых, отмечены как задачи повышенной сложности. Однако, данная тема рассматривается с учащимися только по усмотрению учителя.

Во всей теме всего три задания для решения устно, большая часть задач направлена на отработку навыков решения уравнения по формулам. Однако, заданий для исследовательской и проектной деятельности нет. Очень трудно по этим задачам организовать проблемные или эвристические уроки, нет задач на развитие логического мышления. Практически все задания предназначены для развития вычислительных навыков.

В итоге изучения материала по запоминанию темы учащиеся должны не только овладеть применением алгоритмических предписаний к решению конкретных заданий, но и научится использовать логические средства для обоснования решения. В целом освоение темы «Квадратные уравнения» поднимает учащихся на качественно новую ступень овладения содержанием школьной математики.

Анализ задачного материала темы «Квадратные уравнения»

Название темы пункта

По характеру требований

По дидактической цели

По способу решения

По уровню усвоения

Неполные квадратные уравнения

Выяснить: 512, 519

Найти корни: 515, 522

Решить уравнение: 516-518, 521,523

Решить текстовую задачу: 524-530

Выберете верный ответ: 520

Обязательные: 512, 513, 514, 515, 517, 518, 519, 521

Тренировочные: 522, 523

Алгоритмические: 515, 517, 518, 521

2 УУ: 516, 522, 523, 524, 525, 526, 527

3 УУ: 520, 528-530

На отработку определения: 512-514

Решение неполных уравнений: 515, 517, 518, 521

Формула корней квадратного уравнения

Вычислить дискриминант: 533

Найти корни: 536, 544, 546

Решить уравнение: 534, 535, 539-543, 545, 547, 551, 554

Найти параметр: 555

Обязательные: 533- 536, 538-543

Смешанные: 537, 548-550, 553-555

Тренировочные: 544-547, 551, 552

2 УУ: 537, 538, 544-553

На отработку определения: 533

Решение квадратных уравнений по формуле: 534-536, 539-543

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Решить текстовую задачу: 559-568, 571-575

Решить старинную задачу: 569, 570

На составление математической модели: 559-563

Найти сумму и произведение корней: 580

Решить уравнение и выполнить проверку: 581,582

Найти подбором корни уравнения: 583, 584

Найти один из корней и параметры: 585-592

Определить знаки корней: 594, 595

Алгоритмические: 580-584, 594, 595

2 УУ: 583—590, 594, 595

На отработку теоремы Виета: 580-590

Таким образом, по данной теме имеется большое количество задач на отработку понятий квадратные уравнения, виды квадратных уравнений, а так же на отработку нахождения корней квадратного уравнения по формулам и подбор корней с помощью теоремы, обратной теореме Виета. Задачи разнообразные по требованию и по дидактическим целям. Нет задач на доказательство. Трудности у учащихся могут возникнуть при решении текстовых задач с применением новой темы, а так же при решении параметрических задач на применение теоремы Виета.

§2.Логико-дидактический анализ КИМов ОГЭ, анализ заданий КИМов ОГЭ по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения»

В настоящее время основным принципом разработки требований к подготовке выпускников является представление их в виде набора вопросов и задач, непосредственно позволяющих осуществить проверку наличия тех или иных знаний, умений, навыков выпускников 9-х классов. Процедура разработки таких задач-измерителей состоит в последовательной конкретизации целей обучения математики в основной школе и выстраивании иерархической системы целей:

Общие цели математического образования Требования к уровню подготовки выпускников Планируемые результаты обучения Образцы задач Контрольно-измерительные материалы.

Объектами контроля в заданиях первой части работы являются: знание и понимание ключевых элементов содержания (математических понятий, их свойств, математической символики и средств наглядности и пр.), владение основными алгоритмами, умение решать несложные математические проблемы, не сводящиеся к прямому применению алгоритма, умение применять математические знания в несложных практических ситуациях.

Задания по теме «Квадратные уравнения» регулярно включаются в материалы основного государственного экзамена (ОГЭ) и единого государственного экзамена.

Анализ методических пособий для подготовки к ОГЭ показал, что в

Модуле «Алгебра» часть 1некоторые задания №4 требуют базовых знаний решения неполных и полных квадратных уравнений.

Учащимся необходимо уметь проводить классификацию уравнений по общему виду; уметь определять числовые коэффициенты, применять формулы при решении квадратных уравнений; уметь выделять общее и находить различия.

Объектами контроля в заданиях второй части являются: умение интегрировать знания из различных тем курса при решении задач комбинированного характера, владение некоторыми специальными приемами решения задач, умение строить и исследовать простейшие математические модели, использовать разнообразные способы рассуждений при исследовании математических ситуаций, умение математически грамотно и ясно записывать решение, приводя при этом необходимые пояснения и обоснования.

Часть 2 содержит задания № 21; № 22, повышенного уровня.

№ 21. Решите уравнение (х — 1) (х 2 +6х+9) = 5(х+3).

При решении уравнений данного вида, учащиеся должны знать:

формулы сокращенного умножения,

уметь представлять квадратный трехчлен в виде квадрата двучлена,

уметь раскладывать квадратный трехчлен на множители,

выносить общий множитель за скобку,

применять алгоритм решения квадратных уравнений,

применять формулы для второго четного коэффициента.

№ 22. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми 209 км. Отдохнув, он отправился обратно в А, увеличив скорость на 8 км/ч. По пути он сделал остановку на 8 часов, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени. Найдите скорость велосипедиста из А в В.

При решении данных заданий, учащиеся должны уметь составлять дробно-рациональные уравнения, приводить их к квадратным.

Задания второй части модуля «Алгебра» направлены на проверку владения таких качеств математической подготовки выпускников, как:

формально-оперативным алгебраическим аппаратом;

умения решить комплексную задачу, включающую в себя знания из разных тем курса алгебры;

умения математически грамотно и ясно записать решение, приводя при этом необходимые пояснения и обоснования;

владения широким спектром приёмов и способов рассуждений.

К заданиям повышенного уровня можно отнести уравнения с параметром из п. 27.

§ 3. Методические рекомендации по обучению учащихся решению задач с параметром.

Практика работы в школе показывает, что уравнения и неравенства с параметром — это один из сложнейших разделов школьного курса математики, представляющий для школьников наибольшую трудность, как в логическом, так и в техническом плане. Решение уравнений и неравенств с параметрами можно считать деятельностью, близкой по своему характеру к исследовательской. Выбор метода решения, запись ответа совершенствуют умения наблюдать, сравнивать, анализировать, строить схемы и графики, выдвигать гипотезу и обосновывать полученные результаты. Задачи с параметром проверяют не только умение работать по алгоритму, но и способность к поиску нестандартных решений, формируя при этом творческий подход к выполнению заданий.

Решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало внимания. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках.

Как начинать решать такие задачи? Прежде всего при решении задач с параметрами надо сделать то, что делается при решении любого уравнения– привести заданные уравнения к более простому виду. Затем необходимо еще и еще раз прочитать задание.
Основные типы задач с параметрами:

Тип 1. Задачи, которые необходимо решить для всех значений параметра или для значений параметра из заданного промежутка.
Тип 2. Задачи, где требуется найти количество решений в зависимости от значения параметра.
Тип 3. Задачи, где необходимо найти значения параметра, при которых задача имеет заданное количество решений
Тип 4. Задачи, в которых необходимо найти значения параметра, при которых множество решений удовлетворяет заданным условиям.

Методические рекомендации при изучении некоторых тем «Линейные и квадратные уравнения».

Линейное уравнение, записанное в общем виде, можно рассматривать как

уравнение с параметрами: ах = b, где х – неизвестное, а, b – параметры. Для

этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то,

при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи,

когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Особым значением параметра а является значение а = 0.

1. Если а ≠ 0 , то при любой паре параметров а и b оно имеет единственное

2. Если а = 0, то уравнение принимает вид: 0 х = b. В этом случае значение

b = 0 является особым значением параметра b.

2.1. При b ≠ 0 уравнение решений не имеет.

2.2. При b = 0 уравнение примет вид: 0 х = 0. Решением данного уравнения

является любое действительное число.

3.1. Подборка задач с параметром по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения».

Примеры (ОГЭ 2016)

1) х 2 ‒ 2х + а + 3=0; 2) х 2 ‒ (2 + а)х + 3 = 0; 3) ах 2 ‒ 2х + 3 = 0

Найдите все значениях параметра b, при каждом из которых отношение дискриминанта уравнения bx 2 +3x+5=0 к квадрату разности его корней равно 5b+6.

