Контрольные работы по системам линейных алгебраических уравнений

Системы линейных уравнений

Задание: Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса.

Цель: формирование умения решать системы линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

5.1. Изучите теоретические основы решения системы линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса.

5.2. Решите систему уравнений, используя правило Крамера:

5.3. Решите систему линейных уравнений по методу Гаусса:

5.4. Фирма для перевозки грузов может заказывать машины трех видов. Если она закажет по одной машине каждого вида, то перевезёт 12 тонн груза. Если закажет по две машины первого и второго вида и одну машину третьего вида, то перевезёт 19 тонн груза. Если же фирма закажет по две машины первого и третьего вида и одну машину второго вида, то перевезёт 20 тонн груза. Какова грузоподъемность каждого вида машин?

Методические указания по выполнению работы:

Для решения систем линейных уравнений применяют правило Крамера и метод Гаусса.

1. Правило Крамера решения системы линейных уравнений с неизвестными.

Система линейных уравнений с неизвестными имеет единственное решение, если определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля:

где — определитель, полученный из определителя заменой столбца коэффициентов при столбцом свободных членов;

— определитель, полученный из определителя заменой столбца коэффициентов при столбцом свободных членов;

— определитель, полученный из определителя заменой столбца коэффициентов при столбцом свободных членов.

Пример 1.

Решите систему уравнений по правилу Крамера:

Решение:

Составим определитель из коэффициентов при неизвестных и вычислим его:

Определитель отличен от 0, следовательно, система имеет единственное решение. Для его нахождения вычислим , и :

По правилу Крамера найдем неизвестные:

Замечание. Для проверки правильности решения системы уравнений необходимо подставить найденные значения неизвестных в каждое из уравнений данной системы. При этом, если все уравнения обратятся в тождества, то система решена верно.

Истинно.

Итак, решение системы найдено правильно.

Ответ:

2. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

1. Составьте расширенную матрицу системы — матрицу, состоящую из коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов.
2. С помощью элементарных преобразований приведите полученную матрицу к ступенчатому виду.
3. Восстановите систему линейных уравнений, равносильную исходной, начиная с последнего уравнения, и найдите значения неизвестных.

Метод Гаусса является более универсальным, чем правило Крамера, так как позволяет находить решения в следующих случаях:

1. число уравнений не равно числу неизвестных.
2. если в правиле Крамера .

Ответ на вопрос о существовании и количестве решений системы линейных уравнений дает теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности системы линейных уравнений): система линейных уравнений с неизвестными совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы (матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных) равен рангу расширенной матрицы , причем:

1. если (ранг матрицы равен числу неизвестных), то система имеет единственное решение;
2. если (ранг матрицы меньше числа неизвестных), то система имеет бесконечное множество решений.

Все возможные случаи решения системы линейных уравнений (одно решение, нет решений, множество решений) разобраны в примерах 2-4.

Пример 2.

Решите систему уравнений методом Гаусса:

Решение:

Выпишем расширенную матрицу системы и приведем её к ступенчатому виду:

Поменяем местами первую и третью строки матрицы, что равносильно перестановке первого и третьего уравнений системы. Это позволит нам избежать появления дробных коэффициентов
при последующих вычислениях.

Первую строку полученной матрицы умножаем последовательно на (-2) и (-3) и сложим соответственно со второй и третьей строками, при этом будет иметь вид:

Для упрощения вычислений умножим третью строку на (-0,1) и поменяем ее местами со второй строкой. Тогда получим:

Далее, умножая вторую строку матрицы на 9 и складывая с третьей, окончательно получим:

Восстановим из полученной матрицы систему уравнений, равносильную данной, начиная с последнего уравнения:

Из последнего уравнения находим: .

Подставим во второе уравнение системы: .

После подстановки и в первое уравнение получим: ; . Итак, .

Следовательно, решение системы найдено верно.

Ответ: .

Пример 3.

Найдите все решения системы линейных уравнений:

Решение:

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду.

Домножим первую строку на (-2) и сложим ее со второй строкой:

Сложим первую и третью строки:

Домножим вторую строку на 2 и сложим ее с третьей строкой:

Вычеркнем нулевую строку:

Видим, что ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен двум. Следовательно, в силу критерия Кронеккера-Капелли, система имеет решения. Так как ранг матрицы (два) меньше числа неизвестных (три), то система имеет бесчисленное множество решений. Найдем эти решения.

Восстановим систему уравнений, равносильную исходной:

Пусть — свободная переменная, которая может принимать любые числовые значения. Выразим из первого уравнения : .

Подставим данное выражение во второе уравнение:

Такое решение будем называть общим решением системы. Запишем общее решение системы в виде тройки чисел: .

Ответ: .

Пример 4.

Докажите, что система линейных уравнений не имеет решений:

Решение:

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду.

Домножим первую строку на (-3) и сложим ее со второй строкой:

Домножим первую строку на 2 и сложим ее с третьей строкой:

Сложим вторую и третью строки:

Видим, что ранг основной матрицы (2) не равен рангу расширенной матрицы (3). Следовательно, в силу критерия Кронеккера-Капелли, система не имеет решений.

На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:

Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:Контрольная работа №7 по алгебре, 7 класс. Система линейных уравненийСкачать

Контрольная работа «Методы решения систем линейных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Контрольная работа №1

Системы линейных уравнений ТЕМА 1. Системы линейных уравнений.

Матрицы и действия с ними.

Определители и их основные свойства.

Методы решения систем линейных уравнений.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учеб. для вузов.-5-е изд., стер. — М.: Физматлит, 2002. – 317 с.

Беклемишев Д. В. Курс линейной алгебры и аналитической геометрии: — М.: Физматлит, 2003. – 303 с.

Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии: Учеб. пособие для втузов / ред. Ефимов Н. В. – 17-е изд., стер. – СПб: Профессия, 2001. – 199 с.

Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб.для вузов: в 3т.-5-е изд., стер.-М.:Дрофа.- (Высшее образование. Современный учебник). т.1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.-2003.-284 с.

Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (с решениями): в 2 ч./ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я -6-е изд..-М.: ОНИКС 21 век, ч.1. -2002.-304 с.

Решение типового варианта контрольной работы.

Задача 1. Вычислить определитель .

Решение. Для вычисления определителя третьего порядка будем использовать известную формулу Саррюса (правило треугольников), которое может быть записано следующей формулой:

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

Решим систему матричным способом, для этого вычислим обратную матрицу , где — алгебраические дополнения к элементам матрицы.

— матрица невырожденная.

Решим систему методом Крамера. Главный определитель системы:

. Разложим определитель по элементам первой строки, пользуясь формулой .

Запишем и вычислим вспомогательные определители

Тогда

Ответ:

Решим систему методом Гаусса, для этого составим расширенную матрицу системы и упростим ее приведением к треугольному виду.

  

Таким образом, система равносильна системе

Находим

Ответ: , ,

При решении всеми методами одной и той же системы, мы получим один ответ.

Задача 3. Выполнить действия:

Решение. Выполним решение по действиям.

=

.

.

Ответ: .

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Если , , то произведением матрицы называется матрица , такая, что , где .

Пример:

Произведение не определено, так как число столбцов матрицы А (3) не совпадает с числом строк матрицы В (2).

Произведение определено.

Контрольная работа №1.

Задача 1. Вычислить определитель:

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

Задача 3. Выполнить действия:

Контрольная работа №1.

Задача 1. Вычислить определитель:

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

Задача 3. Выполнить действия:

Контрольная работа №1.

Задача 1. Вычислить определитель:

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

Задача 3. Выполнить действия:

Контрольная работа №1.

Задача 1. Вычислить определитель:

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

Задача 3. Выполнить действия:

Контрольная работа №1.

Задача 1. Вычислить определитель:

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

Задача 3. Выполнить действия:

Контрольная работа №1.

Задача 1. Вычислить определитель:

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

Задача 3. Выполнить действия:

Контрольная работа №1.

Задача 1. Вычислить определитель:

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

Задача 3. Выполнить действия:

Контрольная работа №1.

Задача 1. Вычислить определитель:

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

Задача 3. Выполнить действия:

Контрольная работа №1.

Задача 1. Вычислить определитель:

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

Задача 3. Выполнить действия:

Контрольная работа №1.

Задача 1. Вычислить определитель:

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

Задача 3. Выполнить действия:

Контрольная работа №1.

Задача 1. Вычислить определитель:

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

Задача 3. Выполнить действия:

Контрольная работа №1.

Задача 1. Вычислить определитель:

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

Задача 3. Выполнить действия:

Контрольная работа №1.

Задача 1. Вычислить определитель:

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

Задача 3. Выполнить действия:

Контрольная работа №1.

Задача 1. Вычислить определитель:

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

Задача 3. Выполнить действия:

Контрольная работа №1.

Задача 1. Вычислить определитель:

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

Задача 3. Выполнить действия:

Контрольная работа №1.

Задача 1. Вычислить определитель:

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

Задача 3. Выполнить действия:

Контрольная работа №1.

Задача 1. Вычислить определитель:

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

Задача 3. Выполнить действия:

Контрольная работа №1.

Задача 1. Вычислить определитель:

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

Задача 3. Выполнить действия:

Контрольная работа №1.

Задача 1. Вычислить определитель:

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

Задача 3. Выполнить действия:

Контрольная работа №1.

Задача 1. Вычислить определитель:

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

Задача 3. Выполнить действия:

Контрольная работа №1.

Задача 1. Вычислить определитель:

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

Задача 3. Выполнить действия:

Контрольная работа №1.

Задача 1. Вычислить определитель:

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

Задача 3. Выполнить действия:

Контрольная работа №1.

Задача 1. Вычислить определитель:

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

Задача 3. Выполнить действия:

Контрольная работа №1.

Задача 1. Вычислить определитель:

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

Задача 3. Выполнить действия:

Контрольная работа №1.

Задача 1. Вычислить определитель:

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

Задача 3. Выполнить действия:

Контрольная работа №1.

Задача 1. Вычислить определитель:

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.

Задача 3. Выполнить действия:

Контрольная работа №1.

Задача 1. Вычислить определитель:

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера

Задача 3. Выполнить действия:

Контрольная работа №1.

Задача 1. Вычислить определитель:

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера

Задача 3. Выполнить действия:

Контрольная работа №1.

Задача 1. Вычислить определитель:

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера

Задача 3. Выполнить действия:

Контрольная работа №1.

Задача 1. Вычислить определитель:

Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера

Видео:СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Контрольная №7. 7 классСкачать

Мерзляк 7 класс Контрольная 7

Контрольная работа по алгебре в 7 классе «Системы линейных уравнений с двумя переменными» для УМК Мерзляк, Полонский, Якир. Ответов нет. Алгебра. Мерзляк 7 класс Контрольная 7 (4 варианта).

Алгебра 7 класс (УМК Мерзляк)
Контрольная работа № 7

Системы линейных уравнений с двумя переменными

Вариант 1

1. Решите методом подстановки систему уравнений
   < х + 3у = 13,
   < 2х + у = 6.
2. Решите методом сложения систему уравнений
   < 2х + 3у = 7,
   < 7x – 3y = 11
3. Решите графически систему уравнений
   < х + у = 5,
   < 4х – у = 10.
4. За 5 кг огурцов и 4 кг помидоров заплатили 220 р. Сколько стоит килограмм огурцов и сколько стоит килограмм помидоров, если 4 кг огурцов дороже кило грамма помидоров на 50 р.?
5. Решите систему уравнений:
   1) < 6х + 11у = 107,
   < 5х – 2у = 11;
   2) < 5х – 6у = 9,
   < 15х – 18у = 26.
6. При каком значении а система уравнений
   < 4х – aу = 3,
   < 20х + 10у = 15
   имеет бесконечно много решений?

Вариант 2

1. Решите методом подстановки систему уравнений
   < х + 5у = 15,
   < 2х – у = 8.
2. Решите методом сложения систему уравнений
   < 4х – 7у = 1,
   < 2x + 7y = 11.
3. Решите графически систему уравнений
   < х – у = 3,
   < 3х – у = 13.
4. Масса 2 слитков олова и 5 слитков свинца равна 33 кг. Какова масса слитка олова и какова масса слитка свинца, если масса 6 слитков олова на 19 кг больше массы слитка свинца?
5. Решите систему уравнений:
   1) < 5х – 3у = 21,
   < 3х + 2 у = 5;
   2) < 2х – 3у = 2,
   < 8х – 12у = 7.
6. При каком значении а система уравнений
   < 3х + ау = 4,
   < 6х – 2у = 8
   имеет бесконечно много решений?

Вариант 3

1. Решите методом подстановки систему уравнений
   < 2х + у = 3,
   < 3х + 2у = 2.
2. Решите методом сложения систему уравнений
   < 4х + 5у = 2,
   < 3х – 5у = 19.
3. Решите графически систему уравнений
   < х + у = 4,
   < х – 2у = –2.
4. За 8 тетрадей и 5 ручек заплатили 171 р. Сколько стоит тетрадь и сколько стоит ручка, если 3 тетради дороже ручки на 21 р.?
5. Решите систему уравнений:
   1) < 7х – 3у =–5,
   < 3х + 4у = –18;
   2) < 3х + 7у = 9,
   < 6х +14у = 20.
6. При каком значении а система уравнений
   < х + 2у = 6,
   < 3х – ау = 18
   имеет бесконечно много решений?

Вариант 4

1. Решите методом подстановки систему уравнений
   < х – 2у = 14,
   < 2х + 5у = 1.
2. Решите методом сложения систему уравнений
   < 7х – у = 10,
   < 5x + y = 2.
3. Решите графически систему уравнений
   < х – у = –3,
   < x + 3y = 1.
4. Масса 8 пакетов муки и 3 пакетов сахара равна 30 кг. Какова масса пакета муки и какова масса пакета сахара, если масса 5 пакетов муки на 13 кг больше массы пакета сахара?
5. Решите систему уравнений:
   1) < 7х + 6у = 29,
   < 3х – 5у = 20;
   2) < 4х + 5у = 12,
   < 8х + 10у = 22.
6. При каком значении а система уравнений
   < 2х + 3у = 5,
   < ах – 6у = –10
   имеет бесконечно много решений?

Вы смотрели: Алгебра. Мерзляк 7 класс Контрольная 7 в 4-х вариантах. Контрольная работа по алгебре «Системы линейных уравнений с двумя переменными» по УМК Мерзляк, Полонский, Якир. Цитаты из пособия «Алгебра 7 класс. Методическое пособие / Е.В. Буцко и др.» использованы в учебных целях.

Видео:ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Мерзляк 7 класс Контрольная 7: 1 комментарий

Можно ответы на 1и 2 вариант

Добавить комментарий Отменить ответ

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.

Видео:Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Предметы

Видео:7 класс. Системы линейных уравнений. Способ сложения. Решение контрольной работы А1-А2. Ершова А.П.Скачать

Новые работы

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Найти контрольную:

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Авторы работ и УМК

Видео:9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

Предметы

Видео:Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать

Важные страницы

Соглашение о конфиденциальности

(с) 2020-2022. Дистанционный информационный Центр НПИ (г.Москва). Бесплатная помощь школьникам, находящимся на домашнем или семейном обучении. Цитаты из учебных пособий размещены в учебных целях. Контакты: kip1979@mail.ru

Видео:Контрольная работа 1 "Линейные уравнения" вариант 1. Алгебра 7 класс. Мерзляк. РешениеСкачать

Популярное

Видео:Подготовка к контрольной работе "Матрицы и системы линейных уравнений"Скачать

Предупреждение

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, пользовательских данных (сведения о местоположении; тип и версия ОС; тип и версия Браузера; тип устройства и разрешение его экрана; источник откуда пришел на сайт пользователь; с какого сайта или по какой рекламе; язык ОС и Браузера; какие страницы открывает и на какие кнопки нажимает пользователь; ip-адрес) в целях функционирования сайта, проведения ретаргетинга и проведения статистических исследований и обзоров. Если вы не хотите, чтобы ваши данные обрабатывались, покиньте сайт.

🎥 Видео

Подготовка к 9 контрольной работе (системы линейных уравнений ) , алгебра 7.Скачать

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать

Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Контрольная работа 1Скачать

7 класс. Контрольная №9 (из 10). Тема: Системы линейных уравнений. Разбираемся в методах! :)Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать