Еще один наглядный пример применения метода статистических испытаний — решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа с использованием алгоритма «блужданий но сетке». Строгое обоснование этих алгоритмов можно найти в классических работах по методу Монте-Карло.
Напомним, что уравнением Лапласа называется уравнение в частных производных
задачей Дирихле для уравнения Лапласа — задача нахождения функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа в ограниченной связной области D и граничным условиям
на границе области 1(D).
Сформулируем задачу следующим образом: требуется применить статистическое моделирование для вычисления значения в точке Л(0,8; 0,6) функции U> удовлетворяющей в квадрате D = Рис. 2.23. Две траектории алгоритма «блужданий по сетке» Полученные по такому алгоритму 10 значений случайной величины ? оказались равными 0,3980, 0,0000, 6,5940, 0,7726, 0,5881, 0,3941, 0,5823, 0,0000, 0,5794, 0,9561. По формулам (2.19), (2.21), (2.22) получим При оценке погрешности решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа с использованием статистического моделирования следует иметь в виду, что она складывается из погрешности разностного метода, определяемой шагом сетки, и статистической оценки погрешности, возникающей при реализации статистических испытаний. Видео:6-2. Метод сетокСкачать Решение краевых задач методом Монте-Карло рассмотрим на примере задачи Дирихле для уравнения Лапласа [29]. Пусть G — односвязная область, на границе которой 8G задана функция f = = f(Q), Q е 8G. Требуется найти такую функцию и(Р), которая внутри области G удовлетворяет уравнению Лапласа: Построим в области G квадратную сетку с шагом h. Узлы данной сетки делятся на два типа: регулярные и нерегулярные (см. лекция 9). Каждый регулярный узел имеет 4 соседних узла Pi, Р2, Рз, Р. из области G согласно шаблону, приведенному на рис. 9.7, б. Нерегулярный или граничный узел нс имеет ровно четырех соседей из области G. Составим разностную схему для уравнения Лапласа (15.29) на квадратной сетке и перепишем полученное уравнение следующим образом: Для решения конем но-разностной задачи (15.30) составим следующую тсоретико-вероятностную схему. Будем считать, что величина и <Р)пропорциональна плотности неких частиц в узле Р. Каждая частица может с вероятностью Vi за одни шаг по времени перейти в один из четырех соседних узлов: Рь Р2, Pi, Pi j. Таким образом, частицы, первоначально находящиеся в некотором узле, за 1 шаг по времени уходят из него, а другие частицы из соседних узлов могут прийти в исходный узел. Считаем, что частица, приходящая на границу области, поглощается. Вероятность u(P,Q) того, что частица, выйдя из регулярного узла Р, окончит блуждание в граничном узле Q, удовлетворяет условию (15.30), т. е. и краевому условию Если промоделировать блуждание частицы по решетке N раз, заставляя каждый раз ее выходить из точки Р и подсчитывать количество L ее приходов в точку Q, то отношение задачи (15.31) с краевыми условиями (15.32). Перейдем к решению задачи Дирихле в общем случае. Пусть, когда частица оказывается в точке Q, с нее берется штраф f(Q). Величина штрафа принимает значения f(Qi), . , f(Qs), где Qi, . Qs — совокупность всех граничных узлов. Согласно (15.31), (15.32) вероятность заплатить штраф f(Qj) равна u(P,Qj). Среднее значение штрафа vv(P), которое заплатит произвольная частица, выходящая из регулярной точки Р, определяется по формуле: Покажем, что выражение (15.33) удовлетворяет уравнению Действительно, подставим в (15.31) Qj вместо Q и умножим обе части на f(Qj), тогда после суммирования по j получим уравнение (15.33). Для граничных узлов функция w(P) удовлетворяет краевым условиям. Так, после подстановки Р = Q в (15.33) согласно (15.32) пропадут все слагаемые, кроме одного, т. е. т. е. vv(P) удовлетворяет конечно-разностному уравнению (15.30) и принимает на границе заданные значения. В качестве примера рассмотрим решение уравнения Лапласа ихх + иуу = О вида: В качестве области интегрирования выберем единичный квадрат, т. е. G(x,y) = [ОД] 2 . Учитывая (15.34), определим граничные условия для задачи Дирихле Определим квадратную сетку в единичном квадрате: Х„ = h(n -1), ут = = h(m — 1), h = 1/(N — 1), п.т = 1, . п. Регулярными и нерегулярными (граничными) будут соответственно узлы Найдем решение уравнения Лапласа (15.34) задачи Дирихле (15.35) методом Монте-Карло. Разыграем случайный процесс следующим образом. Выберем произвольный регулярный узел Р из набора (15.36). Выпустим из этого узла частицу и дождемся, когда она путем случайного блуждания, попадет в одну из граничных точек (15.36′). Повторим эту процедуру R раз, запоминая число приходов L(P,Q) частицы в граничные точки (15.36′). В итоге можно получить следующую расчетную схему: В листинге 15.12 приведен код программы решения уравнения Лапласа (15.34) для задачи Дирихле в единичном квадрате (15.35) по расчетной схеме (15.37). “/«Программа решения уравнения Лапласа, имеющего “/«аналитическое решение ( 15. 34) для задачи Дирихле %в единичном квадрате (15.35) по расчетной схеме %( 15. 37) методом Монте- Карло function ramble “/«Определяем количество N узлов в сетках по “/окоординатам X и у N=21; h =1. О/(N- 1); “/«Определяем сетки по координатам х и у х =0: h: 1; у =0: h: 1; “/оВносим краевые условия ( 15. 35) для задачи Дирихле u(n,l)=f(x(n),y(l)); u( n, N) =f(х( n), у( N)); end f or m=l: N u ( 1, m) =f (х( 1), у( т)); u( N, т) =f (х( N) , у( т) ); end %Определяем массив статистических испытаний с %разной длиной R=5 00: 5 0 0: 8 0 0 0; %Организуем цикл статистических испытаний с разной %длиной статистических испытаний for s =1:Iengt h(R) %Цикл статистических испытаний для каждой %регулярной точки разностной сетки “/«Определяем 4 массива соответственно %для четырех типов граничных точек “/«единичного квадрата: нижнее основание, “/«правая сторона, верхнее основание, % левая сторона Lxl=zeros(1, (N- 1) ); LxN=zer os ( 1, ( N- 1)); “/«Статистические испытания длиной R < S) for r =1: R( S) “/«Цикл, моделирующий случайные “/«блужданий на решетке “/«Подсчет числа приходов частицы %с координатами ( Р П , Р т) в одну из “/«граничных точек if ( Р n 1) &( Р т= = N) LхN( Pn- 1)=LxN( Pn-1)+1; end if ( Pn = = l)M Рт>1) Lу 1 ( Pm- 1) =Lyl( Pm- 1) +1; end end %Подсчет решения U ( X, у) по формуле ( 15. 37) uP=uP+LyN( ml)*f( x( N) , y( ml) ) ; end uP=uP+LxN( nl- 1)*f(x(n1),у(N)); end uP=uP+Lyl( ml — l)*f(x( 1), y( ml)); end u( n, m) = uP/ R( s) ; end end %Сравнение решения, полученного методом %Монте- Карло U ( П, т) , с точным решением %уравнения Лапласа (15. 34) for n = 1: N err( n, m) =abs( u(n, m)-(x(n)-y( m) )*. . . ( x( n) +y( m) -1)); end end er r or (s) =max( max(er r)); “/«Определяем аналитическое решение (15.34) в U а ( П, m) for n =1: N %Рисуем профиль аналитического решения (15.34) subplot) 1,2,1); surf(y,x,ua); %Определяем кривую зависимости ошибки решения %задачи Дирихле методом Монте- Карло от длины %статистической серии subpl ot( 1, 2, 2); semi I ogx( I ng, error); %Определяем краевые условия ( 15. 35) function Z =f ( X , у) z =0; if (y==0)|(y==l) z =x * ( x — 1) ; end if (x ==0)|(x ==1) z =y* ( 1- y); end На рис. 15.12 приведен итог работы кода программы листинга 15.12. Рис. 15.12. Пример решения краевой задачи (15.29) методом Монте-Карло На рис. 15.12, а приведен трехмерный профиль аналитического решения (15.34) уравнения Лапласа для задачи Дирихле (15.35). На рис. 15.12, б приведен график зависимости ошибки численного решения задачи Дирихле методом Монте-Карло в зависимости от длины серии статистических испытаний. Отчетливо видна тенденция уменьшения ошибки численного решения по мерс роста длины статистической серии. Видео:6.2 Решение задач для уравнения Лапласа в круге, вне круга и в кольцеСкачать 1. Краткая теория уравнение функция лаплас программа В настоящей лабораторной работе методом сеток требуется решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа. Эта задача ставится следующим образом. Найти непрерывную функцию и (х, у), удовлетворяющую внутри прямоугольной области уравнению Лапласа и принимающую на границе области заданные значения, т. е. Будем считать, что и(х, у) непрерывна на границе области , т. е. , , , . Выбрав шаги h, l по x и y соответственно, строим сетку , , , , где , . Вводя обозначения , аппроксимируем частные производные и в каждом внутреннем узле сетки центральными разностными производными второго порядка и заменим уравнение Лапласа конечно-разностным уравнением Погрешность замены дифференциального уравнения разностным составляет величину . Уравнения (1) вместе со значениями в граничных узлах образуют систему линейных алгебраических уравнений относительно приближенных значений функции и (х, у) в узлах сетки . Наиболее простой вид имеет эта система при : При получении сеточных уравнений (2) была использована схема узлов, изображенная на рис. 1. Набор узлов, используемых для аппроксимации уравнения в точке, называется шаблоном. В данной работе используется шаблон типа «крест». Численное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольнике состоит в нахождении приближенных значений искомой функции и(х, у) во внутренних узлах сетки. Для определения величин требуется решить систему линейных алгебраических уравнений (2). В данной лабораторной работе она решается методом Гаусса—Зейделя, который состоит в построении последовательности итераций вида (верхним индексом s обозначен номер итерации). При последовательность сходится к точному решению системы (2). В качестве условия окончания итерационного процесса можно принять Таким образом, погрешность приближенного решения, полученного методом сеток, складывается из двух погрешностей: погрешности аппроксимации дифференциального уравнения разностными; погрешности, возникающей в результате приближенного решения системы разностных уравнений (2). Известно, что описанная здесь разностная схема обладает свойством устойчивости и сходимости. Устойчивость схемы означает, что малые изменения в начальных данных приводят к малым изменениям решения разностной задачи. Только такие схемы имеет смысл применять в реальных вычислениях. Сходимость схемы означает, что при стремлении шага сетки к нулю () решение разностной задачи стремится в некотором смысле к решению исходной задачи. Таким образом, выбрав достаточно малый шаг h, можно как угодно точно решить исходную задачу. 7.1 Решение уравнения Лапласа в прямоугольникеСкачать OTAROVA JAMILA МЕТОД ФУРЬЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В ПРЯМОУГОЛЬНОЙСкачать Метод Лапласа решения ДУСкачать Уравнения математической физики 15+16 Задача Дирихле для уравнения Лапласа - Пуассона в кругеСкачать Задача Дирихле для круга. Уравнение ЛапласаСкачать Уравнение Лапласа. Задача Дирихле для уравнения Лапласа внутри и вне кругаСкачать Решение уравнения Лапласа в шареСкачать Задача Дирихле для шараСкачать Методы математической физики. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге. 19.05.21 Фролова Е.В.Скачать Колыбасова В.В. - Методы математической физики.Семинары - 15. Решение краевых задач. Функция ГринаСкачать Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце и сектореСкачать 7.2 Уравнение Лапласа в секторе и кольцевом сектореСкачать Методы решения нелинейных краевых задач для ОДУСкачать Попов И.Ю. Функция Грина задачи Дирихле для уравнения ЛапласаСкачать Задача Неймана для уравнения Лапласа. Третья краевая задача для уравнения ЛапласаСкачать Колыбасова В.В. - Методы математической физики. Семинары - 7.Внешняя краевая задача для ур.Лапласа 2Скачать 6.1 Уравнение Лапласа в полярных координатах. Принцип решения и постановка задачСкачать>(5> 3) — конец первой траектории;
Решение краевых задач
является приближенным решением
Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток
🔍 Видео
