Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение (*) назовём уравнением с постоянными коэффициентами, если в этом уравнении коэффициенты постоянны, то есть ai(x)=const. Тогда соответствующее однородное уравнение L(y)=0 будет иметь вид
Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2. (6)
Решение уравнения (6) будем искать в виде y = e rx . Тогда y’ = r·e rx , y» = r 2 ·e rx ,…, y ( n ) = r n ·e rx . Подставляя в (6), получаем

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

Пример №1 . Для уравнения y»-3y’ + 2y=0 корни характеристического уравнения r 2 — 3r + 2 = 0 равны r1 = 1, r2 = 2 (корни были найдены через сервис нахождения дискриминанта). Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции y1 = e x , y2 = e 2 x , а общее решение записывается в виде y = C1e x + C2e 2 x .
2. Среди корней характеристического уравнения есть кратные. Предположим, что r1 имеет кратность α, а все остальные различны. Рассмотрим вначале случай r1 = 0. Тогда характеристическое уравнение имеет вид:
an(x)·r n +an-1(x)·r n-1 + . + an-α(x)·r α =0
так как в противном случае r не являлось бы корнем кратности α. Следовательно, дифференциальное уравнение имеет вид:
an(x)·y (n) +an-1(x)·y (n-1) + . + an-α(x)·y α =0
то есть не содержит производных порядка ниже α. Этому уравнению удовлетворяют все функции, у которых производные порядка α и выше равны нулю. В частности, таковыми являются все полиномы степени не выше α-1, например,
1, x, x 2 , …, x α-1 . (9)
Покажем, что данная система линейно независима. Составив определитель Вронского этой системы функций, получим

Пример №2 . Для уравнения y»’-4y»+4y’ = 0 характеристическое уравнение r 3 -4r 2 + 4r = 0 имеет корни r=0 кратности 1 и r=2 кратности 2, так как r 3 -4r 2 + 4r = r(r-2) 2 , поэтому фундаментальной системой решений исходного уравнения является система функций y1 = 1, y2 = e 2 x , y3 = xe 2 x , а общее решение имеет вид y = C1 + C2e 2 x + C3xe 2 x .
3. Среди корней характеристического уравнения есть комплексные корни. Можно рассматривать комплексные решения, но для уравнений с действительными коэффициентами это не очень удобно. Найдём действительные решения, соответствующие комплексным корням. Так как мы рассматриваем уравнение с действительными коэффициентами, то для каждого комплексного корня rj = a+bi кратности α характеристического уравнения комплексно сопряжённое ему число rk = a-bi также является корнем кратности α этого уравнения. Соответствующими этим корням парами решений являются функции yj l =x l ·e (a+b·i)x и yk l =x l ·e (a-b·i)x , l=0,1. α-1. Вместо этих решений рассмотрим их линейные комбинации

Видео:Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравнения

Дифференциальные уравнения высших порядков: ЛОДУ, примеры решения.

Можно выделить 5 возможных метода для определения y0 — общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами:

1. В случае, когда все решения Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2характеристического уравнения Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2являются действительными и различными, значит, линейно независимые частные решения принимают вид:

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2,

а общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами записывают так:

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2.

Найти общее решение ЛОДУ 3-го порядка с постоянными коэффициентами:

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2.

Для начала записываем характеристическое уравнение и находим его корни, перед этим произведя разложение многочлена в левой части равенства на множители методом группировки:

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

Каждый из трех корней характеристического уравнения являются действительными и различными, значит, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 3-го порядка с постоянными коэффициентами принимает вид:

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2.

2. Когда каждое решение характеристического уравнения оказывается действительными и одинаковыми, т.е.,

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2,

значит, линейно независимые частные решения ЛОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами принимают вид:

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2,

а общее решение линейного однородного дифференциального уравнения (ДУ) принимает вид:

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

Найти общее решение ДУ

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2.

Характеристическое уравнение этого линейного однородного дифференциального уравнения 4-го порядка выглядит так:

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2.

Обратившись к формуле бинома Ньютона, переписываем характеристическое уравнение как Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2, из чего видим четырехкратный корень k0 = 2.

Т.о., общим решением заданного ЛОДУ с постоянными коэффициентами является:

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2.

3. Когда решениями характеристического уравнения ЛОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами оказываются разные комплексно сопряженные пары Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2, n=2m, тогда линейно независимые частные решения такого линейного однородного дифференциального уравнения принимает вид:

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

а общее решение записывается так:

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

Проинтегрировать ЛОДУ 4-го порядка с постоянными коэффициентами Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2.

Характеристическое уравнение этого линейного однородного дифференциального уравнения:

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2.

Произведя некоторые несложные преобразования и группирования имеем:

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

Откуда находим 2 пары комплексно сопряженных корней характеристического уравнения Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2и Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2. Тогда, общим решением заданного ЛОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами является:

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

4. Когда решениями характеристического уравнения оказываются совпадающие комплексно сопряженные пары Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2, тогда линейно независимые частные решения ЛОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами выглядят так:

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2,

а общим решением этого линейного однородного дифференциального уравнения является:

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2.

Первым шагом записываем характеристическое уравнение этого ЛОДУ с постоянными коэффициентами и определяем его корни:

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

Т.е., решением характеристического уравнения является двукратная комплексно сопряженная пара Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2. Тогда общее решение заданного ЛОДУ с постоянными коэффициентами будет:

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2.

5. Могут возникнуть любые комбинации случаев, описанных выше, т.е., некоторые корни характеристического уравнения ЛОДУ n-ого порядка с постоянными коэффициентами являются действительными и различными, некоторые являются действительными и совпадающими, некоторые являются различными комплексно сопряженными парами и некоторые совпадающими комплексно сопряженными парами.

Найти общее решение ДУ

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2.

Характеристическое уравнение этого ЛОДУ с постоянными коэффициентами выглядит так:

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2.

Многочлен в левой части равенства можно разложить на множители. Из делителей свободного члена вычисляем двукратный корень k1=k2=2 и корень k3=-3. Далее, применяя схему Горнера, приходим к разложению:

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2.

Из квадратного уравнения Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2находим оставшиеся корни Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2.

Т.о., общее решение заданного ЛОДУ с постоянными коэффициентами выглядит как:

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2.

Видео:Видеоурок "Нахождение частных решений по виду правой части"Скачать

Видеоурок "Нахождение частных решений по виду правой части"

Дифференциальные уравнения второго порядка

1) Линейные однородные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами p и q называется уравнение вида

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2(8)

Алгебраическое уравнение k 2 + pk + q = 0 называется характеристическим уравнением для данного дифференциального уравнения, а его корни – характеристическими числами (корнями).

Для нахождения общего решения уравнения (8):

1. Запишем соответствующее характеристическое уравнение

2. В соответствии со знаком дискриминанта возможны три случая:

а) D > 0. Тогда характеристическое уравнение имеет два действительных корня k1 ¹ k2, и общее решение уравнения (8) имеет вид

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2(9)

б) D = 0. Тогда k = k1 = k2 – действительный корень и общее решение уравнения (8) имеет вид

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2(10)

2) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

3) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

1. Запишем характеристическое уравнение k 2 + k – 2 = 0.

Найдем его корни

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2; k1 = –2; k2 = 1.

Так как k1 ¹ k2 – действительные числа, то общее решение находим по формуле (9)

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

2. Запишем характеристическое уравнение k 2 + 2k + 1 = 0.

Найдем его корни

В этом случае общее решение находим по формуле (10)

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

3. Запишем характеристическое уравнение k 2 + 4k + 5 = 0.

Найдем его корни

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2Здесь Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

Общее решение находим по формуле (11)

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

Тест 19. Однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами является уравнение вида:

1) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

2) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

3) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

4) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

5) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

Тест 20. Однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами является:

1) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

2) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

3) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

4) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

5) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

Тест 21. При решении однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2= 0:

1) вводится подстановка вида y = u × v, где u = u(x) и v = v(x) – некоторые неизвестные функции;

2) вводится подстановка вида y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;

3) составляется характеристическое уравнение k 2 + pk + q = 0.

Тест 22. Характеристическое уравнение k 2 + pk + q = 0 имеет два различных действительных корня k1 и k2. Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2имеет вид:

1) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

2) y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;

3) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

4) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

Тест 23. Характеристическое уравнение k 2 + pk + q = 0 имеет комплексные корни Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2Тогда общее решение однородного диф-
ференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2имеет вид:

1) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

2) y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;

3) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

4) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

Тест 24. Характеристическое уравнение k 2 + pk + q = 0 имеет равные корни k1 = k2. Тогда общее решение однородного дифферен-
циального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2имеет вид:

1) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

2) y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;

3) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

4) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

Тест 25. Характеристическое уравнение k 2 + pk + q = 0 имеет комплексные корни Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2Тогда общее решение однородного диф-
ференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2имеет вид:

1) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

2) y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;

3) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

4) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

Тест 26. Характеристическое уравнение k 2 + pk + q = 0 имеет D = 0. Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2имеет вид:

1) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

2) y = u × x, где u = u(x) – некоторая неизвестная функция;

3) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

4) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

Тест 27. Характеристическое уравнение k 2 + pk + q = 0 имеет D 2 + Bx + C и т. д.

Пример 10. Определить вид частного решения уравнения

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

Запишем соответствующее однородное уравнение

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

1. Характеристическое уравнение k 2 – 4k + 3 = 0 имеет корни k1 = 1; k2 = 3.

2. В правой части данного уравнения функция вида (13)

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

3. Здесь a = 2 – не является корнем характеристического уравнения; Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2– многочлен первой степени.

