Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка функция грина

ГРИНА ФУНКЦИЯ — функция, связанная с интегральным представлением решений краевых задач для дифференциальных уравнений.

Г. ф. краевой задачи для линейного дифференциального уравнения — фундаментальное решение уравнения, удовлетворяющее однородным краевым условиям. Г. ф. является ядром интегрального оператора, обратного к дифференциальному оператору, порожденному данным дифференциальным уравнением и однородными краевыми условиями. Г. ф. позволяет найти решения неоднородного уравнения, удовлетворяющие однородным краевым условиям. Нахождение Г. ф. сводит исследование свойств дифференциального оператора к изучению аналогичных свойств соответствующего интегрального оператора.

Функция Грина для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пусть L — дифференциальный оператор, порожденный дифференциальным полиномом

и краевыми условиями U_j[y] = 0, j = 1, 2, . n, где

Г. ф. оператора L наз. функция G(x, ξ), удовлетворяющая условиям:

1) G(x, ξ) непрерывна и имеет непрерывные производные по х до (n — 2)-го порядка включительно для всех значений х и ξ из сегмента [а, b];

2) при любом фиксированном ξ из интервала (а, b) функция G(x, ξ) имеет равномерно непрерывные производные n-го порядка по х в каждом из полусегментов [а, ξ) и (ξ, b], причем производная (n — 1)-го порядка при х = ξ удовлетворяет условию

3) в каждом из полусегментов [а, ξ) и (ξ, b] функция G(x, ξ), рассматриваемая как функция от х, удовлетворяет уравнению l_x[G] = 0 и краевым условиям U_jx[G] = 0, j = 1, 2, . n.

Если краевая задача Ly = 0 имеет лишь тривиальные решения, то оператор L имеет и притом только одну Г. ф. (см. [1]). При этом для любой функции f(x), непрерывной на сегменте [а, b], существует решение краевой задачи Ly = f, и это решение задается формулой

Если оператор L имеет Г. ф. G(x, ξ), то сопряженный оператор L* также имеет Г. ф., к-рая равна G̅(ξ, х). Если, в частности, оператор L самосопряженный (L = L*), то G(x, ξ) = G̅(ξ, х), то есть Г. ф. в этом случае является эрмитовым ядром. Напр., Г. ф. самосопряженного оператора L 2-го порядка, порожденного дифференциальной операцией с действительными коэффициентами

и краевыми условиями y(a) = 0, у(b) = 0, имеет вид:

Здесь y₁(x) и у₂(х) — произвольные решения уравнения l[у] = 0, удовлетворяющие соответственно условиям y₁(а) = 0, y₂(b) = 0; C = [p(ξ) W(ξ)) -1 , где W — определитель Вронского <вронскиан) решений y₁ и у₂, причем можно показать, что С не зависит от ξ.

Если оператор L имеет Г. ф., то краевая задача на собственные значения Lу = λу эквивалентна интегральному уравнению

к которому применима теория Фредгольма. Поэтому краевая задача Lу = λу может иметь не более счетного числа собственных значений λ₁, λ₂, . у которых отсутствуют конечные предельные точки. Сопряженная задача имеет комплексно сопряженные собственные значения той же кратности. Для каждого λ, не являющегося собственным значением оператора L, можно построить Г. ф. G(x, ξ, λ) оператора L — λI, где I — тождественный оператор. Функция G₁(x, ξ, λ) является мероморфной функцией параметра λ; ее полюсами могут быть лишь собственные значения оператора L. Если кратность собственного значения λ₀ равна единице, то

где G(x, ξ, λ) регулярна в окрестности точки λ, а u₀(х) и v₀(x) — собственные функции операторов L и L*, отвечающие собственным значениям λ₀ и λ̅₀ и нормированные так, что

Если G(x, ξ, λ) имеет бесконечно много полюсов и при том только 1-го порядка, то существует полная биортогональная система

собственных функций операторов L и L*. Если занумеровать собственные значения в порядке возрастания их абсолютных величин, то интеграл

равен частичной сумме

разложения функции f по собственным функциям оператора L. Положительное число R выбирается так, чтобы на окружности |λ| = R функция G(x, ξ, λ) была регулярной по λ. Для регулярной краевой задачи и для любой кусочно гладкой функции f(x) в интервале а m _k=1 — система линейно независимых решений сопряженной задачи L*y = 0, а <φ_k(x)> m _k=1 — произвольная биортогональная ей система непрерывных функций. Тогда

есть решение краевой задачи Ly = f, если функция f(x) непрерывна и удовлетворяет условию разрешимости, т. е. ортогональна всем v_k(x).

Если G̃₀(x, ξ) — одна из обобщенных Г. ф. оператора L, то любая другая обобщенная Г. ф. может быть представлена в виде

где <u_k(х)> — полная система линейно независимых решений задачи Ly = 0, а ψ_k(ξ) — произвольные непрерывные функции (см. [3]).

Функция Грина для дифференциальных уравнений с частными производными. 1) Эллиптические уравнения. Пусть А — эллиптический дифференциальный оператор порядка m, порожденный дифференциальным полиномом

в ограниченной области Ω ⊂ R N и однородными краевыми условиями B_ju = 0, где B_j — граничные операторы с коэффициентами, определенными на границе ∂Ω области Ω, к-рая предполагается достаточно гладкой. Функция G(x, у) наз. Г. ф. оператора А, если при любом у ∈ Ω она удовлетворяет однородным краевым условиям B_jxG(x, у) = 0 и, рассматриваемая как обобщенная функция, удовлетворяет уравнению

а(х, D) G(x, у) = δ(х — у).

В случае операторов с гладкими коэффициентами и нормальных граничных условий, обеспечивающих единственность решения однородной краевой задачи, Г. ф. существует и решение краевой задачи Au = f представляется в виде (см. [4])

В этом случае для Г. ф. справедливы равномерные при x ∈ Ω̅, y ∈ Ω̅ оценки

и Г. ф. равномерно ограничена, если m > n.

Краевая задача на собственные значения Аu = λu эквивалентна интегральному уравнению

для к-рого применима теория Фредгольма (см. [5]). При этом Г. ф. сопряженной краевой задачи равна G̅(y, х). Отсюда, в частности, следует, что может существовать не более чем счетное число собственных значений и что они не имеют конечных предельных точек, а сопряженная краевая задача имеет комплексно сопряженные собственные значения той же кратности.

Для уравнений 2-го порядка Г. ф. изучена полнее, поскольку явно выписывается вид особенности фундаментального решения. Так, для оператора Лапласа Г. ф. имеет вид

где γ(х, у) — гармоническая в области Ω функция, выбранная таким образом, чтобы Г. ф. удовлетворяла краевому условию.

Г. ф. G(x, у) первой краевой задачи для эллиптич. оператора 2-го порядка а(х, D) с гладкими коэффициентами в области Ω с границей ∂Ω типа Ляпунова позволяет выразить решение задачи

а(х, D) u(х) = f(х) при х ∈ Ω, u|_∂Ω = φ,

где ∂/∂ν_y — производная по внешней конормали для оператора а(х, D).

В случае, если однородная краевая задача Аu = 0 имеет нетривиальные решения, то, как и для обыкновенных дифференциальных уравнений, вводится обобщенная Г. ф. Так, напр., в случае второй краевой задачи для оператора Лапласа существует обобщенная Г. ф., наз. Неймана функцией (см. [3]).

2) Параболические уравнения. Пусть Р — параболический дифференциальный оператор порядка m, порожденный дифференциальным полиномом

и однородными начальным и краевыми условиями

где B_j — граничные операторы с коэффициентами, определенными при x ∈ ∂Ω и t ≥ 0. Г. ф. оператора Р наз. функция G(x, t, у, τ), к-рая для любых t > τ ≥ 0 и y ∈ Ω удовлетворяет по х однородным краевым условиям, является при (х, t) ≠ (y, τ) решением уравнения

и для любой непрерывной функции φ(х) удовлетворяет соотношению

В случае операторов с гладкими коэффициентами и нормальных граничных условий, обеспечивающих единственность решения задачи рu = 0, Г. ф. существует, и решение уравнения

удовлетворяющее однородным краевым условиям и начальному условию u(х, 0) = φ(х), имеет вид

При изучении эллиптич. или параболич. систем вместо Г. ф. вводится понятие матрицы Грина, к-рая позволяет выразить решения однородных краевых задач для указанных систем в виде интегралов от произведений матрицы Грина на векторы правых частей и начальных условий (см. [7]).

Г. ф. наз. по имени Дж. Грина (G. Green), впервые рассмотревшего один ее частный случай в своем исследовании по теории потенциала (1828).

Лит.: [1] Наймарк М. А., Линейные дифференциальные операторы, 2 изд., М., 1969; [2] Келдыш М. В., «Докл. АН СССР», 1951, т. 77, № 1, с. 11 — 14; [3] Соболев С. Л., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1966; [4] Вере Л., Джон Ф., Шехтер М., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1966; [5] Garding L., «Math. scand.», 1953, v. 1, № 1, S. 55-72; [6] Фридман А., Уравнения с частными производными, параболического типа, пер. с англ., М., 1968; [7] Эйдельман С. Д., Параболические системы, М., 1964.

Ш. А. Алимов, В. А. Ильин.

Функция Грина в теории функций. В теории функций комплексного переменного под (действительной) Г. ф. понимается Г. ф. первой краевой задачи для оператора Лапласа, т. е. функция вида

где z = x + iy — комплексное переменное, z₀ = x₀ + iy₀ — полюс Г. ф., z₀ ∈ Ω, γ(z, z₀) — гармонич. функция z, принимающая на границе области ∂Ω значения — ln (1/|z — z₀|). Пусть область Ω односвязная и w = f(z, z₀) — аналитич. функция, реализующая конформное отображение области Ω на единичный круг в плоскости w так, что точка z₀ переходит в центр круга, f(z₀, z₀) = 0, f'(z₀, z₀) > 0.

Если H(z, z₀) — сопряженная гармоническая для G(z, z₀) функция, H(z₀, z₀) = 0, то аналитич. функция F(z, z₀) = G(z, z₀) + iH(z, z₀) наз. комплексной функцией Грина области Ω с полюсом z₀. Обращение формулы (2) дает

Формулы (2) и (3) показывают, что задачи построения конформного отображения области Ω на круг и отыскания Г. ф. эквивалентны. Г. ф. G(z, z₀), F(z, z₀) инвариантны относительно конформных отображений, что облегчает иногда их отыскание (см. Отображений метод).

В теории римановых поверхностей Г. ф. удобнее определить при помощи минимального свойства, справедливого для функции (1): среди всех положительных гармонияеских при z ≠ z₀ функций U(z, z₀) на римановой поверхности Ω, имеющих в окрестности точки z₀ вид

где γ(z, z₀) — регулярная на всей поверхности Q гармония, функция, Г. ф. G(z, z₀), если она существует, является наименьшей, т. е. G(z, z₀) ≤ U(z, z₀). При этом существование Г. ф. характерно для римановых поверхностей гиперболич. типа. Так определенная Г. ф. на (идеальной) границе римановой поверхности, вообще говоря, уже не везде обращается в нуль. Аналогично обстоит дело и в потенциала теории (см. также Потенциала теория абстрактная). Для произвольного открытого множества Ω, напр. в евклидовом пространстве ℝ n , n ≥ 2, Г. ф. G(x, х₀) также можно определить при помощи указанного минимального свойства, причем при n ≥ 3 в (4) вместо ln (1/|x — x₀|) следует писать |х — х₀| 2-n . Вообще говоря, при приближении к границе ∂Ω такая Г. ф. не обязательно стремится к нулю. Для римановых поверхностей параболич. типа и для нек-рых областей в ℝ 2 (напр., для Ω = ℝ 2 ) Г. ф. не существует.

Лит.: [1] Стойлов С., Теория функций комплексного переменного, пер. с рум., т. 2, М., 1962; [2] Неванлинна Р., Униформизация, пер. с нем., М., 1955; [3] Брело М., Основы классической теории потенциала, пер. с франц., М., 1964.

Грина функция в статистической механике — упорядоченная по времени линейная комбинация корреляционных функций, удобная промежуточная величина при расчетах физич. характеристик систем большого числа взаимодействующих частиц.

1)Г. ф. в квантовой статистической механике. Наиболее часто применяются двувре-менные коммутаторные температурные Г. ф.: запаздывающие (ret, +), опережающие (adv, -) и причинные (с), определяемые соотношениями:

Здесь A(t) и B(t’) — зависящие от времени динамич. величины (операторы в пространстве состояний системы в Гейзенберга представлении), через 〈. 〉 обозначено среднее по Гиббса статистическому ансамблю; значение η = ±1 выбирается из соображений удобства. Эффективность применения Г. ф. в значительной степени обусловлена использованием спектральных представлений для их фурье-образов G (n) _AB(E), n = ret, adv, с. Так, напр., в случае ненулевой температуры для запаздывающих и опережающих Г. ф. справедливо представление:

Здесь J_AB(ω) — спектральная плотность; θ = kT, где Т — абсолютная температура, T ≠ 0, k — постоянная Больцмана; использована система единиц, в которой ħ = h/2π = 1, где h — постоянная Планка. Справедлива, в частности, формула:

позволяющая вычислять спектральную плотность (а следовательно, и ряд физич. характеристик системы) через Г. ф. Аналогичные спектральные формулы существуют и для нуля температуры. Особенности (полюса на комплексной плоскости) фурье-образа Г. ф. характеризуют спектр и затухание элементарных возбуждений в системе. Основные источники вычисления Г. ф.: а) приближенное решение бесконечной цепочки зацепляющихся уравнений, к-рая выводится непосредственно из определения Г. ф. путем «расцепления» ее, исходя из тех или иных физич. соображений; б) суммирование «основных» с физич. точки зрения членов рядов теории возмущений (суммирование диаграмм); этот способ применяется в основном при вычислении причинных Г. ф. и имеет много общего с методикой расчета Г. ф. в квантовой теории поля.

2) Г. ф. в классической статистической механике. Вводятся опережающие (ret) и запаздывающие (adv) двувременные Г. ф. путем замены в соответствующих формулах для квантового случая (при η = +1) операторов A(t) и В(t’) па функции динамич. состояния изучаемой классич. системы и коммутатора A(t)B(t’) — B(t’)A(t) (квантовые скобки Пуассона) — на классические (обычные) скобки Пуассона; соответственно под 〈. 〉 понимается усреднение по классическому ансамблю Гиббса. Введение причинной Г. ф. здесь теряет смысл из-за коммутативности произведения динамич. величин. Аналогично квантовому случаю, существуют и могут быть эффективно использованы спектральные представления для фурье-образа Г. ф. Основным источником для вычисления классич. Г. ф. служат системы уравнений, получающиеся варьированием по бесконечно малому изменению гамильтониана той или иной системы уравнений для корреляционных функций: Боголюбова цепочки уравнений, системы уравнений гидродинамики и т. д.

Лит.: [1] Боголюбов Н. Н., Тябликов С. В., «Докл. АН СССР», 1959, т. 126, с. 53; [2] Зубарев Д. Н., «Успехи фнз. наук», 1960, т. 71, с. 71; [3] Боголюбов Н. Н. (мл.), Садовников Б. И., «Ж. эксперим. и теор. физ.», 1962, т. 43, в. 8, с. 677; [4] их же, Некоторые вопросы статистической механики, М., 1975; [5] Статистическая физика и квантовая теория поля, М., 1973.

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А — Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] — М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.

Видео:Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Функция Грина краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

Функцией Грина краевой задачи

Чтобы найти функцию Грина краевой задачи (1), (2), надо найти два решения yi(x) и У2(^) (отличных от нуля) уравнения (3), удовлетворяющие соответственно первому и второму из краевых условий (2). Если yi(x) не удовлетворяет сразу обоим краевым условиям, то функция Грина существует и ее можно искать в виде:

Интегрируя уравнение G_xx = 0 один раз, находим:

Условие скачка производной G’_x при х = s приобретает вид:

Решив полученную систему четырех алгебраических уравнений относительно G^, I = 1,2,3,4, получим:

Gi(s) = s — l, G2(s) = 8, Cs(s) = 0, = —8.

Подставив найденные значения г = 1,2.3,4 в формулу для определения G(x, s), заканчиваем построение функции Грина для предложенной краевой задачи:

Видео:Функция Грина 19122Скачать

«Краевая задача для дифференциального уравнения 2-го порядка. Примеры»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Ленинградский государственный университет имени А.С.Пушкина

Кафедра высшей математики

Курсовая работа по дифференциальным уравнениям на тему:

«Краевая задача для дифференциального уравнения 2-го порядка. Примеры»

студентки 3 курса,

физики и информатики

(ФИО, уч степень, уч звание, долж-ть)

Санкт-Петербург, 2010 г.

Цель курсовой работы исследовать дифференциальные уравнения второго порядка, в частности проанализировать решение краевых задач для дифференциального уравнения второго порядка.

В данной курсовой работе речь пойдет о дифференциальных уравнениях второго порядка и краевых задачах для данного типа уравнений. Мы рассмотрим следующие понятия:

Дифференциальные уравнения второго порядка;

Так же рассмотрим применение краевых задач в практической жизни человека, на примере уравнения колебаний струны.

Глава 1. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка стр.5

§1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях второго порядка стр.5

п.1.1. Общие понятия стр.5

п.1.2. Механический смысл дифференциального уравнения второго порядка

§2. Введение в краевые задачи стр.8

п.2.1.Определение краевой задачи стр.8

п.2.2.Постановка краевой задачи стр.8

§3. Линейная краевая задача. Сведение ее к задаче Коши стр.11

§4. Функция Грина стр.14

Глава 2. Применение краевых задач на практике стр.15

§1. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка, в частных производных стр.15

п.1. Дифференциальные уравнения в частных производных стр.15

п.2. Вывод уравнения колебаний струны. Понятие о граничных и начальных условиях стр.17

§2. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с заданными краевыми условиями стр.20

Список литературы стр.25

Дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие искомые функции, их производные различных порядков и независимые переменные. Теория дифференциальных уравнений возникла в конце 17 века, под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин, по существу одновременно с интегральным и дифференциальным исчислением.

Простейшие дифференциальные уравнения встречались уже в работах И.Ньютона и Г.Лейбница; термин «дифференциальные уравнения» принадлежит Лейбницу.

Под обыкновенным дифференциальным уравнением понимается равенство, содержащее независимую переменную, неизвестную функцию от этой переменной и ее производные. Порядком старшей производной, входящей в состав уравнения задается порядок дифференциального уравнения. Функцией, имеющей соответствующие производные и обращающие уравнение в тождество, определяется решение дифференциального уравнения. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называют его интегрированием.

В данной курсовой работе рассмотрим обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка, в частности краевые задачи для дифференциального уравнения второго порядка. А так же во второй главе познакомимся с дифференциальными уравнениями в частных производных, на примере уравнения колебания струны.

Для достижения цели, представленной в предисловии необходимо выполнить следующие задачи:

Ознакомиться с дифференциальными уравнениями второго порядка;

Ввести понятие краевой задачи;

Рассмотреть функцию Грина, и метод отыскания периодических решений;

Исследовать применение данных задач к практике.

Глава 1. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка

В данной главе, мы познакомимся с обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка, рассмотрим общие понятия о дифференциальных уравнения данного порядка (общие понятия и механический смысл). Также введем понятие краевой задачи и краевых условий для дифференциального уравнения второго порядка.

§1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях второго порядка

п.1.1. Общие понятия

Дифференциальное уравнение второго порядка с неизвестной функцией у=у(х) имеет вид:

где F — данная функция.

Предполагая, что данное уравнение может быть однозначно разрешено относительно производной , получим:

, где f – некоторая функция.

Общее решение этого уравнения содержит две произвольные постоянные С ₁ и С ₂ . Поэтому через данную точку М ₀ (х ₀ ,у ₀ ), проходит пучок интегральных кривых, (рис.1) так как одна из произвольных постоянных остается неопределенной.

Чтобы выделить определенную интегральную кривую, кроме точки М ₀ , достаточно задать направление касательной в точке М ₀ к искомой интегральной кривой:

Таким образом, имеем следующие начальные условия:

Из начальных условий вытекает, что постоянные С ₁ и С ₂ должны удовлетворять системе уравнений:

.

Теорема о существовании и единственности решений:

Если в некоторой области где а, b , с – положительные числа, функция непрерывна и имеет ограниченные частные производные то существует единственное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям и определенное на некотором отрезке .

п.1.2. Механический смысл дифференциального уравнения второго порядка

Пусть по оси Ох движется материальная точка массы m (рис.2), причем действующая сила зависит от времени t , координаты точки x и ее скорости . На основании закона Ньютона имеем дифференциальное уравнение движения:

Следовательно, всякое дифференциальное уравнение второго порядка, разрешенное относительно старшей производной, можно рассматривать как дифференциальное уравнение прямолинейного движения материальной точки. Начальные условия принимают следующий вид:

,

т.е. в начальный момент t ₀ задаются: х ₀ – начальное положение точки и — ее начальная скорость.

§2. Введение в краевые задачи

п.2.1. Определение краевой задачи

Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка, имеющее вид:

, (1)

Уравнение такого вида могут иметь бесконечное множество решений. Но на практике необходимо из множества решений выделять только одно. Для этого задают дополнительные условия на концах некоторого отрезка и получают задачу, которую называют краевой задачей.

Условия, которые задаются на концах отрезка называются краевыми условиями. Будем задавать линейные краевые условия вида:

Решением краевой задачи называется такое решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет заданным краевым условиям.

Однородная краевая задача всегда имеет решение: y ≡0 (тривиальное решение).

п.2.2. Постановка краевой задачи

Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка: (3)

где у — искомая функция; х — независимая переменная; f — функция, определенная и непрерывная в некоторой замкнутой области D изменения своих аргументов.

Общее решение такого дифференциального уравнения содержит две произвольные постоянные. Если для их нахождения задать при х=x ₀ значения у(х ₀ ) искомой функции у(х) и ее производной у'(х ₀ ) , то придем к постановке задачи Коши для дифференциального уравнения (3) с двумя начальными условиями. Если же потребовать, чтобы искомое решение у(х) удовлетворяло также двум условиям:

(4),

но в двух различных точках х=а и х= b , то получим одну из возможных постановок краевой задачи, называемую двухточечной . Соотношения вида (4) называют краевыми условиями данной задачи. Геометрически постановка задачи с краевыми условиями (4) означает, что требуется найти такую интегральную кривую у(х) дифференциального уравнения (3), которая проходит через точки А(а,у _а ) и В( b ,у _b ) (рис. 3).

Возможно видоизменение постановки краевой задачи: найти такое решение y=y(x) дифференциального уравнения (3), чтобы в точках х=а и х=b были выполнены краевые условия для производной функции у(х) :

(5)

где и

Такая постановка краевой задачи с геометрической точки зрения соответствует поиску интегральной кривой у(х) дифференциального уравнения (1), пересекающей прямые х=а и х= b под заданными углами и (рис.4), где, согласно геометрическому смыслу производной функции у(х) , и .

Условия (4) и (5) принято называть краевыми условиями первого и второго рода соответственно. Очевидно, имеет смысл и постановка смешанной двухточечной краевой задачи, когда в точках х=а и х= b заданы краевые условия разного рода.

Необходимо отметить, что в отличие от задачи Коши, для которой теорема Коши гарантирует при выполнении определенных условий существование и единственность решения дифференциального уравнения, краевая задача для того же дифференциального уравнения может не иметь решения или иметь несколько решений (в том числе и бесконечное множество решений).

§3. Линейная краевая задача. Сведение ее к задаче Коши

Рассмотрим линейное неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка:

(6)

Функции p ( x ), q ( x ), f ( x ) предполагаем непрерывными на отрезке [ a , b ]. Требуется найти на этом отрезке решение y ( x ) дифференциального уравнения (6), удовлетворяющее краевым условиям:

(7)

где , В – постоянные, причем такой вариант краевых условий является линейной комбинацией краевых условий первого и второго рода, его называют краевыми условиями третьего рода . В частном случае и соотношения (7) переходят в краевые условия (4) первого рода, а при , — в краевые условия (5) второго рода.

Постановка двухточечной краевой задачи в виде (6), (7) включает линейное дифференциальное уравнение второго порядка и линейные относительно значений искомой функции и ее производных краевые условия. В таком случае говорят о линейной двухточечной краевой задаче. Ее называют однородной, если f(x)=0 и А=В=0 , и неоднородной — в противном случае.

Однородная краевая задача всегда имеет тривиальное решение у(х)≡0 . Однако в прикладных исследованиях часто для однородной задачи представляют интерес решения у(х)0 . В этом случае в дифференциальных уравнениях или краевые условия (7) вводят параметр, изменяя который можно добиться, чтобы при некоторых его значениях однородная краевая задача помимо тривиального имела решение, отличное от тождественно нулевого. В некоторых случаях такой параметр уже присутствует в исходной формулировке краевой задачи и имеет вполне определенный физический, механический или геометрический смысл. Эти исключительные значения параметра, при которых однородная краевая задача имеет решение, отличное от тривиального, называют собственными значениями, а отвечающие им решения — собственными функциями этой задачи.

Нахождение собственных значений и собственных функций составляет содержание так называемой задачи на собственные значения, или задачи Штурма — Лиувилля.

Краевую задачу (6), (7) можно свести к задачам Коши для того же дифференциального уравнения (6) второго порядка и соответствующего ему однородного дифференциального уравнения:

(8)

Для этого решение краевой задачи будем искать в виде

(9)

где u = u ( x ) — нетривиальное решение однородного дифференциального уравнения (8), a v(x) — решение неоднородного дифференциального уравнения (6). Ясно, что (9) как линейная комбинация решений неоднородного дифференциального уравнения и соответствующего ему однородного уравнения также является решением дифференциального уравнения (6).

Потребуем, чтобы первое из краевых условий (7) было выполнено для у(х) при любом значении μ. Подставив (9) в это краевое условие, запишем

Это равенство будет выполнено при любом значении μ, если приравнять нулю коэффициент при μ, что приведет к двум равенствам

для выполнения которых достаточно, например, положить:

(10)

(11)

В случае  ₀ =0 вместо (11) положим

v ( a )=0 , (12)

Таким образом, u (х) есть решение задачи Коши для однородного дифференциального уравнения (8), удовлетворяющее начальным условиям (10), а v(x)- решение задачи Коши для неоднородного дифференциального уравнения (6), удовлетворяющее начальным условиям (11) или (12). При этом для любого μ функция у(х)=μu(x) + v(x) удовлетворяет первому из краевых условий (7) (при х=а ). Постоянную μ выбирают так, чтобы функция у(х) удовлетворяла второму из краевых условий (7) (при х= b ), т.е.

(13)

Если выполнено неравенство

(14)

то из (13) находим

(15)

Следовательно, краевая задача (6), (7) сведена к двум задачам Коши относительно функций u (х) и v(x) для однородного (8) и неоднородного (6) дифференциальных уравнений соответственно. Эти дифференциальные уравнения удовлетворяют всем условиям теоремы Коши о существовании и единственности решения задачи Коши, т.е. существует единственное решение u (х) дифференциального уравнения (8), удовлетворяющее начальным условиям (10), и единственное решение v(x) дифференциального уравнения (6), удовлетворяющее начальным условиям (11) или (12). Поэтому при выполнении неравенства (14) существует решение рассматриваемой линейной краевой задачи (7), (8).

Отметим, что если исходное дифференциальное уравнение (6) будет однородным, т.е. f(x)=0 , и в (7) А=0 , то в силу начальных условий (11) или (12) имеем v(a)=0 и v'(a)=0 , и поэтому v(x)=0. Тогда при выполнении неравенства (14) получим где u (х)- решение дифференциального уравнения (8), удовлетворяющее начальным условиям (10).

Сведение задачи с краевыми условиями к задаче Коши рассмотрим на примере 7, главы 2, §2.

§4. Функция Грина

Определение: Функцией Грина называется функция G ( x , s ) , определенная при и при каждом фиксированном обладающая свойствами:

1. при функция G ( x , s ) удовлетворяет уравнению:

3. при x = s функция G ( x , s ) непрерывна по x , а ее производная по x терпит разрыв первого рода со скачком, равным 1/а( s ) , т.е. G ( s +0, s )= G ( s -0, s ), (17)

Чтобы найти функцию Грина краевой задачи (16) с краевыми условиями (2), необходимо найти два решения y ₁ ( x ) и y ₂ (х) , отличные от y ( x )≡0 , уравнение (16), удовлетворяет соответственно первому и второму из краевых условий (2).

Если y ₁ ( x ) не удовлетворяет одновременно обоим краевым условиям, то функция Грина G ( x , s ) существует и ее можно представить в виде:

(18)

где функции и подбираются так, чтобы функция (18) удовлетворяла условиям (17), т.е. чтобы

Если найдена функция Грина G ( x , s ), то решение краевой задачи (16), с краевыми условиями (2) выражается формулой:

Замечание: Из определения функции Грина еще не следует ее существование для каждой краевой задачи.

Глава 2. Применение краевых задач на практике

Краевые задачи на практике применяются:

в изучении течения жидкостей в каналах;

уравнение колебаний струны;

рассеяние волн областью с неровной поверхностью

В данной главе мы рассмотрим, как можно физическую задачу свести к математической задаче.

А так же рассмотрим примеры решения уравнений для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

§1. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка в частных производных

п.1. Дифференциальные уравнения в частных производных

В главе 1 данной курсовой работы были рассмотрены дифференциальные уравнения, в которых участвовали искомые функции от одной независимой переменной, вместе с их производными. Эти уравнения носят названия обыкновенные дифференциальные уравнения.

Однако, в различных технических вопросах наиболее часто встречается искомой функция, u , от двух независимых переменных, x и t :

причем условия поставленного вопроса дают для ее определения некоторое соотношение, связывающее не только величины x , t , y , но и частные производные:

т.е. соотношение вида:

. (1)

Такое соотношение называется дифференциальным уравнением в частных производных ; порядок его определяется порядком наивысшей встречающейся в нем производной. Число независимых переменных может оказаться более двух. Для техники наибольшую важность представляют линейные уравнения в частных производных второго или высшего порядка.

Уравнение (1) называется линейным , если оно первой степени относительно искомой функции и всех производных и не содержит их произведений, т.е. это уравнение может быть записано в виде

Причем коэффициенты A , B , C , a , b , c зависят только от x и y .

Если эти коэффициенты не зависят от x и y , то уравнение (2) представляет собой линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами .

Пусть D = B 2 -4 AC – дискриминант уравнения. В зависимости от значения D уравнение (2) относится к одному из следующих типов:

D > 0 – эллиптический тип;

D = 0 – параболический тип;

D — гиперболический тип;

D не сохраняет постоянного знака – смешанный тип.

Дифференциальное уравнение с частными производными имеет в общем случае бесчисленное множество решений. Для конкретного решения уравнения нужны дополнительные условия – начальные или краевые условия. Начальные условия характеризуют процесс в начальный момент времени. Краевые условия описывают состояние физического процесса в граничных (краевых) областях (точках).

Краевые задачи ставятся следующим образом: найти функция u , которая удовлетворяет уравнению Лапласа:

Во всех внутренних точках области S , а на границе области — некоторому условию. В зависимости от вида условия различают следующие краевые задачи:

— задача Дирихле;

— задача Неймана.

В следующем пункте представлена краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка в частных производных, на примере уравнения колебания струны.

п.2. Вывод уравнения колебаний струны. Понятие о граничных и начальных условиях

Рассмотрим натянутую струны, т.е. тонкую гибкую упругую нить, расположенную в плоскости Oxu , которая в результате известного возмущения была выведена из положения равновесия Ox . Изучим поперечные колебания струны, полагая, что при таком колебании струны ее точки движутся перпендикулярно оси Ox .

Обозначим через u = u ( x , t ) – смещение точки струны с абсциссой х в момент времени t относительно оси Ох (рис.5).

Тогда функцией u ( x , t ) при опишется процесс колебаний струны: для любого фиксированного момента времени t = t ₁ выражением u = u ( x , t ₁ ) определяется мгновенной профиль струны.

Сделаем следующие допущения:

Предположим, что струна совершает малые колебания, т.е. ее форма в процессе колебаний незначительно отличается от прямой u =0 . Будем предполагать, что наклон касательной к графику функции u ( x , t ) , t = const , т.е. , есть малая по модулю величина по сравнению с единицей. Отсюда получаем, что и

К концам участка струны приложены направленные по касательной упругие силы натяжения (рис.5), модули которых равны: и являются практически постоянными, т.е. Т ₀ не зависит от х и t .

На струну действуют непрерывно распределенные внешние силы, перпендикулярные оси Ox , с плотностью (нагрузкой) p(x,t) , рассчитанной на единицу длины.

Вырежем из струны бесконечно малый элемент , абсциссами которого являются х и х+ dx . Воздействие отброшенной левой и правой частей струны заменим соответствующими силами натяжения. Тогда элемент можно рассматривать, как свободную материальную точку, находящуюся под действием упругих сил и внешней силы — орт оси О u .

Пусть — линейная плотность струны в точке х. Так в положении равновесия масса элемента равна , то в силу сохранения массы, элемент имеет ту же массу. Обозначим через и углы, образованные с осью Ох касательными к профилю струны в момент времени t в точках М и соответственно. Проектируя на ось Ou силы, приложенные к элементу , в силу закона Ньютона и предположения 2) получим:

(1)

Согласно предположению 1) углы и малы, поэтому:

(2)

(2*).

Для подсчета (2*) используем следующую формулу: , справедливую с точностью до бесконечно малых высших порядков.

(3)

Подставляя выражение (2) и (3) в формулу (1), получим:

(4)

Мы получили искомое уравнение малых вынужденных поперечных колебаний струны.

В случае постоянной плотности () это уравнение принимает вид:

. (5),

где , а — плотность силы, отнесенная к единице массы.

При отсутствии внешней силы ( P ( x , t ) =0) мы получаем уравнение малых свободных колебаний струны:

(6)

Уравнение (4), как показано выше, имеет бесчисленное множество решений. Поэтому для однозначной характеристики процесса колебаний необходимо к уравнению присоединить некоторые дополнительные условия, вытекающие их физического смысла данной задачи. Эти условия могут быть весьма разнообразными. В простейшем случае, как и в динамике точки, задается положение и скорость точек струны в начальный момент времени:

(7)

Эти условия, которым должно удовлетворять решение u ( x , t ) при t =0, называются начальными условиями.

Если струна ограничена, то необходимо задать условия на ее концах. В частности, для струны, концы которой x =0 и x = l закреплены,

(8)

при всяком . Условия (8) – граничные (краевые) условия.

Таким образом, физическая задача о колебаниях струны, закрепленной на концах, свелась к следующей математической задаче: найти решение u ( x , t ) уравнения (4), удовлетворяющее начальным условиям (7) и граничным условиям (8). Такая задача называется смешанной краевой задачей для уравнения колебания. К ней также можно прийти при изучении одномерных колебаний идеального газа или одномерных продольных колебаний стержня.

§2. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с заданными краевыми условиями

Пример 1 . Найти решение уравнения , удовлетворяющее краевым условиям y (0)=3,

Все решения данного дифференциального уравнения выражаются формулой , где C ₁ , C ₂ – произвольные постоянные. Подберем C ₁ и C ₂ так, чтобы удовлетворялись заданные краевые условия, т.е. определим постоянные C ₁ и C ₂ из уравнений C ₁ + C ₂ =3, C ₁ + C ₂ e — C ₂ e =1. Отсюда С ₁ =1, С ₂ =2. Таким образом, решением краевой задачи является функция

Пример 2. Найти решение уравнения удовлетворяющее краевым условиям

Решение: Общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид Условие y (0)=0 удовлетворяется при С ₁ =0, при этом y = C ₂ sinx . Если , где n – целое число, то из второго граничного условия находим: , .

Следовательно, в этом случае существует единственное решение данной краевой задачи:

.

Если , то из второго краевого условия имеет бесконечное множество решений: , где С ₂ может принимать любые значения.

В случае, если , а указанным краевым условиям не удовлетворяет ни одно решение данного дифференциального уравнения, т.е. краевая задача решений не имеет.

Пример 3: Решить краевую задачу:

Решение: Общее решение данного уравнения имеет вид:

Подставим общее решение в заданные краевые условия, получим систему уравнений относительно постоянных C ₁ и C ₂ :

Следовательно,

Пример 4: Решить краевую задачу

Решение: Общее решение данного уравнения имеет вид:

Так как то из общего решения следует, что Из краевого условия следует, что

В результате получаем:

Пример 5: Построить функцию Грина для краевой задачи

Решение: Общее решение уравнения есть Условию y (-1)=0 удовлетворяет, например, решение , а второму краевому условию – решение

Функцию Грина для указанной краевой задачи ищем в виде:

где функции и определяются из условий Отсюда

Таким образом, искомая функция Грина имеет вид:

Построив функцию Грина G ( x , s ) , запишем решение данной краевой задачи:

Пример 6: Решить краевую задачу ограничена при

Решение: Построим функцию Грина для этой задачи. Общее решение уравнения есть Решение удовлетворяет первому краевому условию, а решение удовлетворяет второму краевому условию, поэтому функцию Грина ищем в виде:

Функции и определяем из условий

, т.е. Отсюда получаем:

Искомое решение имеет вид:

Пример 7: Решить краевую задачу

На примере этой краевой задачи проиллюстрируем метод приведения краевых задач к задачам Коши. В данном случае такое приведение не эффективно, но во многих случаях, особенно в связи с методами численного решения, этот прием оказывается полезным. Найдем решение указанной краевой задачи в виде:

где соответственно решения таких задач Коши: Решив каждую из этих задач Коши, находим:

Подберем в выражении

коэффициенты  и  так, чтобы это выражение удовлетворяло краевым условиям. Подставляя в краевые условия, получаем уравнения для определения  и  :  =  , 6  +  =7.

Отсюда  =  =1. Таким образом, искомое решение имеет вид:

Теория дифференциальных уравнений является одним из самых больших разделов современной математики. Чтобы охарактеризовать ее место в современной математической науке, прежде всего необходимо подчеркнуть основные особенности теории дифференциальных уравнений, состоящей из двух обширных областей математики: теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории уравнений с частными производными.

Важная особенность — это непосредственная связь теории дифференциальных уравнений с приложениями. Характеризуя математику как метод проникновения в тайны природы, можно сказать, что основным путем применения этого метода является формирование и изучение математических моделей реального мира. Изучая какие-либо физические явления, исследователь прежде всего создает его математическую идеализацию или, другими словами, математическую модель, то есть, пренебрегая второстепенными характеристиками явления, он записывает основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. Очень часто эти законы можно выразить в виде дифференциальных уравнений. Такими оказываются модели различных явлений механики сплошной среды, химических реакций, электрических и магнитных явлений и др.

В данной курсовой работе мы познакомились с понятиями дифференциального уравнения, краевых условий; рассмотрели применение дифференциальных уравнений второго порядка к практике.

Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Диффенциальные уравнения. Математика в техническом университете. Выпуск 8. Изд-во МГТУ им.Н.Э.Баумана. 2003 – 348.

Демидович Б.П., Моденов В.П. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. 3-е изд.,стер. – Спб.: Издательство «Лань», 2008. – 288 с.

Егоров А.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями. – М.: Физматлит, 2005. – 384 с.

Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнения. М., 1965. – 704 с.

Кисилев А.И., Краснов М.Л., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным уравнениям. – М.: Изд-во «Высшая школа», 1965. – 235 с.

Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. – 176 с.

Фихтенгольц Г.М. Математика для инженеров, часть вторая, выпуск второй. Государственное технико-теоретическое издательство Ленинград, Москва 1933 г.

🎬 Видео

Краевая задача.Функция Грина.Дифференциальное ур.Скачать

24.10.2023 Лекция 14. Краевая задача и функция ГринаСкачать

Курс по ИДУ: Функция Грина и задача Штурма-Лиувилля | Занятие 4Скачать

Метод функции ГринаСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Лабовский С. - О положительности функции Грина двухточечной краевой задачиСкачать

Колыбасова В.В. - Методы математической физики.Семинары - 15. Решение краевых задач. Функция ГринаСкачать

Лукьяненко Д. В. - Дифференциальные уравнения - Лекция 9Скачать

Дифференциальные уравнения | задача Штурма - Лиувилля | классические краевые задачи | 1Скачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 способаСкачать

Тихонов Н. А. - Методы математической физики - Функция ГринаСкачать

Методы решения нелинейных краевых задач для ОДУСкачать

14. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядкаСкачать

Сергеев И. Н. - Дифференциальные уравнения - Краевая задача для уравнения второго порядкаСкачать

Разгулин А. В. - Дифференциальные уравнения. Лекции. Часть 2 - Лекция 8Скачать