Квадратное уравнение с тремя неизвестными

62. Одно уравнение с тремя неизвестными . Пусть имеем уравнение

На это уравнение можно смотреть, как на запись задачи: найти числовые значения для x, y и z, чтобы трехчлен 3x + 4y – 2z оказался равен числу 11. Таким образом это уравнение является уравнением с тремя неизвестными. Так как мы можем решить одно уравнение с одним неизвестным, то уже с первого взгляда возникает мысль, что 2 неизвестных здесь являются как бы лишними, и им можно давать произвольные значения. И действительно, если, например, взять для y число 3 и для z число 5, то получим уравнение с одним неизвестным:

Возьмем другие числа для y и z. Например, пусть

Тогда получим уравнение:

Продолжая эту работу дальше, мы придем к заключению:

Одно уравнение с тремя неизвестными имеет бесконечно много решений, и для получения их надо двум неизвестным давать произвольные значения.

Результаты этой работы можно записать в таблице (мы, кроме двух уже найденных решений, записали в ней еще одно, которое получится, если положить y = –1 и z = –2):

Так как для y и для z мы берем произвольные значения, то они являются независимыми переменными, а x является зависимым (от них) переменным. Другими словами: x является функциею от y и z.

Чтобы удобнее получать решения этого уравнения, можно определить из него x через y и z. Получим:

3x + 4y – 2z = 11; 3x = 11 – 4y + 2z;
x = (11 – 4y + 2z) / 3.

Дадим, напр., значения: y = 5 и z = 1; получим: x = (11 – 20 + 2) / 3 = –2(1/3) и т. д.

Возьмем еще уравнение

Примем x и y за независимые переменные, а z — за зависимое и определим z через x и y

–2z = 7 – 3x + 5y; 2z = 3x – 5y – 7; z = (3x – 5y – 7) / 2

Видео:2 уравнения и 3 неизвестных — система, которая на олимпиаде вынесла почти всехСкачать

Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Алгебраические системы с тремя неизвестными

Для систем с тремя неизвестными определения понятий равносильности и следствия, а также свойства преобразований систем формулируются аналогично тому, как это было сделано для систем с двумя неизвестными.

Будем рассматривать системы вида

где , , являются либо многочленами от , , , либо могут быть представлены в виде отношения многочленов.

Сформулируем для систем уравнений с тремя неизвестными следующие утверждения, которые могут оказаться полезными при решении систем.

1° Если , где и —многочлены, то система (1) равносильна совокупности систем

и поэтому множество решений системы (1) в этом случае есть объединение множеств решений систем (2) и (3).

2°. Если уравнение

есть следствие системы (1), то система

равносильна системе (1), т. е. при добавлении к системе (1) еще одного уравнения (4), являющегося следствием этой системы, получается система, равносильная системе (1).

3°. Если уравнение (4) — следствие системы (1), причем где и —многочлены, то система (1) равносильна совокупности систем

4°. Система (1) равносильна каждой из следующих систем:

5°. Если уравнение равносильно уравнению где — многочлен от и , то система (1) равносильна системе

Это утверждение лежит в основе метода исключения неизвестных: система (1) сводится к системе (5), (6) с двумя неизвестными.

Прежде чем переходить к примерам алгебраических систем с тремя неизвестными, отметим, что нет общих рецептов для нахождения решений систем. Каждый раз нужно учитывать конкретные особенности рассматриваемой системы. Можно дать только общий совет: решайте побольше задач.

Рассмотрим сначала системы с тремя неизвестными, которые сводятся к кубическим уравнениям.

К таким системам относятся системы симметрических алгебраических уравнений, т.е. системы вида (1), где , , — многочлены, каждый из которых не меняется, если поменять местами любую пару из переменных , , .

В этом случае удобно ввести следующие переменные:

Простейший пример системы рассматриваемого вида — система

Система (7) и кубическое уравнение

связаны следующим образом.

Если , , — корни уравнения (8), то система (7) имеет шесть решений: получаемых всевозможными перестановками трех чисел , , . Обратно, если решение системы (7), то , , — корни уравнения (8).

Доказательство этого утверждения основано на использовании формул Виета для корней уравнения (8):

Для сведения к системам (7) систем симметрических уравнений вида

можно использовать следующие тождества:

Примеры с решениями

Пример №186.

Решить систему уравнений

Решение:

Используя уравнения (12), (13) и тождество (9), получаем

Применяя формулу (11) и учитывая равенства (13)-(15), находим

Следовательно, исходная система равносильна системе вида (7), в которой , а уравнение (8) имеет вид

Корни этого уравнения — числа Поэтому система имеет шесть решений, получаемых перестановкой чисел

Ответ.

Обратимся теперь к системам с тремя неизвестными, которые не являются симметрическими.

Пример №187.

Решить систему уравнений

Решение:

Так как правые части уравнений отличны от нуля, то Полагая получаем систему линейных уравнений

Сложив уравнения системы (16), находим

Из (16) и (17) получаем т. е.

Перемножив почленно уравнения системы (18), которая равносильна исходной, имеем откуда

Следовательно, исходная система равносильна совокупности систем (18), (19) и (18), (20), которые имеют решения и соответственно.

Ответ.

Пример №188.

Решить систему уравнений

Решение:

Будем решать систему методом исключения неизвестных и сведением, в конечном счете, к одному уравнению с одним неизвестным. Складывая почленно уравнения (21) и (23), получаем

Так как на основании равенства (24), то из этого равенства следует, что

Запишем далее уравнение (22) в виде

Исключив из уравнений (24) и (26), получаем откуда

Заметим, что система (27), (25), (21) равносильна системе (21)— (23). Подставляя выражения для и из формул (27) и (25) в уравнение (21), получаем

или откуда Соответствующие значения и найдем по формулам (27) и (25).

Ответ.

Пример №189.

Решить систему уравнений

Решение:

Перемножив уравнения системы (28), получаем

Уравнение (29) является следствием системы (28), которая равносильна системе

Уравнения (30), (31), (32) имеют решения соответственно. С учетом равенства (29) находим четыре решения системы (28).

Ответ.

Пример №190.

Найти решения системы уравнений

Решение:

Вычитая из уравнения (34) уравнение (33), получаем

Далее, вычитая из уравнения (35) уравнение (33), находим

Наконец, складывая уравнения (34) и (35), получаем

Система (37)-(39) равносильна системе (33)-(35), а при условии (36) — системе линейных уравнений

имеющей единственное решение

Ответ.

Пример №191.

Решить систему уравнений

Решение:

Вычтем из уравнения (41) уравнение (40) и преобразуем полученное уравнение к виду

Выполнив ту же операцию с уравнениями (42) и (41), имеем

Система (43), (44), (42), равносильная системе (40)-(42), распадается на следующие четыре системы:

Полученные системы легко решаются методом исключения неизвестных. Объединив решения этих систем, найдем все решения исходной системы.

Ответ.

Пример №192.

Решить систему уравнений

Решение:

Решим эту систему как линейную относительно Для этого сложим попарно уравнения системы (45) и получим систему

Перемножив уравнения системы (46) и полагая находим или откуда т. е.

Система (45) в силу утверждения 3° равносильна совокупности систем (46), (47) и (46), (48), каждая из которых имеет единственное решение.

Ответ.

Пример №193.

Решить систему уравнений

Решение:

Если , то из системы (49) следует, что , а может принимать любые значения. Аналогично, если , то , — любое. Таким образом, система имеет бесконечное множество решений вида

Будем искать решения системы (49) такие, что . Умножив первое уравнение системы (49) на , а третье — на и сложив результаты, получим

Прибавив к уравнению (51) второе уравнение системы (49), умноженное на :, находим

Каждое из уравнений (51), (52) является следствием системы (49).

Так как , , — действительные числа (требуется найти действительные решения системы), то уравнение (52) равносильно уравнению

Исключая из уравнений (53) и (51), получаем

Уравнения (53) и (54) являются следствиями системы (49), а уравнение (54) равносильно совокупности уравнений

Из (55) и (53) следует, что , а из системы (49) при и находим Полученное решение содержится среди решений (50).

Из (56) и (53) следует, что Подставляя в систему (49), находим решения и

Ответ. — любое действительное число;

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:Универсальный способ решения симметрических систем с тремя неизвестнымиСкачать

Решить систему из 3-х уравнений с 3-мя неизвестными онлайн

Этот онлайн калькулятор предназначен для решения систем из трёх уравнений с тремя неизвестными. Вы можете быть уверены, что калькулятор выдаёт точный результат.

Видео:Система с тремя переменнымиСкачать

Калькулятор

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Инструкция

Примечание: π записывается как pi; корень квадратный как sqrt().

Шаг 1. Введите в поля три уравнения.

Шаг 2. Нажмите кнопку “Решить систему”.

Шаг 3. Получите точный результат.

В калькулятор нужно вводить только латинские буквы и любые цифры с клавиатуры.

Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

Что такое система из 3-х уравнений с 3-мя неизвестными

Решение систем из трёх уравнений с тремя неизвестными – это то же линейное уравнение, которое, чаще всего решается методом Крамера. Однако метод Крамера можно использовать только в том случае, если определитель системы не равняется нулю. Если же определитель системы равен нулю, тогда нельзя использовать этот метод.

Следуя теореме Крамера, в таких уравнениях может быть три случая:

1. У системы уравнений есть всего навсего одно решение.
2. У системы уравнений имеется бесконечное множество решений.
3. У системы уравнений нет решений.

Средняя оценка 2.7 / 5. Количество оценок: 3

🔥 Видео

Решение симметричной системы трех уравнений с тремя неизвестными | Олимпиада по математикеСкачать

Одно уравнение и 3 неизвестныхСкачать

Нелинейные уравнения с двумя переменными и их геометрический смысл. 9 класс.Скачать

Решение системы уравнений с тремя неизвестными с помощью формул Крамера | Высшая математикаСкачать

КАК РЕШАТЬ КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ | Разбираем на конкретном примереСкачать

Уравнение с двумя переменными и его график. Алгебра, 9 классСкачать

Решение матричных уравненийСкачать

Задача с тремя неизвестными. Советский детектив (1979)Скачать

Математика. Линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд»Скачать

Как решить систему линейных уравнений с тремя неизвестными!?!Скачать

№ 10.2. Пример задачи с тремя неизвестными (фрагмент)Скачать

Как решать Диофантовы уравнения ★ 9x+13y=-1 ★ Решите уравнение в целых числахСкачать

Уравнение с двумя неизвестными | Вещдок. Особый случай. Привет из прошлогоСкачать

Решение системы уравнений с тремя переменнымиСкачать

Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать