Краевая задача для уравнения штурма лиувилля

Видео:Разбор решения задачи Штурма-ЛиувилляСкачать

Лекция 4. Краевые задачи для дифференциальных уравнений. Задача Штурма-Лиувилля.

Будем рассматривать однородное линейное уравнение второго порядка

Ly ≡ a₂(x)y» + a₁(x)y’ + a₀(x)y = 0. Его можно записать по-другому:

(15)

Однородное уравнение Ly = 0 и неоднородное Ly = f, как известно, имеют бесконечное множество решений. На практике часто бывает нужно из множества решений выделить только одно. Для этого задают некоторые дополнительные условия. Если это начальные условия у(х₀) = у_o, y'(x_o) = y₁, то получают задачу Коши. Если задают дополнительные условия на концах некоторого отрезка, то получают задачу, которая называется краевой задачей. Условия, которые задаются на концах отрезка, называются краевыми условиями. Краевые условия иногда именуют также граничными условиями и тогда говорят о граничной задаче.
Мы будем задавать линейные краевые условия вида

(16)

где α₁, α₂, β₁, β₂, A, B — заданные числа, причем по крайней мере одно из чисел α₁, α₂, и одно из чисел β₁, β₂, отличны от нуля. Если в (16) хотя бы одно из чисел А и В не равно нулю, то краевые условия называют неоднородными. Если А = В = 0, то условия (16) называются однородными. Краевая задача называется однородной, если рассматривается однородное уравнение (15) Ly = 0 и однородные краевые условия (16). Решением краевой задачи называется такое решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет заданным краевым условиям. Заметим сразу, что однородная краевая задача всегда имеет решение у ≡ 0 (тривиальное решение).

Наряду с уравнением (15) рассмотрим уравнение

(17)

содержащее некоторый числовой параметр λ. Здесь функции р(х), q(x), r(x) действительные, а число λ может быть, вообще говоря, и комплексным. Краевая задача (17), (16) при А = В = 0 является однородной. Поэтому при любых λ она имеет тривиальное решение. Нас будут интересовать такие значения λ, при которых эта задача обладает не только тривиальными решениями.

Задача Штурма-Лиувилля. Найти те значения параметра λ, при которых уравнение (17) имеет нетривиальное решение, удовлетворяюшее однородным краевым условиям (16). В дальнейшем будем ее записывать в виде

<L_λy = 0, l₁y = 0, l₂y = 0>.
Те значения параметра λ, при которых задача Штурма-Лиувилля имеет ненулевое решение, называются собственными значениями (собственными числами) задачи, а сами эти решения — собственными функциями. Задачу Штурма-Лиувилля называют также задачей на собственные значения. В силу однородности уравнения и краевых условий собственные функции задачи Штурма-Лиувилля определены с точностью до постоянного множителя. Это означает, что если y(х) -собственная функция при некотором значении λ, то произведение Cy(x), где С — произвольная постоянная, также является собственной функцией при том же значении параметра λ. В связи с этим часто в качестве собственной функции рассматривают нормированную функцию у <х), у которой ||у(х)|| = 1. Такая собственная функция определена, по существу, однозначно (с точностью до знака ±). Далее мы подробно изучим наиболее простой случай задачи Штурма-Лиувилля, когда уравнение имеет вид

Из множества краевых условий вида (16) ограничимся тремя частными случаями:

1) краевые условия первого рода

2) краевые условия второго рода

3) краевые условия третьего рода

(21)

Общая задача Штурма-Лиувилля будет обладать свойствами, очень похожими на свойства в этих простых случаях, если на коэффициенты уравнения (17) наложить дополнительные условия: р(х), q(x), f(x) -непрерывные функции, причем р(х) имеет, кроме того, непрерывную производную на [а, b], р(х) > 0, q(x) ≥ 0.

Основные свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.

Лемма. Определитель Вронского двух собственных функций задачи Штурма-Лиувилля на концах отрезка [а, b] равен нулю.

Доказательство. Напомним, что определителем Вронского функций у = y₁(x) и у = у₂(x) называется определитель вида

Рассмотрим однородные краевые условия общего вида (16). Пусть у₁(x) и у₂(x) — две любые собственные функции. Это означает, что в точке x = а выполняются равенства

Числа α₁, и α₂ не могут одновременно равняться нулю. Значит, алгебраическая система двух однородных уравнений с двумя неизвестными имеет ненулевое решение. Это возможно только в том случае, когда определитель этой системы равен нулю:

Этот определитель совпадает с определителем Вронского в точке x = а, то есть W(a) = 0.

Аналогичные рассуждения, проведенные для точки x = b, показывают, что W(b) = 0.

Свойство 1. Две собственные функции задачи Штурма-Лиувилля, соответствующие одному и тому же собственному значению λ, линейно зависимые.

Доказательство. Так как собственные функции являются решениями одного и того же однородного уравнения (17) (по условию число λ одно), то в случае их линейной независимости определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке отрезка [а, b]. Это противоречит только что доказанной лемме. Следовательно, y₁(x) и у₂(x) — линейно зависимые функции.

Свойство 2. Две собственные функции у₁(x) и у₂(x), соответствующие различным собственным значениям λ₁ и λ₂ (λ₁ ≠ λ₂), на отрезке [а, b] ортогональны.

Доказательство этого свойства проведем для собственных функций такой задачи, в которой уравнение имеет вид (18). Составим определитель Вронского функций у₁ и у₂ и продифференцируем его:

Так как у₁ и у₂ — решения уравнения (18) при λ = λ₁ и λ = λ₂, соответственно, то получим

Проинтегрируем по отрезку [а, b] левую и правую части полученного равенства. С учетом леммы будем иметь

По условию λ₁ — λ₂ ≠0, следовательно
Функции y₁(x) 0 и у₂(х) 0, поэтому
Значит, y₁(x) и у₂(х) на отрезке [а, b] ортогональны.

Если уравнение, входящее в задачу Штурма-Лиувилля, имеет вид (17), где r(х) > 0 и r(x) 1, то под ортогональностью функций в этом случае подразумевают ортогональность с весом r(х): две функции y₁(x) и у₂(х) ортогональны на отрезке [а, b] с весом r(x), если

Под нормой функции ||у(x)|| в этом случае также подразумевают весовую норму:

Свойство 3. Собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, образуют линейно независимую систему функций.

Это утверждение вытекает из попарной ортогональности собственных функций, соответствующих различным собственным значениям (см. свойство 2).

Свойство 4. Собственные значения задачи Штурма-Лиувилля действительные.

Доказательство. Предположим, что задача Штурма-Лиувилля <L_λy = 0, l₁y = 0, l₂y = 0> имеет комплексное собственное значение λ = α + βi,β ≠ 0. Пусть ему соответствует собственная функция у(х) (вообще говоря, тоже комплекснозначная). Так как все коэффициенты уравнения и краевых условий имеют действительные значения, то

Здесь черта означает переход к комплексно сопряженному выражению. В нашем случае

Значит число также является собственным значением той же задачи Штурма-Лиувилля и ему соответствует собственная функция . Так как в силу свойства 2 функции y(x) и ортогональны на [а, b], то

Отсюда следует, что у(x) ≡ 0 на [а, b]. Значит ни одно комплексное число λ не может быть собственным значением.

Свойство 5. Пусть коэффициенты уравнения (17) удовлетворяют условиям: р(х), q(x), r(x) — непрерывные функции и, кроме того, р(х) имеет непрерывную производную на [а, b], р(х) > 0, q(x) > 0, r(х) > 0. Тогда задача Штурма-Лиувилля <L_λ y = 0, l₁ y = 0, l₂ y = 0> имеет бесконечное число собственных значений λ ₁, λ₂, . λ_n, . Если краевые условия имеют вид (19) или (20), или (21), то собственные значения соответствующей задачи Штурма-Лиувилля удовлетворяют неравенствам

Теорема Стеклова.Всякая непрерывная функция f(x), удовлетворяющая однородным краевым условиям : l₁f = 0 и l₂f = 0 , и имеющая непрерывные производные до второго порядка на отрезке [а, b], разлагается на этом отрезке в сходящийся ряд Фурье по собственным функциям y_n(х) задачи Штурма-Лиувилля <L_λ y = 0, l₁ y = 0, l₂ y = 0> :

где коэффициенты Фурье С_n вычисляются по формулам:

Эта теорема применяется при решении уравнений математической физики методом Фурье.

Решение задач Штурма-Лиувилля

Вначале рассмотрим уравнение (18) y» + λy = 0. и краевые условия первого рода (19) y(a) = y(b) = 0. Для удобства будем считать, что a = 0 и b = l > 0. К такой задаче можно всегда свести данную задачу, если сделать замену переменной x’ = x — a, при этом вид уравнения не изменится.

Вид общего решения уравнения (18) зависит от значений параметра λ. Разберем три случая: 1) λ 0. В первом случае обозначим λ = — k 2 . Тогда характеристическое уравнение r 2 — k 2 = 0 будет иметь действительные различные корни r₁ = k, r₂ = — k: Поэтому, общее решение дифференциального уравнения запишется в виде y = C₁e kx + C₂e -kx . Подставим краевые условия в общее решение и получим

Определитель этой системы равен

Следовательно, система имеет только нулевое (тривиальное) решение C₁ = C₂ = 0. Значит, при λ 2 и получим характеристическое уравнение r 2 + k 2 = 0. Оно имеет комплексные корни r₁ = ki и r₂ = -ki и общее решение дифференциального уравнения в этом случае запишется в виде y = C₁cos kx + C₂sin kx. Подставим краевые условия в общее решение:

(22)

Для того, чтобы эта система имела нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы sin kl = 0. Следовательно kl = πn, то есть Так как то можно ограничиться только положительными значениями n = 1, 2, . . Таким образом, собственные значения данной задачи имеют вид При этих значениях алгебраическая система (22) имеет решения:C₁ = 0, C₂ — любое действительное число. Подставим эти значения в общее решение дифференциального уравнения и получим собственные функции задачи

Обычно постоянный множитель выбирают либо равным единице, либо из условия нормировки:

По тому же алгоритму решаются задачи Штурма-Лиувилля следующего вида:

(23)

и

(24)

Эти задачи так же, как и предыдущая, при λ 0 не имеют собственных значений. В случае λ > 0 общее решение уравнения записывается в виде y = C₁cos kx +C₂sin kx, где После подстановки у в краевые условия, получим:

а) для задачи (23)

Для того, чтобы эти системы уравнений имели нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы coskl = 0. Следовательно, то есть Отрицательные значения n можно не рассматривать, так как Таким образом, собственные значения у этих задач одинаковые

Собственные функции задачи (23) имеют вид А у задачи (24) они другие:

Некоторые отличия возникают при решении задачи Штурма-Лиувилля в случае краевых условий второго рода

Рассуждениями, аналогичными тем, которые проводились для краевых условий первого рода, можно показать, что задача (25) при λ 0. В этом случае, общее решение уравнения имеет вид y = C₁cos kx + C₂sin kx, Найдем производную этой функции и подставим в нее краевые условия (25):

Эта алгебраическая система имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда, sinkl = 0 то есть kl = πn или Таким образом, числа также являются собственными значениями задачи. Собственные функции при этих значениях имеют вид . Окончательно, задача (25) имеет собственные значения и собственные функции

Для задачи Штурма-Лиувилля с краевыми условиями третьего рода (21) уже не удается получить собственные значения в явном виде. В качестве примера рассмотрим одну такую задачу, когда

При задача (26) не имеет собственных значений и собственных функций. Доказательство этого проводится так же, как и для краевых условий первого рода. При λ > 0 общее решение уравнения записывается в виде y = C₁coskx + C₂sinkx, где . После дифференцирования этой функции и подстановки её производной и самой функции в краевые условия (26) будем иметь:

или

(27)

Получившаяся алгебраическая система будет иметь нетривиальные решения только в том случае, когда

coskl — ksinkl = 0 или

Уравнение (28) является трансцендентным уравнением относительно k. Оно не решается в явном виде. Однако, построив графики левой и правой частей уравнения (28), видно, что оно имеет бесконечно много решений (см. рис.13). Обозначим корни уравнения (28) через r_n, n = 1,2, . . Тогда при

Рис.13

Численными методами можно найти приближенные значения r_n. Из системы (27) при k = r_n получим C_1n = r_nC_2n , где C_2n -произвольные постоянные. При этих значениях постоянных решения дифференциального уравнения будут иметь вид

Они являются собственными функциями краевой задачи (26) с собственными значениями

Видео:Дифференциальные уравнения | задача Штурма - Лиувилля | классические краевые задачи | 1Скачать

Краевая задача для уравнения штурма лиувилля

Настоящая книга является естественным дополнением пособия А. Г. Свешникова, А. Н. Боголюбова, В. В. Кравцова «Лекции по математической физике». Её основная цель — помочь студентам приобрести необходимые практические навыки исследования математических моделей физических явлений, являющихся краевыми или начально-краевыми задачами для линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. С этой целью каждая глава пособия построена следующим образом. В начале каждого параграфа главы приводятся необходимые минимальные сведения теоретического характера, используемые для решения данного типа задач. Затем эти методы демонстрируются в работе, для чего даются примеры решения конкретных задач. В конце главы приводятся задачи с ответами для самостоятельного решения.

Содержание пособия полностью соответствует курсу «Методы математической физики», читаемому на физическом факультете МГУ. Пособие написано на основе более чем двадцатилетнего опыта преподавания на физическом факультете Московского университета. Оно рассчитано в первую очередь на студентов физических специальностей университетов, но будет полезно и студентам инженерных специальностей и лицам, занимающимся математической физикой и прикладной математикой.

Авторы выражают свою глубокую благодарность заведующему кафедрой Московского государственного института электронной профессору А. С. Поспелову, профессорам А. В. Ефимову, А. С. Ильинскому и С. Я. Секерж-Зеньковичу, взявшим на себя труд ознакомиться с рукописью и сделавшим ряд ценных замечаний.

Видео:5.1 Задача Штурма-ЛиувилляСкачать

Вынужденные колебания струны закрепленной на концах. Задача Штурма—Лиувилля

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Рассмотрим колебания однородной струны длины I, закрепленной на концах, под действием внешней силы /(ж, t), рассчитанной на единицу длины. Эта задача приводит к решению уравнения Будем искать решение u(z, t) этой задачи в виде суммы где v(x, t) — решение неоднородного уравнения удовлетворяющее граничным условиям и начальным условиям решение однородного уравнения удовлетворяющее фаничным условиям и начальным условиям Вынужденные колебания струны закрепленной на концах.

Общая схема метода Фурье Задача Штурма—Лиувилля Решение v(x, t) представляет вынужденные колебания струны, т. е. такие колебания, которые совершаются под действием внешней возмущающей силы когда начальные возмущения отсутствуют, а решение представляет свободные колебания струны, т. е. такие колебания, которые происходят только вследствие начальных возмущений.

Метод нахождения свободных колебаний w(x, t) был изложен ранее, так что остается только найти вынужденные колебания решение неоднородного уравнения (5)-(7). Применим метод разложения по собственным функциям, который является одним из мощных методов решения неоднородных линейных уравнений с частными производными.

Основная идея метода состоит в разложении внешней силы f(x, t) в ряд по собственным функциям соответствующей однородной краевой задачи и нахождении откликов uk(x,t) системы на воздействие каждой компоненты /*(*) Хк(х)- Суммируя все такие отклики, получим решение исходной задачи Решение v(x, t) задачи (5)-(7) будем искать в следующем виде: Здесьэш -[-х — собственныефункции однородной краевой задачи, и граничные условия (6) выполняются автоматически.

Чтобы решение v(x, t), определяемое рядом (11), удовлетворяло нулевым начальным условиям (7), достаточно подчинить функции ) условиям Действительно, полагая в (11) t = 0, получим Дифференцируя (11) по t и полагая t = 0, найдем, что . Пользуясь методом вариации постоянных, получим, что решения уравнений (15) при начальных условиях (16) имеют вид где fk<t) определяются по формулам (14).

Подставив найденные выражения для Tt(t) в ряд (11), получим решение t) задачи (5)-(7), если ряд (11) и ряды, полученные из него почленным дифференцированием по х и по t дважды , сходятся равномерно. Как можно показать, такая сходимость рядов будет обеспечена, если функция /(х, t) непрерывна, имеетнепрерывные частные производные по а; до второго порядка включительно и для всех значений t выполняется условие.

Тогда решение и(х, t) исходной задачи (1)-(3) представляется в виде где функции Tk(t) определяютс я по формулам (17), а Пример. Решить смешанную задачу Начальные возмущения отсутствуют, так что мы имеем «чистую- задачу на вынужденные «лебэния однородной струны длины *, закрепленной на концах. Система функций <sin nz) есть ортогональная на (0,*) система собственных функций краевой задачи здесь. Ищем решение задачи (1)-(3) а виде неизвестные функции.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Подставляя в форме ( в уравнение (1), получим отхуда легко усматриваем, что Используя формулу (4), в силу начальных условий (3) получаем откуда Таким образом, для T|(f) имеем Выпишем общее решение уравнения (8) Потребовав выполнение начальных условий (9), находим так что Для n ^ 2 имеем откуда Пользуясь формулой (4), для решения u(x,f) исходной задачи получаем следующее выражение: § 6. Вынужденные колебания струны с подвижными концами Рассмотрим вынужденные колебания однородной струны длины I под действием внешней силы /(х, t), рассчитанной на единицу длины, причем концы струны не закреплены, а двигаются по заданному закону.

Эта задача приводится к решению уравнения при граничных условиях и начальных условиях К решению этой задачи метод Фурье непосредственно неприменим, т. к. граничные условия (2) неоднородны. Однако эта задача легко сводится к задаче с нулевыми (однородными) граничными условиями. Действительно, введем вспомогательную функцию Легко видеть, что Таким образом, функция и(х, t) на концах отрезка /удовлетворяетусловиям(2),авнутри этого отрезка она линейна по х (рис. 8).

Говорят, что функция продолкает граничные условия в интервале Решение задачи (1)43) ищем в виде суммы где v(x, t) — новая неизвестная функция. В силу выбора функции и(х> t) функция ш удовлетворяет нулевым граничным ус- Рис. 8 ловиям и начальным условиям Подставив уравнение (1), получим . или, учитывая выражение для a>(x,t), где Таким образом, при приходим к смешанной задаче с нулевыми граничными условиями для функции найти решение уравнения удовлетворяющее граничным условиям и начальным условиям.

Метод решения таки х задач был изложен ранее. Пример. Решить смешанную задачу ^ Граничные условия неоднородные (концы струны подвижные). Здесь =. Вводим вспомогательную функцию Решение исходной задами будем искать в виде где v(x,t) — новая неизвестная функция. Для нее получаем уравнение граничные условия начальные условия Зада ча (6)-(8) имеет очеандиое решение , и, как ясно из физических соображений, это ее единственное решение.

Тогда по формуле (5) получаем решение u(x,t) исходной задачи §7.

Общая схема метода Фурье Рассмотрим в области дифференциальное уравнение (уравнение колебаний неоднородной струны длины i), где так что уравнение (1) является уравнением гиперболического типа в области Q. Предположим, что и займемся изучением смешанной задачи для уравнения (1) при однородных гранич-ных условиях Вынужденные колебания струны закрепленной на концах Общая схема метода Фурье Задача Штурма—Лиувилля где а, р, у, 6 — некоторые постоянные, причем (Напомним, что задача называется однородной, если, наряду с решением и этой задачи, ее решением является также си, где с — произвольная постоянная.)

Возможны гран ичные условия слото ших типов: (струна с закрепленными концами (рис. 9 а)); (струна со свободными концами (рис.(упруго закрепленные концы (рис. 9 в)). Числа Лю, Л| должны быть положительными, если положение покоя есть положение устойчивого равновесия. Ограничившись для простоты случаем струны с закрепленными концами, приходим к следующей задаче: найти решение и(х, t) уравнения (о удовлетворяющее граничным условиям и начальным условиям (3) ыо Будем решать эту задачу методом Фурье.

1. Ищем нетривиальные решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям (2), в виде произведения Подставляя и(х, t) в форме (4) в уравнение (1), получим или Левая часть последнего равенства зависит только от х, а правая часгь — только от t, и равенство возможно л ишь тогда, когда общая величина отношений (5) будет постоянной.

Обозначим эту постоянную через (-А). Тогда из равенства (5) получим два обыкновенных дифференциальных уравнения Чтобы получитьнетривиальные решения уравнения (1) вида (4), удовлетворяющие граничным условиям (2), необходимо, чтобы функция Х(х) была нетривиальным решением уравнения (7), удовлетворяющим граничным условиям Как мы уже видели, эта задача имеет отличное от тождественного нуля решение не при всяком А.

Задача Штурма—Лиумиим о собственных значениях: найти такие значения параметра X, при которых существуют нетривиальные решения уравнения (7), удовлетворяющие граничным условиям (8), а также сами эти решения. Те значения параметра А, при которых задача (7)-(8) имеет нетривиальное решение, называютс я собственными значениями (числами), а сами эти решения — собственными функциями, огвечающими данному собственному значению.

Совокупность всех собственных значений называется спектром данной задачи. В силу однородности уравнения (7) и граничныхусловий (8) собственные функции определяюгся с точностью до постоянного множителя. Выберем этот множитель так, чтобы (9) Собственные функции, удовлетворяющие условию (9), будем называть нормированными с весом р(х). Установим некоторые общиесвойствасобственныхзначений и собственныхфунк-ций задачи Штурма—Лиувилля. Теорема 3.

Каждому собственному значению с точностью до постоянного множителя отвечает лишь одна собственная функция. М В самом деле, пусть существуют две собственные функции и отвеча- ющие одному и тому же собственному значению Ао, т.е. удовлетворяющие дифференциальному уравнению (7) при одном и том же А = Ао- Так как по предположению Х)(0) = 0, Хг(0) = 0, то определитель Вронского «HxiS Щ решений Х](х) и уравнения (7) в точке ж = 0 обращается в нуль и, следовательно, решения Xi(x) и Х2(х) линейно зависимы.

Теорема 4. Собственные функции, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны на отрезке [0, /) свесом р(х), где Хт(х), Хп(х) — собственные функции, соответствующие различным собственным значениям Ато и Предварительно установим одно предложение, имеющее самостоятельный интерес. Введем так называемый оператор Штурма—Лиувшьгя . Будем рассматривать этот оператор на множестве £2[0,J] функций, дважды непрерывно дифференцируемых на |0,<j и удовлетворяющих граничным условиям . Лемма.

«а (0,1] является симметрическим: самом деле, i Интегрируя по частям , найдем Интегрируя по частям последний интеграл справа и принимая во внимание, что I х Вновь интегрируя по частям второе слагаемое справа и учитывая, что «|Л=0 = и |яв| = О, получим Обратимся к доказательству теоремы. Запишем уравнение (7) в виде и обозначим через L[X оператор, стоящий в левой части (). Это — оператор Штурма—Лиувиллч.

Все собственные значения (7)-(8) действительны В самом деле, допустим, что существует комплексное собственное значение , которому отвечает собственная функция . Тогда комплексно сопряженное число А = а — ip также будет собственным значением, а функция комплексно сопряженная с Х(х), будет соответствующей собственной функцией, поскольку коэффициенты уравнения (7) и граничные условия (8) — действительные. Из условия ортогональности собственных функций, отвечающих различным собстве нным значениям, следует комплексное число А не является собственным значением.

Теорема 6. Если , то все собственные значения задачи (7)-(8) положительные. 4 В самом деле, пусть А* — собственное значение, a Xk(x) — соответствующая собственная функция, нормированная с весом р(х). Тогда справедливо тождество Умножая обе части тождества на интегрируя результат по х от 0 до / и принимая во внимание, что , получим о Интегрируя по частям второе слагаемое справа, придем к равенству Вынужденные колебания струны закрепленной на концах Общая схема метода Фурье.

Задача Штурма—Лиувилля Производная ^ £ О, так как в противном случае Хк(х) = const и из граничных условий (8) мы имели бы Хк(х) = 0, что исключено. Таким образом, правая часть (15) положительна, откуда следует, что все собственные значения А* задачи (7)-(8) поло-жительны. Теорема 7. У задачи (7)-(8) существует счетное множество собственных значений которым отвечают собственные функции Продолжим описание метода Фурье. Обратимся кдифференциальномууравнснию (6).

Егообщеерешсние при имеет вид где Ак, Вк — произвольныепостоянные. Каждая функция Если этот ряд, вместе с рядами, полученными из него двукратным почленнымдиффе-рениированием по а: и по t> сходится равномерно, то его сумма и(х, t) будет решением уравнения (1), удовлетворяющим граничным условиям (2). Для выполнения начальных условий (3) необходимо, чтобы Таким образом, мы пришли к задаче о разложении произвольной функции в ряд Фурье по собственным функциям граничной задачи (7)-(8).

Предполагая, что ряды (17) и (18) сходятся равномерно, можно найти коэффициенты Ак и Вк, умножив обе части равенства (17) и (18) на р(х) Хп(х) и проинтегрировав по х в пределах от 0 до I. Считая функции Хк(х) ортонормированными с весом р(х) на отрезке [О, I], по луч им для коэффициентов Фурье функций по системе следующие выражения:

При нахождении коэффициентов Ап и Вп мы опираемся на теорему разложения Стеклова. Теорема 8. Всякая дважды непрерывно дифференцируемая функция F(x), удовлетворяющая граничным условиям задачи, может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям Хк(х) этой задачи, нормированные с весом р(х) собственные функции.

Подставим найденные значения коэффициентов Ап и Вп вряд (16) и, если ряд (16) и ряды, полученные из негодаукратным почленным дифференцированием по х и по t, сходятся равномерно, получим решение и(х, t) смешанной задачи (1)-(3). Замечание. Мы рассмотрели случай простейших граничных условий . Несколько изменяя приведенные выше рассувдения, можно доказать аналогичные свойства собствс шых значений и собствен них функций более обшей однородной краевой задачи

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

🌟 Видео

Дифференциальные уравнения | задача Штурма - Лиувилля | формулировкаСкачать

5. Решение волнового уравнения на отрезке методом ФурьеСкачать

Ягола А. Г. - Интегральные уравнения - Задача Штурма-Лиувилля. Теорема СтекловаСкачать

Дифференциальные уравнения | задача Штурма - Лиувилля | мотивацияСкачать

Решение задачи Штурма-ЛиувилляСкачать

Колыбасова В.В. - Методы математической физики. Семинары - 8. Задача Штурма-Лиувилля в пол. коорд. 1Скачать

Положения равновесия Функция Ляпунова Краевая задача Производная по параметру Задача Штурма-ЛиувилляСкачать

Дифференциальные уравнения | задача Штурма - Лиувилля | классические краевые задачи | 3Скачать

УМФ решение краевой задачи уравнения колебания струны. Метод Фурье. Задача Штурма–Лиувилля. Пример.Скачать

Дифференциальные уравнения | задача Штурма - Лиувилля | классические краевые задачи | 2Скачать

Боголюбов А. Н. - Методы математической физики - Задача Штурма-ЛиувилляСкачать

Курс по ИДУ: Функция Грина и задача Штурма-Лиувилля | Занятие 4Скачать

Разностная задача на собственные значения. Задача Штурма-Лиувилля. Численные методы. Лекция 12Скачать

Колыбасова В.В. - Методы математической физики. Семинары - 2. Задача Штурма-ЛиувилляСкачать

Дифференциальные уравнения | задача Штурма - Лиувилля | классические краевые задачи | 4Скачать

Краевая задача.Функция Грина.Дифференциальное ур.Скачать