Корни уравнения cosx a находятся по формуле (5 видео)

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a

Уравнение cos (x) = a

Объяснение и обоснование

Содержание

Уравнение. Простейшее тригонометрическое уравнение cos х = а.
Арккосинус. Решение уравнения cos x=a
п.1. Понятие арккосинуса
п.2. График и свойства функции y=arccosx
п.3. Уравнение cos⁡x=a
п.4. Формула арккосинуса отрицательного аргумента
п.5. Примеры
🎥 Видео

Видео:КАК РЕШАТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ? // УРАВНЕНИЕ COSX=AСкачать

Уравнение. Простейшее тригонометрическое уравнение cos х = а.

Существует возможность отобразить всякий корень уравнения cos х=а, как абсциссу некой точки пересечения косинусоиды у = cos х и прямой у = а, и, соответственно верно обратное, абсцисса всякой такой точки пересечения будет одним из корней данного уравнения.

Как видим, множество всех корней уравнения соответствует множеству абсцисс всех точек пересечения косинусоиды у = cos х и прямой у = а.

Когда |а| > 1, то косинусоида у = cos х не пересекается с прямой у = а.

В данном случае у уравнения нет корней.

Когда а = -1, то корни уравнения cos х = -1 вычисляются из соотношения:

Когда а = 1, то корни уравнения cos х = 1 вычисляют из соотношения:

Следует не забывать, что все вышеперечисленные формулы верны лишь в том случае, когда искомый угол х указан в радианах. Когда он указан в градусах, то эти соотношения нужно естественным образом преобразовать.

Так, формулу х = ± arccos a + 2mπ заменяется формулой х = ±arccosa+ 360° n, формулу х = π /₂ + nπ формулой х = 90° + 180° n и т. д.

Видео:Уравнение cosx =aСкачать

Арккосинус. Решение уравнения cos x=a

п.1. Понятие арккосинуса

В записи (y=cosx) аргумент x — это значение угла (в градусах или радианах), функция y – косинус угла, действительное число в пределах [-1;1]. Т.е., по заданному углу мы находим косинус.
Можно поставить обратную задачу: по заданному косинусу найти угол. Но одному значению косинуса соответствует бесконечное количество углов. Например, если (cosx=1), то (x=2pi k, kinmathbb); (cosx=0), то (x=fracpi2+pi k, kinmathbb) и т.д.
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x отрезком, на котором косинус принимает все значения из [-1;1], но только один раз: (0leq xleq pi) (верхняя половина числовой окружности).

(arccosfrac12=fracpi3, arccosleft(-frac<sqrt>right)=frac)
(arccos2) – не существует, т.к. 2> 1

п.2. График и свойства функции y=arccosx

1. Область определения (-1leq xleq1) .
2. Функция ограничена сверху и снизу (0leq arccosxleq pi) . Область значений (yin[0;pi])
3. Максимальное значение (y_=pi) достигается в точке x =-1
Минимальное значение (y_=0) достигается в точке x =1
4. Функция убывает на области определения.
5. Функция непрерывна на области определения.

п.3. Уравнение cos⁡x=a

Корни уравнения cosx a находятся по формуле

Значениями арккосинуса могут быть только углы от 0 до π (180°). А как выразить другие углы через арккосинус?

Углы в нижней части числовой окружности записывают через отрицательный арккосинус. А углы, которые превышают π по модулю, записывают через сумму арккосинуса и величины, которая ‘не помещается» в область значений арккосинуса.

1) Решим уравнение (cosx=frac12).
Найдем точку (frac12) в числовой окружности на оси косинусов (ось OX). Построим вертикаль – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках, соответствующих углам (pmfracpi3) — это базовые корни.
Если взять верхний корень (fracpi3) и прибавить к нему полный оборот (fracpi3+2pi=frac), косинус полученного угла (cosfrac=frac12), т.е. (frac) также является корнем уравнения. Корнями будут и все другие углы вида (fracpi3+2pi k) (с любым количеством добавленных или вычтенных полных оборотов). Аналогично, корнями будут все углы вида (-fracpi3+2pi k).
Получаем ответ: (x=pmfracpi3+2pi k)

Заметим, что полученный ответ является записью вида
(x=pm arccosfrac12+2pi k)
А т.к. арккосинус для (frac12) точно известен и равен (fracpi3), то мы его и пишем в ответе.
Но так бывает далеко не всегда.

2) Решим уравнение (cosx=0,8)

Найдем точку 0,8 в числовой окружности на оси косинусов (ось OX). Построим вертикаль – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках.
По определению верхняя точка – это угол, равный arccos⁡0,8.
Тогда нижняя точка – это тот же угол, но отложенный в отрицательном направлении обхода числовой окружности, т.е. (–arccos⁡0,8).
Добавление или вычитание полных оборотов к каждому из решений даст другие корни.
Получаем ответ:
(x=pm arccos0,8+2pi k)

п.4. Формула арккосинуса отрицательного аргумента

Докажем полезную на практике формулу для (arccos(-a)).

По построению: $$ begin angle DA’O=angle BAO=angle CAO=90^\ OD=OB=OC=1\ OA’=OA=a end Rightarrow $$ (по катету и гипотенузе) begin Delta DA’O=Delta BAO=Delta CAORightarrow\ Rightarrow angle DOC=angle A’OA-alpha+alpha=angle A’OA=180^=pi\ -arccosa+pi=arccos(-a) end

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите функцию, обратную арккосинусу. Постройте графики арккосинуса и найденной функции в одной системе координат.

Для (y=arccosx) область определения (-1leq xleq 1), область значений (0leq yleq pi).
Обратная функция (y=cosx) должна иметь ограниченную область определения (0leq xleq pi) и область значений (-1leq yleq 1).
Строим графики:

Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.

Пример 2. Решите уравнения:

a) (cos x=-1) (x=pi+2pi k)	б) (cos x=frac<sqrt>) (x=pmfracpi4+2pi k)
в) (cos x=0) (x=pmfracpi2+2pi k=fracpi2+pi k)	г) (cos x=sqrt) (sqrtgt 1, xinvarnothing) Решений нет
д) (cos x=0,7) (x=pm arccos(0,7)+2pi k)	e) (cos x=-0,2) (x=pm arccos(-0,2)+2pi k)

Пример 3. Запишите в порядке возрастания: $$ arccos0,8; arccos(-0,5); arccosfracpi7 $$

Способ 1. Решение с помощью числовой окружности

Отмечаем на оси косинусов (ось OX) точки с абсциссами 0,8; -0,5; (fracpi7approx 0,45)
Значения арккосинусов (углы) считываются на верхней половине окружности: чем меньше косинус (от 1 до -1), тем больше угол (от 0 до π).
Получаем: (angle A_1OAltangle A_2OAangle A_3OA)
$$ arccos0,8lt arccosfracpi7lt arccos(-0,5) $$Способ 2. Решение с помощью графика (y=arccosx)

Отмечаем на оси OX аргументы 0,8; -0,5; (fracpi7approx 0,45). Восстанавливаем перпендикуляры на кривую, отмечаем точки пересечения. Из точек пересечения с кривой восстанавливаем перпендикуляры на ось OY — получаем значения арккосинусов по возрастанию: $$ arccos0,8lt arccosfracpi7lt arccos(-0,5) $$Способ 3. Аналитический
Арккосинус – функция убывающая: чем больше аргумент, тем меньше функция.
Поэтому располагаем данные в условии аргументы по убыванию: 0,8; (fracpi7); -0,5.
И записываем арккосинусы по возрастанию: (arccos0,8lt arccosfracpi7lt arccos(-0,5))

Пример 4*. Решите уравнения:
(a) arccos(x^2-3x+3)=0) begin x^2-3x+3=cos0=1\ x^2-3x+2=0\ (x-2)(x-1)=0\ x_1=1, x_2=2 end Ответ:

(б) arccos^2x-arccosx-6=0)
( text -1leq xleq 1 )
Замена переменных: (t=arccos x, 0leq tleq pi)
Решаем квадратное уравнение: $$ t^2-t-6=0Rightarrow (t-3)(t+2)=0Rightarrow left[ begin t_1=3\ t_2=-2lt 0 — text end right. $$ Возвращаемся к исходной переменной: begin arccosx=3\ x=cos3 end Ответ: cos3

(в) arccos^2x-pi arccosx+frac=0)
( text -1leq xleq 1 )
Замена переменных: (t=arccos x, 0leq tleq pi)
Решаем квадратное уравнение: begin t^2-pi t+frac=0\ D=(pi^2)-4cdot frac=frac, sqrt=fracpi3\ left[ begin t_1=frac=fracpi3\ t_2=frac=frac end right. Rightarrow left[ begin arccosx_1=fracpi3\ arccosx_2=frac end right. Rightarrow left[ begin x_1=cosleft(fracpi3right)=frac12\ x_2=cosleft(fracright)=-frac12 end right. end Ответ: (left)