Квадратное уравнение имеет дискриминант меньше нуля

Дискриминантом квадратного трехчлена называют выражение (b^-4ac), где (a, b) и (c) – коэффициенты данного трехчлена.

Например, для трехчлена (3x^2+2x-7), дискриминант будет равен (2^2-4cdot3cdot(-7)=4+84=88). А для трехчлена (x^2-5x+11), он будет равен ((-5)^2-4cdot1cdot11=25-44=-19).

Дискриминант обозначается буквой (D) и часто используется при решении квадратных уравнений . Также по значению дискриминанта можно понять, как примерно выглядит график квадратичной функции (см. ниже).

Видео:Дискриминант меньше нуляСкачать

Дискриминант и корни квадратного уравнения

Значение дискриминанта показывает количество корней квадратного уравнения:
— если (D) положителен – уравнение будет иметь два корня;
— если (D) равен нулю – только один корень;
— если (D) отрицателен – корней нет.

Это не надо учить, к такому выводу несложно прийти, просто зная, что квадратный корень из дискриминанта (то есть, (sqrt) входит в формулу для вычисления корней квадратного уравнения: (x_=) (frac<-b+sqrt>) и (x_=) (frac<-b-sqrt>) . Давайте рассмотрим каждый случай подробнее.

Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Если дискриминант положителен

В этом случае корень из него – это некоторое положительное число, а значит (x_) и (x_) будут различны по значению, ведь в первой формуле (sqrt) прибавляется, а во второй – вычитается. И мы имеем два разных корня.

Пример: Найдите корни уравнения (x^2+2x-3=0)
Решение:

Вычисляем дискриминант по формуле (D=b^2-4ac)

Найдем корни уравнения

Получили два различных корня из-за разных знаков перед (sqrt)

На графике квадратичной функции положительный дискриминант будет означать пересечение функции с осью икс ровно в двух точках – корнях уравнения. И это логично. Вдумайтесь – если уравнение (x^2+2x-3=0) имеет корни (x_=1) и (x_=-3), значит при подстановке (1) и (-3) вместо икса, левая часть станет нулем. А значит, если те же самые единицу и минус тройку подставить в функцию (y=x^2+2x-3) получим (y=0). То есть, функция (y=x^2+2x-3) проходит через точки ((1;0)) и ((-3;0)) (подробнее смотри статью Как построить график функции ).

Видео:Решение квадратных неравенств графическим методом, если дискриминант меньше нуля. 8 класс.Скачать

Если дискриминант равен нулю

А сколько корней будет, если дискриминант равен нулю? Давайте рассуждать.

Формулы корней выглядят так: (x_=) (frac<-b+sqrt>) и (x_=) (frac<-b-sqrt>) . И если дискриминант – ноль, то и корень из него тоже ноль. Тогда получается:

То есть, значения корней уравнения будут совпадать, потому что прибавление или вычитание нуля ничего не меняет.

Пример: Найдите корни уравнения (x^2-4x+4=0)
Решение:

Вычисляем дискриминант по формуле (D=b^2-4ac)

Находим корни уравнения

Получили два одинаковых корня, поэтому нет смысла писать их по отдельности – записываем как один.

На графике квадратичной функции нулевой дискриминант означает одну точку пересечения функции с осью икс. Все аналогично изложенному выше: два корня – две точки пересечения, один корень – одна. В частности, функция (y=x^2-4x+4) будет выглядеть вот так:

Видео:Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать

Если дискриминант отрицателен

В этом случае корень из дискриминанта извлечь нельзя (т.к. квадратный корень из отрицательного числа – невычислим), а значит и корни квадратного уравнения мы вычислить не можем.

Пример: Найдите корни уравнения (x^2+x+3=0)
Решение

Вычисляем дискриминант по формуле (D=b^2-4ac)

Находим корни уравнения

Оба корня содержат невычислимое выражение (sqrt), значит, и сами не вычислимы

То есть, отсутствие корней у квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом – не чья-то случайная придумка. Это не потому что «в учебнике так написано», а действительно правда: невозможно найти такое число, чтоб при подстановке его вместо икса в выражение (x^2+x+3) получился ноль.

Матхак: заметим, что если вы решаете обычное квадратное уравнение или неравенство и получаете отрицательный дискриминант, стоит проверить решение еще раз, так как это не частая ситуация в школьном курсе математики.

Ну, а на графиках все просто: нет корней – нет точек пересечения с осью икс!

Видео:Отрицательный дискриминантСкачать

Квадратные неравенства

Чтобы решить квадратные неравенства вспомним, что такое квадратичная функция?
Квадратичная функция – это функция записанная формулой : y=ax 2 +bx+c, где x – независимая переменная, a, b и c – некоторые числа, при этом a≠0.
Графиком квадратичной функции является парабола.

В зависимости от значения a ветви графика направлены вверх или вниз:

• если a>0, то ветви параболы направлены вверх;
• если a 2 +bx+c=0

Видео:Решение квадратных неравенств | МатематикаСкачать

Квадратные неравенства имеют вид.

ax 2 +bx+c>0
ax 2 +bx+c 2 +bx+c≥0
ax 2 +bx+c≤0

Чтобы начать решать квадратные неравенства, необходимо знать как решаются квадратные уравнения?
А также для графического метода решения неравенства, необходимо знать алгоритм построения квадратичной функции или параболы?

Видео:Как решать квадратные уравнения ⁉ Дискриминант 🌟 ОБЪЯСНЕНИЕ 🌟 D меньше (равен, больше) нуляСкачать

Как решать квадратные неравенства?

Решение квадратных неравенств рассмотрим на примерах. Для начала разберем случаи, когда у квадратного уравнения дискриминант меньше нуля (нет корней).

Пример:

Дискриминант меньше нуля —236, следовательно у уравнения нет корней, а это значит, что весь график параболы находится выше оси х, потому что а=3>0 (ветви параболы смотрят вверх)

Можно проверить себя взяв любое число с числовой прямой, например число 1. Подставить число 1 вместо переменой х в неравенство 3x 2 +2x+20>0.

Получили верное неравенство 25>0, следовательно так как у нас нет корней уравнения нам подойдут все точки числовой прямой.

Пример:

Рассмотрим этот же пример со знаком неравенства меньше 0

3x 2 +2x+20 2 +2x+20=0

Дискриминант меньше нуля —236, следовательно у уравнения нет корней, значит парабола не пересекает ось x. Весь график параболы находится выше оси х, потому что а=3>0.

А знак уравнения меньше 2 +2x+20 2 +2•1+20 2 +x-2 2 +x-2=0

Дискриминант больше нуля, следовательно у уравнения два корня, значит парабола пересекает ось x в точка x=1 и x=-2. Ветви параболы смотрят вверх, потому что а=1>0.

Знак уравнения меньше 2 +x-2 2 +(-3)-2 2 +(0)-2 2 +(2)-2 2 +x-2>0

Дискриминант больше нуля, следовательно у уравнения два корня, значит парабола пересекает ось x в точка x=1 и x=-2. Ветви параболы смотрят вверх, потому что а=1>0.

Знак уравнения больше >0. Нам в ответ необходимо записать часть параболы, которая находится выше оси x. Визуально графически можно оценить по картинке, нам подходят интервалы (-∞;-2) и (1;+∞).

Также можно решить методом интервалов. Ось x делится на три участка.

Первый участок (-∞;-2). На этом участке можно взять любое число меньше -2, например возьмем число -3 и подставим в неравенство x 2 +x-2 2 +(-3)-2>0

Получили верное неравенство 4>0, следовательно этот интервал (-∞; 2) подходит.

Второй участок (-2; 1). На этом участке можно взять число 0.

Получили неверное неравенство -2>0, следовательно этот интервал (-2; 1) не подходит.

Третий участок (1; +∞). На этом участке возьмем число 2.

Получили верное неравенство 4>0, следовательно этот интервал (1; +∞) подходит.

Видео:Решение квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом. ПримерСкачать

Нахождение дискриминанта, формула, сравнение с нулём

Дискриминант — многозначный термин. В данной статье речь пойдёт о дискриминанте многочлена, который позволяет определить, есть ли у данного многочлена действительные решения. Формула для квадратного многочлена встречается в школьном курсе алгебры и анализа. Как найти дискриминант? Что нужно для решения уравнения?

Видео:Решение квадратных неравенств графическим методом, если дискриминант равен нулю. 8 класс.Скачать

Квадратный многочлен, как искать его корни

Квадратным многочленом или уравнением второй степени называется i * w ^ 2 + j * w + k равный 0, где «i» и «j» — первый и второй коэффициент соответственно, «k» — константа, которую иногда именуют «свободным членом», а «w» — переменная. Его корнями окажутся все значения переменной, при которых оно превращается в тождество. Такое равенство допустимо переписать, как произведение i, (w — w1) и (w — w2) равное 0. В этом случае очевидно, что если коэффициент «i» не обращается в ноль, то функция в левой части станет нулевой только в случае, если x принимает значение w1 или w2. Эти значения являются результатом приравнивания многочлена к нулю.

Для нахождения значения переменной, при котором квадратный многочлен обращается в ноль, используется вспомогательная конструкция, построенная на его коэффициентах и названная дискриминантом. Эта конструкция рассчитывается согласно формуле D равняется j * j — 4 * i * k. Зачем она используется?

1. Она говорит, имеются ли действительные результаты.
2. Она помогает их высчитать.

Как это значение показывает наличие вещественных корней:

• Если оно положительное, то можно найти два корня в области действительных чисел.
• Если дискриминант равен нулю, то оба решения совпадают. Можно сказать, что есть всего одно решение, и оно из области вещественных чисел.
• Если дискриминант меньше нуля, то у многочлена отсутствуют вещественные корни.

Варианты расчётов для закрепления материала

Для суммы равной 0 рассчитываем D по формуле 3 * 3 — 4 * 7 * 1 = 9 — 28 получаем -19. Значение дискриминанта ниже нуля говорит об отсутствии результатов на действительной прямой.

Если рассмотреть 2 * w ^ 2 — 3 * w + 1 эквивалентный 0, то D рассчитывается как (-3) в квадрате за вычетом произведения чисел и равняется 9 — 8, то есть 1. Положительное значение говорит о двух результатах на вещественной прямой.

Если взять сумму и прировнять к 0, D рассчитается, как два в квадрате минус произведение чисел . Это выражение упростится до 4 — 4 и обратится в ноль. Выходит, что результаты совпадают. Если внимательно вглядеться в данную формулу, то станет понятно, что это «полный квадрат». Значит, равенство можно переписать в форме (w + 1) ^ 2 = 0. Стало очевидно, что результат в этой задаче «-1». В ситуации если D равен 0, левую часть равенства всегда получится свернуть по формуле «квадрат суммы».

Использование дискриминанта в вычислении корней

Эта вспомогательная конструкция не только показывает количество вещественных решений, но и помогает их находить. Общая формула расчёта для уравнения второй степени такова:

w = (-j +/- d) / (2 * i), где d — дискриминант в степени 1/2.

Допустим, дискриминант ниже нулевой отметки, тогда d — мнимо и результаты мнимые.

D нулевой, тогда d, равный D в степени 1/2, тоже нулевой. Решение: -j / (2 * i). Снова рассматриваем 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, находим результаты эквивалентные -2 / (2 * 1) = -1.

Предположим, D > 0, значит, d — вещественное число, и ответ здесь распадается на две части: w1 = (-j + d) / (2 * i) и w2 = (-j — d) / (2 * i). Оба результата окажутся действительные. Взглянем на 2 * w ^ 2 — 3 * w + 1 = 0. Здесь дискриминант и d — единицы. Выходит, w1 равняется (3 + 1) делить (2 * 2) или 1, а w2 равен (3 — 1) делить на 2 * 2 или 1/2.

Результат приравнивания квадратного выражения к нулю вычисляется согласно алгоритму:

1. Вычисление дискриминанта.
2. Определение количества действительных решений.
3. Вычисление d = D ^ (1/2).
4. Нахождение результата в соответствии с формулой (-j +/- d) / (2 * i).
5. Подстановка полученного результата в исходное равенство для проверки.

Видео:Что такое дискриминант?Скачать

Некоторые частные случаи

В зависимости от коэффициентов решение может несколько упрощаться. Очевидно, что если коэффициент перед переменной во второй степени равен нулю, то получается линейное равенство. Когда коэффициент перед переменной в первой степени нулевой, то возможны два варианта:

1. многочлен раскладывается в разность квадратов при отрицательном свободном члене;
2. при положительной константе действительных решений найти нельзя.

Если свободный член нулевой, то корни будут

Но есть и другие частные случаи, упрощающие нахождение решения.

Приведенное уравнение второй степени

Приведенным именуют такой квадратный трёхчлен, где коэффициент перед старшим членом — единица. Для данной ситуации применима теорема Виета, гласящая, что сумма корней равняется коэффициенту при переменной в первой степени, помноженному на -1, а произведение соответствует константе «k».

Следовательно, w1 + w2 равно -j и w1 * w2 равняется k, если первый коэффициент — единица. Чтобы убедиться в правильности такого представления, можно выразить из первой формулы w2 = -j — w1 и подставить его во второе равенство w1 * (-j — w1) = k. В итоге получается исходное равенство w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Важно отметить, что i * w ^ 2 + j * w + k = 0 удастся привести путём деления на «i». Результат будет: w ^ 2 + j1 * w + k1 = 0, где j1 равно j / i и k1 равно k / i.

Взглянем на уже решенное 2 * w ^ 2 — 3 * w + 1 = 0 с результатами w1 = 1 и w2 = 1/2. Надо поделить его пополам, в итоге w ^ 2 — 3/2 * w + 1/2 = 0. Проверим, что для найденных результатов справедливы условия теоремы: 1 + 1/2 = 3/2 и 1*1/2 = 1/2.

Чётный второй множитель

Если множитель при переменной в первой степени (j) делится на 2, то удастся упростить формулу и искать решение через четверть дискриминанта D/4 = (j / 2) ^ 2 — i * k. получается w = (-j +/- d/2) / i, где d/2 = D/4 в степени 1/2.

Если i = 1, а коэффициент j — чётный, то решением будет произведение -1 и половины коэффициента при переменной w, плюс/минус корень из квадрата этой половины за вычетом константы «k». Формула: w = -j / 2 +/- (j ^ 2 / 4 — k) ^ 1/2.

Видео:РАЗБИРАЕМ ДИСКРИМИНАНТ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #дискриминантСкачать

Более высокий порядок дискриминанта

Рассмотренный выше дискриминант трёхчлена второй степени — это наиболее употребимый частный случай. В общем же случае дискриминант многочлена представляет собой перемноженные квадраты разностей корней этого многочлена. Следовательно, дискриминант равный нулю говорит о наличии как минимум двух кратных решений.

Рассмотрим i * w ^ 3 + j * w ^ 2 + k * w + m = 0.

D = j ^ 2 * k ^ 2 — 4 * i * k ^ 3 — 4 * i ^ 3 * k — 27 * i ^ 2 * m ^ 2 + 18 * i * j * k * m.

🎬 Видео

Урок 18 как решить квадратное неравенство дискриминант меньше нуляСкачать

Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Как решать квадратные уравнения без дискриминантаСкачать

Решение квадратных неравенств методом интервалов. 8 класс.Скачать

Урок 77 Метод интервалов 4 . Дискриминант меньше 0Скачать

6. Квадратное уравнение. Дискриминант равен нулю.Скачать

Квадратное уравнение. Как решить? | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

Как решать квадратные уравнения. 8 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Отрицательный дискриминант в квадратном неравенстве. Теория 1Скачать