Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусах

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

Пример . Дано уравнение кривой 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 в системе координат (0,i,j), где i =(1,0) и j =(0,1).
1. Определить тип кривой.
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3. Найти соответствующие преобразования координат.

Решение. Приводим квадратичную форму B=3x 2 +10xy+3y 2 к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусах. Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:
Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусах
Характеристическое уравнение:
Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусах; λ1=-2, λ2=8. Вид квадратичной формы: Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусах.
Исходное уравнение определяет гиперболу.
Заметим, что вид квадратичной формы неоднозначен. Можно записать 8x1 2 -2y1 2 , однако тип кривой остался тот же – гипербола.
Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B. Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусах.
Собственный вектор, отвечающий числу λ=-2 при x1=1: x 1=(1,-1).
В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусах, где Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусах– длина вектора x 1.
Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ=8, находим из системы
Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусах.
x 2=(1,1); Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусах.
Итак, имеем новый ортонормированный базис ( i 1, j 1).
По формулам (5) пункта 4.3.3. переходим к новому базису:
Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахили

Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии 17x 2 + 12xy + 8y 2 — 20 = 0.
Решение.Пример 2

Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм и определить её вид. Уравнение кривой второго порядка путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Решение

Задание. Привести уравнение к каноническому виду: 16x 2 — 9y 2 -64x — 8y +199 = 0.
Решение.Скачать решение

Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис. Изобразить гиперболу на чертеже, указав фокусы, асимптоты и директрисы.
Решение:Скачать решение

Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис. Изобразить эллипс на чертеже, указав оси симметрии, фокусы и директрисы.
Решение:Скачать решение

Видео:Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.Скачать

Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.

Преобразования декартовой системы координат с примерами решения

Содержание:

Видео:Полярная система координатСкачать

Полярная система координат

Преобразования декартовой системы координат

Параллельный перенос и поворот системы координат

1. Параллельный перенос системы координат. Пусть на плоскости две декартовы системы координат, причем соответствующие оси параллельны и сонаправлены (Рис.46):

Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусах

Рис. 46. Параллельный перенос одной системы координат относительно другой системы.

Систему координат Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусах

Пример:

Дана точка М(3;2) и начало новой системы координат Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахВычислить положение точки М в новой системе отсчета.

Решение:

Используя формулы, определяющие параллельный перенос одной системы отсчета относительно другой, получим Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахСледовательно, точка М в новой системе отсчета имеет координаты М(4; -1).

2. Поворот системы координат. Пусть даны две системы координат (старая и новая), имеющие общее начало отсчета и повернутые относительно друг друга на угол Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусах(Рис. 47): Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусах

Рис. 47. Поворот одной системы координат относительно другой системы с общим началом координат двух систем.

Получим формулы, связывающие старые и новые координаты произвольной точки М(х; у). Из рисунка видно, что в новой системе координат координаты точки равны Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусаха координаты этой точки в старой системе координат равны Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахТаким образом формулы перехода от новых координат произвольной точки М к старым имеет вид Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахВ матричном виде эти равенства можно записать в виде Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахгде матрица перехода Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусах

Найдем обратное преобразование системы координат, найдем матрицу Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахобратную к матрице А: Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусах

Найдем алгебраические дополнения всех элементов

Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахЗапишем обратную матрицу Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусах

Определение: Унитарными преобразованиями называются такие преобразования, для которых определитель матрицы преобразования равен 1.

Определение: Ортогональными преобразованиями называются такие преобразования, для которых обратная матрица к матрице преобразования совпадает с транспонированной матрицей преобразования.

Таким образом, имеем Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахСледовательно, формулы перехода от старой системы отсчета к новой системе отсчета имеют вид:

Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусах

Пример:

Найти координаты точки М(1; 2) в новой системе координат, повернутой относительно старой системы отсчета на угол Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусах

Решение:

Воспользуемся полученными формулами Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахт.е. в новой системе координат точка имеет координаты М(2; -1).

Рассмотрим применение преобразования координат:

а) Преобразовать уравнение параболы Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахк каноническому виду. Проведем параллельный перенос системы координат Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахполучим Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахВыберем начало отсчета новой системы координат так, чтобы выполнялись равенства Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахтогда уравнение принимает вид Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахВыполним поворот системы координат на угол Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахтогда Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахПодставим найденные соотношения в уравнение параболы Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахгде параметр параболы Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусах

Пример:

Преобразовать уравнение параболы Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахк каноническому виду.

Решение:

Найдем начало отсчета новой системы координат после параллельного переноса Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахт.е. точка Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусах— начало координат новой системы отсчета. В этой системе уравнение параболы имеет вид Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахПроведем поворот системы отсчета на угол Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахтогда

Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахследовательно, параметр параболы р = 1/4.

б) Выяснить, какую кривую описывает функция Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусах

Проведем следующее преобразование Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахПроизводя параллельный перенос системы координат, вводя обозначение

Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахи новые координаты Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахполучим уравнение Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахкоторое описывает равнобочную гиперболу.

Полярные координаты. Замечательные кривые

Пусть полярная ось совпадает с осью абсцисс Ох, а начало полярной оси (полюс полярной системы координат) совпадает с началом координат декартовой системы отсчета (Рис. 48). Любая точка М(х;у) в полярной системе координат характеризуется длиной радиус-вектора, соединяющего эту точку с началом отсчета и углом Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахмежду радиус-вектором и полярной осью (угол отсчитывается против часовой стрелки). Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусах

Рис. 48. Полярная система координат.

Главными значениями угла Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахявляются значения, лежащие в интервале Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахИз рисунка видно, что декартовы и полярные координаты связаны формулами Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусах

Рассмотрим замечательные кривые в полярной системе координат:

1. Спираль Архимеда Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахгде число Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусах(Рис. 49). Для построения кривой в полярной системе координат, разобьем декартову плоскость лучами с шагом по углу Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахи на каждом луче отложим ему соответствующее значение р. Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусах

Рис. 49. Спираль (улитка) Архимеда.

2. Уравнение окружности: уравнение Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахописывает окружность с центром в точке A(R; 0) и радиусом R (Рис. 50). В полярной системе координат уравнение принимает вид Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахКривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусах

Рис. 50. Окружность с центром в точке A(R; 0) и радиусом R.

3. Уравнение Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахописывает окружность с центром в т. А(0; R) и радиусом R (Рис. 51). В полярной системе координат уравнение принимает видКривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусах

Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусах

Рис. 51. Окружность с центром в точке А(0; R) и радиусом R.

4. Кардиоиды: Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусах

Рис. 52. Кардиоида Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусах

Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусах

Рис. 53. Кардиоида Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусах

Аналогично выглядят кардиоиды Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахно они вытянуты вдоль оси абсцисс Ох.

5. Петля: Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахВеличина Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусахравна нулю при Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусах

Для первого корня у = 0, а для второго и третьего — у = 9 . Следовательно, петля имеет вид Кривая задана общим уравнением найти угол поворота канонической системы координат в градусах

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Математика
  2. Алгебра
  3. Линейная алгебра
  4. Векторная алгебра
  5. Высшая математика
  6. Дискретная математика
  7. Математический анализ
  8. Математическая логика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Замечательные пределы
  • Непрерывность функций и точки разрыва
  • Точки разрыва и их классификация
  • Экстремум функции
  • Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
  • Скалярное произведение и его свойства
  • Векторное и смешанное произведения векторов

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Поворот координатных осей. Пара мнимых прямыхСкачать

Поворот координатных осей.  Пара мнимых прямых

Примеры решений: кривые второго порядка

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости на тему Кривые второго порядка: приведение к каноническому виду, нахождение характеристик, построение графика т.п.

Видео:315_1. Поворот системы координатСкачать

315_1. Поворот системы координат

Кривые 2-го порядка: решения онлайн

Задача 1. Привести к каноническому виду уравнение кривой 2 порядка, найти все ее параметры, построить кривую.

Задача 2. Дана кривая. Привести к каноническому виду. Построить и определить вид кривой.

Задача 3. Выяснить вид кривой по общему уравнению, найти её параметры и положение в системе координат. Сделать рисунок.

Задача 4. Общее уравнение кривой второго порядка привести к каноническому. Найти координаты центра, координаты вершин и фокусов. Написать уравнения асимптот и директрис. Построить линии на графики, отметить точки.

Задача 5. Дана кривая $y^2+6x+6y+15=0$.
1. Докажите, что данная кривая – парабола.
2. Найдите координаты ее вершины.
3. Найдите значения ее параметра $р$.
4. Запишите уравнение ее оси симметрии.
5. Постройте данную параболу.

Задача 6. Дана кривая $5x^2+5y^2+6xy-16x-16y=16$.
1. Докажите, что эта кривая – эллипс.
2. Найдите координаты центра его симметрии.
3. Найдите его большую и малую полуоси.
4. Запишите уравнение фокальной оси.
5. Постройте данную кривую.

Задача 7. Найти уравнения параболы и её директрисы, если известно, что парабола имеет вершину в начале координат и симметрична относительно оси $Ox$ и что точка пересечения прямых $y=x$ и $x+y-2=0$ лежит на параболе.

Задача 8. Составить уравнение кривой, для каждой точки которой отношение расстояния до точки $F(0;10)$ к расстоянию до прямой $x=-4$ равно $sqrt$. Привести это уравнение к каноническому виду и определить тип кривой.

Задача 9. Даны уравнения асимптот гиперболы $y=pm 5x/12$ и координаты точки $M(24,5)$, лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.

Задача 10. Даны уравнение параболы $y=1/4 x^2+1$ и точка $C(0;2)$, которая является центром окружности. Радиус окружности $r=5$.
Требуется найти
1) точки пересечения параболы с окружностью
2) составить уравнение касательной и нормали к параболе в точках её пересечения с окружностью
3) найти острые углы, образуемые кривыми в точках пересечения. Чертёж.

🌟 Видео

§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать

§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому виду

Семинар №9 "Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду"Скачать

Семинар №9 "Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду"

Поворот и параллельный перенос координатных осей. ЭллипсСкачать

Поворот и параллельный перенос координатных осей.  Эллипс

53. Приведение общего уравнения кривой к каноническому видуСкачать

53. Приведение общего уравнения кривой к каноническому виду

Видеоурок "Приведение к каноническому виду"Скачать

Видеоурок "Приведение к каноническому виду"

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Видеоурок "Преобразование координат"Скачать

Видеоурок "Преобразование координат"

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. ПримерСкачать

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду. Пример

§35 Формулы поворота координатных осейСкачать

§35 Формулы поворота координатных осей

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Полярная система координатСкачать

Полярная система координат

§31.4 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать

§31.4 Приведение уравнения кривой к каноническому виду

Построение кривой в полярной системе координатСкачать

Построение кривой в полярной системе координат

Видеоурок "Полярная система координат"Скачать

Видеоурок "Полярная система координат"

§30 Уравнения кривых второго порядка в полярных координатахСкачать

§30 Уравнения кривых второго порядка в полярных координатах

Лекция 14. Приведение кривых: поворотСкачать

Лекция 14. Приведение кривых: поворот
Поделиться или сохранить к себе: