Корректность задачи коши для волнового уравнения (5 видео)

Корректность задачи коши для волнового уравнения

Рассмотрим свободные колебания бесконечной струны, т.е. настолько длинной, что влиянием ее концов на процесс колебаний можно пренебречь. Причинами колебаний могут являться начальные отклонения струны от равновесного положения и (или) сообщенный струне начальный импульс, обуславливающий некоторое начальное распределение скоростей частиц струны.

Нужно решить однородное уравнение колебаний

при начальных условиях

где функции и заданы на всей числовой оси.

Задача (1), (2) называется задачей Коши для волнового уравнения.

Введем новые переменные

эта замена является невырожденной:

Преобразуя производные к новым переменным, находим:

Уравнение (1) в новых переменных запишется слудующим образом:

Общий вид решения этого уравнения мы можем найти интегрированием:

где — произвольная функция от .

где и — произвольные функции от и соответственно.

Следовательно, функция вида

По теореме 1 решение (1) имеет вид

Определим функции и таким образом, чтобы удовлетворялись начальные условия (2):

Интегрируя (8) в пределах от (константа) до получаем

Из системы уравнений (7), (9) имеем

Подставляя (10) и (11) в (3), находим

Определение 1 Формула (6) называется формулой Даламбера .

При указанных условиях формула (6) определяет решение задачи, в чем нетрудно убедиться, подставив её в уравнение (1) и условия (2).

Из теоремы 2 следует, что решение единственно. Действительно, если бы существовало второе решение, то оно тоже определялось бы формулой (6) и совпадало бы с первым решением.

Таким образом, если дифференцируема 2 раза, а дифференцируема, то решение задачи Коши существует и единственно.

0,,forall, varepsilon>0,,exists ,delta(varepsilon,t_0):$»>

где — решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям

— решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям

Функции , определяются соответствующими начальными условиями по формуле (6), так что

Видео:4.1 Задача Коши для волнового уравнения IСкачать

Корректность постановки задачи. Пример Адамара некорректно поставленной задачи

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

связи с изучением физически детерминированных явлений вводится понятие корректности задачи. Определение. Говорят, что математическая задача поставлена корректно, если 1) решение задачи существует в каком-то классе М функций; 2) решение задачи единственно в некотором классе М2 функций; 3) решениезадачи непрерывно зависит от данных задачи (начальных и граничных условий, коэффициентов уравнения и т.д.).

Множество М| П функций называется классом корректности рассматриваемой математической задачи. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений доказывается, что задача Коши Корректность постановки задачи Пример Адамара некорректно поставленной задачи поставлена корректно, если функция /(х, у) непрерывна по совокупности аргументов и имеет ограниченную производную в некоторой области, содержащей точку Рассмотрим задачу Коши для неограниченной струны.

Выше м ы установили, что решение задачи (1)-(2) 1) существует и 2) единственно. Покажем, что при непрерывном изменении начальных условий это решение изменяется непрерывно. Теорема 1. Каков бы ни был отрезок [0, *о) изменения времени t и каково бы ни было е > О, найдется такое 6 = 6(е, *о) > что для любых двух решений и «(х, t) уравнения (1), отвечающих начальным условиям для , выполняется неравенство если только (малое изменение начальных условий влечет за собой малое изменение решений).

Функции u(Xjt) и u(x,t) связаны со своими начальными условиями формулой Даламбера, так что откуда или, используя соотношения (3), Если положить 6 = , то из последнего неравенства получаем Таким образом, для волнового уравнения задача Коши поставлена корректно. Пример Адамара некорректно поставленной задачи Рассмотрим задачу Коши: найти решение уравнения Лапласа удовлетворяющее при t = 0 условиям Корректность постановки задачи Пример Адамара некорректно поставленной задачи (п — натуральное число).

Легко проверить, что решением этой задачи будет функция Так как то при достаточно большом п абсолютная величина ttt(x, 0) как угодно мала при любом х.

Вместе с тем, как показывает формула (7), решение и(х> t) рассматриваемой задачи будет принимать как угодно большие по абсолютной величине значения при произвольно малом t > 0, если п достаточно велико. Допустим, что мы нашли решение 0 задачи Коши для уравнения (4) при некоторых начальных условиях Тогда для начальных условий решением задачи Коши будет функция Отсюда видно, что малое изменение начальных условий может повлечь за собой как угодно большие изменения решения задачи Коши и притом в любой близости от линии начальных значений.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Следовательно, задача Коши для уравнения Лапласа является некорректно поставленной. Рассмотрим теперь гиперболическое уравнение и поставим следующую задачу: найти решение u(z, у) уравнения (8) в прямоугольнике Q со сторонами, параллельными координатным осям (рис. 6), принимающее на границе Г этого прямоугольника заданные граничные значения.

Эта (граничная) задача, вообще

говоря, не имеет решения. В самом деле, обратимся к общему решению уравнения (8) (здесь fug — произвольные дифференцируемые функции). Так как производная иу = 9 (у) должна принимать одинаковые значения в соответствующих противолежащих точках сторон х = const прямоугольника Q, а производная их = f'(x) — в соответствующих противолежащих точках сторон у = const, то мы не можем произвольно задавать граничные значения.

Значения функции u(z, у) можно задавать произвольно только на двух смежных сторонах прямоугольника (например, на О А и на ОБ), а не на всей его границе Г, так что для гиперболического уравнения поставленная граничная задача оказывается переопределенной. Замечание 1. Подчеркнем, что волновое уравнение и уравнение Лапласа являютс я уравнениями разных типов: волновое уравнение имеет гиперболический тип, а уравнение Лапласа — эллиптический.

Замечание 2. Некорректно постам енные зада чн часто ветре чаются в приложениях. К их числу относятся многие хорошо известные математические задачи, в частности, приведенная вышезадача Коши для уравнения Лапласа связана с обратной задачей гравиметрии об определении формы тела по создаваемой им аномалии силы тяжести.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:УМФ 2. Задача Коши для волнового уравнения.Скачать

Электронная библиотека

Сформулируем условия, при которых задача Коши имеет единственное решение.

Теорема (существования и единственности)

Если функция непрерывна в прямоугольнике и удовлетворяет в области D условию , где M – константа большая нуля, то задача Коши имеет единственное решение. Это решение непрерывно зависит от начального условия .

Если выполнены условия теоремы существования и единственности и функция непрерывна по m при , то решение задачи Коши непрерывно зависит от m.

При каких условиях задача Коши: , , .

является корректно поставленной?

Достаточно, чтобы функции p(x) и m(x) были непрерывны на отрезке :

Если p(x) и m(x) непрерывны на , то тоже непрерывна. Так как m(x) непрерывна на , то существует M > 0 такое, что

Следовательно, решение задачи Коши существует, единственно и непрерывно зависит от входных данных, то есть задача Коши является корректно поставленной.

Численные методы применимы к корректно поставленным задачам.

В некоторых случаях условий корректности недостаточно. Необходимо, чтобы задача Коши была устойчива, то есть малые изменения в задании исходных данных приводили к достаточно малым измерениям искомого решения.

Задача Коши: , , , является корректно поставленной и устойчивой.

Задача Коши: , , , является корректно поставленной и неустойчивой.

Таким образом, корректно поставленная задача Коши может быть устойчивой, а может быть и неустойчивой. Устойчивость задачи Коши определяется знаком производной . Если , то задача Коши является устойчивой.

Отметим, что численные методы применимы как к устойчивым, так и к неустойчивым задачам Коши.

Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00