Критерий линейной независимости решений линейного однородного уравнения

ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСМОСТЬ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Высшая математика

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение

Справедливо следующее этого уравнения.

Решения y ₁( x ), y ₂( x ), . y _n( x ) линейного однородного дифференциального уравнения линейно независимы на отрезке [ a ; b ] тогда и только тогда, когда определитель Вронского этих функций W ( x ; y ₁( x ), y ₂( x ), . y _n( x )) не обращается в нуль ни в одной точке отрезка [ a ; b ] .

Для определителя Вронского W ( x ; y ₁( x ), y ₂( x ), . y _n( x )) решений y ₁( x ), y ₂( x ), . y _n( x ) линейного однородного дифференциального уравнения с непрерывными на [ a ; b ] коэффициентами, справедлива формула Остроградского–Лиувилля:

Из формулы Остроградского-Лиувилля, в частности, следует:

ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

N-ГО ПОРЯДКА

(1)

называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением n-го порядка, если коэффициенты являются действительными числами или функциями переменной : функция .

Если функция то уравнение (1) принимает вид:

. (2)

Уравнение (2) называют линейным однородным дифференциальным уравнением n-го порядка, соответствующим (отвечающим) неоднородному уравнению (1).

Свойства решений линейных однородных уравнений

1. Если решение линейного однородного уравнения (2) на интервале , то для любого числа функция также является решением этого уравнения (2) на .

2. Если решения уравнения (2) на интервале , то также является решением уравнения (2) на .

С л е д с т в и е. Если являются решениями уравнения (2) на интервале , то также является решением этого уравнения на при любых значениях произвольных постоянных .

В теории линейных дифференциальных уравнений важную роль играет понятие линейной независимости системы функций на интервале.

Функции называются линейно независимыми на интервале , если для любого линейная комбинация функций обращается в нуль тогда и только тогда, когда .

В противном случае эти функции называются линейно зависимым на .

Проверку линейной независимости системы решений однородного уравнения n-го порядка удобно выполнять при помощи следующей теоремы.

Теорема 1. Чтобы решения линейного однородного уравнения n-го порядка были линейно независимы на , необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского был отличен от нуля для :

. (3)

Фундаментальной системой решений линейного однородного уравненияn-го порядка на интервале называют набор n решений этого уравнения, линейно независимых на .

В теореме 1 сформулирован критерий фундаментальности набора (системы) n решений линейного однородного уравнения n-го порядка.

Теорема 2 (об общем решении линейного однородного уравнения). Если функции образуют фундаментальную систему решений линейного однородного уравнения n-го порядка (2) на интервале , то общее решение этого уравнения имеет вид:

, (4)

где произвольные постоянные.

Теорема 3 (об общем решении линейного неоднородного уравнения). Если функция является общим решением однородного уравнения (2), является частным решением неоднородного уравнения (1), то функция

(5)

является общим решением уравнения (1).

З а м е ч а н и е (п р и н ц и п с у п е р п о з и ц и и).Если правая часть линейного неоднородного уравнения является суммой функций: то частное решение где частные решения неоднородных уравнений (2) с правыми частями, равными соответственно.

Пример 1. Проверить фундаментальность системы решений дифференциального уравнения и записать его общее решение.

□ Непосредственной подстановкой функций в уравнение убеждаемся в том, что они действительно являются его решениями:

Проверим, являются ли решения уравнения линейно независимыми. Для этого воспользуемся теоремой 1. Составим определитель Вронского:

Известно, что определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов: Значит, определитель Вронского отличен от нуля на всей числовой оси. Из теоремы 1 следует, что данная система функций фундаментальная. По теореме 2 составляем общее решение линейного однородного дифференциального уравнения:

■

ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n-го порядка

(6)

где коэффициенты Такое уравнение называют линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

При помощи подстановки Эйлера процедура решения линейного уравнения (6) сводится к отысканию корней алгебраического уравнения:

(7)

Это уравнение (7) и многочлен, корни которого следует найти, называют характеристическим уравнением и характеристическим многочленом соответственно.

Корни характеристического многочлена с действительными коэффициентами могут быть как действительными, так и комплексными числами (см. разд. 1.2.3 и 1.6.5).

Рассмотрим два случая.

1. Пусть действительный корень уравнения (7) кратности . Можно доказать, что этому корню соответствует ровно линейно независимых решений:

(8)

При корень называется простым. Простому действительному корню соответствует единственное решение .

2. Пусть комплексный корень кратности . Тогда комплексное число также является корнем кратности характеристического многочлена с действительными коэффициентами. Этой паре комплексно-сопряженных чисел соответствует 2 частных линейно независимых решений уравнения (6):

(9)

Частные решения, соответствующие разным корням характеристического уравнения (7), линейно независимы.

Как только найдено n частных линейно независимых решений, по теореме 2 можно написать общее решение в виде их линейной комбинации.

Алгоритм 1 решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами

1. Составить характеристическое уравнение (7).

2. Найти все корни уравнения (7) и определить их кратности.

3. Для каждого найденного корня написать соответствующие частные решения по

формулам (8) или (9).

4. Составить фундаментальную систему решений и записать общее решение по формуле (4).

Билет 15. Линейная зависимость и независимость решений линейного однородного ОДУ n-го порядка. Теорема об альтернативе для определителя Вронского.

Рассмотрим однородное ЛДУ порядка n на [a, b] с непрерывными на отрезке действительными коэффициентами aj(t), j=0,…,n, a0(t) ≠ 0 на [a, b]: a0(t)y(n)(t) +…+an(t)y(t)=0 (8). Рассмотрим систему скалярных функций y1(t)…yn(t), являющихся решением (8). Кол-во функций совпадает с порядком уравнения. Т Для решений y1(t),…,yn(t) линейного однородного ур-я (8) на [a, b] справедливо: либо W[y1…yn](t) = 0 на [a, b] и функции линейно зависимы, либо W[y1,…,yn](t) ≠ 0 для любого t Є [a, b] и функции y1(t),…,yn(t) линейно независимы на [a, b]. Док-во: пусть t0: W[y1,…,yn](t0) = 0. Рассмотрим систему линейных уравнений относительно c1,…,cn. . Так как определитель равен определителю Вронского и равен 0, то система имеет нетривиальное решение c

kyk(t). Эта функция как линейная комбинация – тоже решение. Из системы она удовлетворяет y

(m)(t0) = 0, m=0,…,n-1. Те она решение (8) и удовлетворяет 0м начальным условиям. По Т единственности решения задачи Коши она равна 0 (тождественный 0 удовлетворяет). Те функции линейно зависимы. Если одна точка отлична от 0 то по Б14 функции линейно независимы.

Билет 16. Фундаментальная система решений (ФСР) для линейного однородного ОДУ n-го порядка. Теорема о существовании ФСР. Теорема об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка.

Фундаментальной системой решений ЛОДУ n-ого порядка на [a, b] называется система из n линейно независимых на данном отрезке решений этого ур-я. Т у любого ЛОДУ существует ФСР на [a, b]. Док-во: Рассмотрим постоянную матрицу B Є [n, n] такую, что её определитель отличен от 0. Построим n задач Коши yj(t0) = b1j,…,yj(n-1)=bnj, j=1,…,n. Определить Вронского для решений этих задач в t0 равен detB ≠ 0. По Б15 не равен ни в одной точке, значит функции линейно независимы и являются ФСР. ЧТД. Замечание: ФСР определена не однозначно. Замечание: в силу вещественности aj ФСР может быть выбрана вещественной. Общим решением ЛОДУ n-ого порядка называется зависящее от n произвольных постоянных решение этого ур-я такое, что любое другое решение ур-я может быть получено из него в результате выбора некоторых значений этих постоянных. Т Пусть y1(t)…yn(t) – ФСР на [a, b]. Тогда общее решение этого ур-я на рассматриваемом отрезке имеет вид yoo(t) = c1y1(t) + …+cnyn(t), cj Є C. Док-во: Так как линейная комбинация решений однородного решения – решение этого ур-я, то yoo – решение этого ур-я. Покажем, что любое решение может быть получено из yoo. Пусть y

(n-1)(t0)> относительно c1,…,cn. Определитель отличен от 0, значит есть единственное решение. Те получили константы. ЧТД. Следствие: ЛОДУ n-ого порядка не может иметь более чем n линейно независимых решений.

Дата добавления: 2015-08-05 ; просмотров: 13 ; Нарушение авторских прав

🎬 Видео

Читайте также: Алгоритм решения транспортной задачи линейного программирования методом потенциалов Анализ алгоритмов линейного поиска Анализ альтернатив управленческих решений Анализ внешней среды при разработке управленческих решений Анализ возможных экологических и связанных с ними социальных, экономических и других последствий реализации альтернатив решений по объекту Анализ существующих аналогов проектных решений квартир студий Анализ существующих решений для построения сети Аналитический обзор существующих решений. Архитектура БД. Физическая и логическая независимость. Б) Коллективные методы принятия решений.