Контрольные работы по дифференциальным уравнениям (6 видео)

Содержание

Контрольные по дифференциальным уравнениям: примеры оформления
Контрольная работа № 5 Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Дифференциальные уравнения (варианты)
Вариант 2
Вариант 5
🔍 Видео

Видео:Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

Контрольные по дифференциальным уравнениям:
примеры оформления

Ниже представлены некоторые работы по дифференциальным уравнениям, выполненные в МатБюро. Оформляем подробно: назван тип уравнения, комментируется ход решения, выписываются все интегралы, находится общее решение/интеграл или решение задачи Коши.

Контрольная по дифференциальным уравнениям 1
Объем 15 страниц.
Темы: ДУ первого порядка, линейные и нелинейные ДУ, однородные ДУ, ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами, системы ДУ.
Контрольная по дифференциальным уравнениям 2
Объем 5 страниц.
Темы: ДУ высшего порядка, определитель Вронского.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Контрольная работа № 5 Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Контрольная работа № 5

Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

1.1. Однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

2. Найти частное решение

Составим характеристическое уравнение:

Его корни равны:

Следовательно, общее решение имеет вид:

Найдем

С учетом начальных условий получим систему:

Тогда частное решение исходного уравнения примет вид:

Составим характеристическое уравнение:

Его корни равны:

Следовательно, общее решение имеет вид:

Найдем

С учетом начальных условий получим систему:

Тогда частное решение исходного уравнения примет вид:

5. Найти частное решение

Составим характеристическое уравнение:

Его корни равны:

Следовательно, общее решение имеет вид:

Найдем

С учетом начальных условий получим систему:

Тогда частное решение исходного уравнения примет вид:

Составим характеристическое уравнение:

Его корни равны:

Следовательно, общее решение имеет вид:

Найдем

С учетом начальных условий получим систему:

Тогда частное решение исходного уравнения примет вид:

7. Найти частное решение

Составим характеристическое уравнение:

Его корни равны:

Следовательно, общее решение имеет вид:

Найдем

С учетом начальных условий получим систему:

Тогда частное решение исходного уравнения примет вид:

Составим характеристическое уравнение:

Его корни равны:

Следовательно, общее решение имеет вид:

Найдем

С учетом начальных условий получим систему:

Тогда частное решение исходного уравнения примет вид:

1.2. Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

2. Найти частные решения, удовлетворяющие начальным условиям.

Искомое решение имеет вид:

Составим характеристическое уравнение:

Его корни равны:

Следовательно, общее решение имеет вид:

выберем в виде:

И подставляем в левую часть уравнения:

Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:

Найдем :

И подставим в начальные условия:

Тогда частное решение окончательно примет вид:

Искомое решение имеет вид:

Составим характеристическое уравнение:

Его корни равны:

Следовательно, общее решение имеет вид:

выберем в виде:

И подставляем в левую часть уравнения:

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:

Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:

Найдем :

И подставим в начальные условия:

Тогда частное решение окончательно примет вид:

5. Найти частные решения, удовлетворяющие начальным условиям.

Искомое решение имеет вид:

Составим характеристическое уравнение:

Его корни равны:

Следовательно, общее решение имеет вид:

выберем в виде:

И подставляем в левую часть уравнения:

Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:

Найдем :

И подставим в начальные условия:

Тогда частное решение окончательно примет вид:

Искомое решение имеет вид:

Составим характеристическое уравнение:

Его корни равны:

Следовательно, общее решение имеет вид:

выберем в виде:

И подставляем в левую часть уравнения:

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:

Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:

Найдем :

И подставим в начальные условия:

Тогда частное решение окончательно примет вид:

7. Найти частные решения, удовлетворяющие начальным условиям.

Искомое решение имеет вид:

Составим характеристическое уравнение:

Его корни равны:

Следовательно, общее решение имеет вид:

выберем в виде:

И подставляем в левую часть уравнения:

Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:

Найдем :

И подставим в начальные условия:

Тогда частное решение окончательно примет вид:

Искомое решение имеет вид:

Составим характеристическое уравнение:

Его корни равны:

Следовательно, общее решение имеет вид:

выберем в виде:

И подставляем в левую часть уравнения:

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:

Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:

Найдем :

И подставим в начальные условия:

Тогда частное решение окончательно примет вид:

Контрольная работа № 6

Ряды, их применение.

Раздел 1. Числовые ряды.

2. Выписать три первых члена и исследовать сходимость числовых рядов:

Используем признак Даламбера:

Т. к. предел меньше единицы, то ряд сходится.

Применим интегральный признак Коши:

Т. к. интеграл существует, то ряд сходится.

5. Выписать три первых члена и исследовать сходимость числовых рядов:

Используем признак Даламбера:

Т. к. предел меньше единицы, то ряд сходится.

Применим интегральный признак Коши:

Т. к. интеграл не существует, то ряд расходится.

7. Выписать три первых члена и исследовать сходимость числовых рядов:

Используем признак Даламбера:

Т. к. предел меньше единицы, то ряд сходится.

Применим интегральный признак Коши:

Т. к. интеграл существует, то ряд сходится.

Раздел 2. Степенные ряды.

2. Найти область сходимости и проверить сходимость на границах интервала:

Значит область сходимости

Проверим сходимость на правой границе интервала:

Значит, границы включаются в область сходимости

Значит область сходимости

Проверим сходимость на правой границе интервала:

Значит, границы включаются в область сходимости

5. Найти область сходимости и проверить сходимость на границах интервала:

Значит область сходимости

Проверим сходимость на правой границе интервала:

Значит, границы включаются в область сходимости

Значит область сходимости

Проверим сходимость на правой границе интервала:

Значит, границы включаются в область сходимости

7. Найти область сходимости и проверить сходимость на границах интервала:

Значит область сходимости

Проверим сходимость на правой границе интервала:

Значит, границы включаются в область сходимости

Значит область сходимости

Проверим сходимость на правой границе интервала:

Значит, границы включаются в область сходимости

Раздел 3. Приложение степенных рядов.

3.1. Приближенное вычисление определенных интегралов.

2. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001

5. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001

7. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001

3.2. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.

2. Найти три первых значащих члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения с заданным начальным условием:

Решение ищем в виде:

Необходимо найти 3 члена ряда отличных от нуля.

Из начального условия следует

Подставляем начальное условие в правую часть исходного уравнения:

Продифференцируем решение в виде ряда:

И так как

Продифференцируем левую и правую часть исходного уравнения:

С другой стороны,

Сравнивая значения

Таким образом, искомое решение в виде ряда имеет вид:

5. Найти три первых значащих члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения с заданным начальным условием:

Решение ищем в виде:

Необходимо найти 3 члена ряда отличных от нуля.

Из начального условия следует

Подставляем начальное условие в правую часть исходного уравнения:

Продифференцируем решение в виде ряда:

И так как

Продифференцируем левую и правую часть исходного уравнения:

С другой стороны,

Сравнивая значения

7. Найти три первых значащих члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения с заданным начальным условием:

Решение ищем в виде:

Необходимо найти 3 члена ряда отличных от нуля.

Из начального условия следует

Подставляем начальное условие в правую часть исходного уравнения:

Продифференцируем решение в виде ряда:

И так как

Продифференцируем левую и правую часть исходного уравнения:

С другой стороны,

Сравнивая значения

Таким образом, искомое решение в виде ряда имеет вид:

Видео:Контрольная работа Дифференциальные уравнения Задача1Скачать

Дифференциальные уравнения (варианты)

Это уравнение вида — линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим

или

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим откуда

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Возвращаясь к функции у, получим

Используем условие . Тогда , Окончательно

Ответ:

Решим соответствующее однородное уравнение

Составим характеристическое уравнение Его корни

Так как его корни действительные и есть кратные, общее решение однородного уравнения имеет вид .

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде , тогда , . Подставим в исходное , . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:

Тогда частное решение

Общее решение неоднородного примет вид:

Продифференцируем по х второе уравнение

Исключая с помощью первого уравнения и с помощью второго уравнения системы, получим

, ,

Таким образом, задача свелась к линейному неоднородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Решим соответствующее однородное уравнение.

Характеристическое уравнение имеет корни и . Следовательно, общее решение для х будет .

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде , тогда , .

Подставим в исходное , , . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:

Тогда частное решение

Общее решение неоднородного примет вид:

Из второго уравнения

Ответ:

Видео:Контрольная работа. Уравнения с МОДУЛЕМСкачать

Вариант 2

Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: . Интегрируем:

Посчитаем интегралы отдельно:

Тогда: или

Ответ:

или

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим откуда

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Возвращаясь к функции у, получим

Используем условие . Тогда , Окончательно

Ответ:

Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки , тогда .

Отсюда — линейное дифференциальное уравнение. Приведём к виду: ,

Замена где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим

или

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Возвращаясь к функции у, получим

Ответ:

Решим соответствующее однородное уравнение

Составим характеристическое уравнение Его корни

Так как его корни действительные и есть кратные, общее решение однородного уравнения имеет вид .

Тогда частное решение

Общее решение неоднородного примет вид:

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r3-3r2+4= 0

Корни характеристического уравнения:

R1 = -1 и корень характеристического уравнения r2 = 2 кратности 2.

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e-x, y2 = e2x, y3 = xe2x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть: f(x) = (2•x-3)•e-x

Уравнение имеет частное решение вида:

Y’ =

Y» =

Y»’ =

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

-3+4=

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Частное решение имеет вид:

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Корни характеристического уравнения:r1 = -4, r2 = 0, r3 = 4

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

Y1 = e-4x, y2 = e0x, y3 = e4x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Правая часть F(x) = e2•x+3cos2x-sinx

Будем искать отдельно частные решения для F1(x) = e2•x, F2(x) = 3cos2x, F3(x) = — sinx

Рассмотрим правую часть: F1(x) = e2•x

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида: R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы

Имеет частное решение y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

Где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).

Здесь P(x) = 1, Q(x) = 0, α = 2, β = 0.

Следовательно, число α + βi = 2 + 0i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида:

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Y»’ -16y’ = (8•A•e2x) -16(2•A•e2x) = e2•x или -24•A•e2x = e2•x

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Решая ее, находим: A = -1/24;

Частное решение имеет вид: y* = -1/24e2x

Рассмотрим правую часть: F2(x) = 3•cos(2•x)

Поиск частного решения.

Уравнение имеет частное решение вида:y* = Acos(2x) + Bsin(2x)

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Y»’ -16y’ = (8•A•sin(2x)-8•B•cos(2x)) -16(2•B•cos(2x)-2•A•sin(2x)) = 3•cos(2•x)

или 40•A•sin(2x)-40•B•cos(2x) = 3•cos(2•x)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Решая ее, находим: A = 0;B =-3/40;

Частное решение имеет вид:

Поиск частного решения.

Уравнение имеет частное решение вида: y* = Acos(x) + Bsin(x)

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Y»’ -16y’ = (A•sin(x)-B•cos(x)) -16(B•cos(x)-A•sin(x)) = — sin(x)

или 17•A•sin(x)-17•B•cos(x) = — sin(x)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Решая ее, находим: A = -1/17;B = 0;

Частное решение имеет вид: y* = -1/17cos(x) + 0sin(x) или y* = -1/17cos(x)

Окончательно, общее решение данного уравнения

Корни характеристического уравнения: r1 = 2, r2 = 4

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e4x, y2 = e2x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Для поиска частного решения воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Для этого решим систему:

Тогда окончательно

Корни характеристического уравнения:

Корень характеристического уравнения r1 = 2 кратности 2.

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e2x, y2 = xe2x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть: f(x) = e2•x•sin(5•x)

Поиск частного решения.

Имеет частное решение y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

Здесь P(x) = 1, Q(x) = 0, α = 2, β = 5.

Следовательно, число α + βi = 2 + 5i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида: y* = e2x(Acos(5x) + Bsin(5x))

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Y» -4y’ + 4y = (-e2x((20•A+21•B)•sin(5x)+(21•A-20•B)•cos(5x))) -4(e2x((2•B-5•A)•sin(5x)+(2•A+5•B)•cos(5x))) + 4(e2x(Acos(5x) + Bsin(5x))) = e2•x•sin(5•x)

или -25•A•e2x•cos(5x)-25•B•e2x•sin(5x) = e2•x•sin(5•x)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Решая ее, находим: A = 0;B = -1/25;

Частное решение имеет вид: y* = e2x(0cos(5x) -1/25sin(5x)) илиy* =-1/25 e2x sin(5x)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Используем начальные условия

Тогда окончательно,

Характеристическое уравнение исходного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение дифференциального уравнения . Тогда . Подставляем в первое граничное условие

. Тогда .

Подставляем во второе граничное условие

При А=0 и В=0 – тривиальное решение у=0

Поэтому и — собственные значения

— собственные векторы

Метод исключения неизвестных.

Продифференцируем по х первое уравнение

Исключая с помощью второго уравнения , получим ,

Характеристическое уравнение имеет корни и . Следовательно, общее решение для х будет .

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде , тогда , . Подставим в исходное ,

Тогда частное решение

Общее решение неоднородного примет вид:

Из первого уравнения

Ответ:

Продифференцируем по х второе уравнение

Исключая с помощью первого уравнения , получим

, ,

Характеристическое уравнение имеет корни и . Следовательно, общее решение для х будет .

Тогда частное решение

Общее решение неоднородного примет вид:

Из второго уравнения

Ответ:

Видео:Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решатьСкачать

Вариант 5

Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: . Интегрируем:

Посчитаем интегралы отдельно:

Тогда: или

Ответ:

или

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Интегрируя, находим

Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим откуда

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Возвращаясь к функции у, получим

Используем условие . Тогда , Окончательно

Ответ:

Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки , тогда .

Отсюда — линейное дифференциальное уравнение. Приведём к виду: ,

Замена где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим

или

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Возвращаясь к функции у, получим

Ответ:

Решим соответствующее однородное уравнение

Составим характеристическое уравнение Его корни

Так как его корни действительные и есть кратные, общее решение однородного уравнения имеет вид

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде , тогда , . , , .

Подставим в исходное , . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:

Тогда частное решение

Общее решение неоднородного примет вид:

Вынесем r за скобку. Получим: r(r-1) = 0

Корни характеристического уравнения:r1 = 0, r2 = 1

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e0x, y2 = ex.

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть: f(x) =

Уравнение имеет частное решение вида:

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Частное решение имеет вид:

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

Корни характеристического уравнения:(комплексные корни): r1 = 4i, r2 = -4i

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть: f(x) = 16•cos(4•x)-16•e4x, будем искать отдельно частные решения для f1(x)= 16•cos(4•x) и для f2(x)= 16•e4x

Для f1(x) = 16•cos(4•x) имеем

Уравнение имеет частное решение вида: y ч1* = x (Acos(4x) + Bsin(4x))

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Решая ее, находим: A = 0;B = 2;

Частное решение имеет вид: yч1* = x (0cos(4x) + 2sin(4x)) или y ч1* = 2xsin(4x)

Частное решение ищем в виде y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

Здесь P(x) = 16, Q(x) = 0, α = 4, β = 0.

Следовательно, число α + βi = 4 + 0i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида:

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Y» + 16y = (16•A•e4x) + 16(Ae4x) = 16•e4•x или 32•A•e4x = 16•e4•x

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Решая ее, находим: A = 1/2;

Частное решение имеет вид: y*ч2 = 1/2e4x

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 + 9 = 0

Корни характеристического уравнения: r1 = -3i, r2 = 3i

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Тогда окончательно

Корни характеристического уравнения:(комплексные корни): r1 = i,

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть: f(x) = 2•cos(3•x)-3•sin(3•x)

Поиск частного решения.

Имеет частное решение y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

Здесь P(x) = 2, Q(x) = -3, α = 0, β = 3.

Следовательно, число α + βi = 0 + 3i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида: y* = Acos(3x) + Bsin(3x)

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Y» + y = (-9(A•cos(3x)+B•sin(3x))) + (Acos(3x) + Bsin(3x)) = 2•cos(3•x)-3•sin(3•x)

или -8•A•cos(3x)-8•B•sin(3x) = 2•cos(3•x)-3•sin(3•x)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Решая ее, находим: A = -1/4;B = 3/8;

Частное решение имеет вид: y* = -1/4cos(3x) + 3/8sin(3x)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Используем начальные условия

Тогда окончательно,

Характеристическое уравнение исходного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение дифференциального уравнения . Подставляем в первое граничное условие

. Тогда .

Подставляем во второе граничное условие

При А=0 и В=0 – тривиальное решение у=0

Поэтому и — собственные значения

— собственные векторы

Продифференцируем по х второе уравнение

Исключая с помощью первого уравнения и с помощью второго уравнения системы, получим

Таким образом, задача свелась к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Характеристическое уравнение имеет корни . Следовательно, общее решение для будет .