Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные по дифференциальным уравнениям:
примеры оформления

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Ниже представлены некоторые работы по дифференциальным уравнениям, выполненные в МатБюро. Оформляем подробно: назван тип уравнения, комментируется ход решения, выписываются все интегралы, находится общее решение/интеграл или решение задачи Коши.

  • Контрольная по дифференциальным уравнениям 1
    Объем 15 страниц.
    Темы: ДУ первого порядка, линейные и нелинейные ДУ, однородные ДУ, ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами, системы ДУ.
  • Контрольная по дифференциальным уравнениям 2
    Объем 5 страниц.
    Темы: ДУ высшего порядка, определитель Вронского.

Видео:Контрольная работа Дифференциальные уравнения Задача1Скачать

Контрольная работа Дифференциальные уравнения Задача1

Контрольная работа № 5 Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольная работа № 5

Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

1.1. Однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

2. Найти частное решение

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Составим характеристическое уравнение:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Его корни равны:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Следовательно, общее решение имеет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Найдем Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

С учетом начальных условий получим систему:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Тогда частное решение исходного уравнения примет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Составим характеристическое уравнение:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Его корни равны:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Следовательно, общее решение имеет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Найдем Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

С учетом начальных условий получим систему:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Тогда частное решение исходного уравнения примет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

5. Найти частное решение

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Составим характеристическое уравнение:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Его корни равны:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Следовательно, общее решение имеет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Найдем Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

С учетом начальных условий получим систему:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Тогда частное решение исходного уравнения примет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Составим характеристическое уравнение:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Его корни равны:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Следовательно, общее решение имеет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Найдем Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

С учетом начальных условий получим систему:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Тогда частное решение исходного уравнения примет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

7. Найти частное решение

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Составим характеристическое уравнение:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Его корни равны:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Следовательно, общее решение имеет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Найдем Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

С учетом начальных условий получим систему:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Тогда частное решение исходного уравнения примет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Составим характеристическое уравнение:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Его корни равны:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Следовательно, общее решение имеет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Найдем Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

С учетом начальных условий получим систему:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Тогда частное решение исходного уравнения примет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

1.2. Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

2. Найти частные решения, удовлетворяющие начальным условиям.

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Искомое решение имеет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Составим характеристическое уравнение:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Его корни равны:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Следовательно, общее решение имеет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениямвыберем в виде:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

И подставляем в левую часть уравнения:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Найдем Контрольные работы по дифференциальным уравнениям:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

И подставим в начальные условия:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Тогда частное решение окончательно примет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Искомое решение имеет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Составим характеристическое уравнение:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Его корни равны:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Следовательно, общее решение имеет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениямвыберем в виде:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

И подставляем в левую часть уравнения:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Найдем Контрольные работы по дифференциальным уравнениям:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

И подставим в начальные условия:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Тогда частное решение окончательно примет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

5. Найти частные решения, удовлетворяющие начальным условиям.

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Искомое решение имеет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Составим характеристическое уравнение:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Его корни равны:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Следовательно, общее решение имеет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениямвыберем в виде:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

И подставляем в левую часть уравнения:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Найдем Контрольные работы по дифференциальным уравнениям:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

И подставим в начальные условия:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Тогда частное решение окончательно примет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Искомое решение имеет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Составим характеристическое уравнение:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Его корни равны:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Следовательно, общее решение имеет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениямвыберем в виде:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

И подставляем в левую часть уравнения:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Найдем Контрольные работы по дифференциальным уравнениям:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

И подставим в начальные условия:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Тогда частное решение окончательно примет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

7. Найти частные решения, удовлетворяющие начальным условиям.

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Искомое решение имеет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Составим характеристическое уравнение:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Его корни равны:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Следовательно, общее решение имеет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениямвыберем в виде:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

И подставляем в левую часть уравнения:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Найдем Контрольные работы по дифференциальным уравнениям:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

И подставим в начальные условия:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Тогда частное решение окончательно примет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Искомое решение имеет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Составим характеристическое уравнение:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Его корни равны:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Следовательно, общее решение имеет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениямвыберем в виде:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

И подставляем в левую часть уравнения:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Найдем Контрольные работы по дифференциальным уравнениям:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

И подставим в начальные условия:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Тогда частное решение окончательно примет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольная работа № 6

Ряды, их применение.

Раздел 1. Числовые ряды.

2. Выписать три первых члена и исследовать сходимость числовых рядов:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Используем признак Даламбера:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Т. к. предел меньше единицы, то ряд сходится.

