Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка метод стрельбы

Рассмотрим краевую задачу для уравнения второго порядка, разрешенного относительно второй производной:

(1.41)

Будем искать решение Y = Y(x) этого уравнения на отрезке [0,1]. Любой отрезок [а, b]можно привести к этому отрезку с помощью замены переменной

Граничные условия на концах рассматриваемого отрезка примем в простейшем виде (1.37), т.е.

(1.42)

Сущность метода стрельбы заключается в сведении решения краевой задачи (1.41), (1.42) к решению последовательности задач Коши для того же уравнения (1.41) с начальными условиями

(1.43)

Здесь Y0 — точка на оси ординат, в которой помещается начало искомой интегральной кривой; α — угол наклона касательной к интегральной кривой в этой точке (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Метод стрельбы

Считая решение задачи Коши , зависящим от параметра α, будем искать такую интегральную кривую , которая выходит из точки (0, Y0) ипопадает в точку (1, Y1). Таким образом, если , то решение задачи Коши совпадает с решением Y(x) краевой задачи. При х = 1, учитывая второе граничное условие (1.42), получаем , или

(1.44)

Например, при использовании метода деления отрезка пополам поступаем следующим образом. Находим начальный отрезок , содержащий значение α*, на концах которого функция F(x) принимает значения разных знаков. Для этого решение задачи Коши Y(x, α0) должно при х=1 находиться ниже точки Y1, а Y(x,α1) — выше. Далее, полагая , снова решаем задачу Коши при α= α2и в соответствии с методом деления отрезка пополам отбрасываем один из отрезков: или , на котором функция F(x) не меняет знак, и т.д.. Процесс поиска решения прекращается, если разность двух последовательно найденных значений а меньше некоторого наперед заданного малого числа. В этом случае полученное последним решение задачи Коши и будет принято за искомое решение краевой задачи.

Описанный алгоритм называется методом стрельбы вполне оправданно, поскольку в нем как бы проводится «пристрелка» по углу наклона интегральной кривой в начальной точке. Следует отметить, что этот алгоритм хорошо работает в том случае, если решение не слишком чувствительно к изменениям α; в противном случае мы можем столкнуться с неустойчивостью.

Для решения уравнения (1.44) используют и другие методы. В частности, одним из самых надежных является метод Ньютона. Его применение состоит в следующем. Пусть α0 — начальное приближение к α*. Построим итерационный процесс для нахождения последующих приближений αkс помощью формулы Ньютона (1.11):

.

С учетом того, что , имеем

. (1.45)

Производную в знаменателе этого выражения можно найти численно:

(1.46)

Здесь Δα — произвольное малое возмущение α.

Для вычисления правой части (1.46) нужно решить задачу Коши при , в результате чего найдем значение . Затем по формуле (1.45) находим следующее приближение αkпараметра α* и т.д. Этот итерационный процесс продолжается до тех пор, пока два последовательных приближения αk—1и αk не станут различаться меньше, чем на заданное малое число ε.

Алгоритм решения краевой задачи методом стрельбы с применением пристрелки по методу Ньютона представлен на рис. 1.6. Нахождение решения задачи Коши Y(x,α) входит в данный алгоритм в качестве отдельного модуля с входным данным α. На выходе модуля получается решение Y(x, α) в виде значений yi (i=0,1. п)в точках xi = ih, где h = l/n.

Рис. 1.6. Алгоритм метода стрельбы

Методы стрельбы могут также использоваться для решения системы уравнений. В этом случае краевая задача (а не задача Коши) может возникнуть в силу того, что значения одной части искомых функций заданы при одном значении независимой переменной (например, при х = 0), а другой — при другом (например х = 1).

Тогда «пристрелка» проводится по неизвестным значениям искомых функций при х = 0 до тех пор, пока не будут удовлетворяться соответствующие граничные условия при х = 1.

Например, рассмотрим систему двух уравнений первого порядка:

(1.47)

Граничные условия заданы в виде

(1.48)

Процесс решения этой краевой задачи методом стрельбы состоит в следующем. Выбирается некоторое α, являющееся начальным приближением для Z(0). Решается задача Коши для системы (1.47) с начальными условиями Y(0) =Y0,Z(0) = α. В результате решения при х = 1 получается некоторое значение Z(1, α) ≠ Z1. Если разность между этими величинами невелика, то найденное решение задачи Коши принимается за искомое решение краевой задачи. В противном случае находится уточненное значение αи процесс повторяется.

Таким образом, метод стрельбы может быть также использован для решения как краевых задач для уравнений высших порядков, так и систем уравнений.

Краевые задачи

Для однозначного определения неизвестной функции ( u(x) ) уравнение (1) дополняется двумя граничными условиями на концах отрезка ( [0, l] ). Задаваться может функция ( u(x) ) (граничное условие первого рода), поток ( w(x) = −k(x) frac (x) ) (граничное условие второго рода) или же их линейная комбинация (граничное условие третьего рода): $$ begin tag u(0) = mu_1, quad u(l) = mu_2, end $$ $$ begin tag −k(0) frac (0) = mu_1, quad k(l) frac (l) = mu_2 end $$ $$ begin tag −k(0) frac (0) + sigma_1 u(0) = mu_1, quad k(l) frac (l) + sigma_2 u(l) = mu_2. end $$

Эллиптические уравнения второго порядка, прототипом которых является уравнение (1), используются при моделирование многих физико-механических процессов.

Кроме того,могут рассматриваться задачи с несамосопряженным оператором, когда, например, $$ begin tag — frac left( k(x) frac right) + v(x) frac + q(x) u = f(x), quad 0 —>

Метод стрельбы

Рассмотрим метод стрельбы на примере решения дифференциального уравнения второго порядка

Основная идея метода стрельбы заключается в сведении решения краевой задачи (3.44)—(3.446) к решению серии задач Коши.

Чтобы поставить задачу Коши для уравнения (3.44), необходимо в какой-либо одной точке отрезка задать два дополнительных условия. В точке а известно одно дополнительное условие и(а) = а. Поэтому зададим в этой точке значение производной функции и'(а). Так как это значение заранее неизвестно, то зададим его равным некоторому произвольному значению г|. В результате получим задачу Коши

Решая эту задачу Коши каким-либо численным методом, получаем ее решение и(х, ц), зависящее от т| как от параметра. Так как значение г| выбрано произвольно, то решение задачи Коши удовлетворяет условию краевой задачи в точке а и не удовлетворяет ее условию в точке Ь. Таким образом, необходимо менять параметр г| таким образом, чтобы решение задачи Коши в точке Ь совпадало с условием (3.446). Следовательно, решение краевой задачи сводится к нахождению корня нелинейного алгебраического уравнения

При этом функция Р(ц) задана не аналитически, а в виде таблицы чисел, которая составляется при решении серии задач Коши. Решение уравнения (3.46) можно искать методом дихотомии. Делают пробные выстрелы, т. е. решают задачу Коши с разными значениями г| до тех пор, пока среди величин (и(Ь, ц) — Р) не окажется двух разных по знаку. Пара соответствующих значений /Дц) делится пополам и находится новое значение т), с которым решается задача Коши. Такая процедура повторяется до получения условия (3.456) с необходимой точностью.

Для ускорения сходимости к корню уравнения (3.46) можно применять другие методы, например метод секущих. Для этого делают два расчета с произвольными значениями г| и т] (1) , а следующие значения г| вычисляют по формуле

Простота алгоритма метода стрельбы и возможность использования стандартных программ решения задачи Коши позволяют успешно применять его при решении как линейных, так и нелинейных дифференциальных уравнений.