Условие
Известна точка пересечения диагоналей квадрата K(2,5; 4,5)
и уравнение одной из его сторон
x -4y + 24 = 0
. Найти
координаты вершин квадрата и составить уравнения его
диагоналей.
Все решения
Уравнение стороны запишем в виде
y=(1/4)x+6
k=1/4
tg α =1/4
Тогда
уравнение диагонали:
y=k_(1)x+b
tg β =k_(1)
tg( β — α )=(tg β -tg α )/(1+tg β *tg α )
y=(5/3)x+b — уравнение диагонали
Подставим координаты точки К
Диагонали взаимно перпендикулярны.
Значит уравнение второй диагонали
y=(-3/5)x+b
Подставим координаты точки К
4,5=(-3/5)*2,5+b
b=6
Координаты одной вершины получим как координаты точки пересечения стороны х-4у+24=0 и диагонали у=(5/3)х+(1/3)
<х-4у+24=0
<у=(5/3)х+(1/3)
x=4
y=7
Координаты второй вершины получим как координаты точки пересечения стороны х-4у+24=0 и диагонали у=(-3/5)х+6
<х-4у+24=0
<у=(-3/5)х+6
x=0
y=6
Координаты двух других точек можно найти из симметрии.
Видео:Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать
Уравнение квадрата в декартовой системе координат.
Проанализируем расположение квадрата на координатной плоскости.
В общем случае уравнение квадрата в декартовой (прямоугольной) системе координат принимает вид:
где точка О`(a;b) – точка пересечения диагоналей квадрата;
d – длина диагонали квадрата.
В частном случае, когда точка О(0;0) — начала координат, является одновременно и точкой пересечения диагоналей квадрата, уравнение квадрата принимает вид:
где d– длина диагонали квадрата.
Видео:№973. Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнениеСкачать
Раздел 1
Задача. Пусть точка А(1; 3) — вершина квадрата ABCD, а его диагональ BD лежит на прямой х + 2у — 12 = 0. Найти:
а) координаты вершин В, С и D;
b) уравнения сторон АВ, ВС, CD и AD.
Указание. Из школьного курса геометрии известны следующие свойства диагоналей квадрата, которые будут использованы при решении этой задачи.
Диагонали квадрата: 1) взаимно перпендикулярны; 2) делятся точкой своего пересечения — центром квадрата — пополам; 3) равны.
Решение: 1. Найдем уравнение прямой, на которой лежит АС — вторая диагональ квадрата. Вспомним, что уравнение любой невертикальной прямой может быть приведено к виду у = kx + b, где параметр k — угловой коэффициент этой прямой.
В силу свойства диагоналей квадрата угловые коэффициенты =-0,5 и kBD прямых АС и BD связаны соотношением
Найдем угловой коэффициент kBD. Для этого выразим у через х из данного уравнения прямой BD: 2у = — х + 12, откуда у =-0,5 х + 6. Итак, kBD =-0,5. Поэтому из соотношения (1) получим, что kAC=2.
Теперь уже легко найти уравнение прямой АС. Нам известны координаты ее точки А и угловой коэффициент kAC. Используем уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:
Подставим в это уравнение числовые данные нашей задачи: xA = 1, уА = 3, kAC=2. Получим у — 3 = 2(х — 1) или (после упрощений)
AC: у = 2х + 1.
2. С помощью свойства 2) диагоналей квадрата найдем координаты центра Е квадрата — точки пересечения его диагоналей.
Поскольку точка Е лежит на диагонали АС, ее координаты удовлетворяют уравнению прямой АС; аналогично рассуждая, получим, что координаты точки Е должны одновременно удовлетворять и уравнению прямой BD. Таким образом, координаты точки Е должны удовлетворять системе из уравнений прямых АС и BD
(первое — уравнение прямой АС, второе — прямой BD).
Далее, вычитая второе уравнение из первого, получим: 0=2,5x-5. Значит х = 2. Подставим найденное значение х в любое из уравнений системы, например, в первое. Найдем, что у = 5.
Итак, мы нашли координаты точки Е, центра квадрата: хЕ = 2, уЕ = 5, т.е. Е(2; 5).
3. Найдем длину отрезка АЕ — половину диагонали квадрата, а затем воспользуемся тем, что и остальные вершины квадрата находятся от его центра E на таком же расстоянии (свойства 2) и 3) диагоналей), т.е. что все вершины квадрата лежат на окружности радиуса АЕ с центром в точке Е
|
|
Подставив в правую часть этой формулы числовые значения координат точек А и Е, получим, что
Уравнение окружности радиуса АЕ с центром в точке Е записывается в виде
Подставив в него числовые значения радиуса АЕ и координат центра Е, получим уравнение окружности, проходящей через все вершины квадрата:
Теперь с помощью простого рассуждения находим по очереди координаты всех вершин квадрата.
Точки А и С лежат на пересечении найденной окружности и прямой АС, это общие точки указанных окружности и прямой. Значит, координаты этих точек — решения системы уравнений окружности и прямой:
Координаты вершины А мы знаем, поэтому будем искать вершину С.
Подставим во второе уравнение системы вместо у его выражение 2х + 1 из первого уравнения. Получим:
(х — 2) 2 + (2х + 1 — 5) 2 = 5,
откуда (х — 2) 2 + (2х — 4) 2 = 5, поэтому (х — 2) 2 + 4(х — 2) 2 = 5, т.е. 5(х — 2) 2 = 5, значит (х — 2) 2 = 1. Если квадрат числа равен 1, это число равно либо 1, либо (-1). Поэтому х — 2 = 1 и тогда х = 3, либо х — 2 = -1 и тогда х = 1.
Во втором случае мы получили известную нам абсциссу вершины А (а из первого уравнения системы получим ординату этой вершины), а первый случай дает нам абсциссу вершины С: хС = 3. Тогда из первого уравнения системы найдем ординату вершины С: уС = 2×3 + 1 = 7. Итак, найдена вершина С(3; 7).
Аналогично, для нахождения координат вершин В и D надо решить систему, состоящую из уравнений прямой BD и той же окружности:
Выразим из первого уравнения х через у: х = 12 — 2у.и подставим полученное выражение во второе уравнение системы. Получим (аналогично решению предыдущей системы) 4(у — 5) 2 + (у — 5) 2 = 5, откуда либо у — 5 = 1 и тогда у = 6, либо у — 5 = -1 и тогда у = 4.
При у = 6 первое уравнение системы дает х = 12 — 2у = 12 — 12 = 0, а при у= 4 аналогично получаем, что х = 4.
Итак, получены два решения системы, пары (0; 6) и (4; 4). Одно из этих решений — координаты точки В, а второе — точки D. Поскольку обе эти вершины совершенно равноправны, мы можем любую из них обозначить буквой В, тогда вторая будет вершиной D. Вся разница в том, идут ли вершины А, В, С и D в порядке обхода контура квадрата по или против часовой стрелки, что для решения нашей задачи безразлично; просто надо выбрать одно из этих направлений произвольно.
Мы будем считать, что вершины квадрата таковы: B(0; 6); D(4; 4).
4. Нам осталось найти уравнения сторон квадрата. Для этого вспомним уравнение прямой, проходящей через точки М(хМ; уМ) и N(xN; yN):
(2)
и подставим в него координаты соответствующих вершин квадрата.
Уравнение прямой АВ получим, если в формуле (2) вместо точек М и N возьмем точки А и В:
.
Подставляя в это уравнение координаты вершин А(1; 3) и В(0; 6), находим:
или y-3=-3(x-1), откуда y=-3x+6.
Аналогично получаем уравнения других сторон. Теперь можно сделать чертеж.
Ответ: а) В(0; 6); С(3; 7); D(4; 4);
BC: 
DA: 
Замечание. Если иначе выбрать точки B и D (cм. п.3 решения), в ответе надо поменять местами: в п. а) — координаты точек В и D; в п. b) — уравнения прямых АВ и CD, а также уравнения прямых ВС и CD.
Дата добавления: 2014-12-02 ; просмотров: 1393 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
📽️ Видео
Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать
№933. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если А (0; 0), B (5; 0), С (12; -3.).Скачать
№931. Начертите квадрат MNPQ так, чтобы вершина Р имела координаты (-3; 3), а диагонали квадратаСкачать
Вычисляем угол через координаты вершинСкачать
Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать
Метод координат. Как найти медиану треугольника, если известны координаты его вершин?Скачать
Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACDСкачать
№974. Даны координаты вершин трапеции ABCD: А (-2; -2), В (-3; 1). Напишите уравненияСкачать
143 Координаты вершин квадрата (250)Скачать
Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать
Всё о квадратичной функции. Парабола | Математика TutorOnlineСкачать
КАК НАЙТИ ВЕРШИНУ ПАРАБОЛЫСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать
Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершинСкачать
Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать
Найдите длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a=(1;-1;-4) и b=(-5;3;8)Скачать
ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ. Контрольная № 3 Геометрия 9 класс.Скачать
