Корни уравнения записать во всех известных формах и изобразить геометрически (8 видео)

Числа. Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнями.

Рассматривать будем на таком примере:

Если говорить о действительных числах, то, вы знаете, что корень из отрицательного числа нельзя извлекать. Однако в комплексных числах можно. Если конкретнее, 2 корня:

Выполним проверку того, что эти корни и права оказываются решением уравнения:

Что и требовалось доказать.

Зачастую используют сокращенную запись, корни записывают в одну строчку в таком виде: .

Такие корни являются сопряженными комплексными корнями.

Теперь вы знаете как можно извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Приведем еще несколько примеров:

, ,

В каждом случае получаем 2 сопряженных комплексных корня.

Решим квадратное уравнение .

Первым шагом определим дискриминант уравнения:

В нашем случае дискриминант оказался отрицательным, и в случае с действительными числами у уравнения нет решений, но у нас вариант с комплексными числами, поэтому можем продолжать решение:

Как известно из формул дискриминанта у нас образуется 2 корня:

– сопряженные комплексные корни

Т.о., у уравнения есть 2 сопряженных комплексных корня:

Теперь можно решить любое квадратное уравнение!

У любого уравнения с многочленом n-ой степени есть ровно n корней, некоторые из них могут быть комплексными.

Содержание

Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?
Решить квадратное уравнение, корни уравнения во всех известных формах и изобразить геометрически: z2+1-2iz-2i=0
Условие
Решение
Зарегистрируйся, чтобы продолжить изучение работы
Корни уравнения записать во всех известных формах и изобразить геометрически
Правила ввода выражений и функций
Где учитесь?
🎦 Видео

Видео:КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать

Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?

Рассмотрим уравнение z n = w, либо, записав в другом виде: . Здесь n может принимать всякое натуральное значение, которое больше 1-цы.

В частности, при n = 2 получаем квадратный корень .

У уравнения типа есть ровно n корней z₀, z₁, z₂, … z_n_-1, которые можно вычислить с помощью формулы:

где – это модуль комплексного числа w,

φ – его аргумент,

а параметр k принимает значения: .

Найдем корни уравнения: .

Перепишем уравнение как: .

В этом примере , , поэтому у уравнения будет 2 корня: z₀ и z₁. Детализируем общую формулу:

, .

Далее найдем модуль и аргумент комплексного числа :

Число w находится в 1-ой четверти, значит:

Помним, что определяя тригонометрическую форму комплексного числа лучше делать чертеж.

Детализируем еще немного общую формулу:

, .

Так подобно расписывать не обязательно. Здесь мы это сделали, что бы было ясно откуда что образовалось.

Подставляем в формулу значение k = 0 и получаем 1-й корень:

Подставляем в формулу значение k = 1 и получаем 2-й корень:

Ответ: ,

Если необходимо, корни, которые мы получили можно перевести обратно в алгебраическую форму.

Часто вычисленные корни нужно изобразить геометрически:

Как выполнить чертеж?

Для начала на калькуляторе вычисляем, чему равен модуль корней и чертим с помощью циркуля окружность этого радиуса. Все корни будем откладывать на данной окружности.

Далее берем аргумент 1-го корня и вычисляем, чему равен угол в градусах:

Отмеряем транспортиром 45° и ставим на чертеже точку z₀.

Берем аргумент 2-го корня и переводим его тоже в градусы: . Отмеряем транспортиром 165° и ставим на чертеже точку z₁.

По этому же алгоритму ставим точку z₂.

Видно, что корни располагаются геометрически правильно с интервалом между радиус-векторами. Чертеж обязательно делать при помощи транспортира.

Видео:Комплексные корни квадратных уравнений. 11 класс.Скачать

Решить квадратное уравнение, корни уравнения во всех известных формах и изобразить геометрически: z2+1-2iz-2i=0

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Решить квадратное уравнение, корни уравнения во всех известных формах и изобразить геометрически: z2+1-2iz-2i=0

Условие

Решить квадратное уравнение, корни уравнения во всех известных формах и изобразить геометрически: z2+1-2iz-2i=0

Решение

Дискриминант к квадратичной зависимости иметь вид
D=1-2i2-4∙-2i)=-3+4i
Дискриминант комплексный. Для нахождения значения корня с дискриминанта используем формулу Муавра
nz=nzcosφ+2πkn+isinφ+2πkn, k=0,1,…(n-1)
Запишем полученный дискриминант в тригонометрической форме
Представим комплексное число4-3i в тригонометрической форме .
Здесь x=-3 0, r=-32+42=5,
φ=arctgyx==π-arctg43 , Поэтому
-3+4i=5cosπ-arctg43+isinπ-arctg43
Отсюда записываем значение модуля и аргумента D
r=5,φ=π-arctg43
и подставляем у формулы корней
D=5cosπ-arctg43+2πk2+isinπ-arctg43+2πk2, где k=0,1
Полагая k=0,1 получим:
D1=5cosπ-arctg432+isinπ-arctg432=50,448+0,525i=
≈1+2i
D2=5cos3π-arctg432+isin3π-arctg432=5-0,449-0,893i=
=-1-2i
Решения квадратного уравнения вычислим по формулам
x1=-1-2i+1+2i2=2i=2cosπ2+sinπ2=eπ2i
x2=-1-2i-1-2i2=-1=cosπ+sinπ=eiπ

Зарегистрируйся, чтобы продолжить изучение работы

.
Здесь x=-3 0, r=-32+42=5,
φ=arctgyx==π-arctg43 , Поэтому
-3+4i=5cosπ-arctg43+isinπ-arctg43
Отсюда записываем значение модуля и аргумента D
r=5,φ=π-arctg43
и подставляем у формулы корней
D=5cosπ-arctg43+2πk2+isinπ-arctg43+2πk2, где k=0,1
Полагая k=0,1 получим:
D1=5cosπ-arctg432+isinπ-arctg432=50,448+0,525i=
≈1+2i
D2=5cos3π-arctg432+isin3π-arctg432=5-0,449-0,893i=
=-1-2i
Решения квадратного уравнения вычислим по формулам
x1=-1-2i+1+2i2=2i=2cosπ2+sinπ2=eπ2i
x2=-1-2i-1-2i2=-1=cosπ+sinπ=eiπ