Среди всех типов уравнений математической физики эллиптические уравнения с точки зрения вычислителей стоят особняком. С одной стороны, имеется хорошо развитая теория решения эллиптических уравнений и систем. Достаточно легко доказываются теоремы об устойчивости разностных схем для эллиптических уравнений. Во многих случаях получаются априорные оценки точности расчетов и числа итераций при решении возникающих систем сеточных уравнений . С другой стороны, системы сеточных уравнений , возникающие при решении уравнений методами сеток, имеют большую размерность и плохо обусловлены. Для решения таких систем разработаны специальные итерационные методы .
6.1. Постановка задачи. Простейшая разностная схема «крест». Устойчивость схемы «крест»
Будем рассматривать двухмерное уравнение Пуассона
в единичном квадрате 
с краевыми условиями первого рода на границе расчетной области 
( 
— заданная на границе функция ).
В случае прямоугольной области граничные условия удобно записать в следующем виде:
Видео:9. Уравнение ПуассонаСкачать
Для простоты выкладок введем равномерную расчетную сетку с узлами
Выбираем простейший пятиточечный шаблон разностной схемы «крест» . На этом шаблоне аппроксимирующее разностное уравнение легко выписать. Для этого производные заменим вторыми разностями:
где h — шаг по координатам, или в операторной форме
Эту же разностную схему можно записать в каноническом виде для разностных схем для эллиптических уравнений:
Такую каноническую запись не следует путать с канонической формой записи итерационного метода, которая встретится ниже.
Такая схема обладает вторым порядком аппроксимации по обеим координатам. Это легко показать, применяя разложение в ряд Тейлора функции — проекции точного решения на сетку — вплоть до членов четвертого порядка включительно. Проведем такое разложение для одного из операторов, стоящих в данном разностном уравнении:
Видео:УМФ, 01.12, решение задач Лапласа и Пуассона в случае неоднородных граничных условийСкачать
Здесь учтено разложение проекции точного решения в ряд Тейлора
и аналогичное разложение для um — 1.
Для рассматриваемого двухмерного уравнения получим выражение для главного члена невязки
Рассмотрим устойчивость полученной схемы. Отметим, что методы исследования на устойчивость , применяемые для эволюционных (зависящих от времени) уравнений, здесь не работают. Действовать приходится на основе определения устойчивости.
Сформулируем и докажем две леммы, которые облегчат процедуру доказательства устойчивости разностной схемы.
💡 Видео
7.1 Решение уравнения Лапласа в прямоугольникеСкачать
OTAROVA JAMILA МЕТОД ФУРЬЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙСкачать
7.2 Задача 1. Краевая задача для уравнения ПуассонаСкачать
Краевая задача для уравнений Лапласа и Пуассона на R^2Скачать
Решение волнового уравнения в прямоугольникеСкачать
Задача Дирихле для круга. Уравнение ЛапласаСкачать
7.6 Задача 5. Краевая задача для уравнения ПуассонаСкачать
6.2 Решение задач для уравнения Лапласа в круге, вне круга и в кольцеСкачать
7.3 Задача 2. Краевая задача для уравнения ПуассонаСкачать
7.5 Задача 4. Краевая задача для уравнения ПуассонаСкачать
УМФ, 08.12, уравнения Лапласа и Пуассона для кругаСкачать
Шапошникова Т. А. - Уравнения с частными производными. Часть 1. Семинары - Семинар 10Скачать
Колыбасова В.В. - Методы математической физики. Семинары - 5. Уравнение Лапласа в полярных коорд. 1Скачать
7.9 Задача 8. Краевая задача для уравнения ПуассонаСкачать
Уравнения математической физики 15+16 Задача Дирихле для уравнения Лапласа - Пуассона в кругеСкачать
Формула ПуассонаСкачать
Уравнения математической физики. Уравнение Лапласа. Часть 1Скачать
