Курсовая работа по нелинейным уравнениям

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«Приднестровский государственный университет им. Т.Г. Шевченко»

Кафедра физики, математики и информатики

по дисциплине: «Практикум по решению задач на ЭВМ»

«Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений»

студентка III курса;

с доп. специальностью английский

преподаватель Панченко Т. А.

Внедрение ЭВМ во все сферы человеческой деятельности требует от специалистов разного профиля овладения навыками использования вычислительной техники. Повышается уровень подготовки студентов вузов, которые уже с первых курсов приобщаются к использованию ЭВМ и простейших численных методов, не говоря уже о том, при что выполнении курсовых и дипломных проектов применение вычислительной техники становится нормой в подавляющем большинстве вузов.

Вычислительная техника используется сейчас не только в инженерных расчетах и экономических науках, но и таких традиционно нематематических специальностях, как медицина, лингвистика, психология. В связи с этим можно констатировать, что применение ЭВМ приобрело массовый характер. Возникла многочисленная категория специалистов — пользователей ЭВМ, которым необходимы знания по применению ЭВМ в своей отрасли — навыки работы с уже имеющимся программным обеспечением, а также создания своего собственного программного обеспечения, приспособленного для решения конкретной задачи. И здесь на помощь пользователю приходят описания языков программирования высокого уровня и численные методы .

Численные методы разрабатывают и исследуют, как правило, высококвалифицированные специалисты-математики. Для большинства пользователей главной задачей является понимание основных идей и методов, особенностей и областей применения. Однако, пользователи хотят работать с ЭВМ не только как с высокоинтеллектуальным калькулятором, а еще и как с помощником в повседневной работе, хранилищем информации с быстрым и упорядоченным доступом, а так же с источником и обработчиком графической информации. Все эти функции современной ЭВМ я предполагаю продемонстрировать в настоящей курсовой работе.

Видео:Способы решения систем нелинейных уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Цели и задачи.

Целью данной курсовой работы является изучение и реализация в программном продукте решения нелинейных уравнений при помощи метода Ньютона. Данная работа состоит из трёх разделов, заключения и приложения. Первый раздел — теоретический и содержит общие сведения о методе Ньютона. Второй – это практическая часть. Здесь описывается метод Ньютона разобранный на конкретных примерах. Третий посвящён тестированию программы и анализу получившихся результатов. В заключении представлен вывод о проделанной работе.

Цельюданной курсовой работы является программная реализация метода Ньютона для решения нелинейных уравнений.

Для этого необходимо выполнить следующие задачи:

1. Изучить необходимую литературу.

2. Обзорно рассмотреть существующие методы по решению нелинейных уравнений.

3. Изучить метод Ньютона для решения нелинейных уравнений.

4. Рассмотреть решение нелинейных уравнений методом Ньютона на конкретных примерах.

5. Разработать программу для решения нелинейных уравнений методом Ньютона.

6. Проанализировать получившиеся результаты.

Рассмотрим задачу нахождения корней нелинейного уравнения

Корнями уравнения (1) называются такие значения х, которые при подстановке обращают его в тождество. Только для простейших уравнений удается найти решение в виде формул, т.е. аналитическом виде. Чаще приходится решать уравнения приближенными методами, наибольшее распространение среди которых, в связи с появлением компьютеров, получили численные методы.

Алгоритм нахождения корней приближенными методами можно разбить на два этапа. На первом изучается расположение корней и проводится их разделение. Находится область [a,b], в которой существует корень уравнения или начальное приближение к корню x₀ . Простейший способ решения этой задачи является исследование графика функции f(x) . В общем же случае для её решения необходимо привлекать все средства математического анализа.

Существование на найденном отрезке [a,b], по крайней мере, одного корня уравнения (1) следует из условия Больцано:

f(a)*f(b) 0 некоторая константа. Если m=1 , то говорят о сходимости первого порядка; m=2 — о квадратичной, m=3 — о кубической сходимостях.

Итерационные циклы заканчиваются, если при заданной допустимой погрешности выполняются критерии по абсолютным или относительным отклонениям:

; (5,6)

или малости невязки:

(7)

Эта работа посвящена изучению алгоритма решения нелинейных уравнений с помощью метода Ньютона.

Видео:После этого видео, ТЫ РЕШИШЬ ЛЮБУЮ Систему Нелинейных УравненийСкачать

1.1 Обзор существующих методов решения нелинейных уравнений

Существует много различных методов решения нелинейных уравнений, некоторые из них представлены ниже:

1)Метод итераций . При решении нелинейного уравнения методом итераций воспользуемся записью уравнения в виде x=f(x). Задаются начальное значение аргумента x₀ и точность ε. Первое приближение решения x₁ находим из выражения x₁ =f(x₀ ), второе — x₂ =f(x₁ ) и т.д. В общем случае i+1 приближение найдем по формуле xi+1 =f(xi). Указанную процедуру повторяем пока |f(xi)|>ε. Условие сходимости метода итераций |f'(x)| ε. Для определения точки пересечения (i+1) касательной с осью абсцисс воспользуемся следующей формулой x_i+1 =x_i -F(x_i ) F’(x_i ). Условие сходимости метода касательных F(x₀ )∙F»(x)>0, и др.

3). Метод дихотомии. Методика решения сводится к постепенному делению начального интервала неопределённости пополам по формуле С_к =а_к +в_к /2.

Для того чтобы выбрать из двух получившихся отрезков необходимый, надо находить значение функции на концах получившихся отрезков и рассматривать тот на котором функция будет менять свой знак, то есть должно выполняться условие f (а_к )* f (в_к ) 0 ;

x* О [a,c] , если f(c)Ч f(b) 0 ;

Метод Ньютона (касательных) характеризуется квадратичной скоростью сходимости, т.е. на каждой итерации удваивается число верных знаков. Однако этот метод не всегда приводит к нужному результату. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Преобразуем уравнение (1) к эквивалентному уравнению вида:

В случае метода касательных . Если известно начальное приближение к корню x=x₀ , то следующее приближение найдем из уравнения x₁ =g(x₀ ), далее x₂ =g(x₁ ). Продолжая этот процесс, получим рекуррентную формулу метода простой итерации

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будут выполнены условия (5-7).

Всегда ли описанный вычислительный процесс приводит к искомому решению? При каких условиях он будет сходящимся? Для ответа на эти вопросы опять обратимся к геометрической иллюстрации метода.

Корень уравнения представляется точкой пересечения функций y=x и y=g(x). Как видно из рис. 3(а), если выполняется условие , то процесс сходится, иначе – расходится (рис3(б)).

Итак, для того чтобы итерационный процесс был сходящимся и приводил к искомому результату, требуется выполнение условия:

(12)

Переход от уравнения f(x)=0 к уравнению х=g(x) можно осуществлять различными способами. При этом важно, чтобы выбранная функция g(x) удовлетворяла условию (12). К примеру, если функцию f(x) умножить на произвольную константу q и добавить к обеим частям уравнения (1) переменную х, то g(x)=q*f(x)+x . Выберем константу q такой, чтобы скорость сходимости алгоритма была самой высокой. Если 1 (0) так, чтобы выполнилось условие

Задать малое положительное число ε , как точность вычислений. Положить к = 0.

2. Вычислить х (к+1) по формуле (9) :

.

3. Если | x (k+1) — x (k) | (k+1) . Иначе увеличить к на 1 (к = к + 1) и перейти к пункту 2.

Решим вручную несколько нелинейных уравнений методом Ньютона, а потом сверим результаты с теми, которые получатся при реализации программного продукта.

Решить уравнение методом Ньютона.

sin x 2 + cosx 2 — 10x. = 0.

Вычисления производить с точностью ε = 0, 001.

Вычислим первую производную функции.

F’(x)=2x cosx 2 — 2x sinx 2 — 10.

Теперь вычислим вторую производную от функции.

F’’(x)=2cosx 2 — 4x 2 sinx 2 — 2sinx 2 — 4x 2 cosx 2 = cosx 2 (2-4x 2 ) — sinx 2 (2+4x 2 ).

Построим приближённый график данной функции.

Теперь, исходя из графика, возьмём первый приближённый корень и проверим условие (16) : f(x (0) ) * f’’(x (0) ) > 0.

Пусть x (0) = 0, 565, тогда f(0. 565)*f’’(0. 565) = -4. 387 * (-0. 342) = 1. 5 > 0,

Условие выполняется, значит берём x (0) = 0, 565.

Теперь составим таблицу значений, для решения данного уравнения.

Отсюда следует, что корень уравнения х = 0, 101.

Решить уравнение методом Ньютона.

cos x – e -x2/2 + x — 1 = 0

Вычисления производить с точностью ε = 0, 001.

Вычислим первую производную функции.

F’(x) = 1 – sin x + x*e -x2/2 .

Теперь вычислим вторую производную от функции.

F’’(x) = e -x2/2 *(1-x 2 ) – cos x.

Построим приближённый график данной функции.

Теперь, исходя из графика, возьмём первый приближённый корень и проверим условие (16) : f(x (0) ) * f’’(x (0) ) > 0.

Пусть x (0) = 2, тогда f(2)*f’’(2) = 0. 449 * 0. 010 = 0.05 > 0,

Условие выполняется, значит берём x (0) = 2.

Теперь составим таблицу значений, для решения данного уравнения.

Отсюда следует, что корень уравнения х = 1. 089.

Решить уравнение методом Ньютона.

Вычисления производить с точностью ε = 0, 001.

Вычислим первую производную функции.

Теперь вычислим вторую производную от функции.

Построим приближённый график данной функции.

Теперь, исходя из графика, возьмём первый приближённый корень и проверим условие (16) : f(x (0) ) * f’’(x (0) ) > 0.

Пусть x (0) = 1, тогда f(2)*f’’(2) = 0. 632 * 1, 632 = 1, 031 > 0,

Условие выполняется, значит берём x (0) = 1.

Теперь составим таблицу значений, для решения данного уравнения.

Отсюда следует, что корень уравнения х = 0, 703.

Решить уравнение методом Ньютона.

Вычислим первую производную функции.

F’(x) = -sin x + e -x/2 /2+1.

Теперь вычислим вторую производную от функции.

F’’(x) = -cos x — e -x/2 /4.

Построим приближённый график данной функции.

Теперь, исходя из графика, возьмём первый приближённый корень и проверим условие (16) : f(x (0) ) * f’’(x (0) ) > 0.

Пусть x (0) = 1, тогда f(2)*f’’(2) = -0. 066 * (-0. 692) = 0. 046 > 0,

Условие выполняется, значит берём x (0) = 1.

Теперь составим таблицу значений, для решения данного уравнения.

Отсюда следует, что корень уравнения х = 1. 162.

Решить уравнение методом Ньютона.

Вычислим первую производную функции.

Теперь вычислим вторую производную от функции.

Построим приближённый график данной функции.

Теперь, исходя из графика, возьмём первый приближённый корень и проверим условие (16) : f(x (0) ) * f’’(x (0) ) > 0.

Пусть x (0) = 1, тогда f(2)*f’’(2) = 0. 350 * 2, 350 = 0. 823 > 0,

Условие выполняется, значит берём x (0) = 1.

Теперь составим таблицу значений, для решения данного уравнения.

Отсюда следует, что корень уравнения х = 0, 881.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

3.1 Описание программы

Данная программа создана для работы в текстовом и графическом режиме. Она состоит из модуля Graph, Crt, трёх функций и трёх процедур.

1. модуль Crt предназначен для обеспечения контроля над текстовыми режимами экрана, расширенными кодами клавиатуры, цветами, окнами и звуком;

2. модуль Graph предназначен для обеспечения контроля над графическими объектами;

3. procedure GrafInit — инициализирует графический режим;

4. function VF – вычисляет значение функции;

5. function f1 – вычисляет значение первой производной функции;

6. function X_Newt – реализует алгоритм решения уравнения методом Ньютона.

7. procedure FGraf – реализует построение графика заданной функции f(x);

Ots=35 — константа, определяющая количество точек для отступа от границ монитора;

fmin, fmax – максимальные и минимальные значения функции;

SetColor(4) – процедура, которая устанавливает текущий цвет графического объекта, используя палитру, в данном случае это красный цвет;

SetBkColor(9) – процедура, которая устанавливает текущий цвет фона, используя палитру, в данном случае – это светло-синий цвет.

8. Procedure MaxMinF – вычислят максимальные и минимальные значения функции f(x).

Line – процедура, которая рисует линию из точки с координатами (x1, у1) в точку с координатами (х2, у2);

MoveTo – процедура, перемещающая указатель (СР) в точку с координатами (х, у);

TextColor(5) – процедура, устанавливающая текущий цвет символов, в данном случае – это розовый;

Outtexty(х, у, ‘строка’) – процедура, которая выводит строку, начиная с позиции (х, у)

CloseGraph – процедура, закрывающая графическую систему.

Видео:МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать

3.2 Тестирование программы

Для тестирования программы возьмем те примеры, которые решали в практической части работы, чтобы сверить результаты и проверить правильность работы программы.

1) sin x 2 + cosx 2 — 10x. = 0.

Данная программа вычисляет корни нелинейного уравнения методом Ньютона с точностью eps и чертит приблизительный график функции на отрезке [a, b].

Введите точность вычисления eps=0. 01

Корень уравнения, найденный методом Ньютона:

сделаем проверку, подставив полученный ответ в уравнение.

Получим : х=0, 0000002

2) cos x – e -x2/2 + x — 1 = 0.

Данная программа вычисляет корни нелинейного уравнения методом Ньютона с точностью eps и чертит приблизительный график функции на отрезке [a, b].

Введите точность вычисления eps=0. 001

Корень уравнения, найденный методом Ньютона:

сделаем проверку, подставив полученный ответ в уравнение.

Получим : х=-0, 0000000

Данная программа вычисляет корни нелинейного уравнения методом Ньютона с точностью eps и чертит приблизительный график функции на отрезке [a, b].

Введите точность вычисления eps=0. 01

Корень уравнения, найденный методом Ньютона:

сделаем проверку, подставив полученный ответ в уравнение.

Получим : х=0, 0000000

4) cos x –e -x/2 +x-1=0.

Данная программа вычисляет корни нелинейного уравнения методом Ньютона с точностью eps и чертит приблизительный график функции на отрезке [a, b].

Введите точность вычисления eps=0. 001

Корень уравнения, найденный методом Ньютона:

сделаем проверку, подставив полученный ответ в уравнение.

Получим : х=0, 0008180

Данная программа вычисляет корни нелинейного уравнения методом Ньютона с точностью eps и чертит приблизительный график функции на отрезке [a, b].

Введите точность вычисления eps=0. 001

Корень уравнения, найденный методом Ньютона:

Сделаем проверку, подставив полученный ответ в уравнение.

Получим : х=0, 0000000

Целью работы было создать программу, которая вычисляет корень нелинейного уравнения методом Ньютона. Исходя из этого, можно сделать вывод, что цель достигнута, так как для ее осуществления были решены следующие задачи:

1.Изучена необходимая литература.

2.Обзорно рассмотрены существующие методы по решению нелинейных уравнений.

3.Изучен метод Ньютона для решения нелинейных уравнений.

4.Рассмотрено решение нелинейных уравнений методом Ньютона на примере.

5.Проведены тестирование и отладка программы.

Видео:Метод Ньютона (метод касательных) Пример РешенияСкачать

Список используемой литературы

1. Б.П. Демидович, И.А Марон. Основы вычислительной математики. – Москва, изд. «Наука»; 1970.

2. В.М. Вержбицкий. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения). – Москва, «Высшая школа»; 2000.

3. Н.С.Бахвалов, А.В.Лапин, Е.В.Чижонков. Численные методы в задачах и упражнениях. – Москва, «Высшая школа»; 2000.

4. Мэтьюз, Джон, Г.,Финк, Куртис, Д. Численные методы MATLAB, 3-е издание.- Москва, «Вильяс»; 2001.

Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Курсовая работа На тему: «Численные методы решения уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:ПОСМОТРИ это видео, если хочешь решить систему линейных уравнений! Метод ПодстановкиСкачать

Курсовая работа

Видео:Контрольная работа. Уравнения с МОДУЛЕМСкачать

На тему: «Численные методы решения уравнений»

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Введение

эйлер уравнение дифференциальный интерполирование

Цель данной курсовой работы — изучение методов приближённого интегрирования. Для некоторых подынтегральных функций интеграл можно вычислить аналитически или найти в справочниках. Однако в общем случае первообразная может быть не определена: либо первообразные не выражаются через элементарные функции, либо сами подынтегральные функции не являются элементарными. Это приводит к необходимости разработки приближенных методов вычисления определенных интегралов. Наиболее общеупотребительными приближенными методами вычисления одномерных определенных интегралов являются, так называемые, «классические» методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций, метод парабол (основанные на суммировании элементарных площадей, на которые разбивается вся площадь под функцией). Хотя эти методы обычно предпочтительней в случае малых размерностей, они практически не годятся для вычисления многомерных интегралов, для их вычисления используются другие методы. В связи с развитием новой вычислительной техники инженерная практика наших дней все чаще и чаще встречается с математическими задачами, точное решение которых получить весьма сложно или невозможно. В этих случаях обычно прибегают к тем или иным приближенным вычислениям. Вот почему приближенные и численные методы математического анализа получили за последние годы широкое развитие и приобрели исключительно важное значение.

Видео:ЛИНЕЙНОЕ УРАНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ — Как решать линейное уравнение // Алгебра 7 классСкачать

1. Решение нелинейных уравнений. Метод касательных (Ньютона)

Видео:Палин В.В. - Уравнения математической физики. Часть 2 - 9. Нелинейные уравнения в ЧП 1-го порядкаСкачать

.1 Решение нелинейных уравнений

Обычно нелинейные уравнения делят на трансцендентные и алгебраические. Нелинейные уравнения, содержащие тригонометрические функции или другие специальные функции, например, lg ( x ) или e x , называются трансцендентными. Методы решения нелинейных уравнений такого типа делятся на аналитические и численные.

Первые позволяют найти решение непосредственно с помощью формул и всегда обеспечивают получение точного решения. Известным примером такого рода является формула корней квадратного уравнения. В численных методах задается процедура решения в виде многократного применения некоторого алгоритма. Задача отыскания корней нелинейного уравнения f ( x ) = 0 считается решенной, если мы сумеем определить корни с нужной степенью точности.

Для решения нелинейных уравнений известны следующие численные методы: метод половинного деления (метод дихотомии), метод хорд, метод касательных (Ньютона), метод секущих, метод простой итерации. Рассмотрим метод половинного деления.

Графическая интерпретация метода показана на рис.1.

Рисунок 1. Графическая интерпретация метода половинного деления

В этом методе отыскание корня уравнения f ( x ) = 0 проходит в два этапа. На первом этапе необходимо отделить корень, т.е.выделить интервал на оси абсцисс, на котором функция f ( x ) меняет свой знак. Для отделения корня следует провести вычисление функции f ( x ) в точках, расположенных через равные интервалы по оси x , до тех пор, пока не будут найдены два последовательных значения функции f ( x _n ) и f ( x _{n +1} ), имеющие противоположные знаки.

Видео:Способы решения систем нелинейных уравнений. Практическая часть. 9 класс.Скачать

.2 Метод касательных (Ньютона)

Метод касательных называется также методом Ньютона. Будем считать, что функция F ( x ) непрерывна на отрезке [а; b ] и имеет место на концах отрезка разные знаки, т.е. F ( a ) F ( b )

В качестве начального приближения x ₀ в методе касательных выбирается тот конец отрезка [ a ; b ], в котором функция F ( x ) и ее вторая производная F 11 ( x ) имеет одинаковые значения, т.е.

F(a)F 11 (a)>0 или F(b)F 11 >0.

Геометрический смысл метода заключается в том, что приближения по нему равны абсциссам точек пересечения оси Ox и касательных к графику функции y = F ( x ).

Примем за начальное приближение х ₀ конец отрезка b , т.е. x ₀ = b и проведем касательную к графику функции в точке B ₀ ( x ₀ ; F ( x ₀ )).

Уравнение касательной будет иметь вид:

Касательная пересечет ось Ox при y =0. Подставив y =0 в уравнение, получим абсциссу точки пересечения

₁ = x ₀

Записав уравнение касательной к графику в точке B ₁ ( x ₁ ; F ( x ₁ )), при y =0, получим

₂ = x ₁ —

Каждый раз абсциссы точек пересечения касательных с осью Ох будут вычисляться по формуле

_{n +1 =} x _{n ,} ( n =0,1,2,….), (1.1)

где ζ — точный корень уравнения F ( x )=0.

Видео:СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ нелинейных 9 класс алгебраСкачать

2. Интерполирование функции. Полиномы Ньютона

Многочлен Лагранжа неудобен из-за своей громоздкости для практического использования. Рассмотрим более простую схему построения интерполяционного многочлена.

Пусть l _n ( x ) — интерполяционный многочлен Лагранжа с равноотстоящими узлами. Представим в виде:

Разности l _k ( x ) — l _{k -1} ( x ) есть многочлены k -ой степени, обращающиеся в ноль в точках x ₀ , x ₁ ,…, x _{k -1} , поскольку l _k ( x _j ) — l _{k -1} ( x _j ) при j = 0,1,…, k -1. Следовательно,

Подставляя эти выражения в первую формулу (для k =1,…, k -1) находим:

Коэффициенты a ₀ , a ₁ ,…, a _n определяются из условий: l _n ( x _j ) = f ( x _j ) при j = 0,1,…, k -1,

Так как мы предполагали, что у нас равноотстоящие узлы, то

x _k = x ₀ + kh, l _k (x _k ) = f(x _k ). Отсюда .

Покажем, что f ( x _k ) — l _{k -1} ( x _k ) есть k — я разность в точке x ₀ , т.е. она равна ∆ k f ( x ₀ ).

Методом математической индукции можно доказать, что

Вычислим разность f ( x _k ) — l _{k -1} ( x _k ). Имеет место равенство

f ( x _k ) — l _{k -1} ( x _k ) =, где

(2.6)

(2.7)

Поэтому .

(2.9)

Интерполяционный многочлен, записанный в таком виде, называется интерполяционным многочленом Ньютона (с равноотстоящими узлами интерполяции).

Линейный интерполянт по Ньютону имеет вид

(2.10)

Вводя обозначение , получим

(2.11)

При вычислении разностей удобно пользоваться таблицей.

При проверке вычислений используется условие, что сумма всех чисел столбца должна быть равна разности первого и последнего чисел столбца.

Интерполяционная формула Ньютона имеет место и в случае, если узлы не равноотстоят друг от друга. В этом случае она принимает вид:

(2.12)

(2.13)

(2.14)

(2.15)

Алгоритм интерполяции функции многочленом Ньютона (произвольные узлы).

Ввод: Узлы интерполяции X [ i ], Y [ i ]’ i = 0,1,…, n .

Вывод: Вычислить c := f (х).

Цикл по j := 1… n выполнить

Цикл по i := 0… n — j выполнить Y [ i ]:= ( Y [ i +1]- Y [ i ])/ ( X [ i + j ]- X [ i ]); конец цикла по i ;

конец цикла по j ;

Алгоритм интерполяции функции многочленом Ньютона (равноотстоящие узлы).

Ввод: Узлы интерполяции X [ i ], Y [ i ]’ i = 0,1,…, n .

Вывод: Вычислить c := f (х).

h := X [1]- X [0]; с:= X [0]; p :=1;

Цикл по j := 1… n выполнить

Цикл по i:= 0 … n-j выполнить Y[i]:= (Y[i+1]- Y[i]); / (X[i]- X[i-1]); X[i]:= X[i]- X[i-1]); конец цикла по i;

конец цикла по j ;

Погрешность при интерполяции многочленом Ньютона та же, что и при интерполяции многочленом Лагранжа. Наибольшая точность при заданных узлах интерполяции достигается для, расположенных к середине отрезка.

Видео:Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать

3. Численное интегрирование

Численное интегрирование — вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое). Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определённого интеграла.

Численное интегрирование применяется, когда:

1. Сама подынтегральная функция не задана аналитически. Например, она представлена в виде таблицы (массива) значений в узлах некоторой расчётной сетки.

2. Аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её первообразная не выражается через аналитические функции. Например, .

(3.1)

В этих двух случаях невозможно вычисление интеграла по формуле Ньютона — Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.

Видео:МЗЭ 2021 Лекция 11 Метод Ньютона для решения систем нелинейных уравненийСкачать

.1 Метод прямоугольников

Пусть требуется определить значение интеграла функции на [ a , b ] отрезке. Этот отрезок делится точками x ₀ , x ₁ , …., x _{n -1} , x _n на n равных отрезков длиной . Обозначим через y ₀ , y ₁ , …., y _{n -1} , y _n значение функции f ( x ) в точках x ₀ , x ₁ , …., x _{n -1} , x _n

Далее составляем суммы . Каждая из сумм — интегральная сумма для f ( x ) на [ a , b ] и поэтому приближённо выражает интеграл.

Если заданная функция — положительная и возрастающая, то эта формула выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, также называемая формулой левых прямоугольников, а формула

(3.2)

выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников, также называемая формулой правых прямоугольников. Чем меньше длина отрезков, на которые делится отрезок [ a , b ], тем точнее значение, вычисляемое по этой формуле, искомого интеграла.

Очевидно, стоит рассчитывать на большую точность, если брать в качестве опорной точки для нахождения высоты точку посередине промежутка. В результате получаем формулу средних прямоугольников:

(3.3)

где

Учитывая априорно большую точность последней формулы при том же объёме и характере вычислений её называют формулой прямоугольников.

Видео:ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

3.2 Метод трапеций

Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.

Площадь трапеции на каждом отрезке:

(3.4)

Погрешность аппроксимации на каждом отрезке:

(3.5)

где и

Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины h :

(3.6)

где

Погрешность формулы трапеций:

(3.7)

где и

Видео:Алгоритмы С#. Метод Ньютона для решения систем уравненийСкачать

3.3 Метод парабол

Использовав три точки отрезка интегрирования, можно заменить подынтегральную функцию параболой. Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку. В этом случае формула имеет очень простой вид

(3.8)

Если разбить интервал интегрирования на 2 N равных частей, то имеем

(3.9)

где .

Это более совершенный способ — график подынтегральной функции приближается не ломаной линией, а маленькими параболками. Сколько промежуточных отрезков — столько и маленьких парабол. Если взять те же три отрезка, то метод Симпсона даст ещё более точное приближение, чем метод прямоугольников или метод трапеций.

Задача на вычисление определенного интеграла по формуле Симпсона — самая популярное задание на практике.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и нам требуется вычислить определенный интеграл.

Формула Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла имеет следующий вид: (24)

где: — длина каждого из маленьких отрезков или шаг;

Детализируя это нагромождение, разберу формулу подробнее:

— сумма первого и последнего значения подынтегральной функции;

— сумма членов, с чётными индексами умножаемая на 2.

— сумма членов с нечётными индексами умножается на 4.

На основании полученных данных строим график (рисунок 2), который показывает погрешность:

Рисунок 2 — График подынтегральной функции приближенный к самой функции.

Метод левых прямоугольников

Метод правых прямоугольников

Видео:Методы решения систем нелинейных уравнений. Метод Ньютона. Численные методы. Лекция 14Скачать

4. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Задача Коши

Многие задачи науки и техники сводятся к решению обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). ОДУ называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции. В общем виде ОДУ можно записать следующим образом: , где x — независимая переменная, y i — i-ая производная от искомой функции. n — порядок уравнения. Общее решение ОДУ n-го порядка содержит n произвольных постоянных c ₁ . c _n ,т.е. общее решение имеет вид y = φ ( x , c ₁ , …, c _n ).

Для выделения единственного решения необходимо задать n дополнительных условий. В зависимости от способа задания дополнительных условий существуют два различных типа задач: задача Коши и краевая задача. Если дополнительные условия задаются в одной точке, то такая задача называется задачей Коши. Дополнительные условия в задаче Коши называются начальными условиями. Если же дополнительные условия задаются в более чем одной точке, т.е. при различных значениях независимой переменной, то такая задача называется краевой. Сами дополнительные условия называются краевыми или граничными.

Ясно, что при n=1 можно говорить только о задачи Коши.

Примеры постановки задачи Коши:

(4.1)

(4.2)

Примеры краевых задач:

(4.3)

(4.4)

Решить такие задачи аналитически удается лишь для некоторых специальных типов уравнений.

Видео:Нелинейные уравнения с двумя переменными и их геометрический смысл. 9 класс.Скачать

4.1 Численные методы решения задачи Коши для ОДУ первого порядка

Постановка задачи. Найти решение ОДУ первого порядка на отрезке [ x ₀ , x _n ] при условии y ( x ₀ )= y ₀ .

При нахождении приближенного решения будем считать, что вычисления проводятся с расчетным шагом , расчетными узлами служат точки xi = x 0+ ih , ( i =0,1,…, n ) промежутка [x ₀ , x _n ].

Целью является построение таблицы.

Т.е. ищутся приближенные значения y в узлах сетки.

Интегрируя уравнение на отрезке [ x _i , x _{i +1} ]получим

(4.5)

Вполне естественным (но не единственным) путем получения численного решения является замена в нем интеграла какой-либо квадратурной формулой численного интегрирования. Если воспользоваться простейшей формулой левых прямоугольников первого порядка

(4.6)

то получим явную формулу Эйлера:

(4.7)

Зная , находим , затем т.д..

4.2 Геометрическая интерпретация метода Эйлера

Пользуясь тем, что в точке x ₀ известно решение y(x ₀ ) = y ₀ и значение его производной , можно записать уравнение касательной к графику искомой функции y = y ( x ) в точке ( x ₀ , y ₀ ):

При достаточно малом шаге h ордината , этой касательной, полученная подстановкой в правую часть значения , должна мало отличаться от ординаты y(x ₁ ) решения y(x) задачи Коши. Следовательно, точка ( x 1, y 1) пересечения касательной с прямой x = x ₁ может быть приближенно принята за новую начальную точку. Через эту точку снова проведем прямую , которая приближенно отражает поведение касательной к y = y ( x ) в точке ( x 1, y ( x 1)). Подставляя сюда x 2= x 1+ h (т.е. пересечение с прямой x = x ₂ ), получим приближенное значение y(x) в точке x ₂ : , и т.д. В итоге для i-й точки получим формулу Эйлера.

Рисунок 7. Метод Эйлера

Явный метод Эйлера имеет первый порядок точности или аппроксимации. Если использовать формулу правых прямоугольников:

то придем к методу

(4.8)

Этот метод называют неявным методом Эйлера, поскольку для вычисления неизвестного значения по известному значению требуется решать уравнение, в общем случае нелинейное.

Неявный метод Эйлера имеет первый порядок точности или аппроксимации.

Модифицированный метод Эйлера : в данном методе вычисление y _{i +1} состоит из двух этапов:

(4.9)

(4.10)

Данная схема называется еще методом предиктор — корректор (предсказывающее — исправляющее). На первом этапе приближенное значение предсказывается с невысокой точностью (h), а на втором этапе это предсказание исправляется, так что результирующее значение имеет второй порядок точности.

Заключение

В ходе выполнения курсовой работы были изучены следующие методы решения профессиональных задач: решение нелинейных уравнений, метод касательных (Ньютона), интерполирование функции, полиномы Ньютона, численное интегрирование и приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, задача Коши. На примерах было показано, что с помощью данных методов можно достаточно быстро решить многие профессиональные задачи с указанной степенью точности. При этом использование программы MathCad, также существенно облегчает проводимые вычисления.

Список использованных источников

1) Бахвалов Н.С. Численные методы — М.: Наука, 2006. — 632 с.

) Березин Н.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. — Т.1. — М.: Наука, 2008. — 464 с.

) Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач: Учебное пособие для вузов — 2-е изд., перераб. и доп. -М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит, 2005. -550 с.

2) Демидович Б.Н., Марон И.А. Основы вычислительной математики. -М.: Наука, 2012.- 664 с.

3) Самарский А.А. Введение в численные методы. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 2011. — 239 с.

Краткое описание документа:

В ходе выполнения курсовой работы были изучены следующие методы решения профессиональных задач: решение нелинейных уравнений, метод касательных (Ньютона), интерполирование функции, полиномы Ньютона, численное интегрирование и приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, задача Коши. На примерах было показано, что с помощью данных методов можно достаточно быстро решить многие профессиональные задачи с указанной степенью точности. При этом использование программы MathCad, также существенно облегчает проводимые вычисления.

Решение нелинейных уравнений

Автор: Katerine122 • Январь 6, 2021 • Курсовая работа • 5,614 Слов (23 Страниц) • 214 Просмотры

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет математики и информационных технологий

Кафедра программного обеспечения вычислительной техники и автоматизированных систем

«Программная инженерия задач вычислительной математике»

ОГУ 09.03.04. 3019. 562. ПЗ

« ___ »________________ 2020 г.

Студент группы з-17Пинж(ба)РПиС

« ___ »________________2020 г.

Оренбург 2020 [pic 1]

[pic 2] Задание

Решение нелинейных уравнений

Разработать ПС и решить уравнение методами половинного деления (бисекций), хорд, касательных (метод Ньютона) с точностью до 0,001. Интервалы выбрать самостоятельно. х 3 -3х-2е -х =0

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Разработать ПС и решить СЛАУ методами Гаусса, итераций (метод последовательных приближений), Зейделя. Для методов итераций и Зейделя решить с точностью 0,001.

Решение системы нелинейных уравнений

Разработать ПС и решить СНУ методами простой итерации и Ньютона с точностью 0,001.

Интерполирование функций (приближение функций)

1. Интерполируемая функция задана таблицей

Построить интерполяционный многочлен Лагранжа, найти значение функции в точке 3,5.

2. Построить интерполяционный многочлен Ньютона по первой таблице.

Численное интегрирование. Численное дифференцирование

1. Вычислить интеграл методом трапеций при n=7 [pic 5]

2. Вычислить интеграл по формуле Симпсона при n=7 [pic 6]

3. Функция y=f(x) задана табл.

Методом численного дифференцирования найти две производные этой функции в точке х =3.

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

Разработать ПС и решить дифференциальное уравнение методами: [pic 7] [pic 8]

y’=x+y/2 y(0)=1 h= 0,1 на отрезке [0,1]

Аннотация

В разработанных программных средствах реализованы проекты на основе Windows приложений в Visual Studio. В работе дается краткое теоретическое описание каждого метода, решения задачи, результаты работы.

Описывается процесс работы программ.

Программные средства обладают удобным, интуитивно понятным пользовательским интерфейсом.

Работа содержит 24 рисунка, 47 листов, 7 таблиц..

Решение не линейных уравнений 8

Решение системы линейных алгебраических уравнений 11

Решение системы нелинейных уравнений 15

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 17

Интерполирование функции 20

Численное интегрирование 24

Численное дифференцирование 26

Список использованных источников 29

Приложение 1. Листинг кода 30

Приложение 2. Экранные формы 46

Введение

Раздел математики, который изучает разные проблемы получения числовых результатов решения математических задач, называют вычислительной математикой. Вычислительная математика превратилась в самостоятельную ветвь относительно недавно: примерно в середине двадцатого века. Это было связано с появлением собственных внутренних задач. Вычислительная математика имеет столь же древнюю и богатую историю, что и сама математика. Почти все результаты математики, которые носили формульный вид, ложились в копилку вычислительной математики. Наверное, следует признать, что разделение математики на «чистую», прикладную, вычислительную соответствует скорее узкой специализации математиков, а не задачам, которые математика призвана решать. С появлением ЭВМ начался «золотой век» вычислительной математики. Её приложения в науке и технике расширяются с каждым годом. Методы математики можно условно разделить на четыре группы: качественные, аналитические, методы возмущений и численные. Качественные методы позволяют определить само существование (или несуществование) решения, но не найти его. Примерами могут служить: теорема о корнях алгебраического полинома, теорема Бендиксона о предельных циклах на плоскости и т.п. Аналитические методы дают формулы для решения конкретной задачи. При этом совершенно необязательно в алгоритме решения задачи должно быть конечное число формул, могут быть и бесконечные процессы, предельные переходы, т.е. весь разнообразный набор средств математического анализа (примером может служить метод последовательных приближений для решения задачи Коши дифференциального уравнения). Могут возникнуть задачи, в которых существует аналитический метод, но он является практически неприменимым при росте размерности задачи. Так, при решении систем линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера, увеличение размерности определителя системы до n приводит к тому, что количество вычислений будет расти как n!. Методы возмущений занимают промежуточное положение между численными и аналитическими методами, т.е. между методами, дающими приближенное и точное решение. Они могут быть выделены в особое направление, как по тому разнообразному математическому аппарату, так и по тому месту в методах вычислительной математики, которое они занимают. В этих методах обычно рассматривается задача, зависящая от малого параметра, который является возмущением предельной задачи. Решение предельной задачи предполагается известным. Для решения задачи ис- 4 пользуется и информация о малости параметра возмущения и информация о решении предельной задачи. Численные методы – это методы, которые могут быть сведены к арифметическим действиям над числами. Успех численных методов объясняется их сравнительно простой реализацией на ЭВМ. Искусство вычислений состоит фактически не столько в предъявлении числовых результатов в виде таблиц, графиков, сколько в обосновании того, что эти результаты получены с заданной точностью. В процессе проектирования и выполнения научных и инженерных исследований приходится выполнять самые разные вычисления. Некоторые просты и не требуют применения вычислительных машин, другие без ЭВМ невыполнимы. Можно выделить следующие категории расчетов, требующих применения ЭВМ: ‰ вычисления, аналогичные выполняемым вручную, но выполняемые многократно; ‰ вычисления слишком громоздкие, чтобы их можно было выполнить вручную, обеспечив необходимую точность за приемлемое время; ‰ подготовка графического представления данных, подготовка данных для производства и выпуска документации. Характер работы инженера или исследователя определяет многократное повторение решаемых задач, в число которых входят алгебраические и трансцендентные уравнения, задачи на собственные значения, обыкновенные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения в частных производных, оптимизация, обработка массивов числовых данных. Математическая формулировка технической задачи не должна рассматриваться как объект, не подлежащий изменению. Задачу следует с помощью эквивалентных преобразований привести к виду, наиболее удобному для решения.