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Применим интегральный признак Коши:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Т. к. интеграл существует, то ряд сходится.

5. Выписать три первых члена и исследовать сходимость числовых рядов:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Используем признак Даламбера:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Т. к. предел меньше единицы, то ряд сходится.

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Применим интегральный признак Коши:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Т. к. интеграл не существует, то ряд расходится.

7. Выписать три первых члена и исследовать сходимость числовых рядов:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Используем признак Даламбера:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Т. к. предел меньше единицы, то ряд сходится.

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Применим интегральный признак Коши:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Т. к. интеграл существует, то ряд сходится.

Раздел 2. Степенные ряды.

2. Найти область сходимости и проверить сходимость на границах интервала:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Значит область сходимости

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Проверим сходимость на правой границе интервала:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Значит, границы включаются в область сходимости

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Значит область сходимости

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Проверим сходимость на правой границе интервала:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Значит, границы включаются в область сходимости

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

5. Найти область сходимости и проверить сходимость на границах интервала:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Значит область сходимости

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Проверим сходимость на правой границе интервала:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Значит, границы включаются в область сходимости

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Значит область сходимости

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Проверим сходимость на правой границе интервала:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Значит, границы включаются в область сходимости

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

7. Найти область сходимости и проверить сходимость на границах интервала:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Значит область сходимости

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Проверим сходимость на правой границе интервала:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Значит, границы включаются в область сходимости

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Значит область сходимости

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Проверим сходимость на правой границе интервала:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Значит, границы включаются в область сходимости

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Раздел 3. Приложение степенных рядов.

3.1. Приближенное вычисление определенных интегралов.

2. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

5. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

7. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

3.2. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.

2. Найти три первых значащих члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения с заданным начальным условием:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Решение ищем в виде:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Необходимо найти 3 члена ряда отличных от нуля.

Из начального условия следует Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Подставляем начальное условие в правую часть исходного уравнения:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Продифференцируем решение в виде ряда:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

И так как Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Продифференцируем левую и правую часть исходного уравнения:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

С другой стороны,
Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Сравнивая значения Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Таким образом, искомое решение в виде ряда имеет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

5. Найти три первых значащих члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения с заданным начальным условием:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Решение ищем в виде:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Необходимо найти 3 члена ряда отличных от нуля.

Из начального условия следует Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Подставляем начальное условие в правую часть исходного уравнения:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Продифференцируем решение в виде ряда:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

И так как Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Продифференцируем левую и правую часть исходного уравнения:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

С другой стороны,
Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Сравнивая значения Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

7. Найти три первых значащих члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения с заданным начальным условием:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Решение ищем в виде:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Необходимо найти 3 члена ряда отличных от нуля.

Из начального условия следует Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Подставляем начальное условие в правую часть исходного уравнения:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Продифференцируем решение в виде ряда:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

И так как Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Продифференцируем левую и правую часть исходного уравнения:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

С другой стороны,
Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Сравнивая значения Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Таким образом, искомое решение в виде ряда имеет вид:

Видео:Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать

Дифференциальные уравнения. 11 класс.

Дифференциальные уравнения (варианты)

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Это уравнение вида Контрольные работы по дифференциальным уравнениям— линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки Контрольные работы по дифференциальным уравнениямгде u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение Контрольные работы по дифференциальным уравнениям Контрольные работы по дифференциальным уравнениямполучим

Контрольные работы по дифференциальным уравнениямили Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Подставим найденную функцию v во второе уравнение Контрольные работы по дифференциальным уравнениям. Получим Контрольные работы по дифференциальным уравнениямоткуда Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Возвращаясь к функции у, получим Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Используем условие Контрольные работы по дифференциальным уравнениям. Тогда Контрольные работы по дифференциальным уравнениям, Окончательно Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Ответ: Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Решим соответствующее однородное уравнение Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Составим характеристическое уравнение Контрольные работы по дифференциальным уравнениямЕго корни Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Так как его корни действительные и есть кратные, общее решение однородного уравнения имеет вид Контрольные работы по дифференциальным уравнениям.

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде Контрольные работы по дифференциальным уравнениям, тогда Контрольные работы по дифференциальным уравнениям, Контрольные работы по дифференциальным уравнениям. Контрольные работы по дифференциальным уравнениямПодставим в исходное Контрольные работы по дифференциальным уравнениям, Контрольные работы по дифференциальным уравнениям. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Тогда частное решение Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Общее решение неоднородного примет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Продифференцируем по х второе уравнение

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Исключая с помощью первого уравнения Контрольные работы по дифференциальным уравнениями с помощью второго уравнения системы, получим

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям, Контрольные работы по дифференциальным уравнениям, Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Таким образом, задача свелась к линейному неоднородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Решим соответствующее однородное уравнение.

Характеристическое уравнение Контрольные работы по дифференциальным уравнениямимеет корни Контрольные работы по дифференциальным уравнениями Контрольные работы по дифференциальным уравнениям. Следовательно, общее решение для х будет Контрольные работы по дифференциальным уравнениям.

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде Контрольные работы по дифференциальным уравнениям, тогда Контрольные работы по дифференциальным уравнениям, Контрольные работы по дифференциальным уравнениям.

Подставим в исходное Контрольные работы по дифференциальным уравнениям, Контрольные работы по дифференциальным уравнениям, Контрольные работы по дифференциальным уравнениям. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Тогда частное решение Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Общее решение неоднородного примет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Из второго уравнения

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Ответ: Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

Вариант 2

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: Контрольные работы по дифференциальным уравнениям. Интегрируем: Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Посчитаем интегралы отдельно:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Тогда: Контрольные работы по дифференциальным уравнениямили Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Ответ: Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Это уравнение вида Контрольные работы по дифференциальным уравнениям— линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки Контрольные работы по дифференциальным уравнениямгде u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение Контрольные работы по дифференциальным уравнениям Контрольные работы по дифференциальным уравнениямполучим

Контрольные работы по дифференциальным уравнениямили Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Подставим найденную функцию v во второе уравнение Контрольные работы по дифференциальным уравнениям. Получим Контрольные работы по дифференциальным уравнениямоткуда Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениямВозвращаясь к функции у, получим

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Используем условие Контрольные работы по дифференциальным уравнениям. Тогда Контрольные работы по дифференциальным уравнениям, Окончательно Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Ответ: Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки Контрольные работы по дифференциальным уравнениям, тогда Контрольные работы по дифференциальным уравнениям.

Отсюда Контрольные работы по дифференциальным уравнениям— линейное дифференциальное уравнение. Приведём к виду: Контрольные работы по дифференциальным уравнениям,

Замена Контрольные работы по дифференциальным уравнениямгде u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение Контрольные работы по дифференциальным уравнениям Контрольные работы по дифференциальным уравнениямполучим

Контрольные работы по дифференциальным уравнениямили Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Подставим найденную функцию v во второе уравнение Контрольные работы по дифференциальным уравнениям. Получим Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Возвращаясь к функции у, получим Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Ответ: Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Решим соответствующее однородное уравнение Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Составим характеристическое уравнение Контрольные работы по дифференциальным уравнениямЕго корни Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Так как его корни действительные и есть кратные, общее решение однородного уравнения имеет вид Контрольные работы по дифференциальным уравнениям.

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде Контрольные работы по дифференциальным уравнениям, тогда Контрольные работы по дифференциальным уравнениям, Контрольные работы по дифференциальным уравнениям. Контрольные работы по дифференциальным уравнениямПодставим в исходное Контрольные работы по дифференциальным уравнениям, Контрольные работы по дифференциальным уравнениям. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Тогда частное решение Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Общее решение неоднородного примет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r3-3r2+4= 0

Корни характеристического уравнения:

R1 = -1 и корень характеристического уравнения r2 = 2 кратности 2.

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e-x, y2 = e2x, y3 = xe2x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть: f(x) = (2•x-3)•e-x

Уравнение имеет частное решение вида: Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Y’ = Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Y» = Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Y»’ = Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям-3Контрольные работы по дифференциальным уравнениям+4Контрольные работы по дифференциальным уравнениям=Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Частное решение имеет вид: Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r3 — 16r = 0

Корни характеристического уравнения:r1 = -4, r2 = 0, r3 = 4

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

Y1 = e-4x, y2 = e0x, y3 = e4x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Правая часть F(x) = e2•x+3cos2x-sinx

Будем искать отдельно частные решения для F1(x) = e2•x, F2(x) = 3cos2x, F3(x) = — sinx

Рассмотрим правую часть: F1(x) = e2•x

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида: R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы

Имеет частное решение y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

Где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).

Здесь P(x) = 1, Q(x) = 0, α = 2, β = 0.

Следовательно, число α + βi = 2 + 0i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида:

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Y»’ -16y’ = (8•A•e2x) -16(2•A•e2x) = e2•x или -24•A•e2x = e2•x

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Решая ее, находим: A = -1/24;

Частное решение имеет вид: y* = -1/24e2x

Рассмотрим правую часть: F2(x) = 3•cos(2•x)

Поиск частного решения.

Уравнение имеет частное решение вида:y* = Acos(2x) + Bsin(2x)

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Y»’ -16y’ = (8•A•sin(2x)-8•B•cos(2x)) -16(2•B•cos(2x)-2•A•sin(2x)) = 3•cos(2•x)

или 40•A•sin(2x)-40•B•cos(2x) = 3•cos(2•x)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Решая ее, находим: A = 0;B =-3/40;

Частное решение имеет вид:

Поиск частного решения.

Уравнение имеет частное решение вида: y* = Acos(x) + Bsin(x)

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Y»’ -16y’ = (A•sin(x)-B•cos(x)) -16(B•cos(x)-A•sin(x)) = — sin(x)

или 17•A•sin(x)-17•B•cos(x) = — sin(x)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Решая ее, находим: A = -1/17;B = 0;

Частное решение имеет вид: y* = -1/17cos(x) + 0sin(x) или y* = -1/17cos(x)

Окончательно, общее решение данного уравнения Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 -6 r + 8 = 0

Корни характеристического уравнения: r1 = 2, r2 = 4

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e4x, y2 = e2x

Общее решение однородного уравнения имеет вид: Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Для поиска частного решения воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Для этого решим систему:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Тогда окончательно Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 -4 r + 4 = 0

Корни характеристического уравнения:

Корень характеристического уравнения r1 = 2 кратности 2.

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e2x, y2 = xe2x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть: f(x) = e2•x•sin(5•x)

Поиск частного решения.

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида: R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы

Имеет частное решение y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

Где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).

Здесь P(x) = 1, Q(x) = 0, α = 2, β = 5.

Следовательно, число α + βi = 2 + 5i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида: y* = e2x(Acos(5x) + Bsin(5x))

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Y» -4y’ + 4y = (-e2x((20•A+21•B)•sin(5x)+(21•A-20•B)•cos(5x))) -4(e2x((2•B-5•A)•sin(5x)+(2•A+5•B)•cos(5x))) + 4(e2x(Acos(5x) + Bsin(5x))) = e2•x•sin(5•x)

или -25•A•e2x•cos(5x)-25•B•e2x•sin(5x) = e2•x•sin(5•x)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Решая ее, находим: A = 0;B = -1/25;

Частное решение имеет вид: y* = e2x(0cos(5x) -1/25sin(5x)) илиy* =-1/25 e2x sin(5x)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Используем начальные условия Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Тогда окончательно, Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Характеристическое уравнение исходного дифференциального уравнения Контрольные работы по дифференциальным уравнениямимеет мнимые корни Контрольные работы по дифференциальным уравнениям. Следовательно, общее решение дифференциального уравнения Контрольные работы по дифференциальным уравнениям. Тогда Контрольные работы по дифференциальным уравнениям. Подставляем в первое граничное условие

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям. Тогда Контрольные работы по дифференциальным уравнениям.

Подставляем во второе граничное условие Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

При А=0 и В=0 – тривиальное решение у=0

Поэтому Контрольные работы по дифференциальным уравнениями Контрольные работы по дифференциальным уравнениям— собственные значения

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям— собственные векторы

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Метод исключения неизвестных.

Продифференцируем по х первое уравнение

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Исключая с помощью второго уравнения Контрольные работы по дифференциальным уравнениям, получим Контрольные работы по дифференциальным уравнениям, Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Таким образом, задача свелась к линейному неоднородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Решим соответствующее однородное уравнение.

Характеристическое уравнение Контрольные работы по дифференциальным уравнениямимеет корни Контрольные работы по дифференциальным уравнениями Контрольные работы по дифференциальным уравнениям. Следовательно, общее решение для х будет Контрольные работы по дифференциальным уравнениям.

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде Контрольные работы по дифференциальным уравнениям, тогда Контрольные работы по дифференциальным уравнениям, Контрольные работы по дифференциальным уравнениям. Подставим в исходное Контрольные работы по дифференциальным уравнениям,

Тогда частное решение Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Общее решение неоднородного примет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Из первого уравнения Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Ответ: Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Продифференцируем по х второе уравнение

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Исключая с помощью первого уравнения Контрольные работы по дифференциальным уравнениям, получим

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям, Контрольные работы по дифференциальным уравнениям,

Таким образом, задача свелась к линейному неоднородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Решим соответствующее однородное уравнение.

Характеристическое уравнение Контрольные работы по дифференциальным уравнениямимеет корни Контрольные работы по дифференциальным уравнениями Контрольные работы по дифференциальным уравнениям. Следовательно, общее решение для х будет Контрольные работы по дифференциальным уравнениям.

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде Контрольные работы по дифференциальным уравнениям, тогда Контрольные работы по дифференциальным уравнениям, Контрольные работы по дифференциальным уравнениям. Подставим в исходное Контрольные работы по дифференциальным уравнениям, Контрольные работы по дифференциальным уравнениям. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Тогда частное решение Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Общее решение неоднородного примет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Из второго уравнения Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Ответ: Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Видео:Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решатьСкачать

Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решать

Вариант 5

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: Контрольные работы по дифференциальным уравнениям. Интегрируем: Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Посчитаем интегралы отдельно:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Тогда: Контрольные работы по дифференциальным уравнениямили Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Ответ: Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Это уравнение вида Контрольные работы по дифференциальным уравнениям— линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки Контрольные работы по дифференциальным уравнениямгде u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение Контрольные работы по дифференциальным уравнениям Контрольные работы по дифференциальным уравнениямполучим

Контрольные работы по дифференциальным уравнениямили Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Интегрируя, находим Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Подставим найденную функцию v во второе уравнение Контрольные работы по дифференциальным уравнениям. Получим Контрольные работы по дифференциальным уравнениямоткуда Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Возвращаясь к функции у, получим

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Используем условие Контрольные работы по дифференциальным уравнениям. Тогда Контрольные работы по дифференциальным уравнениям, Окончательно Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Ответ: Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки Контрольные работы по дифференциальным уравнениям, тогда Контрольные работы по дифференциальным уравнениям.

Отсюда Контрольные работы по дифференциальным уравнениям— линейное дифференциальное уравнение. Приведём к виду: Контрольные работы по дифференциальным уравнениям,

Замена Контрольные работы по дифференциальным уравнениямгде u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение Контрольные работы по дифференциальным уравнениям Контрольные работы по дифференциальным уравнениямполучим

Контрольные работы по дифференциальным уравнениямили Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Подставим найденную функцию v во второе уравнение Контрольные работы по дифференциальным уравнениям. Получим Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Возвращаясь к функции у, получим Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Ответ: Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Решим соответствующее однородное уравнение Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Составим характеристическое уравнение Контрольные работы по дифференциальным уравнениямЕго корни Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Так как его корни действительные и есть кратные, общее решение однородного уравнения имеет вид

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям.

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде Контрольные работы по дифференциальным уравнениям, тогда Контрольные работы по дифференциальным уравнениям, Контрольные работы по дифференциальным уравнениям. Контрольные работы по дифференциальным уравнениям, Контрольные работы по дифференциальным уравнениям, Контрольные работы по дифференциальным уравнениям.

Подставим в исходное Контрольные работы по дифференциальным уравнениям, Контрольные работы по дифференциальным уравнениям. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Тогда частное решение Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Общее решение неоднородного примет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 — r= 0

Вынесем r за скобку. Получим: r(r-1) = 0

Корни характеристического уравнения:r1 = 0, r2 = 1

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e0x, y2 = ex.

Общее решение однородного уравнения имеет вид: Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Рассмотрим правую часть: f(x) = Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Уравнение имеет частное решение вида: Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениямкоторые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Частное решение имеет вид: Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Корни характеристического уравнения:(комплексные корни): r1 = 4i, Контрольные работы по дифференциальным уравнениямr2 = -4i

Общее решение однородного уравнения имеет вид: Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Рассмотрим правую часть: f(x) = 16•cos(4•x)-16•e4x, будем искать отдельно частные решения для f1(x)= 16•cos(4•x) и для f2(x)= 16•e4x

Для f1(x) = 16•cos(4•x) имеем

Уравнение имеет частное решение вида: y ч1* = x (Acos(4x) + Bsin(4x))

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Решая ее, находим: A = 0;B = 2;

Частное решение имеет вид: yч1* = x (0cos(4x) + 2sin(4x)) или y ч1* = 2xsin(4x)

Частное решение ищем в виде y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

Где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).

Здесь P(x) = 16, Q(x) = 0, α = 4, β = 0.

Следовательно, число α + βi = 4 + 0i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида:

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Y» + 16y = (16•A•e4x) + 16(Ae4x) = 16•e4•x или 32•A•e4x = 16•e4•x

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Решая ее, находим: A = 1/2;

Частное решение имеет вид: y*ч2 = 1/2e4x

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 + 9 = 0

Корни характеристического уравнения: r1 = -3i, r2 = 3i

Общее решение однородного уравнения имеет вид: Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Для поиска частного решения воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Для этого решим систему:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Тогда окончательно Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 + 1 = 0

Корни характеристического уравнения:(комплексные корни): r1 = i,

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть: f(x) = 2•cos(3•x)-3•sin(3•x)

Поиск частного решения.

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида: R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы

Имеет частное решение y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

Где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).

Здесь P(x) = 2, Q(x) = -3, α = 0, β = 3.

Следовательно, число α + βi = 0 + 3i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида: y* = Acos(3x) + Bsin(3x)

Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

Y» + y = (-9(A•cos(3x)+B•sin(3x))) + (Acos(3x) + Bsin(3x)) = 2•cos(3•x)-3•sin(3•x)

или -8•A•cos(3x)-8•B•sin(3x) = 2•cos(3•x)-3•sin(3•x)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

Решая ее, находим: A = -1/4;B = 3/8;

Частное решение имеет вид: y* = -1/4cos(3x) + 3/8sin(3x)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Используем начальные условия Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Тогда окончательно, Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Характеристическое уравнение исходного дифференциального уравнения Контрольные работы по дифференциальным уравнениямимеет мнимые корни Контрольные работы по дифференциальным уравнениям. Следовательно, общее решение дифференциального уравнения Контрольные работы по дифференциальным уравнениям. Подставляем в первое граничное условие

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям. Тогда Контрольные работы по дифференциальным уравнениям.

Подставляем во второе граничное условие Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

При А=0 и В=0 – тривиальное решение у=0

Поэтому Контрольные работы по дифференциальным уравнениями Контрольные работы по дифференциальным уравнениям— собственные значения

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям— собственные векторы

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Продифференцируем по х второе уравнение Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Исключая с помощью первого уравнения Контрольные работы по дифференциальным уравнениями с помощью второго уравнения системы, получим

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям,

Таким образом, задача свелась к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Характеристическое уравнение Контрольные работы по дифференциальным уравнениямимеет корни Контрольные работы по дифференциальным уравнениям. Следовательно, общее решение для Контрольные работы по дифференциальным уравнениямбудет Контрольные работы по дифференциальным уравнениям.

Из второго уравнения Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Ответ: Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Найдём сначала общее решение соответствующей однородной системы Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Продифференцируем по х второе уравнение Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Исключая с помощью первого уравнения Контрольные работы по дифференциальным уравнениями с помощью второго уравнения системы, получим

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям,

Таким образом, задача свелась к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Характеристическое уравнение Контрольные работы по дифференциальным уравнениямимеет корни Контрольные работы по дифференциальным уравнениям. Следовательно, общее решение для Контрольные работы по дифференциальным уравнениямбудет Контрольные работы по дифференциальным уравнениям.

Из второго уравнения Контрольные работы по дифференциальным уравнениямОбщее решение однородной системы:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Принимаем частное решение первоначальной системы в виде:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Решаем данную систему по формулам Крамера, получим два дифференциальных уравнения первого порядка:

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениямОкончательно,

Контрольные работы по дифференциальным уравнениямИли

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

Ответ: Контрольные работы по дифференциальным уравнениям

🔍 Видео

Комментарии к контрольной работе по дифференциальным уравнениям.Скачать

Комментарии к контрольной работе по дифференциальным уравнениям.

Лукьяненко Д. В. - Дифференциальные уравнения - Лекция 1Скачать

Лукьяненко Д. В. - Дифференциальные уравнения - Лекция 1

Решение дифференциальных уравнений. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Решение дифференциальных уравнений. Практическая часть. 11 класс.

Контрольная работа. Уравнения с МОДУЛЕМСкачать

Контрольная работа. Уравнения с МОДУЛЕМ

Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными. 11 класс.Скачать

Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными. 11 класс.

6. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однороднымСкачать

6. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным

Поле направлений дифференциального уравнения первого порядкаСкачать

Поле направлений дифференциального уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения не разрешенные относительно производной | poporyadku.schoolСкачать

Дифференциальные уравнения не разрешенные относительно производной | poporyadku.school

Решение физических задач с помощью дифференциальных уравненийСкачать

Решение  физических задач с помощью дифференциальных уравнений

Лабораторная работа 1. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравненийСкачать

Лабораторная работа 1. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений

7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать

7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.
Поделиться или сохранить к себе: