Среди всех типов уравнений математической физики эллиптические уравнения с точки зрения вычислителей стоят особняком. С одной стороны, имеется хорошо развитая теория решения эллиптических уравнений и систем. Достаточно легко доказываются теоремы об устойчивости разностных схем для эллиптических уравнений. Во многих случаях получаются априорные оценки точности расчетов и числа итераций при решении возникающих систем сеточных уравнений . С другой стороны, системы сеточных уравнений , возникающие при решении уравнений методами сеток, имеют большую размерность и плохо обусловлены. Для решения таких систем разработаны специальные итерационные методы .
6.1. Постановка задачи. Простейшая разностная схема «крест». Устойчивость схемы «крест»
Будем рассматривать двухмерное уравнение Пуассона
в единичном квадрате с краевыми условиями первого рода на границе расчетной области
( — заданная на границе функция ).
В случае прямоугольной области граничные условия удобно записать в следующем виде:
Видео:9. Уравнение ПуассонаСкачать
Для простоты выкладок введем равномерную расчетную сетку с узлами
Выбираем простейший пятиточечный шаблон разностной схемы «крест» . На этом шаблоне аппроксимирующее разностное уравнение легко выписать. Для этого производные заменим вторыми разностями:
где h — шаг по координатам, или в операторной форме
Эту же разностную схему можно записать в каноническом виде для разностных схем для эллиптических уравнений:
Такую каноническую запись не следует путать с канонической формой записи итерационного метода, которая встретится ниже.
Такая схема обладает вторым порядком аппроксимации по обеим координатам. Это легко показать, применяя разложение в ряд Тейлора функции — проекции точного решения на сетку — вплоть до членов четвертого порядка включительно. Проведем такое разложение для одного из операторов, стоящих в данном разностном уравнении:
Видео:7.1 Решение уравнения Лапласа в прямоугольникеСкачать
Здесь учтено разложение проекции точного решения в ряд Тейлора
и аналогичное разложение для um — 1.
Для рассматриваемого двухмерного уравнения получим выражение для главного члена невязки
Рассмотрим устойчивость полученной схемы. Отметим, что методы исследования на устойчивость , применяемые для эволюционных (зависящих от времени) уравнений, здесь не работают. Действовать приходится на основе определения устойчивости.
Сформулируем и докажем две леммы, которые облегчат процедуру доказательства устойчивости разностной схемы.
🔥 Видео
УМФ, 01.12, решение задач Лапласа и Пуассона в случае неоднородных граничных условийСкачать
Задача Дирихле для круга. Уравнение ЛапласаСкачать
Краевая задача для уравнений Лапласа и Пуассона на R^2Скачать
Решение волнового уравнения в прямоугольникеСкачать
OTAROVA JAMILA МЕТОД ФУРЬЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙСкачать
7.2 Задача 1. Краевая задача для уравнения ПуассонаСкачать
6.2 Решение задач для уравнения Лапласа в круге, вне круга и в кольцеСкачать
УМФ, 08.12, уравнения Лапласа и Пуассона для кругаСкачать
7.5 Задача 4. Краевая задача для уравнения ПуассонаСкачать
7.3 Задача 2. Краевая задача для уравнения ПуассонаСкачать
7.6 Задача 5. Краевая задача для уравнения ПуассонаСкачать
Уравнения математической физики 15+16 Задача Дирихле для уравнения Лапласа - Пуассона в кругеСкачать
Колыбасова В.В. - Методы математической физики. Семинары - 5. Уравнение Лапласа в полярных коорд. 1Скачать
7.9 Задача 8. Краевая задача для уравнения ПуассонаСкачать
Формула ПуассонаСкачать
Шапошникова Т. А. - Уравнения с частными производными. Часть 1. Семинары - Семинар 10Скачать
Уравнения математической физики. Уравнение Лапласа. Часть 1Скачать