Для линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка
Совокупность n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка y1(x), y2(x), . yn(x) называется фундаментальной системой решений уравнения.
Для линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами существует простой алгоритм построения фундаментальной системы решений. Будем искать решение уравнения в виде y(x) = exp(lx):
exp(lx) (n) + a1exp(lx) (n-1) + . + an-1exp(lx)’ + anexp(lx)=
= (l n + a1l n-1 + . + an-1l + an)exp(lx) = 0,
т.е. число l является корнем характеристического уравнения
l n + a1l n-1 + . + an-1l + an = 0.
Левая часть характеристического уравнения называется характеристическим многочленом линейного дифференциального уравнения:
P(l) = l n + a1l n-1 + . + an-1l + an.
Таким образом, задача о решении линейного однородного уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами сводится к решению алгебраического уравнения.
ПРИМЕР 1. Фундаментальная система решений и общее решение для случая простых действительных корней.
ПРИМЕР 2. Фундаментальная система решений и общее решение для случая кратных действительных корней.
ПРИМЕР 3. Фундаментальная система решений и общее решение для случая п простых комплексных корней.
ПРИМЕР 4. Фундаментальная система решений и общее решение для случая простых комплексных корней. Мнимые корни.
ПРИМЕР 5. Фундаментальная система решений и общее решение для случая кратных комплексных корней.
ПРИМЕР 6. Решение задачи Коши.
Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter
Видео:2191. ЛОДУ. Корни характеристического уравнения комплексные, не кратные.Скачать
Решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Видео:2186 ЛОДУ. Корни характеристического уравнения комплексные, не кратные.Скачать
Вид общего решения
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:
(1) .
Его решение можно получить следуя общему методу понижения порядка.
Однако проще сразу получить фундаментальную систему n линейно независимых решений и на ее основе составить общее решение. При этом вся процедура решения сводится к следующим шагам.
Ищем решение уравнения (1) в виде . Получаем характеристическое уравнение:
(2) .
Оно имеет n корней. Решаем уравнение (2) и находим его корни . Тогда характеристическое уравнение (2) можно представить в следующем виде:
(3) .
Каждому корню соответствует одно из линейно независимых решений фундаментальной системы решений уравнения (1). Тогда общее решение исходного уравнения (1) имеет вид:
(4) .
Действительные корни
Рассмотрим действительные корни. Пусть корень однократный. То есть множитель входит в характеристическое уравнение (3) только один раз. Тогда этому корню соответствует решение
.
Пусть – кратный корень кратности p . То есть
. В этом случае множитель входит в характеристическое уравнение (3) p раз:
.
Этим кратным (равным) корням соответствуют p линейно независимых решений исходного уравнения (1):
; ; ; . ; .
Комплексные корни
Рассмотрим комплексные корни характеристического уравнения (3). Выразим комплексный корень через действительную и мнимую части:
.
Поскольку коэффициенты исходного уравнения (1) действительные, то кроме корня имеется комплексно сопряженный корень
.
Пусть комплексный корень однократный. Тогда паре корней соответствуют два линейно-независимых решения уравнения (1):
; .
Пусть – кратный комплексный корень кратности p . Тогда комплексно сопряженное значение также является корнем характеристического уравнения кратности p и множитель входит в разложение на множители (3) p раз:
.
Этим 2 p корням соответствуют 2 p линейно независимых решений:
; ; ; . ;
; ; ; . .
После того как фундаментальная система линейно независимых решений найдена, по формуле (4) получаем общее решение уравнения (1).
Видео:2211 ЛОДУ. Корни характеристического уравнения комплексные и кратные.Скачать
Примеры решений задач
Пример 1
Найти общее решение однородного дифференциального уравнения седьмого порядка с постоянными коэффициентами:
.
Ищем решение в виде . Составляем характеристическое уравнение:
.
Преобразуем его:
;
;
.
Рассмотрим корни этого уравнения. Мы получили четыре комплексных корня кратности 2:
; .
Им соответствуют четыре линейно-независимых решения исходного уравнения:
; ; ; .
Также мы имеем три действительных корня кратности 3:
.
Им соответствуют три линейно-независимых решения:
; ; .
Общее решение исходного уравнения имеет вид:
.
Пример 2
Это однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Ищем решение в виде . Составляем характеристическое уравнение:
.
Решаем квадратное уравнение.
.
Мы получили два комплексных корня:
.
Им соответствуют два линейно-независимых решения:
.
Общее решение уравнения:
.
Пример 3
Найти общее решение однородного дифференциального уравнения четвертого порядка с постоянными коэффициентами:
.
Ищем решение в виде . Составляем характеристическое уравнение:
.
Выносим за скобки:
(П3.1) .
Решаем квадратное уравнение :
.
Получили два комплексных корня, которые обозначим как . Тогда . Перепишем характеристическое уравнение (П3.1) в эквивалентном виде:
.
Отсюда видно, что оно имеет два кратных корня кратности 2, и два комплексно сопряженных корня . Кратным корням соответствуют два линейно независимых решения:
;
.
Комплексно сопряженным корням , соответствуют решения
.
Общее решение:
.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 29-07-2013 Изменено: 27-10-2020
Видео:Комплексные корни квадратного уравненияСкачать
корней характеристического уравнения
Одним из косвенных показателей качества систем управления является степень удаленности корней характеристического уравнения замкнутой САУ от мнимой оси комплексной плоскости. Пусть ближайшие к мнимой оси комплексно-сопряженные корни устойчивой системы имеют значение
. (7.1)
Расстояние 
(рис. 8.2) ближайших к мнимой оси комплексно-сопряженных корней называется степенью устойчивости системы.
Угол φ, образуемый лучами, проведенными из начала координат через эти корни, характеризует колебательность системы. Степенью колебательности системы (коэффициентом затухания колебаний) называют количественную характеристику, определяемую выражением
. (7.2)
Чтобы система обладала заданной колебательностью, все корни характеристического уравнения должны вписываться в угол 2φ (см. рис. 7.2). Для большинства систем управления допустимое перерегулирование 
не должно превышать (10…20)%, что соответствует m=0,2…0,5.
Рис. 7.2. Область расположения корней
с заданными показателями и 
При корневых методах оценки качества системы, т. е. по расположению корней характеристического полинома, исходят из следующих соображений.
Решение однородного уравнения, характеризующего свободное движение системы, представляет собой сумму затухающих экспонент вида (6.2). Полагая, что качество САУ в основном определяется ближайшим к мнимой оси вещественным корнем или ближайшей к мнимой оси парой комплексно-сопряженных корней (доминирующих корней), можно записать
.
Полагая, что зона δ установления переходного процесса составляет (2…5)% от установившегося значения 
, можно найти требуемое соотношение степени устойчивости системы и времени регулирования tр:
. (7.3)
Следовательно, задаваясь временем регулирования, можно рассчитать минимальное (по модулю) значение вещественных частей корней характеристического уравнения.
Аналогично можно связать степень колебательности m системы со степенью затухания колебаний. Пусть по условиям технологии требуется, чтобы каждая последующая амплитуда колебаний затухала в k раз по сравнению с предыдущей. Тогда
. (7.4)
Пусть k=10, тогда в соответствие с (7.4) получим m=0,336 и
.
Таким образом, задаваясь временем регулирования 
и соотношением амплитуд колебаний k, можно определить допустимую область расположения корней на комплексной плоскости или решить обратную задачу расчета параметров и k переходного процесса по расположению доминирующих корней характеристического уравнения. Следует отметить, что данный подход дает приемлемую точность оценки качества регулирования, если действительные части остальных корней характеристического уравнения больше действительной части доминирующих корней, по крайней мере, в 5 раз [6].
Для построения в плоскости параметров областей, обеспечивающих требуемые показатели качества регулирования целесообразно использовать метод D-разбиения [6]. В качестве примера используем уравнение Вышнеградского, описывающего в параметрической форме характеристический полином 3-го порядка,
. (7.5)
где A и B – обобщенные параметры характеристического уравнения.
Подставим выражение для комплексного корня 
в (7.5). Тогда получим
.
Приравнивая нулю вещественную и мнимую части, получим
, 
(7.6)
Полагая 
в (7.6), получим границу области устойчивости системы в параметрической форме
(7.7)
— уравнение гиперболы Вышнеградского (кривая 1, рис. 7.3).
Рис. 7.3. Границы областей устойчивости,
колебательности и апериодичности на
Полагая 
в (7.6), получим границу области апериодичности системы в параметрической форме (кривые 2 и 3 на рис. 7.3)
.
Поскольку на кривой 1 ω ≠ 0, а на кривых 2 и 3 ω = 0, то области I и III являются областями комплексных, а область II – вещественных корней (см. рис. 7.3). Следовательно, если параметры A, B принадлежат области II, то переходные процессы имеют апериодический характер, причем, чем эти параметры больше, тем процессы более затянуты. Если параметры принадлежат области I, то переходные процессы имеют колебательный характер, причем, чем больше A и меньше B, тем выше колебательность. Область III является областью монотонности решения однородного дифференциального уравнения, соответствующего (7.5), а, следовательно, переходные процессы, имея колебательный характер, тем не менее, затухают монотонно (без перерегулирования).
Диаграмма Вышнеградского [19] помимо приведенных кривых содержит кривые равных вещественных частей комплексных корней (равной степени устойчивости), причем для двух случаев расположения корней, когда ближайшими к мнимой оси являются комплексные корни и, когда ближайшим к мнимой оси расположен вещественный корень (на рис. 7.3 эти кривые не показаны). В частности, на границе областей I и III (кривая 4) все три корня равно удалены от мнимой оси.
Требования повысить быстродействие и одновременно снизить перерегулирование в системе являются противоречивыми друг другу, что заставляет искать компромисс. В общем случае, с точки зрения переходного процесса наилучшей считается САУ, у которой все корни характеристического уравнения n-го порядка равны друг другу (на практике редко реализуется), т. е.
, i=1, 2, 3…n.
В этом случае перерегулирование не превышает 10%, а время нарастания регулирования является минимальным.
Если все корни являются вещественными, то система характеризуется отсутствием перерегулирования, т. е. апериодическими переходными процессами. Время регулирования будет тем меньше, чем меньше среднегеометрический корень 
или, иначе, чем ближе к мнимой оси расположен центр корней.
При анализе качества системы корневыми методами необходимо учитывать влияние нулей передаточной функции на переходный процесс.
Прежде всего, нужно проверить, насколько близки нули к полюсам.
Если нуль и полюс совпадают, то их нужно сократить, и они не будут влиять на качество системы. Порядок системы при этом, естественно, будет понижен.
Если полюсы и нули передаточной функции не совпадают, то полюсы определяют отдельные составляющие переходного процесса (апериодические и гармонические), а нули определяют удельный вес каждой из этих составляющих. Чем ближе нуль передаточной функции расположен к какому-либо полюсу, тем меньше его вклад в переходную характеристику составляющей, соответствующей данному полюсу.
7.2.2. Интегральные оценки качества
В основе интегральных оценок качества лежит предположение, что качество регулирования тем выше, чем меньше площадь между кривой переходного процесса и заданным значением регулируемой переменной. Интегральные оценки качества являются строгой математической формулировкой понятия качества системы, и их минимизация позволяет определить оптимальные параметры системы управления, т. е. решить задачу параметрического синтеза системы. Для этой цели применяются процедуры безусловной и условной оптимизации [2, 6, 10-12, 19-21].
Наибольшее применение для косвенной оценки качества САУ находят интегральные оценки вида [6, 11, 12, 19]:
; (7.8)
; (7.9)
; (7.10)
; (7.11)
, (7.12)
где 
— текущая ошибка регулирования, являющаяся функцией времени,
С – некоторый весовой коэффициент, характеризующий допустимую скорость изменения ошибки регулирования, а, следовательно, выходной координаты в переходном процессе.
В критерии (7.8) подынтегральное выражение линейно относительно ошибки регулирования и такая оценка применяется только для апериодического переходного процесса, когда ошибка имеет положительный знак.
Интегральная квадратичная оценка (ИКО) вида (7.9) применяется при колебательном характере переходных процессов, характеризующихся сменой знака ошибки регулирования. Интегральная квадратичная оценка (7.10) применяется в тех случаях, когда требуется учитывать ограничения энергии управления.
Широко используемым видом оценки качества является интеграл от модуля ошибки (ИМО) – (7.11), позволяющем учесть смену знака подынтегральной функции.
Чтобы уменьшить вклад начальной ошибки в интеграл (7.11) и учесть связанную с этим ошибку была предложена [6] оценка в виде интеграла от взвешенного модуля ошибки (ИВМО) в виде (7.12).
Рассмотрим пример. Пусть передаточная функция замкнутой системы 2-го порядка имеет вид:
, (7.13)
где 
— коэффициент затухания.
Нормированное значение собственной частоты принято 
. На рис. 7.4 приведены кривые, отражающие изменение двух из приведенных выше интегральных оценок системы (ИКО и ИВМО) в функции коэффициента затухания [6].
Рис. 7.4. Интегральные оценки
качества системы второго порядка
Как видим, оценка ИВМО по сравнению с ИКО имеет ярко выраженный минимум (хорошую избирательность), соответствующий = 0,707, что для данной системы 2-го порядка обеспечивает наиболее быстрое протекание переходного процесса с перерегулированием около 4,3%.
Рассмотрим еще один пример. Пусть передаточная функция замкнутой системы имеет достаточно общий вид нерекурсивного фильтра n-го порядка:
. (7.14)
Безусловная оптимизация систем первого-четвертого порядка (n=1…4), описываемых передаточными функциями (7.14), по критерию ИВМО дает оптимальные значения коэффициентов полиномов знаменателей этих передаточных функций, приведенные в табл. 7.1. Значения коэффициентов нормированы относительно собственной частоты колебаний 
.
На рис. 7.5 приведены кривые переходных процессов, соответствующих оптимальным по критерию ИВМО фильтрам первого-четвертого порядка.
| Порядок системы | Полином знаменателя передаточной функции |
| n=1 |  |
| n=2 |  |
| n=3 |  |
| n=4 |  |
Значения коэффициентов нормированы относительно собственной частоты колебаний . На рис. 7.5 приведены кривые переходных процессов, соответствующие оптимизации фильтров первого-четвертого порядка по критерию ИВМО.
Рис. 7.5. Переходные характеристики, соответствующие
оптимизации систем по ИВМО
Графики построены в зависимости от нормированного времени 
.
Кроме приведенных оценок для оптимизации систем управления применяются и другие интегральные критерии качества, в частности, лежащие в основе синтеза фильтров Баттерворта, широко применяемых при настройке контуров электромеханических систем управления.
8. Метод пространства состояний
Широкое распространение компьютеров и мощных систем программирования побуждает к исследованию САУ во временной области, а, следовательно, к непосредственному использованию описания динамических систем управления в форме обыкновенных дифференциальных уравнений без перехода к операторной форме. Кроме того, как уже отмечалось, векторно-матричные формы описания и исследования применимы не только к одномерным, линейным, стационарным САУ, но и к широкому классу многомерных, нелинейных и нестационарных САУ.
Чтобы получить пригодную для компьютерного синтеза и анализа модель САУ, необходимо представить ее в переменных состояния системы, используя далеко не единственный набор переменных. Следует отметить, что описание систем во временной области в векторно-матричной форме лежит в основе современной теории управления и оптимизации. В настоящей главе рассмотрены вопросы применения метода пространства состояния к непрерывным системам управления.
8.1. Векторно-матричное описание САУ
Состояние системы – это совокупность значений переменных системы (координат состояния), существенных с точки зрения решаемой задачи. В общем случае, в это число включают не только выходные и внутренние переменные САУ, но и задающие воздействия, и доминирующие возмущающие воздействия внешней среды. Чем полнее достоверной информации о состоянии системы в текущий момент времени, тем проще определить будущие значения всех ее переменных. Инженерно-технический персонал, разрабатывающий и эксплуатирующий технические системы управления, оперирует, как правило, с такими физическими переменными, которые могут быть измерены с помощью соответствующих датчиков. К таким физическим переменным САУ относят ускорение, скорость, перемещение, давление, расход, температуру, уровень и т. п. Координатами датчиков технологических координат САУ являются другие переменные — напряжение, ток, частота следования импульсов, двоичный код и т. п., что дает исследователю возможность выбора для синтеза и анализа необходимого набора координат состояния САУ.
Векторно-матричная модель многомерной, нелинейной, нестационарной САУ записывается в виде [6, 10, 11, 19]
,
, (8.1)
где X(t), U(t),F(t), Y(t) – соответственно векторы состояния, управления, возмущения и выходных (управляемых) координат системы,
– вектор первых производных координат состояния,
– нелинейные, нестационарные функции координат состояния, управления и возмущения системы.
В уравнении (8.1) вектор управления U(t) является, в общем случае, некоторой нелинейной нестационарной функцией задающих координат, координат состояния и возмущения САУ и призван обеспечить оптимальное управление системой. Описание многомерных, нелинейных, нестационарных САУ в форме (8.1) не позволяет, как правило, получить инженерное решение задачи структурно-параметрического синтеза оптимального управления U(t) или такое решение приводит к неоправданным затратам на реализацию (в техническом или экономическом аспектах). В большинстве случаев такие модели сводят к одномерным или многомерным линейным (линеаризованным) квазистационарным моделям, для которых имеются развитые методы и инженерные методики синтеза оптимального управления.
Линейную (линеаризованную) модель многомерной стационарной (квазистационарной) САУ представляют в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в форме Коши:
,
, (8.2)
.
Эту же систему дифференциальных уравнений можно представить в векторно-матричной форме [6, 11, 19]:
, (8.3)
где 
— векторы (векторы-столбцы) соответственно состояния и управления САУ,
, 
;
— символ транспонирования (иногда для обозначения транспонирования применяют буквенный символ “т”);
— стационарные матрицы соответственно состояния и управления,
, 
.
В общем случае, на объект управления помимо управляющих воздействий действуют возмущающие воздействия. В этом случае векторно-матричную модель системы представляют в виде
, (8.4)
где 
— вектор-столбец возмущающих воздействий САУ, C – стационарная матрица возмущений,
,
.
Выходные (управляемые) переменные не всегда непосредственно принадлежат вектору состояния. В линейных САУ они линейно связаны с переменными состояния, управляющими и возмущающими переменными. В этом случае к уравнениям (8.3), (8.4) присоединяют алгебраические линейные уравнения
(8.5)
или 
, (8.6)
где 
— вектор выходных переменных САУ, 
;
K, L, M – стационарные матрицы соответственно размерностей (r 
n), (r m), (r d).
Следует отметить, что приведенные уравнения (8.1)…(8.6) дают описание лишь объекта управления или разомкнутой системы, если вектор управления U(t) не является функцией координат состояния САУ. В замкнутых линейных САУ управление обычно формируют как линейную форму координат состояния и, в общем случае, возмущения САУ.
В качестве примера приведем векторно-матричное описание ранее рассматриваемого электродвигателя постоянного тока как объекта регулирования по цепи якоря. Пусть выходной (регулируемой) координатой является скорость вращения двигателя. Полагая, что напряжение возбуждения 
, а магнитный поток 
, математическую модель электродвигателя можно представить в виде:
,
. (8.7)
Воспользуемся векторно-матричной моделью линейных САУ в виде (8.4), (8.5). Зададимся векторами состояния, управления и возмущения в виде:
; 
;
(8.8)
По уравнениям (8.7) найдем матрицы состояния, управления и возмущения:
; 
; 
. (8.9)
Поскольку выходная переменная всего одна и ей является координата состояния 
, уравнение выхода преобразуется к скалярной форме
. (8.10)
По описанию системы в форме векторно-матричных уравнений (ВМУ) можно непосредственно получить эквивалентную передаточную функцию (ПФ) и, наоборот, зная ВМУ системы, можно получить ее ПФ. Для этого в системе MATLAB имеется две функции: функция tf и функция ss.
Пусть ВМУ системы имеет вид (8.3), (8.5). Применительно к системе MATLAB ВМУ записывают в виде
Для получения ВМУ в системе MATLAB необходимо определить функцию ss(A,B,C,D). Для преобразования ВМУ к ПФ системы необходимо записать:
sys_ss=ss(A,B,C,D); % Формирование ВМУ системы;
sys_tf=tf(sys_ss), % Преобразование ВМУ к ПФ системы.
Для обратного преобразования ПФ к ВМУ необходимо записать:
sys_tf=tf(num,den); % Формирование ПФ системы;
sys_ss=ss(sys_tf); Преобразование ПФ к ВМУ системы.
Рассмотрим пример. Пусть ПФ системы имеет вид
.
Тогда запишем скрипт преобразования ПФ к ВМУ и обратного преобразования ВМУ к ПФ:
sys_tf=tf(num,den); % Формирование ПФ системы;
sys_ss=ss(sys_tf); %Преобразование ПФ к ВМУ системы;
💡 Видео
кратные корниСкачать
2195 ЛОДУ. Корни характеристического уравнения действительные и комплексные.Скачать
2185 ЛОДУ. Корни характеристического уравнения действительные и кратные.Скачать
2194. ЛОДУ. Корни характеристического уравнения комплексные и действительные.Скачать
Высшая математика. Комплексные числа: продолжение. Возведение в степень и извлечение корняСкачать
Лекция №11 по ДУ. Случай кратных корней характер-го уравнения. Бишаев А.М.Скачать
Комплексные корни квадратных уравнений. 11 класс.Скачать
2187. ЛОДУ. Корни характеристического уравнения действительные, не кратные.Скачать
Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 4. Извлечение корня n-й степени.Скачать
Разностные уравнения | Решение задачСкачать
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать
ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентамиСкачать
Биквадратное уравнение. Комплексные корни.Скачать
2184 ЛОДУ. Корни характеристического уравнения действительные и различныеСкачать
Характеристическое уравнение в ДУСкачать
