Критерий единственности решения системы линейных уравнений (5 видео)

Критерий совместности и единственности решения СЛУ.

Теорема Кронекера-Капелли.

Вопрос о совместности системы решается следующей теоремой.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матриц A и`A совпадают, т.е. r(A) = r(`A) = r.

Для множества М решений системы имеются три возможности:

1) M = Æ (в этом случае система несовместна);

2) M состоит из одного элемента, т.е. система имеет единственное решение (в этом случае система называется определенной);

3) M состоит более чем из одного элемента (тогда система называется неопределенной). В третьем случае система имеет бесчисленное множество решений.

Система имеет единственное решение только в том случае, когда
r(A) = n. При этом число уравнений – не меньше числа неизвестных (m³n); если m>n, то m-n уравнений являются следствиями остальных. Если 0

Пусть даны два вектора а и в. Суммой (а+в) векторов а и в называется вектор, который идет из начала вектора а в конец вектора в, при условии, что вектор в приложен к концу вектора а.

Правило сложения векторов, которое содержится в этом определении, называется “правилом треугольника”.

а+в

Если же два вектораа и в отложить из одной точки и достроить их до параллелограмма, то сумма а+в совпадает с большой диогональю параллелограмма, а разность а-в с меньшей диогональю. Это правило называют правилом параллелограмма.

А в

Пусть заданы произвольный вектор а и некоторое число λ. Произведением вектора а на число λ называется новый вектор, удовлетворяющий следующим условиям׃

1) Если λ>0, то направление нового вектора совпадает с направлением данного вектора. Если λ

Любая пара неколлинеарных векторов плоскости, взятых в определенном порядке, называется базисом на плоскости.

Справедливо утверждение: любой вектор а на плоскости может быть разложен по векторам ℓ₁ и ℓ₂ базиса этой плоскости. Причем это разложение единственно.

Другими словами, или на плоскости выбран базис ℓ₁, ℓ₂ и записывается в скобках а порядке следования а=<α_1,α ₂>.

Базисом в пространстве называется любая тройка некомпланарных векторов, взятых в определенном порядке.

Справедливо утверждение: любой вектор а в пространстве может быть разложен по векторам ℓ₁, ℓ_2, ℓ₃ базиса пространства , причем это разложение единственно.

1) Каждая координата суммы двух (или более) векторов равна сумме соответствующих координат слагаемых векторов,т.е.

2) Каждаякоординатаразности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов, т.е.

3) Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты данного вектора на это число, т.е.

Базис (ℓ₁, ℓ_2, ℓ₃) называется прямоугольным, если векторы попарно перпендикулярны и имеют единичную длину. В этом случае приняты обозначения ℓ₁ =i, ℓ_2, =j ,ℓ₃=k. (i¸j¸k-орты)

Декартовой системой координат в пространстве называется множество, состоящее из точки О и базиса (ℓ₁, ℓ_2, ℓ₃). Точка О называется началом координат;прямые ОХ,ОУ,ОZ, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат;первая-осью абсцисс, вторая-осью ординат, третья-осью аппликат. Плоскости, проходящие через пару координатных осей, называются координатными плоскостями. Декартова система координат на плоскости опредедяется как множество , состоящее из точки О и базиса (ℓ₁, ℓ_2, ).

Декартова система координат называется прямоугольной, если базис её-прямоугольный.

Расстояния между двумя точками А(x₁ ;y₁ ;z₁) и B(x₁ ;y₁ ;z₁) вычисляется по формуле

(2)

В частности , если точка М делит отрезок АВ пополам, то формулы для определения координат точки М записывается следующим образом:

Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и в называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними и обозначается а∙в или (а∙в), т.е.

Если из двух векторов хотя бы один нулевой, то скалярное произведения их принимается равным нулю.

Содержание

Теорема существования и единственности решения системы дифференциальных уравнений
Векторная форма записи
Формулировка теоремы
Условие Липшица
Доказательство существования решения
1) Доказательство существования предела y (m) при m стремящемся к бесконечности
2) Доказательство того, что Y является решением (4)
Доказательство единственности решения
Исследование СЛАУ. Общие сведения
Общие сведения (определения, условия, методы, виды)
Ранг матрицы и его свойства
💥 Видео

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Теорема существования и единственности решения системы дифференциальных уравнений

Здесь мы рассматриваем теорему существования и единственности решения системы дифференциальных уравнений с неизвестными функциями от переменной :
(1.1) ;
(1.2) ;
.
(1.n) .

Формулировка и доказательство этой теоремы является непосредственным обобщением теоремы для уравнения первого порядка, которое рассмотрено на странице “Теорема существования и единственности решения ДУ первого порядка”.

Видео:Лекция 13. Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера — Капелли.Скачать

Векторная форма записи

Поскольку уравнения (1.1) – (1.n) однотипны, то мы применим векторную форму записи. Это позволит сократить объем выкладок и сделает доказательство более ясным.

Совокупность неизвестных функций мы будем обозначать одним вектором . Совокупность функций от независимой переменной и от зависимых функций мы обозначим как
.

То есть совокупность из величин мы будем обозначать вектором . Равенство

будет обозначать систему из уравнений:
,
где .

Под нормой вектора мы будем понимать сумму модулей его компонент:
.

Видео:15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

Формулировка теоремы

Пусть дана система дифференциальных уравнений:
(1)
с начальными условиями
(1.0) .
Пусть – непрерывных функций от переменных в замкнутой области :

и, следовательно, ограничены некоторым положительным значением :
(2) .
И пусть функции удовлетворяют в области условию Липшица:
(3) ,
где – положительное число.
Тогда существует единственное решение системы (1):
,
удовлетворяющее начальным условиям , определенное и непрерывное для значений в интервале:
,
где есть наименьшее из двух чисел и .

Условие Липшица

Условие Липшица имеет вид:
(3) .
или в развернутом виде:
(3.1) ,
где – положительное число;
, и – любые значения из области .

Если условие Липшица выполняется и в некоторой точке существует частная производная , то она ограничена по модулю значением .
Для доказательства положим в (3.1) для всех . Тогда (3.1) примет вид:
.
Перейдем к пределу :
.

Если в области функции имеют непрерывные частные производные , то в этой области выполняется условие Липшица (3).
Для доказательства заметим, что поскольку частные производные непрерывны в замкнутой области, то они ограничены:
.
По теореме Лагранжа о конечных приращениях, имеем:
,
где частные производные вычисляются в некоторой точке , в которой компоненты принадлежат интервалам между и :
.
Тогда:

Видео:12. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Часть 1.Скачать

Доказательство существования решения

Приведем исходную систему (1) с начальными условиями (1.0) к системе интегральных уравнений. Левая и правая части (1) являются функциями от . Заменим на :
.
Интегрируем каждое уравнение по от до :
;
Подставим начальные условия . В результате получим систему интегральных уравнений:
(4) .

Покажем, что система интегральных уравнений (4) эквивалентна дифференциальным уравнениям (1) с начальными условиями (1.0). Для этого нужно показать, что из (1) и (1.0) следует (4) и из (4) следует (1) и (1.0). То, что из (1) и (1.0) следует (4) мы уже показали. Осталось показать, что из (4) следует (1) и (1.0). Для этого подставим в (4) . Получим начальные условия (1.0). Продифференцировав обе части системы (4) по , получаем (1).

Далее мы пытаемся найти решение уравнений (4) с помощью последовательных приближений. Для этого определяем ряд векторов функций от переменной по формулам:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
.
(5.m) .
Функции непрерывны, потому что интеграл есть непрерывная функция от верхнего предела. Мы предполагаем, что при , стремится к решению системы (4):
(6) ,
где – решение системы (4). Если мы докажем это, то мы докажем существование решения.

Доказательство существования решения будем проводить в два этапа:
1> вначале докажем, что предел (6) существует;
2) затем докажем, что удовлетворяет системе (4):
.

1) Доказательство существования предела y (m) при m стремящемся к бесконечности

Сведем последовательные приближения (5.1) – (5.m) к суммам рядов. Для этого пишем:

.
Таким образом нам нужно доказать, что ряды
(7)
сходятся при .

Сначала покажем, что при , компоненты последовательных приближений принадлежат интервалу .
Действительно, при имеем:
.
Поскольку есть наименьшее из двух чисел и , то и
.

Далее, поскольку принадлежит интервалу , то . Тогда, аналогично предыдущему,
.
Отсюда
.

Далее, по индукции, поскольку принадлежит интервалу , то и
.
Отсюда
.

Итак, мы доказали, что последовательные приближения принадлежат интервалу
.
Теперь мы можем оценить члены ряда (7).

Для первого члена имеем:
;
(8.1) .
Для второго члена применяем условие Липшица и оценку (8.1):

;
(8.2) .

Далее применим метод индукции. Пусть
(8.m) .
Тогда

;
(8.m+1) .
Итак, поскольку (8.m) справедливо для и из (8.m) следует (8.m+1), то (8.m) выполняется для любых .

Запишем -й ряд (7) в виде:
(7.i) ,
где .
Применим (8.m) и заменим наибольшим допустимым значением :
.
Тогда каждый член ряда (7.i), кроме первого, ограничен по модулю членом ряда
(9) .
Исследуем ряд (9) на сходимость. Применим признак Даламбера:
.
Итак, ряд (9) сходится. Поскольку все члены ряда (7.i), начиная со второго, по абсолютной величине меньше членов сходящегося ряда (9), то, в силу критерия Вейерштрасса, ряд (7.i) сходится равномерно для всех , удовлетворяющих условию . Поскольку интеграл есть непрерывная функция от верхнего предела, то каждый член ряда (7.i) есть непрерывная функция от . Поэтому предел
(10)
существует и является непрерывной функцией от .

2) Доказательство того, что Y является решением (4)

Рассмотрим уравнение (5.m):
(5.m) .
Докажем, что при , это уравнение стремится к уравнению
(11) .

В силу (10) левая часть уравнения (5.m) стремится к .

Теперь покажем, что
.

Перепишем правую часть (5.m):
.
Далее заметим, что поскольку все принадлежат закрытому интервалу , то и принадлежит этому интервалу, . Поэтому мы можем применить условие Липшица.

Оценим абсолютную величину последнего члена:

.
Поскольку, при , стремится к равномерно, то для любого положительного числа можно указать такое натуральное число , что для всех ,
(12) .
Пусть есть наибольшее из чисел . Тогда (12) выполняется для всех и для всех .
Тогда
.
Поскольку произвольно, то

Поэтому
.
То есть при уравнение
(5.m) .
принимает вид
(11) .

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Доказательство единственности решения

Предположим, что уравнение
(4)
имеет два решения и , различающиеся в некоторой точке , принадлежащей интервалу .
Рассмотрим функцию
.
Тогда .
Поскольку и непрерывны, то и непрерывная функция. Поэтому она отлична от нуля в некотором интервале, содержащем точку :
при .
Поскольку , то . То есть точка не принадлежит этому интервалу.

Если , то преобразуем (4) следующим образом:
,
где
.
Если переобозначить постоянные
,
то получим задачу (4), для которой
;
при ,
где – некоторое число, не превосходящее .

Если , то поступаем аналогично:
,
Переобозначим постоянные:
.
Получаем задачу (4), для которой
;
при ,
где – некоторое число, не меньшее .

Итак, мы имеем:
;
при ( или при ).
Далее возьмем произвольное положительное число ( или ) и рассмотрим закрытый интервал ( или ). Поскольку функция непрерывна, то она достигает наибольшего значения в одной из точек этого интервала:
( или ).

Сделаем оценку, применяя уравнение (4) и условие Липшица:

.
Итак, мы получили оценку:
.
Поскольку , то разделим на :
.
Возникает противоречие, поскольку при это неравенство не выполняется.

Следовательно, не может иметь отличных от нуля значений. Поэтому . Что и требовалось доказать.

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 20-06-2016

Видео:Неоднородная система линейных уравненийСкачать

Исследование СЛАУ. Общие сведения

В данной статье мы расскажем о методах, видах, условиях и определениях исследований решений систем линейных уравнений, что такое метод Кронекера-Капели, а также приведем примеры.

Видео:Исследование систем линейных уравнений на совместностьСкачать

Общие сведения (определения, условия, методы, виды)

Системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными могут иметь:

единственное решение;
бесконечное множество решение (неопределенные СЛАУ);
ни одного решения (несовместные СЛАУ).

Пример 1

Система x + y + z = 1 2 x + 2 y + 2 z = 3 не имеет решений, поэтому она несовместна.

Система x + y = 1 2 x + 7 y = — 3 имеет единственное решение x = 2 ; y = 1 .

Система x + y = 1 2 x + 2 y = 2 3 x + 3 y = 3 имеет бесконечное множество решений x = t y = 1 — t при — ∞ t ∞ .

Перед решением системы уравнений необходимо исследовать систему, т.е. ответить на следующие вопросы:

Совместна ли система?
Если система совместна, то, какое количество решений она имеет — одно или несколько?
Как найти все решения?

Если система малоразмерна при m = n , то ответить на поставленные вопросы можно при помощи метода Крамера:

если основной определитель системы, то система совместна и имеет единственное решение, которое вычисляется методом Крамера;
если, и один из вспомогательных определителей, то система не является совместной, т.е. не имеет решений;
если и все, и один из коэффициентов СЛАУ, то система не является определенной и имеет бесконечное множество решений.

Видео:Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Ранг матрицы и его свойства

Бывают случаи, которые выбиваются из представленных вариантов решения СЛАУ, например, линейные уравнения с большим количеством уравнений и неизвестных.

Для такого варианта решения существует ранг матрицы, который представляет собой алгоритм действий в случае решения системы матрицы, когда

В математике выделяют следующие подходы к определению ранга матрицы:

при помощи понятия линейной зависимости/независимости строк/столбцов матрицы. Ранг равен максимальному количеству независимых строк (столбцов) матрицы
при помощи понятия минора матрицы в качестве наивысшего порядка минора, который отличается от нуля. Минор матрицы порядка k — определитель k-го порядка, составленный из элементов, которые стоят на пересечении вычеркиваемых k-строк и k-столбцов матрицы;
при помощи метода Гаусса. По завершении прямого хода ранг матрицы равняется количеству ненулевых строк.

Обозначение ранга матрицы: r ( A ) , r g ( A ) , r A .

Свойства ранга матрицы:

квадратная невырожденная матрица обладает рангом, который отличается от нуля;
если транспонировать матрицу, то ранг матрицы не изменяется;
если поменять местами 2 параллельные строки или 2 параллельных столбца, ранг матрицы не изменяется;
при удалении нулевого столбца или строки ранг матрицы не изменяется;
ранг матрицы не изменяется, если удалить строку или столбец, которые являются линейной комбинацией других строк;
при умножении все элементов строки/столбца на число k н е р а в н о н у л ю ранг матрицы не изменяется;
ранг матрицы не больше меньшего из ее размеров: r ( А ) ≤ m i n ( m ; n ) ;
когда все элементы матрицы равны нулю, то только тогда r ( A ) = 0 .

Пример 2

А 1 = 1 1 1 2 2 2 3 3 3 , B 1 = 1 0 0 0 0 0

r ( A 1 ) = 1 , r ( B 1 ) = 1

А 2 = 1 2 3 4 0 5 6 7 0 0 0 0 ; В 2 = 1 1 3 1 2 1 4 3 1 2 5 0 5 4 13 6