Квадрат модуля волновой функции входящей в уравнение (4 видео)

Квадрат модуля волновой функции входящей в уравнение

Важным этапом в создании квантовой механики явилось обнаружение волновых свойств микрочастиц. Идея о волновых свойствах была первоначально высказана как гипотеза французским физиком Луи де Бройлем.

В физике в течение многих лет господствовала теория, согласно которой свет есть электромагнитная волна. Однако после работ Планка (тепловое излучение), Эйнштейна (фотоэффект) и других стало очевидным, что свет обладает корпускулярными свойствами.

Чтобы объяснить некоторые физические явления, необходимо рассматривать свет как поток частиц-фотонов. Корпускулярные свойства света не отвергают, а дополняют его волновые свойства.

Итак, фотон-элементарная частица света, обладающая волновыми свойствами.

Логично считать, что и другие частицы-электроны, нейтроны- обладают волновыми свойствами.

Формула для импульса фотона

была использована для других микрочастиц массой m, движущихся со скоростью v:

По де Бройлю, движение частицы, например, электрона, подобно волновому процессу с длиной волны λ , определяемой формулой (4.4.3). Эти волны называют волнами де Бройля . Следовательно, частицы (электроны, нейтроны, протоны, ионы, атомы, молекулы) могут проявлять дифракционные свойства.

К.Дэвиссон и Л.Джермер впервые наблюдали дифракцию электронов на монокристалле никеля.

Может возникнуть вопрос: что происходит с отдельными частицами, как образуются максимумы и минимумы при дифракции отдельных частиц?

Опыты по дифракции пучков электронов очень малой интенсивности, то есть как бы отдельных частиц, показали, что при этом электрон не «размазывается» по разным направлениям, а ведет себя как целая частица. Однако вероятность отклонения электрона по отдельным направлениям в результате взаимодействия с объектом дифракции различная. Наиболее вероятно попадание электронов в те места, которые по расчету соответствуют максимумам дифракции, менее вероятно их попадание в места минимумов. Таким образом, волновые свойства присущи не только коллективу электронов, но и каждому электрону в отдельности.

Содержание

4.4.2. Волновая функция и ее физический смысл
4.4.3. Соотношение неопределенностей
4.4.4.Уравнение Шредингера
4.4.5. Применение уравнения Шредингера к атому водорода. Квантовые числа
Волны (стр. 6 )
Квадрат модуля волновой функции входящей в уравнение
4.1. Уравнение Шредингера
Уравнение Шредингера
4.2. Частица в одномерной прямоугольной яме с бесконечными стенками
4.3. Гармонический осциллятор
Частица в одномерной потенциальной яме
4.4. Частица в поле с центральной симметрией
4.5. Орбитальный момент количества движения
4.6. Спин
4.7. Полный момент количества движения
4.8. Квантовые числа
Таблица квантовых чисел
Задачи
📽️ Видео

4.4.2. Волновая функция и ее физический смысл

Так как с микрочастицей сопоставляют волновой процесс, который соответствует ее движению, то состояние частиц в квантовой механике описывается волновой функцией, зависящей от координат и времени: .

Если силовое поле, действующее на частицу, является стационарным, то есть не зависящим от времени, то ψ-функцию можно представить в виде произведения двух сомножителей, один из которых зависит от времени, а другой от координат:

В дальнейшем будем рассматривать только стационарные состояния; ψ-функция является вероятностной характеристикой состояния частицы. Поясним смысл этого утверждения.

Выделим в пространстве достаточно малый объем dV=dxdydz, в пределах которого значения ψ-функции можно считать одинаковыми. Вероятность нахождения dW в частицы в этом объеме пропорциональна объему и зависит от квадрата модуля ψ -функции:

Отсюда следует физический смысл волновой функции:

Квадрат модуля волновой функции равен плотности вероятности, то есть отношению вероятности нахождения частицы в объеме к этому объему .

Интегрируя выражение (4.4.5) по некоторому объему V, находим вероятность нахождения частицы в этом объеме:

4.4.3. Соотношение неопределенностей

Одним из важных положений квантовой механики являются соотношения неопределенностей, предложенные В.Гейзенбергом.

Пусть одновременно измеряют положение и импульс частицы, при этом неточности в определениях абсциссы и проекции импульса на ось абсцисс равны соответственно Δx и Δр x .

В классической физике нет каких-либо ограничений, запрещающих с любой степенью точности одновременно измерить как одну, так и другую величину, то есть Δx→0 и Δр x→ 0.

В квантовой механике положение принципиально иное: Δx и Δр x , соответствующие одновременному определению x и р x , связаны зависимостью

Таким образом, чем точнее определена координата x (Δx→0), тем не менее точно определена проекция р x (Δp x→ ± ), и наоборот. Аналогично,

Формулы (4.4.8), (4.4.9) называют соотношениями неопределенностей .

Поясним их одним модельным экспериментом.

При изучении явления дифракции было обращено внимание на то, что уменьшение ширины щели при дифракции приводит к увеличению ширины центрального максимума. Аналогичное явление будет и при дифракции электронов на щели в модельном опыте. Уменьшение ширины щели означает уменьшение Δ x (рис. 4.4.1), это приводит к большему «размазыванию» пучка электронов, то есть к большей неопределенности импульса и скорости частиц.

Рис. 4.4.1.Пояснение к соотношению неопределенности.

Соотношение неопределенностей можно представить в виде

где ΔE — неопределенность энергии некоторого состояния системы; Δt -промежуток времени, в точение которого оно существует. Соотношение (4.4.10) означает, что чем меньше время существования какого-либо состояния системы, тем более неопределенно его значение энергии. Энергетические уровни Е 1 , Е 2 и т.д. имеют некоторую ширину (рис.4.4.2)), зависящую от времени пребывания системы в состоянии, соответствующем этому уровню.

Рис. 4.4.2.Энергетические уровни Е 1 , Е 2 и т.д. имеют некоторую ширину.

«Размытость» уровней приводит к неопределенности энергии ΔE излучаемого фотона и его частоты Δν при переходе системы с одного энергетического уровня на другой:

Это проявляется в уширении спектральных линий.

4.4.4.Уравнение Шредингера

Так как состояние микрочастицы описывают ψ -функцией, то надо указать способ нахождения этой функции с учетом внешних условий. Это возможно в результате решения основного уравнения квантовой механики, предложенного Шредингером. Такое уравнение в квантовой механике постулируется так же, как в классической механике постулируется закон Ньютона.

Применительно к стационарным состояниям уравнение Шредингера может быть записано так:

где m- масса частицы; ; Е и Е n –ее полная и потенциальная энергии (потенциальная энергия определяется силовым полем, в котором находится частица, и для стационарного случая не зависит от времени)

Если частица перемещается только вдоль некоторой линии, например вдоль оси ОХ (одномерный случай), то уравнение Шредингера существенно упрощается и принимает вид

Одним из наиболее простых примеров на использование уравнения Шредингера является решение задачи о движении частицы в одномерной потенциальной яме.

4.4.5. Применение уравнения Шредингера к атому водорода. Квантовые числа

Описание состояний атомов и молекул с помощью уравнения Шредингера является достаточно сложной задачей. Наиболее просто она решается для одного электрона, находящегося в поле ядра. Такие системы соответствуют атому водорода и водородоподобным ионам (однократно ионизированный атом гелия, двукратно ионизированный атом лития и т.п.). Однако и в этом случае решение задачи является сложным, поэтому ограничимся лишь качественным изложением вопроса.

Прежде всего в уравнение Шредингера (4.4.12) следует подставить потенциальную энергию, которая для двух взаимодействующих точечных зарядов – e (электрон) и Ze (ядро), — находящихся на расстоянии r в вакууме, выражается следующим образом:

Состояние электрона в атоме характеризуется не одним, а несколькими квантовыми числами.

Первое из них — главное квантовое число n =1, 2, 3, . Оно определяет уровни энергии электрона по закону

Это выражение является решением уравнения Шредингера и полностью совпадает с соответствующей формулой теории Бора (4.2.30)

На рис.4.4.3 показаны уровни возможных значений полной энергии атома водорода (Е 1 , Е 2 , Е 3 и т.д.) и график зависимости потенциальной энергии Е n от расстояния r между электроном и ядром. С возрастанием главного квантового числа n увеличивается r (см.4.2.26), а полная (4.4.15) и потенциальная энергии стремятся к нулю. Кинетическая энергия также стремится к нулю. Заштрихованная область (Е>0) соответствует состоянию свободного электрона.

Рис. 4.4.3. Показаны уровни возможных значений полной энергии атома водорода
и график зависимости потенциальной энергии от расстояния r между электроном и ядром.

Второе квантовое число – орбитальное l , которое при данном n может принимать значения 0, 1, 2, …., n-1. Это число характеризует орбитальный момент импульса L i электрона относительно ядра:

Третье квантовое число – магнитное m l , которое при данном l принимает значения 0, ±1, ± 2, …, ±l; всего 2l+1 значений. Это число определяет проекции орбитального момента импульса электрона на некоторое произвольно выбранное направление Z:

Четвертое квантовое число – спиновое m s . Оно может принимать только два значения (±1/2) и характеризует возможные значения проекции спина электрона:

Состояние электрона в атоме с заданными n и l обозначают следующим образом: 1s, 2s, 2p, 3s и т.д. Здесь цифра указывает значение главного квантового числа, а буква – орбитальное квантовое число: символам s, p, d, f, соответствуют значения l=0, 1, 2. 3 и т.д.

Видео:Волновая функция (видео 5) | Квантовая физика | ФизикаСкачать

Волны (стр. 6 )

Квадрат модуля волновой функции входящей в уравнение

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7

I: 20.16; t=0; k=B; ek=50; m=50; c=0;

S: На рисунке представлена диаграмма энергетических уровней атома. Переход с излучением фотона наибольшей частоты обозначен цифрой …

I: 20.17; t=0; k=B; ek=50; m=50; c=0;

S: На рисунке представлена диаграмма энергетических уровней атома. Переход с излучением фотона наименьшей частоты обозначен цифрой …

I: 20.18; t=0; k=B; ek=50; m=50; c=0;

S: На рисунке представлена диаграмма энергетических уровней атома водорода. Поглощение фотона с наибольшей длиной волны происходит при переходе, обозначенном стрелкой под номером …

I: 20.19; t=0; k=B; ek=50; m=50; c=0;

S: На рисунке представлена диаграмма энергетических уровней атома водорода. Поглощение фотона с наименьшей длиной волны происходит при переходе, обозначенном стрелкой под номером …

I: 20.20; t=0; k=B; ek=50; m=50; c=0;

S: На рисунке представлена диаграмма энергетических уровней атома водорода. Излучение фотона с наименьшей длиной волны происходит при переходе, обозначенном стрелкой под номером …

V2: 21. Соотношение неопределенностей Гейзенберга. (B)

I: 21.01; t=0; k=B; ek=50; m=50; c=0;

S: Высокая монохроматичность лазерного излучения обусловлена относительно большим временем жизни электронов в метастабильном состоянии

. Учитывая, что постоянная Планка , ширина метастабильного уровня (в эВ) будет не менее …

I: 21.02; t=0; k=B; ek=50; m=50; c=0;

S: Положение пылинки массой кг определено с неопределенностью . Учитывая, что постоянная Планка , неопределенность скорости (в м/с) будет не менее …

I: 21.03; t=0; k=B; ek=50; m=50; c=0;

S: Электрон локализован в пространстве в пределах. Учитывая, что постоянная Планка , а масса электрона , неопределенность скорости (в м/с) составляет не менее …

I: 21.04; t=0; k=B; ek=50; m=50; c=0;

S: Время жизни атома в возбужденном состоянии τ =10 нс. Учитывая, что постоянная Планка , ширина энергетического уровня (в эВ) составляет не менее …

I: 21.05; t=0; k=B; ek=50; m=50; c=0;

S: Учитывая, что постоянная Планка , а ширина метастабильного уровня электрона не менее эВ, определить время жизни электрона в метастабильном состоянии.

I: 21.06; t=0; k=B; ek=50; m=50; c=0;

S: Определить массу пылинки в килограммах, если ее положение определено с неопределенностью Δх=0,1мкм, а неопределенность скорости будет при этом не менее м/c. Постоянная Планка .

I: 21.07; t=0; k=B; ek=50; m=50; c=0;

S: Какова неопределенность положения Δх пылинки массой 10-9 кг, если неопределенность скорости при этом будет не менее м/c. Постоянная Планка .

I: 21.08; t=0; k=B; ek=50; m=50; c=0;

S: Определить пределы локализации в пространстве электрона, если известно, что неопределенность скорости составляет не менее 115 м/c. Масса электрона m=9,1·10-31 кг, Постоянная Планка .

I: 21.09; t=0; k=B; ek=50; m=50; c=0;

S: Частица какой массы локализована в пространстве в пределах Δ х = 1 мкм, если неопределенность скорости составляет не менее 115 м/c. Постоянная Планка .

I: 21.10; t=0; k=B; ek=50; m=50; c=0;

S: Определить время жизни атома в возбужденном состоянии, если ширина энергетического уровня составляет не менее 6,6 · 10-8 эВ. Постоянная Планка .

V2: 22. уравнение Шредингера (общие свойства) (A)

I: 22.01; t=0; k=A; ek=25; m=25; c=0;

S: Стационарным уравнением Шредингера для линейного гармонического осциллятора является уравнение …

I: 22.02; t=0; k=A; ek=25; m=25; c=0;

S: Стационарным уравнением Шредингера для частицы в трехмерном ящике с бесконечно высокими стенками является уравнение …

I: 22.03; t=0; k=A; ek=25; m=25; c=0;

S: Стационарным уравнением Шредингера для частицы в одномерном ящике с бесконечно высокими стенками является уравнение …

I: 22.04; t=0; k=A; ek=25; m=25; c=0;

S: Стационарным уравнением Шредингера для электрона в водородоподобном ионе является уравнение …

I: 22.05; t=0; k=A; ek=25; m=25; c=0;

S: Нестационарным уравнением Шредингера является уравнение…

I: 22.06; t=0; k=A; ek=25; m=25; c=0;

S: Стационарное уравнение Шредингера описывает

+: линейный гармонический осциллятор

-: частицу в трехмерном ящике с бесконечно высокими стенками

-: частицу в одномерном ящике с бесконечно высокими стенками

-: электрон в водородоподобном ионе

I: 22.07; t=0; k=A; ek=25; m=25; c=0;

S: Стационарное уравнением Шредингера описывает

-: линейный гармонический осциллятор

+: частицу в трехмерном ящике с бесконечно высокими стенками

-: частицу в одномерном ящике с бесконечно высокими стенками

-: электрон в водородоподобном ионе

I: 22.08; t=0; k=A; ek=25; m=25; c=0;

S: Стационарное уравнением Шредингера описывает

+: частицу в одномерном ящике с бесконечно высокими стенками

-: частицу в трехмерном ящике с бесконечно высокими стенками

-: линейный гармонический осциллятор

-: электрон в водородоподобном ионе

I: 22.09; t=0; k=A; ek=25; m=25; c=0;

S: Стационарное уравнением Шредингера описывает

+: электрон в водородоподобном ионе

-: частицу в одномерном ящике с бесконечно высокими стенками

-: частицу в трехмерном ящике с бесконечно высокими стенками

-: линейный гармонический осциллятор

I: 22.10; t=0; k=A; ek=25; m=25; c=0;

S: Одномерным временным (нестационарным) уравнением Шредингера является уравнение …

I: 22.11; t=0; k=A; ek=25; m=25; c=0;

S: Для уравнения Шредингера справедливы следующие утверждения:

1. Уравнение стационарно.

2. Уравнение соответствует трехмерному случаю.

3. Уравнение характеризует состояние частицы в бесконечно глубоком прямоугольном потенциальном ящике.

4. Уравнение характеризует движение частицы вдоль оси Х под действием квазиупругой силы, пропорциональной смещению частицы от положения равновесия.

I: 22.12; t=0; k=A; ek=25; m=25; c=0;

S: С помощью волновой функции , входящей в уравнение Шредингера, можно определить …

+: с какой вероятностью частица может быть обнаружена в различных точках пространства

-: импульс частицы в любой точке пространства

-: траекторию, по которой движется частица в пространстве

-: координату частицы в пространстве

I: 22.13; t=0; k=A; ek=25; m=25; c=0;

S: Квадрат модуля волновой функции , входящей в уравнение Шредингера, равен …

+: плотности вероятности обнаружения частицы в соответствующем месте пространства

-: импульсу частицы в соответствующем месте пространства

-: энергии частицы в соответствующем месте пространства

-: координате частицы в соответствующем месте пространства

I: 22.14; t=0; k=A; ek=25; m=25; c=0;

S: На рисунках приведены картины распределения плотности вероятности нахождения микрочастицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Состоянию с квантовым числом n=2 соответствует

I: 22.15; t=0; k=A; ek=25; m=25; c=0;

I: 22.16; t=0; k=A; ek=25; m=25; c=0;

I: 22.17; t=0; k=A; ek=25; m=25; c=0;

I: 22.18; t=0; k=A; ek=25; m=25; c=0;

S: Задана пси-функция микрочастицы. Вероятность того, что частица будет обнаружена в объеме V, определяется выражением …

I: 22.19; t=0; k=A; ek=25; m=25; c=0;

S: Задана пси-функция микрочастицы. Плотность вероятности определяется выражением …

I: 22.20; t=0; k=A; ek=25; m=25; c=0;

S: Задана пси-функция микрочастицы. Вероятность нахождения микрочастицы в единичном объеме в окрестности точки с координатами , определяется выражением …

V2: 23. уравнение Шредингера (конкретные свойства) (B)

I: 23.01; t=0; k=B; ek=50; m=50; c=0;

S: Частица находится в потенциальной яме шириной L с бесконечно высокими стенками в определенном энергетическом состоянии с квантовым числом n, а отношение собственных значений энергий уровней . В этом случае квантовое число n, определяющее энергию частицы, равно …

I: 23.02; t=0; k=B; ek=50; m=50; c=0;

S: Волновая функция вида: является стоячей волной де Бройля и описывает состояние частицы, находящейся на энергетическом уровне с номером n в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной L с бесконечно высокими стенками. Определите номер n энергетического уровня, если для соседних уровней с номерами (n+1) и (n-1) отношение числа узлов, где волновые функций и на отрезке обращается в нуль, равно .

I: 23.03; t=0; k=B; ek=50; m=50; c=0;

S: Вероятность обнаружить электрон в некотором пространственном интервале определяется через волновую функцию . Если — функция на участке (a, b) одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками имеет вид, указанный на рисунке, то вероятность обнаружить электрон на участке равна …

I: 23.04; t=0; k=B; ek=50; m=50; c=0;

S: Вероятность обнаружить электрон на участке (a, b) одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками вычисляется по формуле , где – плотность вероятности, определяемая -функцией. Если -функция имеет вид, указанный на рисунке, то вероятность обнаружить электрон на участке равна…

I: 23.05; t=0; k=B; ek=50; m=50; c=0;

I: 23.06; t=0; k=B; ek=50; m=50; c=0;

I: 23.07; t=0; k=B; ek=50; m=50; c=0;

I: 23.08; t=0; k=B; ek=50; m=50; c=0;

I: 23.09; t=0; k=B; ek=50; m=50; c=0;

Видео:Урок 454. Понятие о волновой функцииСкачать

Квадрат модуля волновой функции входящей в уравнение

Аналог классического волнового уравнения был предложен Э. Шредингером в 1925 г. Как и классическое уравнение, уравнение Шредингера связывает производные волновой функции по времени и координате. Уравнение Шредингера описывает поведение любых нерелятивистских систем. На примерах частицы, находящейся в бесконечно глубокой яме, и гармонического осциллятора рассмотрены простейшие квантовые системы, получены дискретные спектры состояний. Возможности описания динамики данных систем ограничены набором квантовых чисел, отражающих универсальные и внутренние симметрии квантовых систем.

4.1. Уравнение Шредингера

В квантовой физике изменение состояния частицы описывается уравнением Шредингера

(4.1)

где – оператор Гамильтона – аналог классической функции Гамильтона

в которой и заменены операторами импульса _x, _y, _z и координаты , , :

х → = х, y → = y, z → = z,

(4.2)

Уравнение Шредингера

Зависящее от времени уравнение Шредингера:

где – гамильтониан системы.

Разделение переменных. Запишем Ψ(,t) = ψ()θ(t), где ψ является функцией координат, а θ – функция времени. Если не зависит от времени, тогда уравнение ψ = iћψ принимает вид θψ = iћψθ или

Левая часть является функцией только координат, а правая не зависит от переменной x. Поэтому обе части последнего уравнения должны быть равны одной и той же постоянной, которую обозначим E

θ(t) = exp(−iEt/ћ), ψ() = Eψ() и Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ).

Уравнение ψ() = Eψ() называют стационарным уравнением Шредингера. Для одномерной системы с массой m в поле с потенциалом U(x) оно принимает вид:

или

Для трехмерной системы с массой m в поле с потенциалом U():

−(ћ 2 /2m)Δψ() + U()ψ() = Eψ(),

где Δ – лапласиан.

Так как уравнение Шредингера является линейным уравнением первого порядка по времени, то с его помощью по заданному значению волновой функции Ψ(x, y, z, 0) в момент времени t = 0 можно найти её значение в произвольный момент времени t − Ψ(x, y, z, t).

Уравнение Шредингера для стационарного состояния, когда потенциальная энергия частицы не зависит от времени, имеет вид

ψ(

) = Eψ(

(4.3)

Это уравнение называют стационарным уравнением Шредингера.

Так как в стационарном состоянии

Ψ(

,t) = ψ(

)exp(−iEt/ћ)

(4.4)

и вероятность найти частицу в момент t в точке x, y, z пропорциональна |Ψ(,t)|, то она

|ψ(x,y,z)| 2 , т.е. не зависит от времени. Аналогично, вероятность обнаружить значение физической величины, характеризующей систему, также не изменяется со временем, поскольку выражается через квадрат модуля волновой функции.

4.2. Частица в одномерной прямоугольной яме с бесконечными стенками

Потенциальная энергия U(x) в прямоугольной яме удовлетворяет следующим условиям:

(4.5)

Рис.4.1. Прямоугольная яма с бесконечными стенками

Частица находится в области 0 ≤ x ≤ L. Вне этой области ψ(x) = 0. Уравнение Шредингера для частицы, находящейся в области 0 ≤ x ≤ L

(4.6)

Волновая функция, являющаяся решением уравнения (4.9), имеет вид

ψ(x)= Аsin kx + Bcos kx,

(4.7)

где k = (2mE/ћ 2 ) 1/2 . Из граничных условий ψ(0) = 0, ψ(L) = 0 и условий непрерывности волновой функции следует

Аsin kL = 0.

(4.8)

kL = nπ, n = 1, 2, 3, … , то есть внутри потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками устанавливаются стоячие волны, а энергия состояния частиц имеет дискретный спектр значений E_n

n = 1, 2, 3, …

(4.9)

Частица может находиться в каком-то одном из множества дискретных состояний, доступных для неё.
Каждому значению энергии E_n соответствует волновая функция ψ_n(x), которая с учетом условия нормировки

(4.10)

В отличие от классической, квантовая частица в прямоугольной яме не может иметь энергию
E 2 π 2 /(2mL 2 ). Состояния частицы ψ_n в одномерном поле бесконечной потенциальной ямы полностью описывается с помощью одного квантового числа n. Спектр энергий дискретный.

Рис. 4.2. Уровни энергии и волновые функции частицы Ψ в бесконечной прямоугольной яме. Квадрат модуля волновой функции |Ψ| 2 определяет вероятность нахождения частицы в различных точках потенциальной ямы.

4.3. Гармонический осциллятор

Положение уровней частицы в потенциальной яме зависит от вида потенциальной ямы. В одномерной потенциальной яме гармонического осциллятора потенциальная энергия имеет вид

(4.11)

В этом случае одномерное уравнение Шредингера имеет вид

(4.12)

Допустимые значения полной энергии определяются формулой

E_n = ћω₀(n + 1/2), n = 0, 1, 2,

(4.13)

В отличие от бесконечной прямоугольной ямы, спектр уровней гармонического осциллятора эквидистантный.
С увеличением массы частицы или размеров области ее локализации квантовое описание частицы переходит в классическое.

Частица в одномерной потенциальной яме

Одномерная прямоугольная яма шириной L:

n = 1, 2, …

Одномерный гармонический осциллятор:

E_n = ћω₀(n + 1/2), n = 0, 1, 2,

4.4. Частица в поле с центральной симметрией

В сферических координатах стационарное уравнение Шредингера для частицы в центральном потенциале U(r) имеет вид

(4.14)

Решение уравнения (4.14) записываются в виде произведения радиальной и угловой функций

ψ(r,θ,φ) = R_nl(r)Y_lm(θ,φ),

(4.15)

где радиальная функция R_nl(r) и угловая функция Y_lm(θ,φ), называемая сферической, удовлетворяют уравнениям

2 Y_lm(θ,φ) = ћ 2 l(l +1)Y_lm(θ,φ)

(4.16)

Y_lm(θ,φ) = ћ 2 l(l +1)Y_lm(θ,φ)

(4.17)

Уравнение (4.16) определяет возможные собственные значения l и собственные функции Y_lm(θ,φ) оператора квадрата момента 2 . Уравнение (4.17) определяет собственные значения энергии Е и радиальные собственные функции R_nl(r), от которых зависит энергия системы (рис. 4.3).
Схема уровней (последовательность и абсолютные значения энергий) зависит от радиальной функции R_nl(r), которая в свою очередь определяется потенциалом U(r), в котором находится частица.

Рис. 4.3. Радиальное распределение вероятности нахождения электрона в кулоновском поле протона (атом водорода). Расстояния даны в боровских радиусах
r₀ = ћ 2 /m_ee 2 ≈ 0.529·10 8 cм.

Решения уравнения

существуют лишь при определенных значениях квантовых чисел n (радиальное квантовое число), l (орбитальное квантовое число) и m (магнитное квантовое число).
Возможные энергетические состояния системы (уровни энергии) определяются числами n и l и в случае сферически симметричных состояний не зависят от квантового числа m. Число n может быть только целым:
n = 1, 2, …, ∞. Число l может принимать значения 0, 1, 2, …, ∞.

4.5. Орбитальный момент количества движения

Собственные значения L 2 и L_z являются решением уравнений

2 Y_lm(θ,φ) = L 2 Y_lm(θ,φ) и _zY_lm(θ,φ) = L_zY_lm(θ,φ).

Они имеют следующие дискретные значения

L 2 = ћ 2 l(l + 1), где l = 0, 1, 2, 3, …,
L_z = ћm, где m = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…, ± l.

Для характеристики состояний с различными значениями орбитального момента l обычно используют следующие обозначения:

Спектроскопические названия орбитальных моментов l

l = 0	s-состояние
l = 1	p-состояние
l = 2	d-состояние
l = 3	f-состояние
l = 4	g-состояние
l = 5	h-состояние
и. т. д.

Состоянию с l = 0 отвечает сферически симметричная волновая функция. В тех случаях, когда l ≠ 0 волновая функция не имеет сферической симметрии. Симметрия волновой функции определяется симметрией сферических функций Y_lm(θ,φ). Имеет место интересное квантовое явление, когда решение сферически симметричной задачи (потенциал описывает сферически симметричную систему) приводит к состояниям, не обладающим сферической симметрией. Таким образом, симметрия уравнений не обязательно должна отражаться в симметрии каждого отдельно взятого решения этих уравнений, а лишь во всей совокупности этих решений.
Для частицы, находящейся в сферически симметричном потенциале, величина орбитального момента количества движения L:

(4.18)

Обычно, для упрощения, когда говорят о величине орбитального момента количества движения, называют этой величиной квантовое число l, имея в виду, что между l и L имеется однозначная связь (4.18).

Рис. 4.4 Возможные ориентации вектора при квантовом числе l = 2.

Так как величина l может принимать только целочисленные значения 0, 1, 2, 3,…, то и орбитальный момент количества движения L квантуется. Например, для частицы с l = 2 момент количества движения

=
= 6.58·10 -22 √6 МэВ·сек ≈ 2.6·10 — 34 Дж·сек.

Пространственное квантование. Орбитальный момент количества движения является векторной величиной. Так как величина орбитального момента количества движения квантуется, то и направление по отношению к выделенному направлению z, например, к внешнему магнитному полю, также квантуется и принимает дискретные значения Lz = ћm, где m изменяется от +l до –l, т. е. имеет 2l + 1 значений. Например, при l = 2 величина m принимает значения +2, +1, 0, -1, -2 (см. рис. 4.4). Вместе с тем энергия системы не зависит от m, т. е. от направления вектора , что является очевидным следствием сферической симметрии системы.
Состояние частицы, находящейся в сферически симметричном поле, полностью описывается тремя квантовыми числами: n, l и m.
Появление квантовых чисел связано со свойствами симметрии системы. Характер этой симметрии определяет возможные значения квантовых чисел. Очевидно, что система, описываемая функцией e im φ , примет прежнее значение только тогда, когда азимутальный угол φ в результате поворота вокруг оси z примет прежнее значение φ. Этому условию функция e im φ удовлетворяет только в случае, когда величина mφ кратна 2π. Т.е. величина m должна иметь целые значения. Так как необходимо учитывать вращение в двух противоположных направлениях и отсутствие вращения, единственно возможными значениями оказываются m = 0, ±1, ±2, … .

4.6. Спин

Спин − собственный момент количества движения частицы. Между значением вектора спина и квантовым числом спина s выполняется такое же соотношение, как между величиной значением вектора орбитального момента и орбитальным квантовым числом l:

2 = ћ 2 s(s + 1)

(4.19)

В отличие от орбитального квантового числа l, которое может быть лишь целым числом или нулем, спиновое квантовое число s (в дальнейшем просто спин) может быть как целым (включая нуль), так и полуцелым, т. е. s = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, … , но при этом для каждой элементарной частицы спин может принимать единственное присущее этому типу частиц значение. Так, спины π-мезонов и К-мезонов равны 0. Спины электрона, протона, нейтрино, кварков и их античастиц равны 1/2. Спин фотона равен 1. Бозоны составляют класс частиц с целым значением спина, спин фермионов имеет полуцелое значение. Спин частицы невозможно изменить, также как её заряд или массу. Это её неизменная квантовая характеристика.
Как и в случае других квантовых векторов, проекция вектора спина на любое фиксированное направление в пространстве (например, на ось z) может принимать 2s + 1 значение:

s_zћ = ±sћ, ±(s − 1)ћ, ±(s − 2)ћ. ±1/2ћ или 0.

Число s_z − это квантовое число проекции спина. Максимальная величина s_z совпадает с s. Так как спин электрона равен 1/2, то проекция этого спина может принимать лишь два значения s_z = ±1/2. Если проекция +1/2, то говорят, что спин направлен вверх, если проекция -1/2, то говорят, что спин направлен вниз.

4.7. Полный момент количества движения

Полный момент количества движения частицы или системы частиц является векторной суммой орбитального и спинового моментов количества движения.

= + .

Квадрат полного момента имеет значение:

2 = ћ 2 j(j + 1).

Квантовое число полного момента j, соответствующее сумме двух векторов и , может принимать ряд дискретных значений, отличающихся на 1:

j = l + s, l + s −1. |l − s|

Проекция на выделенную ось J_z также принимает дискретные значения:

Число значений проекции J_z равно 2j + 1. Если для и определены единственные значения проекций на ось z l_z и s_z, то j_z также определена однозначно: j_z = l_z + s_z.

4.8. Квантовые числа

Квантовые числа – это целые или дробные числа, которые определяют все возможные значения физической величины, характеризующей различные квантовые системы – атомы, атомные ядра, кварки и другие частицы.

Таблица квантовых чисел

n	Радиальное квантовое число. Определяет число узлов волновой функции и энергию системы. n = 1, 2, …, ∞.
J, j	Полный угловой момент J и его квантовое число j. Последнее никогда не бывает отрицательным и может быть целым или полуцелым в зависимости от свойств рассматриваемой системы. 2 = ћ 2 j(j + 1).
L, l	Орбитальный угловой момент L и его квантовое число l. Интерпретация l такая же, как j, но l может принимать только целые значения, включая нуль: l = 0, 1, 2,…. L 2 = ћ 2 l(l + 1).
m	Магнитное квантовое число. Проекция полного или орбитального углового момента на выделенную ось (обычно ось z) равна mћ. Для полного момента m = ±j, ±(j-1), …, ±1/2 или 0. Для орбитального m = ± l, ± (l-1), …, ±1, 0.
S, s	Спиновый угловой момент S и его квантовое число s. Оно может быть либо положительным целым (включая нуль), либо полуцелым. s – неизменная характеристика частицы определенного типа. S 2 = ћ 2 s(s + 1).
s_z	Квантовое число проекции спинового момента частицы на выделенную ось. Эта проекция может принимать значения s_zћ, где s_z = ± s, ± (s -1), …, ±1/2 или 0.
P или π	Пространственная четность. Характеризует поведение системы при пространственной инверсии → — (зеркальном отражении). Полная четность частицы Р = π(-1) l , где π – её внутренняя четность, а (-1) l – её орбитальная четность. Внутренние четности кварков положительные, антикварков — отрицательные.
I	Изоспин. Характеризует свойство зарядовой инвариантности сильных взаимодействий

Для обозначения спинового момента часто используют букву J.

Все состояния, в которых может находиться квантовая система, описываются с помощью полного набора квантовых чисел. Так в случае протона в ядре состояние протона описывается с помощью четырех квантовых чисел, соответствующих четырем степеням свободы – трем пространственным координатам и спину. Это

Радиальное квантовое число n ( 1, 2, …, ∞),
Орбитальное квантовое число l (0, 1, 2, …),
Проекция орбитального момента m (± l, ± (l-1), …, ±1, 0),
Спин протона s =1/2.

Для описания сферически-симметричных систем в квантовой физике используются различные сферически симметричные потенциалы с различной радиальной зависимостью:

Кулоновский потенциал U = Q/r,
Прямоугольная потенциальная яма
Потенциал типа гармонического осциллятора U = kr 2 ,
Потенциал Вудса-Саксона (с его помощью описываются внутриядерные взаимодействия):

где U₀, а и R – положительные константы (R – радиус ядра). Во всех случаях сферически симметричные системы можно описать с помощью набора квантовых чисел n, l, j, j_z, однако, в зависимости от радиального вида потенциала энергетический спектр состояний системы будет различным.
Существование сохраняющихся во времени физических величин тесно связано со свойствами симметрии гамильтониана системы. Например, в случае, если квантовая система обладает центральной симметрией U = U(r), то этой системе соответствует сохранение орбитального момента количества движения l и одной из его проекций m. При этом из-за сферической симметрии задачи энергия состояний не будет зависеть от величины m, т. е. состояния будут вырожденными по m.
Наряду с пространственными симметриями, связанными с непрерывными преобразованиями, в квантовой физике существуют и другие симметрии – дискретные. Одной из них является зеркальная симметрия волновой функции относительно инверсии координат (→ —). Оператору инверсии соответствует квантовое число четность, которое может принимать два значения +1 и -1 в зависимости от того, сохраняется ли знак волновой функции при инверсии или меняется на противоположный.
Система тождественных частиц характеризуется еще одной симметрией – симметрией относительно перестановок тождественных частиц. Эта симметрия определяется свойствами частиц, образующих систему. Системы частиц с целым спином (бозонов) описываются симметричными волновыми функциями, системы частиц с полуцелым спином (фермионов) − антисимметричными волновыми функциями.

Задачи

4.1. Вычислите допустимые уровни энергии электрона, находящегося в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной 10 -8 см, протона, находящегося в потенциальной яме 5 Фм, и шарика массой 1 г, находящегося в потенциальной яме 1 см.

4.2. Рассчитать энергию перехода между состояниями 1s и 2s в атоме водорода.

4.3. Найти значение полного момента j для протона в d-состоянии. Каким будет результат измерения полного момента протона в состоянии 1d_5/2?

4.4. Найти полный момент (квантовое число j) системы двух нуклонов в s‑состоянии (l = 0).

4.5. Какие значения может иметь полный момент системы j, если
А. Нейтрон и протон находятся в состояниях с |l,s:j>_n = |1, 1 /₂: 3 /₂>, |l,s:j>_p = |1, 1 /₂: 3 /₂>?
Б. Два нейтрона находятся в состояниях с |l,s:j>₁ = |1, 1 /₂: 3 /₂> и |l,s:j>₂ = |1, 1 /₂: 3 /₂>?

4.6. А) Нейтрон находится в p-состоянии. Найти значения полного момента j и возможные значения проекции момента j_z. Каким будет результат измерения орбитального момента частицы в этом состоянии? Б) Рассмотрите задачу А) для протона в d-состоянии.
Ответ: А) j = 3/2, 1/2; j_z = ±3/2, ±1/2; L = ћ√ l(l +1) = √ 2 ћ;
Б) j = 5/2, 3/2; j_z = ±5/2, ±3/2, ±1/2; L = ћ√ l(l +1) = √ 6 ћ

4.7. А) Частица с собственным моментом s = 3/2 находится в состоянии с орбитальным моментом
l = 2. Найти полный момент частицы j.
Б) Частица с собственным моментом s = 1/2 находится в состоянии с орбитальным моментом
l = 3. Определите полный момент частицы j
Ответ: А) j = 7/2 ÷ 1/2; Б) j = 7/2, 5/2

4.8. Протон и нейтрон находятся в состоянии с относительным орбитальным моментом L = 1. Найти полный момент системы J.
Ответ: J = 0, 1, 2

4.9. На оболочке с квантовым числом n = 1, l = 2 находятся протон и нейтрон. Определить их суммарный полный момент J и его проекцию J_z. Изменится ли результат, если на оболочке n = 1,
l = 2 будут находиться два нейтрона?

4.10. Почему возникают вырожденные состояния?

4.11. Написать оператор Гамильтона электронов в атоме He.

4.12. Напишите стационарное уравнение Шредингера в сферической системе координат.

4.13. Какие квантовые числа характеризуют частицу в центрально-симметричной потенциальной яме?

4.14. Покажите, что волновые функции ψ = Aexp(kx −ωt) и ψ = Asin(kx −ωt) не удовлетворяют зависящему от времени уравнению Шредингера.

4.15. Покажите, что волновые функции ψ = Ae i(kx −ωt) и ψ = A(cos(kx −ωt) − sin(kx −ωt))удовлетворяют зависящему от времени уравнению Шредингера.

4.16. Частица находится в низшем состоянии n = 1 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L.
А) Рассчитайте вероятность обнаружить частицу в интервале Δx = 0.001L при x = 1 /₂L, x = 2 /₃L, x = L.
Б) Рассмотрите случай, когда частица находится в состоянии n = 2 при тех же значениях x.
Ответ: А) P(L/2) = 0.002; P(2L/3) = 0.0015; P(L) = 0; Б) P(L/2) = 0; P(2L/3) = 0.0015; P(L) = 0

4.17. Частица находится в состоянии n = 2 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L. Рассчитайте вероятность обнаружить частицу в интервале ( 1 /₃L, 2 /₃L).
Ответ: P(L/3, 2L/3) = 0.2

4.18. Электрон находится всостонии n = 5 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L. Рассчитайте вероятность обнаружить электрон в области x от 0.2L до 0.5L.
Ответ: P(0.2L, 0.5L) = 0.3

4.19. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Рассчитайте ширину потенциальной ямы, если энергия состояния n = 1 равна 0.1 эВ.
Ответ: L = 1.9 нм

4.20. Рассчитайте средние значения и 2 > для состояний n = 1, 2, 3 в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме.

4.21. Что общего и в чем различие в описании атома водорода в теории Шредингера и в модели Бора?

4.22. Почему энергии атома водорода в теории Шредингера не зависят от орбитального квантового числа l?

4.23. Угловой момент характеризуется квантовым числом l = 3. Какие значения могут принимать L_z и L 2 ?
Ответ: L_z = -3ћ, -2ћ. 3ћ; L 2 = 12ћ 2

4.24. Угловой момент характеризуется квантовым числом l = 3. Какие значения могут принимать L_z и L 2 ?