Квадратное уравнение с рациональными коэффициентами один из корней которого равен имеет вид

Алгебра | 5 — 9 классы

Квадратное уравнение с рациональными коэффициентами , один из корней которого равен 7 / 5 — 3√2, имеет вид.

Один из корней которого равен 7 / 5 — 3√2 имеет вид

второй корень 7 / 5 + 3√2

по теореме Виета — p = x1 + x2 = (7 / 5 — 3√2) + (7 / 5 + 3√2) = 14 / 5 ; p = — 14 / 5

q = x1 * x2 = (7 / 5 — 3√2) * (7 / 5 + 3√2) = — 401 / 25

ax ^ 2 + px + q = 0

x ^ 2 — 14 / 5x — 401 / 25 = 0

25x ^ 2 — 70x — 401 = 0

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами если один из его корней равен 3 — корень из 2?

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами если один из его корней равен 3 — корень из 2.

Видео:Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать

Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффицентами один из корней которого равен 1 разделить на 6 + корень из 2?

Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффицентами один из корней которого равен 1 разделить на 6 + корень из 2.

Видео:Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать

Составьте квадратное уравнение, у которого старший коэффициент равен 10?

Составьте квадратное уравнение, у которого старший коэффициент равен 10.

Коэффициент при x равен 7 свободный член равен 3.

Видео:Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать

Если дискриминант квадратного трёхчлена равен нулю, то a?

Если дискриминант квадратного трёхчлена равен нулю, то a.

Соответствующее квадратное уравнение имеет два различных корня.

B. его можно представить в виде полного квадрата.

C. соответствующее квадратное уравнение не имеет корней.

D. его нельзя разложить на линейные множители.

Видео:РАЗБИРАЕМ ДИСКРИМИНАНТ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #дискриминантСкачать

Составьте квадратное уравнение, у которого старший коэффициент равен — 2, коэффициент при х равен — 1, свободный член равен 4?

Составьте квадратное уравнение, у которого старший коэффициент равен — 2, коэффициент при х равен — 1, свободный член равен 4.

Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать

Укажите какое — нибудь значение а, при котором уравнение Х2( в квадрате) = а?

Укажите какое — нибудь значение а, при котором уравнение Х2( в квадрате) = а.

1)имеет два рациональных корня.

2) имеет два и ирациональных корня.

3) не имеет корней.

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Составить квадратное уравнение, у которого старший коэффициент равен, 5 , второй коэффициент равен 6, а свободный член равен 1?

Составить квадратное уравнение, у которого старший коэффициент равен, 5 , второй коэффициент равен 6, а свободный член равен 1.

Видео:Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Составьте приведённое квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, если один из его корней равен : а) √ 3 б)√3 — 1 в) — √5 г) 2 — √5 Объясните пожалуйста, вообще не понимаю?

Составьте приведённое квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, если один из его корней равен : а) √ 3 б)√3 — 1 в) — √5 г) 2 — √5 Объясните пожалуйста, вообще не понимаю.

Видео:Как решать любое квадратное уравнение Полное Неполное квадр ур x^2+2x-3=0 5x^2-2x=0 2x^2-2=0 3x^2=0Скачать

Составь квадратное уравнение, у которого : старший коэффициент равен 17 ; коэффициент при x равен 7 ; свободный член равен 2, 63?

Составь квадратное уравнение, у которого : старший коэффициент равен 17 ; коэффициент при x равен 7 ; свободный член равен 2, 63.

Видео:Квадратные уравнения.Скачать

Составьте квадратное уравнение, у которого старший коэффициент равен — 2, коэффициент при х равен — 1, и свободный член равен — 4?

Составьте квадратное уравнение, у которого старший коэффициент равен — 2, коэффициент при х равен — 1, и свободный член равен — 4.

На этой странице сайта вы найдете ответы на вопрос Квадратное уравнение с рациональными коэффициентами , один из корней которого равен 7 / 5 — 3√2, имеет вид?, относящийся к категории Алгебра. Сложность вопроса соответствует базовым знаниям учеников 5 — 9 классов. Для получения дополнительной информации найдите другие вопросы, относящимися к данной тематике, с помощью поисковой системы. Или сформулируйте новый вопрос: нажмите кнопку вверху страницы, и задайте нужный запрос с помощью ключевых слов, отвечающих вашим критериям. Общайтесь с посетителями страницы, обсуждайте тему. Возможно, их ответы помогут найти нужную информацию.

Видео:Теорема Виета. 8 класс.Скачать

Тема урока: «Рациональные решения квадратных уравнений». 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Цели:

• образовательная: обобщить и систематизировать знания и умения решения квадратных уравнений;
• развивающая: формировать умения определять тип квадратного уравнения и выбирать рациональное решение по его коэффициентам;
• воспитательная: воспитывать внимательность и краткость изложения решений.

Тип урока: обобщение знаний и умений решения квадратных уравнений.

Оборудование: компьютер, интерактивная доска, карточки с заданиями, доска.

Эпиграф

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть — и далее подтвердить это, — что, следуя этому методу, мы достигнем цели.
(Г.Лейбниц)

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Учитель настраивает учащихся на урок и даёт установку на внимательность в подходе к решению квадратных уравнений.

2. Проверка домашнего задания.

Учащиеся сдают тетради на проверку. Учитель отвечает на возникшие вопросы у учащихся.

3. Формулирование цели и задачи урока.

Рассмотрим несколько вариантов решения квадратных уравнений, сравним их и научимся выбирать рациональное решение.

4. Классификация квадратных уравнений.

На интерактивной доске учащимся представляется таблица классификации квадратных уравнений и предлагается её прокомментировать.

a, b, c – некоторые числа, причем a 0.

D = b 2 – 4ac (дискриминант);

если D > 0, то уравнение имеет два корня

х_{1 ;} х_{2 ;}

если D = 0, то уравнение имеет один корень (или ещё говорят, имеет два равных корня)

х (х₁ х₂ = );

если D 2 +2kx + c =0,

D = 4(k 2 –ac) = 4D₁ (дискриминант), где D₁ = k 2 –ac;

если D₁ >0, то D >0, уравнение имеет два корня

х_{1 ;} х₂;

если D₁ = 0, то D = 0, уравнение имеет один корень х ;

б) D > 0, если a+b+c=0, то

х₁ = 1; х₂ = ;

D = 0, если a+b+c=0, то

в) D > 0, если a-b+c=0, то

х₁ = -1; х₂ = ;

D = 0, если a-b+c=0, то

х = -1.Приведенное квадратное уравнениеЧастный случай приведенного квадратного уравненияx 2 + px + q = 0, если D > 0, уравнение имеет два корня и решается по теореме, обратной теореме Виета х₁+х₂ = -p, х₁·х₂ = q.Если p – четное, D = 4(– q)= 4D₂ (дискриминант),

где D₂ = (– q);

D₂ > 0, то D > 0, уравнение имеет два корня

х₁ + , х₂ — .

Неполное квадратное уравнениеа) ax 2 + c = 0, где с0;

если — > 0, то

х₁ — , х₂ = ;

если — 2 + bx = 0, где b0; уравнение имеет два корня

х₁ = 0, х₂ = — .в) ax 2 = 0; уравнение имеет один корень

х = 0.Метод “переброски”

ax 2 + bx + c = 0, для решения данного квадратного уравнения составим и решим вспомогательное квадратное уравнение путём умножения свободного члена на первый коэффициент и запишем это произведение в новом уравнении свободным членом, т.е. получим квадратное уравнение вида

у 2 + by + ac = 0. Полученное квадратное уравнение можно решать любым рациональным способом (как правило, по теореме, обратной теореме Виета). Его корни — у₁ и у₂. Корни исходного квадратного уравнения:

х₁ = и х₂ = .

5. Ознакомившись с таблицей классификации, трём учащимся предлагается составить свои уравнения для каждого случая и решить их на доске с последующими комментариями.

1. 5х 2 – 11х + 2 = 0;

D = b 2 – 4ac = (-11) 2 — 45·2 = 81; D > 0, уравнение имеет два корня;

х₁ = = = 0,2;

х₂ = = = 2.

2. 3х 2 – 14х + 16 = 0;

D₁ = k 2 –ac = (-7) 2 — 316 = 1; D > 0, уравнение имеет два корня;

х₁ = = = 2;

х₂ = = = 2.

Ответ: 2; 2.

3. 15х 2 +22х — 37 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

Так как 15 + 22 – 37 = 0, то х₁ = 1, х₂ = = — 2 .

Ответ: 1; — 2 .

Следующим трём учащимся предлагается аналогичное задание, но для других случаев.

4. -15х 2 + 22х + 37 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

Так как -15– 22 + 37 = 0, то х₁ = -1 , х₂ = = 2 .

Ответ: -1; 2 .

5. х 2 – 5х + 6 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

по теореме, обратной теореме Виета х₁+х₂ = 5, х₁·х₂ = 6.

6. х 2 – 6х + 7 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

по формуле корней приведенного квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом имеем

х₁ + , х₂ — .

Ответ: — , + .

Следующему учащемуся предлагается решить квадратное уравнение методом “переброски”.

7. 5х 2 + 37х — 24 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

составим вспомогательное уравнение

у 2 + 37y – 120 = 0; по теореме, обратной теореме Виета у₁+ у₂ = -37, у₁·у₂ = -120.

Значит, у₁ = -40, у₂ = 3, тогда корни исходного уравнения

х₁ = — 8, х₂ = .

Ответ: — 8, .

6. Устные упражнения:

(учащимся предлагается прокомментировать возможные способы рационального решения квадратного уравнения).

1. 2х 2 + 3х + 1 = 0; (D > 0, a – b + c = 0);

2. х 2 + 5х — 6 = 0; (D > 0, a + b + c = 0);

3. 3х 2 — 7х + 4 = 0; (D > 0, a + b + c = 0);

4. 5х 2 + 8х + 3 = 0; (D₁ > 0, значит, D > 0, a – b + c = 0);

5. у 2 — 10y – 24 = 0; (D₂ > 0, значит, D > 0, по формуле корней приведенного квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом);

6. у 2 + y – 90 = 0; (D > 0, по теореме, обратной теореме Виета);

7. у 2 — 8y – 84 = 0; (D₂ > 0, значит, D > 0, по формуле корней приведенного квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом);

8. 3х 2 — 8х + 5 = 0; (D₁ > 0, значит, D > 0, a + b + c = 0);

9. 3х 2 + 6х = 0; (неполное квадратное уравнение; случай б));

10. 4х 2 — 16 = 0; (неполное квадратное уравнение; случай а));

11. 3у 2 — 3y + 1 = 0; (D 2 — 5х — 1 = 0; (D > 0, метод “переброски”).

7. Творческая самостоятельная работа

(по карточкам; в двух вариантах; с последующей устной проверкой).

8. Домашнее задание.

1. Повторите таблицу классификации квадратных уравнений.

2. Решите квадратные уравнения наиболее рациональным способом:

3. Составить пять квадратных уравнений с недостающими коэффициентами.

Видео:Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать

Методическая разработка урока на тему «Теорема Виета и ее применение»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Теорема Виета для квадратного уравнения

Теорема Виета (прямая):

Если квадратное уравнение ( a ≠0) имеет корни и, то

Доказательство : По формуле корней квадратного уравнения

Таким образом, первая формула теоремы доказана.

Для доказательства второй формулы воспользуемся тем, что D = b ² — 4 ac , поэтому

что и требовалось доказать.

Замечание. Корни приведенного квадратного уравнения удовлетворяют соотношениям: и .

Действительно, не приведенное квадратное уравнение ( a ≠0 ) можно связать с приведенным уравнением следующим образом: или т.к. а≠0, то.Это и есть приведенное квадратное уравнение, которое можно записать в виде, где , , поэтому , если в теореме заменить на р,

а на q , то получим, что, .

Если числа α и β таковы, что α+β=р, а αβ= q , то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения .

Доказательство : Докажем, действительно ли числа удовлетворяют этому уравнению. Подставим в левую часть уравнения р = α + β и q = αβ :

Таким образом, квадратное уравнение принимает вид , а корнями этого уравнения, очевидно, являются числа α и β, что и требовалось доказать.

Замечание1. Обратная теорема Виета используется для составления квадратного уравнения по его известным корням.

Замечание 2. Если один из корней квадратного уравнения с рациональными коэффициентами – иррациональный и имеет вид , то второй корень этого уравнения ( это следует из формулы корней квадратного уравнения и ).

Решение типовых задач .

Пример 1 . Не находя корней квадратного уравнения , найти, чему равны выражения :

Решение: Из уравнения по теореме Виета находим

Пример 2. Составить приведенное квадратное уравнение, корни которых обратны корням уравнения .

Решение . Пусть корни искомого уравнения и. Тогда по условию задачи и. Чтобы составить приведенное квадратное уравнение, нужно знать и

Тогда по обратной теореме Виета искомое уравнение имеет вид.

Пример 3. Составить приведенное квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен .

Решение. Учитывая замечание 2, получим второй корень данного уравнения . Тогда

Тогда по обратной теореме Виета искомое уравнение имеет вид

Пример 4. Пусть и — корни квадратного уравнения . Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

Решение. а) По условию , а . Составим

второе уравнение по его корням в виде х 2 + рх + q = 0.

Для этого используем утверждение, обратное теоремеВиета.

Получим: р = -(Х ₁ + Х ₂ ) и q = Х ₁ · Х ₂ , где , а

Составим квадратное уравнение с полученными коэффициентами:

Б) а) По условию , а . Составим

второе уравнение по его корням в виде х 2 + рх + q = 0.

Для этого используем утверждение, обратное теоремеВиета.

Получим: р = -(Х ₁ + Х ₂ ) и q = Х ₁ · Х ₂ , где , а

Составим квадратное уравнение с полученными коэффициентами:

второе уравнение по его корням в виде х 2 + рх + q = 0.

Для этого используем утверждение, обратное теореме

Искомое уравнение примет вид: х 2 + 7/3 · х – 2/3 = 0.

Теперь легко посчитаем утроенную сумму его

коэффициентов: 3(1 + 7/3 – 2/3) = 8 .

Теорему Виета удобно применять при решении систем уравнений

Пример 5. Решить систему уравнений:

Решение : Преобразуем выражение

Пусть х + у = u , a xy = v , получим:

Сложив уравнения получим уравнение

u ² + u -20 = 0, корни которого u =-5 и u =4

тогда v ₁ = 12 , v ₂ = 3. Возвращаясь к исходной

переменной получим две системы уравнений:

По теореме, обратной теореме Виета , составим

Пары чисел, составленные из корней второго квадратного уравнения, являются решениями данной системы.

Рассмотрим применение теоремы Виета для решения задач с параметром.

Пример1 .При каком значении параметра а сумма квадратов корней уравнения

Решение. По теореме Виета

При а=-11 получим 2х² — 11х + 22 + 1 = 0. Это уравнение не имеет корней, т.к. D

При а=3 получим уравнение 2х² +3х – 6 + 1 = 0 или 2х² + 3х – 5 = 0, корни которого х ₁ =1, х ₂ =-2,5

Пример 2. При каком значении параметра k произведение корней квадратного уравнения равно нулю?

Решение. Произведение корней приведенного квадратного уравнения равно свободному члену, т.е. .Требуется выполнение условия. Решив данное уравнение, получим корни ,

Ответ: при k =3, k =4.

Пример 2 . Найдите разность корней уравнения и значение параметра k , при котором корни уравненияотносятся как 2:3.

Решение. По условию х ₁ : х ₂ = 2:3, откуда х ₂ = 1,5х ₁ . Тогда

х ₁ + х ₂ = 5/2 (1) , а

Из соотношения (1) получим х ₁ +1,5 х ₁ = 5/2

Откуда х ₂ — х ₁ = 0,5

Подставив полученные значения в (2), получим k =-3

Пример 3. При каких значениях параметра а разность наибольшего и наименьшего корней уравнения 2х 2 – (а + 1)х + (а – 1) = 0 равна их произведению?

Это квадратное уравнение. Оно будет иметь 2 разных корня, если D > 0. Иными словами

(а + 1) 2 – 8(а – 1) > 0 или (а – 3) 2 > 0. Следовательно, мы имеем 2 корня при всех а, за исключением а = 3.

Для определенности будем считать, что х ₁ >х ₂ и получим х ₁ + х ₂ = (а + 1)/2 и

х ₁ · х ₂ = (а – 1)/2. Исходя из условия задачи х ₁ – х ₂ = (а – 1)/2. Все три условия должны выполняться одновременно

Рассмотрим первое и последнее уравнения как систему. Она легко решается методом алгебраического сложения.

Получаем х ₁ = а/2, х ₂ = 1/2. Проверим при каких а выполнится второе равенство: х ₁ · х ₂ = (а – 1)/2. Подставим полученные значения и будем иметь: а/4 = (а – 1)/2. Тогда, а = 2. Очевидно, что если а = 2, то все условия выполнены.

Пример 4. Чему равно наименьшее значение а, при котором сумма корней

уравнения х 2 – 2а(х – 1) – 1 = 0 равна сумме квадратов его корней.

Решение . Прежде всего, приведем уравнение

к каноническому виду: х 2 – 2ах + 2а – 1 = 0.Оно будет иметь корни, если

Следовательно: а 2 – (2а – 1) ≥ 0. Или (а – 1) 2 ≥ 0.

А это условие справедливо при любом а.

Применим теорему Виета: х ₁ + х ₂ = 2а,

х ₁ 2 + х ₂ 2 = (2а) 2 – 2 · (2а – 1) = 4а 2 – 4а + 2.

Получим: 2а = 4а 2 – 4а + 2. Это квадратное

уравнение имеет 2 корня: а ₁ = 1 и а ₂ = 1/2.

Наименьший из них –1/2.

Пример5.Найти все значения параметра а,при которых квадратное уравнение(а+2)х 2 –ах-а=0 имеет два корня, расположенных на числовой прямой симметрично относительно точки х=1.

При а+2=0, а=-2, тогда 2х+2=0, х=-1 –

единственное решение, следовательно данное значение а не удовлетворяет условию задачи.

Пусть а≠-2. Тогда , если х ₁ и х ₂ — корни уравнения, то х ₁ =1-у, х ₂ = 1+у, где у –некоторое действительное число.

По теореме Виета имеем:

Решим первое уравнение системы:

Найдем дискриминант данного квадратного уравнения:

📽️ Видео

Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Квадратное уравнение. Как решить? | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

8 класс. Квадратное уравнение и его корни. Алгебра.Скачать

Как решать квадратные уравнения. 8 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

СУММА КОЭФФИЦИЕНТОВ: Как решать Квадратные Уравнения по МАТЕМАТИКЕ 8 классСкачать

Алгебра. 8 класс. Квадратное уравнение /16.11.2020/Скачать

Как решать дробно-рациональные уравнения? | МатематикаСкачать

ФОРМУЛА КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ. §20 алгебра 8 классСкачать