Рассматривать будем на таком примере:
Если говорить о действительных числах, то, вы знаете, что корень из отрицательного числа нельзя извлекать. Однако в комплексных числах можно. Если конкретнее, 2 корня:
Выполним проверку того, что эти корни и права оказываются решением уравнения:
Что и требовалось доказать.
Зачастую используют сокращенную запись, корни записывают в одну строчку в таком виде: .
Такие корни являются сопряженными комплексными корнями.
Теперь вы знаете как можно извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Приведем еще несколько примеров:
, ,
,
,
В каждом случае получаем 2 сопряженных комплексных корня.
Решим квадратное уравнение .
Первым шагом определим дискриминант уравнения:
В нашем случае дискриминант оказался отрицательным, и в случае с действительными числами у уравнения нет решений, но у нас вариант с комплексными числами, поэтому можем продолжать решение:
Как известно из формул дискриминанта у нас образуется 2 корня:
– сопряженные комплексные корни
Т.о., у уравнения есть 2 сопряженных комплексных корня:
,
Теперь можно решить любое квадратное уравнение!
У любого уравнения с многочленом n-ой степени есть ровно n корней, некоторые из них могут быть комплексными.
- Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?
- Решить квадратное уравнение, корни уравнения во всех известных формах и изобразить геометрически: z2+1-2iz-2i=0
- Условие
- Решение
- Зарегистрируйся, чтобы продолжить изучение работы
- Корни уравнения записать во всех известных формах и изобразить геометрически
- Правила ввода выражений и функций
- Где учитесь?
- 📹 Видео
Видео:Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 3. Формы записи. Возведение в степень.Скачать
Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?
Рассмотрим уравнение z n = w, либо, записав в другом виде: . Здесь n может принимать всякое натуральное значение, которое больше 1-цы.
В частности, при n = 2 получаем квадратный корень .
У уравнения типа есть ровно n корней z0, z1, z2, … zn-1, которые можно вычислить с помощью формулы:
,
где – это модуль комплексного числа w,
φ – его аргумент,
а параметр k принимает значения: .
Найдем корни уравнения: .
Перепишем уравнение как: .
В этом примере , , поэтому у уравнения будет 2 корня: z0 и z1. Детализируем общую формулу:
, .
Далее найдем модуль и аргумент комплексного числа :
Число w находится в 1-ой четверти, значит:
Помним, что определяя тригонометрическую форму комплексного числа лучше делать чертеж.
Детализируем еще немного общую формулу:
, .
Так подобно расписывать не обязательно. Здесь мы это сделали, что бы было ясно откуда что образовалось.
Подставляем в формулу значение k = 0 и получаем 1-й корень:
.
Подставляем в формулу значение k = 1 и получаем 2-й корень:
.
Ответ: ,
Если необходимо, корни, которые мы получили можно перевести обратно в алгебраическую форму.
Часто вычисленные корни нужно изобразить геометрически:
Как выполнить чертеж?
Для начала на калькуляторе вычисляем, чему равен модуль корней и чертим с помощью циркуля окружность этого радиуса. Все корни будем откладывать на данной окружности.
Далее берем аргумент 1-го корня и вычисляем, чему равен угол в градусах:
.
Отмеряем транспортиром 45° и ставим на чертеже точку z0.
Берем аргумент 2-го корня и переводим его тоже в градусы: . Отмеряем транспортиром 165° и ставим на чертеже точку z1.
По этому же алгоритму ставим точку z2.
Видно, что корни располагаются геометрически правильно с интервалом между радиус-векторами. Чертеж обязательно делать при помощи транспортира.
Видео:КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать
Решить квадратное уравнение, корни уравнения во всех известных формах и изобразить геометрически: z2+1-2iz-2i=0
- Реферат.Справочник
- Контрольные работы по высшей математике
- Решить квадратное уравнение, корни уравнения во всех известных формах и изобразить геометрически: z2+1-2iz-2i=0
Условие
Решить квадратное уравнение, корни уравнения во всех известных формах и изобразить геометрически: z2+1-2iz-2i=0
Решение
Дискриминант к квадратичной зависимости иметь вид
D=1-2i2-4∙-2i)=-3+4i
Дискриминант комплексный. Для нахождения значения корня с дискриминанта используем формулу Муавра
nz=nzcosφ+2πkn+isinφ+2πkn, k=0,1,…(n-1)
Запишем полученный дискриминант в тригонометрической форме
Представим комплексное число4-3i в тригонометрической форме .
Здесь x=-3 0, r=-32+42=5,
φ=arctgyx==π-arctg43 , Поэтому
-3+4i=5cosπ-arctg43+isinπ-arctg43
Отсюда записываем значение модуля и аргумента D
r=5,φ=π-arctg43
и подставляем у формулы корней
D=5cosπ-arctg43+2πk2+isinπ-arctg43+2πk2, где k=0,1
Полагая k=0,1 получим:
D1=5cosπ-arctg432+isinπ-arctg432=50,448+0,525i=
≈1+2i
D2=5cos3π-arctg432+isin3π-arctg432=5-0,449-0,893i=
=-1-2i
Решения квадратного уравнения вычислим по формулам
x1=-1-2i+1+2i2=2i=2cosπ2+sinπ2=eπ2i
x2=-1-2i-1-2i2=-1=cosπ+sinπ=eiπ
Зарегистрируйся, чтобы продолжить изучение работы
.
Здесь x=-3 0, r=-32+42=5,
φ=arctgyx==π-arctg43 , Поэтому
-3+4i=5cosπ-arctg43+isinπ-arctg43
Отсюда записываем значение модуля и аргумента D
r=5,φ=π-arctg43
и подставляем у формулы корней
D=5cosπ-arctg43+2πk2+isinπ-arctg43+2πk2, где k=0,1
Полагая k=0,1 получим:
D1=5cosπ-arctg432+isinπ-arctg432=50,448+0,525i=
≈1+2i
D2=5cos3π-arctg432+isin3π-arctg432=5-0,449-0,893i=
=-1-2i
Решения квадратного уравнения вычислим по формулам
x1=-1-2i+1+2i2=2i=2cosπ2+sinπ2=eπ2i
x2=-1-2i-1-2i2=-1=cosπ+sinπ=eiπ
Оплатите контрольную работу или закажите уникальную работу на похожую тему
Видео:Комплексные корни квадратных уравнений. 11 класс.Скачать
Корни уравнения записать во всех известных формах и изобразить геометрически
Квадратный корень из комплексного числа
Деление комплексных чисел
Умножение комплексных чисел
Корни четвертой и пятой степени
Реальная часть комплексного числа
Возведение в степень
Мнимая и действительная часть
Модуль комплексного числа
Комплексный знак числа
Можно использовать следующие функции от z (например, от z = 1 + 2.5j):
Правила ввода выражений и функций
3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно
2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности
© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн
Видео:Изобразить область на комплексной плоскостиСкачать
Где учитесь?
Для правильного составления решения, укажите:
📹 Видео
Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 4. Извлечение корня n-й степени.Скачать
Комплексные корни квадратного уравненияСкачать
Тригонометрическая форма комплексного числаСкачать
Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.Скачать
10 класс, 34 урок, Тригонометрическая форма записи комплексного числаСкачать
Биквадратное уравнение. Комплексные корни.Скачать
Мнимые числа реальны: #1-13 [Welch Labs]Скачать
Встреча с Путиным в общежитии МГУ на Воробьевых горах!Скачать
Найдите все значения корня из комплексного числа ∛-125i ★ Извлечение корня из комплексного числаСкачать
2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числаСкачать
4. Показательная форма комплексного числаСкачать
Формула Муавра ➜ Вычислить ➜ (5+5i)⁷Скачать
Комплексные числа: коротко и понятно – Алексей Савватеев | Лекции по математике | НаучпопСкачать
Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.Скачать
Комплексные числа: алгебраическая форма и действия над ними | Высшая математикаСкачать
3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из ВебиумаСкачать