Следовательно, частное решение данного неоднородного уравнения надо искать в виде (14), т. е. Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2= e 2x (Ax + B).

2. Пусть в правой части уравнения (12) функция

f(x) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2(17)

Тогда частное решение уравнения (12) будем искать в виде решений, приведенных в таблице 5.

Если a ± bi не являются корнями соответствующего характеристического уравненияЕсли a ± bi – корни характеристического уравнения
Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2(18) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2(19)

Пример 11. Определить вид частного решения уравнения

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

Запишем соответствующее однородное уравнение

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

1. Характеристическое уравнение k 2 + 4k – 2 = 0 имеет корни Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

2. В правой части данного уравнения функция вида (17)
f(x) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2т. е. f(x) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

3. Здесь a = 0; b = 2. Составленные из этих значений комплексные числа a ± bi = 0 ± 2i не являются корнями характеристического уравнения.

Следовательно, частное решение данного неоднородного уравнения надо искать в виде (18), т. е. Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2или Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

Тест 34. Характеристическое уравнение k 2 – 4k + 3 = 0, соответ-
ствующее однородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2имеет корни k1 = 1; k2 = 3. Тогда частное решение соответствующего неоднородного уравнения Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2имеет вид:

1) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

2) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

3) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

4) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

5) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

Тест 35. Характеристическое уравнение k 2 – 4k + 4 = 0, соответ-
ствующее однородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2имеет корень k = 2. Тогда частное решение соответствующего неоднородного уравнения Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2имеет вид:

1) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

2) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

3) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

4) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

5) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

После того, как вид частного решения определен, методом неопределенных коэффициентов находим коэффициенты A и B.

Ответы на тестовые задания

Номер теста
Правильный ответ

Ряды

Числовые ряды

Пусть дана числовая последовательность Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2.

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2(1)

называется числовым рядом, или просто рядом.

Числа Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2называются членами ряда, член an с произвольным номером – общим членом ряда.

Суммы конечного числа членов ряда Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2 Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2 Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2…, Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2… называются частичными суммами ряда (1). Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность частичных сумм

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2(2)

Пример 1. Пусть дана числовая последовательность

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2. (3)

Тогда последовательность Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2будет иметь вид

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2 Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2 Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2…, Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

Последовательности (3) соответствует ряд

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2(4)

Пример 2.Рассмотрим ряд

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2(5)

Найдем его частичную сумму Sn. Имеем

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

Его частичную сумму можно упростить, если заметить, что

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

Тест 1. Определить второй член ряда Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

1) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

2) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

3) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

4) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

5) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (2) сходится к какому-нибудь числу S, которое называется суммой ряда (1). Символически

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

Если же последовательность частичных сумм (2) расходится, то ряд (1) называется расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Тест 2.Определить частичную сумму S3 ряда 1 + Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2+ Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2+ Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2+… :

1) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

2) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

3) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

4) Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

Простейшими примерами числовых рядов, вопрос о сходимости которых решен, являются следующие ряды:

1. Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2геометрический ряд, который при Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2 1 сходится, при α ≤ 1 расходится.

Пример 3.Исследовать сходимость ряда Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2+ Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2+ Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2+…+ Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2+… .

Это геометрический ряд, так как q = Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 21;

5) при Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

Корни характеристического уравнения равны k1 2 1 i k3 k4 2

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку.

🌟 Видео

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентамСкачать

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентам

Решение однородного дифференциального уравнения. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Решение однородного дифференциального уравнения. Практическая часть. 11 класс.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1

Однородное линейное дифференциальное уравнение. Алгоритм решенияСкачать

Однородное линейное дифференциальное уравнение. Алгоритм решения

ОДУ. 3 Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентамиСкачать

ОДУ. 3 Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

ЛНДУ II п. со спец. правой ч. (sin, cos)Скачать

ЛНДУ II п.  со спец.  правой ч.  (sin, cos)

Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 порядка решают студентыСкачать

Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 порядка решают студенты

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Пример решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 порядкаСкачать

Пример решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 2 порядка

Решите уравнение ★ y'-2y=e^(2x) ★ Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядкаСкачать

Решите уравнение ★ y'-2y=e^(2x) ★ Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.Скачать

Линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

2214 ЛНДУ. Правая часть - многочлен, среди корней характеристического уравнения нет нулей.Скачать

2214 ЛНДУ. Правая часть - многочлен, среди корней характеристического уравнения нет нулей.

16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

15. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

15. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Дифференциальные уравнения, 8 урок, Линейные дифференциальные уравнения с const коэф-ами 2 порядкаСкачать

Дифференциальные уравнения, 8 урок, Линейные дифференциальные уравнения с const коэф-ами 2 порядка

Решение линейного однородного дифференциального уравнения. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Решение линейного однородного дифференциального уравнения. Практическая часть. 11 класс.
Поделиться или сохранить к себе: