Квадратное уравнение с рациональными коэффициентами один из корней которого равен имеет вид

Алгебра | 5 — 9 классы

Квадратное уравнение с рациональными коэффициентами , один из корней которого равен 7 / 5 — 3√2, имеет вид.

Один из корней которого равен 7 / 5 — 3√2 имеет вид

второй корень 7 / 5 + 3√2

по теореме Виета — p = x1 + x2 = (7 / 5 — 3√2) + (7 / 5 + 3√2) = 14 / 5 ; p = — 14 / 5

q = x1 * x2 = (7 / 5 — 3√2) * (7 / 5 + 3√2) = — 401 / 25

ax ^ 2 + px + q = 0

x ^ 2 — 14 / 5x — 401 / 25 = 0

25x ^ 2 — 70x — 401 = 0

Видео:Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами если один из его корней равен 3 — корень из 2?

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами если один из его корней равен 3 — корень из 2.

Видео:Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать

Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффицентами один из корней которого равен 1 разделить на 6 + корень из 2?

Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффицентами один из корней которого равен 1 разделить на 6 + корень из 2.

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Составьте квадратное уравнение, у которого старший коэффициент равен 10?

Составьте квадратное уравнение, у которого старший коэффициент равен 10.

Коэффициент при x равен 7 свободный член равен 3.

Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

Если дискриминант квадратного трёхчлена равен нулю, то a?

Если дискриминант квадратного трёхчлена равен нулю, то a.

Соответствующее квадратное уравнение имеет два различных корня.

B. его можно представить в виде полного квадрата.

C. соответствующее квадратное уравнение не имеет корней.

D. его нельзя разложить на линейные множители.

Видео:Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Составьте квадратное уравнение, у которого старший коэффициент равен — 2, коэффициент при х равен — 1, свободный член равен 4?

Составьте квадратное уравнение, у которого старший коэффициент равен — 2, коэффициент при х равен — 1, свободный член равен 4.

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Укажите какое — нибудь значение а, при котором уравнение Х2( в квадрате) = а?

Укажите какое — нибудь значение а, при котором уравнение Х2( в квадрате) = а.

1)имеет два рациональных корня.

2) имеет два и ирациональных корня.

3) не имеет корней.

Видео:РАЗБИРАЕМ ДИСКРИМИНАНТ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #дискриминантСкачать

Составить квадратное уравнение, у которого старший коэффициент равен, 5 , второй коэффициент равен 6, а свободный член равен 1?

Составить квадратное уравнение, у которого старший коэффициент равен, 5 , второй коэффициент равен 6, а свободный член равен 1.

Видео:Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать

Составьте приведённое квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, если один из его корней равен : а) √ 3 б)√3 — 1 в) — √5 г) 2 — √5 Объясните пожалуйста, вообще не понимаю?

Составьте приведённое квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, если один из его корней равен : а) √ 3 б)√3 — 1 в) — √5 г) 2 — √5 Объясните пожалуйста, вообще не понимаю.

Видео:Как решать любое квадратное уравнение Полное Неполное квадр ур x^2+2x-3=0 5x^2-2x=0 2x^2-2=0 3x^2=0Скачать

Составь квадратное уравнение, у которого : старший коэффициент равен 17 ; коэффициент при x равен 7 ; свободный член равен 2, 63?

Составь квадратное уравнение, у которого : старший коэффициент равен 17 ; коэффициент при x равен 7 ; свободный член равен 2, 63.

Видео:Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Составьте квадратное уравнение, у которого старший коэффициент равен — 2, коэффициент при х равен — 1, и свободный член равен — 4?

Составьте квадратное уравнение, у которого старший коэффициент равен — 2, коэффициент при х равен — 1, и свободный член равен — 4.

На этой странице сайта вы найдете ответы на вопрос Квадратное уравнение с рациональными коэффициентами , один из корней которого равен 7 / 5 — 3√2, имеет вид?, относящийся к категории Алгебра. Сложность вопроса соответствует базовым знаниям учеников 5 — 9 классов. Для получения дополнительной информации найдите другие вопросы, относящимися к данной тематике, с помощью поисковой системы. Или сформулируйте новый вопрос: нажмите кнопку вверху страницы, и задайте нужный запрос с помощью ключевых слов, отвечающих вашим критериям. Общайтесь с посетителями страницы, обсуждайте тему. Возможно, их ответы помогут найти нужную информацию.

Видео:Квадратные уравнения.Скачать

Тема урока: «Рациональные решения квадратных уравнений». 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Цели:

• образовательная: обобщить и систематизировать знания и умения решения квадратных уравнений;
• развивающая: формировать умения определять тип квадратного уравнения и выбирать рациональное решение по его коэффициентам;
• воспитательная: воспитывать внимательность и краткость изложения решений.

Тип урока: обобщение знаний и умений решения квадратных уравнений.

Оборудование: компьютер, интерактивная доска, карточки с заданиями, доска.

Эпиграф

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть — и далее подтвердить это, — что, следуя этому методу, мы достигнем цели.
(Г.Лейбниц)

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Учитель настраивает учащихся на урок и даёт установку на внимательность в подходе к решению квадратных уравнений.

2. Проверка домашнего задания.

Учащиеся сдают тетради на проверку. Учитель отвечает на возникшие вопросы у учащихся.

3. Формулирование цели и задачи урока.

Рассмотрим несколько вариантов решения квадратных уравнений, сравним их и научимся выбирать рациональное решение.

4. Классификация квадратных уравнений.

На интерактивной доске учащимся представляется таблица классификации квадратных уравнений и предлагается её прокомментировать.

a, b, c – некоторые числа, причем a 0.

D = b 2 – 4ac (дискриминант);

если D > 0, то уравнение имеет два корня

х_{1 ;} х_{2 ;}

если D = 0, то уравнение имеет один корень (или ещё говорят, имеет два равных корня)

х (х₁ х₂ = );

если D 2 +2kx + c =0,

D = 4(k 2 –ac) = 4D₁ (дискриминант), где D₁ = k 2 –ac;

если D₁ >0, то D >0, уравнение имеет два корня

х_{1 ;} х₂;

если D₁ = 0, то D = 0, уравнение имеет один корень х ;

б) D > 0, если a+b+c=0, то

х₁ = 1; х₂ = ;

D = 0, если a+b+c=0, то

в) D > 0, если a-b+c=0, то

х₁ = -1; х₂ = ;

D = 0, если a-b+c=0, то

х = -1.Приведенное квадратное уравнениеЧастный случай приведенного квадратного уравненияx 2 + px + q = 0, если D > 0, уравнение имеет два корня и решается по теореме, обратной теореме Виета х₁+х₂ = -p, х₁·х₂ = q.Если p – четное, D = 4(– q)= 4D₂ (дискриминант),

где D₂ = (– q);

D₂ > 0, то D > 0, уравнение имеет два корня

х₁ + , х₂ — .

Неполное квадратное уравнениеа) ax 2 + c = 0, где с0;

если — > 0, то

х₁ — , х₂ = ;

если — 2 + bx = 0, где b0; уравнение имеет два корня

х₁ = 0, х₂ = — .в) ax 2 = 0; уравнение имеет один корень

х = 0.Метод “переброски”

ax 2 + bx + c = 0, для решения данного квадратного уравнения составим и решим вспомогательное квадратное уравнение путём умножения свободного члена на первый коэффициент и запишем это произведение в новом уравнении свободным членом, т.е. получим квадратное уравнение вида

у 2 + by + ac = 0. Полученное квадратное уравнение можно решать любым рациональным способом (как правило, по теореме, обратной теореме Виета). Его корни — у₁ и у₂. Корни исходного квадратного уравнения:

х₁ = и х₂ = .

5. Ознакомившись с таблицей классификации, трём учащимся предлагается составить свои уравнения для каждого случая и решить их на доске с последующими комментариями.

1. 5х 2 – 11х + 2 = 0;

D = b 2 – 4ac = (-11) 2 — 45·2 = 81; D > 0, уравнение имеет два корня;

х₁ = = = 0,2;

х₂ = = = 2.

2. 3х 2 – 14х + 16 = 0;

D₁ = k 2 –ac = (-7) 2 — 316 = 1; D > 0, уравнение имеет два корня;

х₁ = = = 2;

х₂ = = = 2.

Ответ: 2; 2.

3. 15х 2 +22х — 37 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

Так как 15 + 22 – 37 = 0, то х₁ = 1, х₂ = = — 2 .

Ответ: 1; — 2 .

Следующим трём учащимся предлагается аналогичное задание, но для других случаев.

4. -15х 2 + 22х + 37 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

Так как -15– 22 + 37 = 0, то х₁ = -1 , х₂ = = 2 .

Ответ: -1; 2 .

5. х 2 – 5х + 6 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

по теореме, обратной теореме Виета х₁+х₂ = 5, х₁·х₂ = 6.

6. х 2 – 6х + 7 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

по формуле корней приведенного квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом имеем

х₁ + , х₂ — .

Ответ: — , + .

Следующему учащемуся предлагается решить квадратное уравнение методом “переброски”.

7. 5х 2 + 37х — 24 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

составим вспомогательное уравнение

у 2 + 37y – 120 = 0; по теореме, обратной теореме Виета у₁+ у₂ = -37, у₁·у₂ = -120.

Значит, у₁ = -40, у₂ = 3, тогда корни исходного уравнения

х₁ = — 8, х₂ = .

Ответ: — 8, .

6. Устные упражнения:

(учащимся предлагается прокомментировать возможные способы рационального решения квадратного уравнения).

1. 2х 2 + 3х + 1 = 0; (D > 0, a – b + c = 0);

2. х 2 + 5х — 6 = 0; (D > 0, a + b + c = 0);

3. 3х 2 — 7х + 4 = 0; (D > 0, a + b + c = 0);

4. 5х 2 + 8х + 3 = 0; (D₁ > 0, значит, D > 0, a – b + c = 0);

5. у 2 — 10y – 24 = 0; (D₂ > 0, значит, D > 0, по формуле корней приведенного квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом);

6. у 2 + y – 90 = 0; (D > 0, по теореме, обратной теореме Виета);

7. у 2 — 8y – 84 = 0; (D₂ > 0, значит, D > 0, по формуле корней приведенного квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом);

8. 3х 2 — 8х + 5 = 0; (D₁ > 0, значит, D > 0, a + b + c = 0);

9. 3х 2 + 6х = 0; (неполное квадратное уравнение; случай б));

10. 4х 2 — 16 = 0; (неполное квадратное уравнение; случай а));

11. 3у 2 — 3y + 1 = 0; (D 2 — 5х — 1 = 0; (D > 0, метод “переброски”).

7. Творческая самостоятельная работа

(по карточкам; в двух вариантах; с последующей устной проверкой).

8. Домашнее задание.

1. Повторите таблицу классификации квадратных уравнений.

2. Решите квадратные уравнения наиболее рациональным способом:

3. Составить пять квадратных уравнений с недостающими коэффициентами.

Видео:Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать

Методическая разработка урока на тему «Теорема Виета и ее применение»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Теорема Виета для квадратного уравнения

Теорема Виета (прямая):

Если квадратное уравнение ( a ≠0) имеет корни и, то

Доказательство : По формуле корней квадратного уравнения

Таким образом, первая формула теоремы доказана.

Для доказательства второй формулы воспользуемся тем, что D = b ² — 4 ac , поэтому

что и требовалось доказать.

Замечание. Корни приведенного квадратного уравнения удовлетворяют соотношениям: и .

Действительно, не приведенное квадратное уравнение ( a ≠0 ) можно связать с приведенным уравнением следующим образом: или т.к. а≠0, то.Это и есть приведенное квадратное уравнение, которое можно записать в виде, где , , поэтому , если в теореме заменить на р,

а на q , то получим, что, .

Если числа α и β таковы, что α+β=р, а αβ= q , то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения .

Доказательство : Докажем, действительно ли числа удовлетворяют этому уравнению. Подставим в левую часть уравнения р = α + β и q = αβ :

Таким образом, квадратное уравнение принимает вид , а корнями этого уравнения, очевидно, являются числа α и β, что и требовалось доказать.

Замечание1. Обратная теорема Виета используется для составления квадратного уравнения по его известным корням.

Замечание 2. Если один из корней квадратного уравнения с рациональными коэффициентами – иррациональный и имеет вид , то второй корень этого уравнения ( это следует из формулы корней квадратного уравнения и ).

Решение типовых задач .

Пример 1 . Не находя корней квадратного уравнения , найти, чему равны выражения :

Решение: Из уравнения по теореме Виета находим

Пример 2. Составить приведенное квадратное уравнение, корни которых обратны корням уравнения .

Решение . Пусть корни искомого уравнения и. Тогда по условию задачи и. Чтобы составить приведенное квадратное уравнение, нужно знать и

Тогда по обратной теореме Виета искомое уравнение имеет вид.

Пример 3. Составить приведенное квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен .

Решение. Учитывая замечание 2, получим второй корень данного уравнения . Тогда

Тогда по обратной теореме Виета искомое уравнение имеет вид

Пример 4. Пусть и — корни квадратного уравнения . Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

Решение. а) По условию , а . Составим

второе уравнение по его корням в виде х 2 + рх + q = 0.

Для этого используем утверждение, обратное теоремеВиета.

Получим: р = -(Х ₁ + Х ₂ ) и q = Х ₁ · Х ₂ , где , а

Составим квадратное уравнение с полученными коэффициентами:

Б) а) По условию , а . Составим

второе уравнение по его корням в виде х 2 + рх + q = 0.

Для этого используем утверждение, обратное теоремеВиета.

Получим: р = -(Х ₁ + Х ₂ ) и q = Х ₁ · Х ₂ , где , а

Составим квадратное уравнение с полученными коэффициентами:

второе уравнение по его корням в виде х 2 + рх + q = 0.

Для этого используем утверждение, обратное теореме

Искомое уравнение примет вид: х 2 + 7/3 · х – 2/3 = 0.

Теперь легко посчитаем утроенную сумму его

коэффициентов: 3(1 + 7/3 – 2/3) = 8 .

Теорему Виета удобно применять при решении систем уравнений

Пример 5. Решить систему уравнений:

Решение : Преобразуем выражение

Пусть х + у = u , a xy = v , получим:

Сложив уравнения получим уравнение

u ² + u -20 = 0, корни которого u =-5 и u =4

тогда v ₁ = 12 , v ₂ = 3. Возвращаясь к исходной

переменной получим две системы уравнений:

По теореме, обратной теореме Виета , составим

Пары чисел, составленные из корней второго квадратного уравнения, являются решениями данной системы.

Рассмотрим применение теоремы Виета для решения задач с параметром.

Пример1 .При каком значении параметра а сумма квадратов корней уравнения

Решение. По теореме Виета

При а=-11 получим 2х² — 11х + 22 + 1 = 0. Это уравнение не имеет корней, т.к. D

При а=3 получим уравнение 2х² +3х – 6 + 1 = 0 или 2х² + 3х – 5 = 0, корни которого х ₁ =1, х ₂ =-2,5

Пример 2. При каком значении параметра k произведение корней квадратного уравнения равно нулю?

Решение. Произведение корней приведенного квадратного уравнения равно свободному члену, т.е. .Требуется выполнение условия. Решив данное уравнение, получим корни ,

Ответ: при k =3, k =4.

Пример 2 . Найдите разность корней уравнения и значение параметра k , при котором корни уравненияотносятся как 2:3.

Решение. По условию х ₁ : х ₂ = 2:3, откуда х ₂ = 1,5х ₁ . Тогда

х ₁ + х ₂ = 5/2 (1) , а

Из соотношения (1) получим х ₁ +1,5 х ₁ = 5/2

Откуда х ₂ — х ₁ = 0,5

Подставив полученные значения в (2), получим k =-3

Пример 3. При каких значениях параметра а разность наибольшего и наименьшего корней уравнения 2х 2 – (а + 1)х + (а – 1) = 0 равна их произведению?

Это квадратное уравнение. Оно будет иметь 2 разных корня, если D > 0. Иными словами

(а + 1) 2 – 8(а – 1) > 0 или (а – 3) 2 > 0. Следовательно, мы имеем 2 корня при всех а, за исключением а = 3.

Для определенности будем считать, что х ₁ >х ₂ и получим х ₁ + х ₂ = (а + 1)/2 и

х ₁ · х ₂ = (а – 1)/2. Исходя из условия задачи х ₁ – х ₂ = (а – 1)/2. Все три условия должны выполняться одновременно

Рассмотрим первое и последнее уравнения как систему. Она легко решается методом алгебраического сложения.

Получаем х ₁ = а/2, х ₂ = 1/2. Проверим при каких а выполнится второе равенство: х ₁ · х ₂ = (а – 1)/2. Подставим полученные значения и будем иметь: а/4 = (а – 1)/2. Тогда, а = 2. Очевидно, что если а = 2, то все условия выполнены.

Пример 4. Чему равно наименьшее значение а, при котором сумма корней

уравнения х 2 – 2а(х – 1) – 1 = 0 равна сумме квадратов его корней.

Решение . Прежде всего, приведем уравнение

к каноническому виду: х 2 – 2ах + 2а – 1 = 0.Оно будет иметь корни, если

Следовательно: а 2 – (2а – 1) ≥ 0. Или (а – 1) 2 ≥ 0.

А это условие справедливо при любом а.

Применим теорему Виета: х ₁ + х ₂ = 2а,

х ₁ 2 + х ₂ 2 = (2а) 2 – 2 · (2а – 1) = 4а 2 – 4а + 2.

Получим: 2а = 4а 2 – 4а + 2. Это квадратное

уравнение имеет 2 корня: а ₁ = 1 и а ₂ = 1/2.

Наименьший из них –1/2.

Пример5.Найти все значения параметра а,при которых квадратное уравнение(а+2)х 2 –ах-а=0 имеет два корня, расположенных на числовой прямой симметрично относительно точки х=1.

При а+2=0, а=-2, тогда 2х+2=0, х=-1 –

единственное решение, следовательно данное значение а не удовлетворяет условию задачи.

Пусть а≠-2. Тогда , если х ₁ и х ₂ — корни уравнения, то х ₁ =1-у, х ₂ = 1+у, где у –некоторое действительное число.

По теореме Виета имеем:

Решим первое уравнение системы:

Найдем дискриминант данного квадратного уравнения:

🔍 Видео

Теорема Виета. 8 класс.Скачать

Алгебра. 8 класс. Квадратное уравнение /16.11.2020/Скачать

СУММА КОЭФФИЦИЕНТОВ: Как решать Квадратные Уравнения по МАТЕМАТИКЕ 8 классСкачать

8 класс. Квадратное уравнение и его корни. Алгебра.Скачать

Квадратное уравнение. Как решить? | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

Как решать квадратные уравнения. 8 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

ФОРМУЛА КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ. §20 алгебра 8 классСкачать

Как решать дробно-рациональные уравнения? | МатематикаСкачать