Ответ: отношение дискриминанта уравнения bx 2 +3x+5=0 к квадрату разности его корней равно 5b+6 при b = –1 и b =6.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых решением неравенства является объединение двух непересекающихся интервалов.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет единственное решение.

Ответ: при уравнение имеет единственное решение.

№4. Решить уравнение

2а(а — 2) х = а — 2. (1)

Решение. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых

коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются а=0 и а=2.

При этих значениях а невозможно деление обеих частей уравнения на

коэффициент при х. В то же время при значениях параметра а≠0, а≠2 это

деление возможно. Таким образом, целесообразно множество всех

действительных значений параметра разбить на подмножества

и решить уравнение (1) на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение (1) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра:

1) а=0 ; 2) а=2 ; 3) а≠0, а≠2.

Рассмотрим эти случаи.

1) При а=0 уравнение (1) принимает вид 0 х = — 2. Это уравнение не имеет

2) При а=2 уравнение (1) принимает вид 0 х=0. Корнем этого уравнения

является любое действительное число.

3) При а≠0, а≠2 из уравнения (1) получаем, х = (а-2) : 2а(а-2) ,

0твет: 1) Если а=0,то корней нет;

2)если а=2, то х – любое действительное число;

3) если а≠0, а≠2 , то х =1/2а .

(а — 1) х 2 +2 (2а+1) х+(4а+3) =0; (2)

Решение. В данном случае контрольным является значение a=1. Дело в том, что при a=1 уравнение (2) является линейным, а при а≠ 1 оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит, целесообразно рассмотреть уравнение (2) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) а = l; 2) а≠1.

Рассмотрим эти случаи.

1) При a=1 уравнение (2) примет вид 6х+7=0. Из этого уравнения находим х = — 7/6.

2) Из множества значений параметра а ≠ 1 выделим те значения, при которых

дискриминант уравнения (2) обращается в 0.

Дело в том, что если дискриминант D=0 при а=ао, то при переходе

значения D через точку ао дискриминант может изменить знак (например,

при аао D0). Вместе с этим при переходе через

точку ао меняется и число действительных корней квадратного уравнения (в

нашем примере при аао D0 уравнение

имеет два корня). Значит, можно говорить о качественном изменении

уравнения. Поэтому значения параметра, при которых обращается в 0

дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным значениям.

Составим дискриминант уравнения (2):

D/4=(2а+ l) 2 — (а — 1) (4а+3). После упрощений получаем D/4= 5а+4.

Из уравнения D/4 = 0 находим а = — 4/5— второе контрольное значение

параметра а. При этом если а

Таким образом, осталось решить уравнение (2) в случае, когда а

2) если а = 1, то х = — 7/6; 3) если a≥-4/5 , a ≠ 1, то х_1;2 = ;

Решение задач с параметрами необходимо учащимся в наше время как при подготовке к ЕГЭ, так и к вступительным экзаменам в ВУЗы. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики. Даже если бы эти задачи не предлагались на выпускных и вступительных экзаменах, то все равно в школьной математике задачам с параметрами должно уделяться большое внимание. Учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются (и опыт это подтверждает) с другими задачами. Решение задач, уравнений с параметрами открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале.

ГЛАВА 2. Проектирование системной работы по подготовке учащихся к итоговой аттестации.

§ 4. Краткая характеристика программного обеспечения Microsoft PowerPoint

Глобальная информатизация общества является одной из доминирующих тенденций ХХI века. Поэтому обучение в школе должно обеспечить формирование у людей новых компетентностей, знаний и умений, способов деятельности, которые им потребуются в новой информационной среде обитания, в том числе и для получения образования в условиях широкого использования современных информационных технологий обучения. Сегодня педагог-предметник уже не в состоянии игнорировать тот образовательный потенциал, которым обладают современные информационные технологии и соответствующая им программно — техническая платформа, переводящие образовательный процесс на качественно новый уровень.

Microsoft PowerPoint — это программное обеспечение, предназначенное для создания эффектных и динамичных презентаций. Для утилиты свойственна широкая функциональность, относительно управления графикой, стилями и текстом.
Приложение входит в состав и поставляется в рамках пакета Microsoft Office.
Благодаря этому, разработка слайдов осуществляется практически на профессиональном уровне. Совместная работа программы с SharePoint Workspace и SharePoint Server обеспечивает быстрый обмен информацией.
Пользовательский интерфейс и графические возможности PowerPoint способствуют быстрому выполнению задачи. Система защищает презентации посредством применения прав доступа, обеспечивая, вместе с этим, простое начало процедуры рецензирования.
Последняя версия программы позволяет выбирать темы, прибавлять варианты дизайна, выравнивать картинки и текст. Помимо этого, появилась возможность совместной работы нескольких пользователей над одной презентацией. Среди нововведений — инновационный режим редактирования и широкоформатные шаблоны.
При создании презентации пользователь столкнется со следующими особенностями:
— наличие начального экрана, который способствует быстрому старту работы и помогает сразу же приступать к подбору новых тем;
— множеством различных тем — можно выбрать одну из доступных цветовых схем, а затем применить ее одним лишь кликом мышки;
— направляющими — выравнивают текстовые блоки и другую графику с текстом;
— объединением фигур — инструменты группировки, объединения, фрагментации, вычитывания и пересечения необходимы для компоновки двух или более фигур.
Процесс планирования презентаций может сопровождаться настройкой таких функций, как:
— приближение слайдов — пользователи без особого труда могут направить внимание аудитории на конкретные пункты своей презентации путем увеличения графиков, диаграмм и прочих объектов слайда. Сделать это довольно просто — достаточно кликнуть несколько раз мышкой, а чтобы уменьшить объекты, необходимо выполнить те же действия;
— навигационная сетка — позволяет определить порядок показа слайдов — произвольно или по порядку, при этом сама сетка видна лишь пользователю;
— автоматическое расширение — демонстрация презентации на втором экране должна сопровождаться соответствующей настройкой ее формата.
В целом, MS PowerPoint — великолепный продукт, достаточно удобный для пользователей разного уровня. Программа обладает расширенным функционалом, который необходим для создания качественных презентаций.

§ 5. Материал к уроку «Решение квадратных уравнений» с использованием программного обеспечения Microsoft PowerPoint

Презентации по математике рекомендуется использовать в качестве наглядных пособий, которые позволяют учителю продемонстрировать изучаемую тему из учебника с помощью слайдов и таблиц, показать примеры по решению задач и уравнений, а также проверить знания учеников с помощью ответов на вопросы, закрепить знания, умения и навыки учащихся.
Одна из самых главных задач школы — это не только снабжать знаниями учеников, а также — прививать им умение добывать информацию самостоятельно. Презентация к уроку «Решение квадратных уравнений», даёт возможность ученикам активно включиться в исследовательскую и творческую деятельность.

§6. Методические рекомендации к использованию материала к уроку «Решение квадратных уравнений»

В восьмом классе, учащиеся знакомятся с квадратными уравнениями и способами их решения. Важно, что на обобщающем уроке учащиеся вместе с учителем систематизируют и упорядочивают всю информацию по решению квадратных уравнений. Заполняя таблицы в презентации (слайд 2,3), находят коэффициенты полного, неполного, приведенного, квадратного уравнения, вычисляют дискриминант, извлекают квадратные корни.

Определяют количество корней различных квадратных уравнений

Целесообразно поступать следующим образом:

1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;

2) если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один действительный корень;

3) если дискриминант положителен, то уравнение имеет два действительных корня;

4) если дискриминант отрицателен, то уравнение не имеет действительных корней.

Слайды 6; 7 содержит задания для устной работы и ответы.

Целесообразно поступать следующим образом:

1) применить теорему Виета;

2) умножить на – 1 обе части уравнения и найти дискриминант;

3) выделить квадрат двучлена и найти его корни;

4) решить неполное квадратное уравнение вынесением за скобку общего множителя;

5) вынести общий множитель за скобку, при нахождении корней применить теорему Виета.

Как показывает опыт, большинство учащихся при решении квадратных уравнений применяют способ решения по формуле корней квадратного уравнения.

Но этот способ явно нерационален. Решать квадратные уравнения учащимся приходится часто и в старших классах. Решение иррациональных, показательных, логарифмических ,тригонометрических уравнений часто сводится к решению квадратных уравнений

И там тратить время на расчет дискриминанта просто жалко. На мой взгляд, при изучении квадратных уравнений следует уделить больше времени и внимания применению теоремы Виета. Слады 8; 9.

В большинстве учебников алгебры эта теорема формулируется для приведенного квадратного уравнения и гласит, что если уравнение имеет корни и , то для них выполняются равенства ,

Затем формулируется утверждение, обратное к теореме Виета

Если числа х₁ и х₂ таковы, что их произведение равно свободному члену, а сумма второму коэффициенту с противоположным знаком, то они являются корнями уравнения : х 2 +рх+q=0

Теорема Виета замечательна тем, что,

не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные выражения x₁ + x₂ и x₁∙ x₂

определить знаки корней уравнения

(Если произведение и сумма корней – положительные, то оба корня – положительные числа

Если произведение корней – положительное число, а сумма корней – отрицательное, то оба корня – отрицательные числа.

Если произведение корней – отрицательное число, то корни имеют разные знаки. При этом, если сумма корней – положительная, то больший по модулю корень является положительным числом, а если сумма корней меньше нуля, то больший по модулю корень – отрицательное число);

Пример 1. Найдите ; если X 2 — 10x + 23 = 0

Решение. X 2 — 10x + 23 =0

Пусть и . Корни заданного уравнения. Тогда по теореме Виета одновременно должны выполняться равенства ;

Обратим внимание, что произведение корней – положительное число. А значит, корни уравнения одного знака. А так как сумма корней также является положительным числом, делаем вывод, что оба корня уравнения – положительные.

Пример 2. Решить уравнение .

Пусть и — корни заданного уравнения. Тогда по теореме Виета

Заметим, что произведение – отрицательное. Значит, корни – разного знака. Сумма корней – также отрицательное число. Значит, больший по модулю корень – отрицательный, а знак меньшего по модулю совпадает со знаком второго коэффициента. Подбираем пары множителей, дающих произведение -10 (1 и -10; 2 и -5). Вторая пара чисел в сумме дает -3. Значит, числа 2 и -5 являются корнями данного уравнения. Ответ: 2; -5.

При закреплении материала можно использовать комментированные решения уравнений, при этом ученики приучаются к вниманию, сосредоточенности в работе.

Система деятельности учащихся при изучении раздела «Квадратные уравнения» и темы «Решение квадратных уравнений» включает в себя: Преобразующую деятельность: умения переносить полученные знания в новой ситуации – приёмы решения квадратных уравнений различными способами; приёмы нахождения корней квадратного уравнения, исходя из свойств коэффициентов; умение применять теорему Виета; умение задавать вопросы; приёмы тождественных преобразований целых и дробных алгебраических выражений; приёмы рационализации вычислений с помощью тождественных преобразований выражений; приёмы решения уравнений. Общеучебная деятельность: рациональные приёмы вычислений; использование буквенной символики для изучения свойств математических объектов; приёмы работы с учебником алгебры, дополнительными источниками информации; приёмы организации домашней работы по алгебре; ведение тетради по алгебре; навыки общения в учебном процессе и т.д. Самоорганизационная деятельность: организация внимания; способ постановки цели; планирование; самоконтроль; самоанализ; работа с учебником; организация домашней работы и т.д.

§ 7. Подборка задач по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения» из открытого банка.

При новой форме атте­стации от учащихся требуется владение более широким кругом умений, относящихся к области познавательной деятельности. В соответствии с этим, при выполнении заданий базового уровня экзаменационной работы учащиеся должны продемонстрировать определенную системность знаний и широту представлений, умение переходить с одного математического языка на другой, узнавать стандартные задачи в разнообразных формули­ровках, применять свои знания в практических ситуациях.

Задания части 1

Задания направлены на проверку владения следую­щими знаниями и умениями:

знать и понимать термины: «уравнение с одной переменной», «корень уравнения»;

выяснять, является ли указанное число корнем данного уравнения;

решать линейные и квадратные уравнения и уравнения, сводя­щиеся к ним в результате несложных преобразований;

решать целые уравнения на основе условия равенства нулю произведения, неслож­ные дробно-рациональные уравнения.

№1. Решите уравнение: (2 — 6х)(х — 4) = 0;

Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

№2. Решите уравнение: (1 — 5х)(2х — 3) = 0.

Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней

№3. Решите уравнения

а) Зх 2 + х = 0; б) Зх — х 2 = 0. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней

№ 4. Решите уравнения

а) -12 = 0; б)16- 4х 2 =0.

Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

№5. Решите уравнения

а) х 2 — 28 = 3х; Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

б) Зх 2 + 14х = 5. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из корней

№6. Решите уравнение ;

В ответе запишите сумму корней уравнения

№7. Решите уравнение х 2 + х – 12 = 0;

В ответе запишите сумму корней уравнения

№8. Какое из следующих уравнений имеет два различных корня?

1)х 2 -2х + 5 = 0 2)9х 2 -6х+1 = 0

3) 2х 2 — 7х + 2 = 0 4) Зх 2 — 2х + 2 = 0

№9. Какое из следующих уравнений не имеет корней?
1) х 2 + Зх + 1 = 0 2) х 2 + 2х + 1 = 0

3) х 2 + 2х — 3 = 0 4) х 2 + х + 3 = 0

Задания части 2

№ 10. (Уровень 2.) При каких значениях k уравнение х 2 + kx + 2 = 0 имеет корни? Приведите пример положительного значения k, при котором выполняется это условие.

№11. Решите уравнение

№12. Решите уравнение (х – 1)(х 2 + 6х + 9) = 5(х + 3)

№13. Решение задачи при помощи составления дробно рационального уравнения приводимое к квадратному.

Баржа прошла по течению реки 32 км и, повернув обратно, прошла еще 24 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/час.

§ 8. Методические рекомендации по обучению учащихся решению задач по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения», профилактике возможных затруднений и ошибок.

Проверяемые элементы подготовки к ОГЭ:

—знать и понимать термины: «уравнение с одной переменной»,
«корень уравнения»;

выяснять, является ли указанное число кор­нем данного уравнения;

— знать и применять алгоритмы решения основных видов урав­нений с одной переменной:

проводить простейшее исследование квадратного уравнения (устанавливать, имеет ли уравнение корни, и если имеет, то сколько);

решать полные и неполные квадратные уравнения, а также уравне­ния, сводящиеся к ним в результате несложных преобразований;

решать целые уравнения на основе условия равенства нулю произведения;

решать несложные дробно-рациональные уравнения сводящиеся к квадратным в результате несложных преобразований.

В подборке задач по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения» из открытого банка содержатся полные и неполные квадратные уравнения, а также уравне­ния, сводящиеся к ним в результате несложных преобразований, целые уравнения на основе условия равенства нулю произведения. В экзамен могут быть включены все виды уравнений , которые предусмотрены стандартом, однако это всегда задания, не осложненные техническими трудностями, фактически они требуют только знания соответствующего алгоритма.

Основные недостатки математической подготовки учащихся, или На что обратить внимание при подготовке ОГЭ

Удовлетворительные результаты связаны только с заданиями на
решение простейших уравнений: уравнений, сводящихся простыми
преобразованиями к квадратным уравнениям, представлен­ных в стандартном виде. Но даже на этом уровне имеются определенные
проблемы, требующие особого внимания. Так, процент верных ответов
снижается и при решении уравнений с дробными коэффициентами. Например, № 4. Решите уравнение -12 = 0), и при решении полного квадратного уравнения, если первый коэффициент является дробным.

№6. Решите уравнение ; В ответе запишите сумму корней уравнения. №7. Решите уравнение х 2 + х – 12 = 0; В ответе запишите сумму корней уравнения.

Вообще, всегда, когда в том или ином контексте возникает необходимость работать с дробями, у учащихся возникают трудности. Умение перейти от дробных коэффициентов к целым, безусловно, отно­сится к числу значимых. Следуя известному правилу «целое лучше дро­би», целесообразно в ходе обучения неоднократно демонстрировать им, как можно с помощью домножения и левой, и правой частей уравнения на одно и то же число «избавиться» от дробей.

Может показаться странным, но решение неполного квадратного уравнения вида №3. Решите уравнения а) Зх 2 + х = 0; б) Зх – х 2 = 0 вызывает у учащихся больше затруднений, чем применение формулы корней квадратного уравнения. Это свидетельствует о том, что учителя сосредоточиваются на отработке овладения соответ­ствующим алгоритмом в ущерб понятийной стороне. Об этом, кстати, говорит и невысокий процент выполнения задания из примера №8, №9.

Более подготовленные учащиеся, должны уметь проводить исследование квадратных уравнений содержащих буквенные коэффициенты (уравнения с параметрами).

№ 10. (Уровень 2.) При каких значениях k уравнение х 2 + kx + 2 = 0 имеет корни? Приведите пример положительного значения k, при котором выполняется это условие. Выпускнику необходимо знать, что квадратное уравнение имеет корни, если D (к 2 -4ас .

При решении дробно рациональных уравнений (№11. не указывают область допустимых значений, испытывают затруднения в приведении к общему знаменателю. Необходимо напомнить учащимся, что любое целое число возможно записать со знаменателем один.

Затруднения возникают и при решении заданий «Модуль Алгебра», части 2, № 21. Решите уравнение (х – 1)(х 2 + 6х + 9) = 5(х + 3). Не все учащиеся «видят» формулу сокращенного умножения (х 2 + 6х + 9) = (х + 3) 2 или теряют корень х = — 3. Целесообразно включать аналогичные задания при закреплении темы «Квадратные уравнения» в 8 классе. Выработать алгоритм решения.

Следует отметить, что невысок процент выполнения текстовых задач из второй части экзаменационной работы (№13. Баржа прошла по течению реки 32 км и, повернув обратно, прошла еще 24 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/час).

Задача решается при помощи дробно рационального уравнения приводимое к квадратному х 2 – 14х – 15 =0.

Фактически они решаются только теми выпускниками, которые имеют отметку «5».

И еще одна из основных ошибок, которая проявляется при состав­лении уравнения по условию текстовой задачи на движение, связа­на с незнанием зависимости между скоростью движения, временем движения и пройденным расстоянием.

Все это свидетельства того, что в арифметической подготовке выпускников основной школы много пробелов (естественно, это негативно сказывается и на изучении алгебры).

Весьма типичным недостатком в записи решения задачи, а это требуется при выполнении задач повышенного уровня слож­ности, является неверное употребление математической термино­логии и символики. Так, вместо словосочетания «найдем корни квадратного трехчлена» можно увидеть выражение «решим ква­дратный трехчлен».

Серьезное непонимание существа дела проявляется в неумест­ном употреблении логических союзов «и» и «или». В сознании учащихся наблюдается путаница между употреблением этих сою­зов как логических связок и как частей речи русского языка. На­пример, результат решения квадратного уравнения х 2 — 5х + 6 = 0 записывают так: х = 2 или х = 3 (или употребляют в этой записи знак совокупности). В то время как задача состоит в нахождении множества корней уравнения, в соответствии с чем требуется пере­числить элементы этого множества (а не записывать дизъюнкцию высказываний). Это может быть сделано разными способами, на­пример: х_х = 2, х₂ = 3; 2 и 3; 2; 3.

Основной государственный экзамен (ОГЭ) в новой форме, дает большие возможности для диагностики учебных достижений учащихся. По отношению к индивидууму итоговая аттестация позволяет решать три основные задачи:

1) выявление конкретных недостатков в знаниях и умениях
учащегося;

2) определение уровня его математической компетентности;
3) выявление готовности к обучению в старшей школе.

В ходе выполнения итоговой практико-значимой работы по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения», мною был выполнен:

логико-дидактический анализ темы, логико-дидактический анализ КИМов ОГЭ;

выполнена подборка задач с параметрами и даны методические рекомендации по обучению учащихся;

разработана презентация к уроку «Решение квадратных уравнений» с использованием программного обеспечения Microsoft PowerPoint ;

даны методические рекомендации к использованию материала к уроку;

выполнена подборка задач по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения» из открытого банка;

даны методические рекомендации по обучению учащихся решению задач по теме «Методика обучения решению квадратного уравнения», профилактике возможных затруднений и ошибок.

Все поставленные мною задачи решены в полном объёме.

🔥 Видео

Быстрый способ решения квадратного уравненияСкачать

Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

РЕШЕНИЕ НЕПОЛНОГО КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ ЗА 5 СЕКУНДСкачать

Как решать квадратные уравнения. 8 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Квадратное уравнение. Как решить? | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Квадратные уравнения #shorts Как решать квадратные уравненияСкачать

МАТЕМАТИКА 8 класс - Квадратные Уравнения. Как решать Квадратные Уравнения? Формула КорнейСкачать

Как решать квадратные уравнения без дискриминантаСкачать

Математика это не ИсламСкачать

Решаем квадратные уравнения в уме! 🤯Скачать

Комплексные корни квадратных уравнений. 11 класс.Скачать

Решение задач с помощью квадратных уравненийСкачать

Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать

Как решать неполные квадратные уравнения.Скачать

Квадратные уравнения. Метод перекидки. Математика онлайн. #jmath #lifehack #mathСкачать