примеры оформления
Ниже представлены некоторые работы по дифференциальным уравнениям, выполненные в МатБюро. Оформляем подробно: назван тип уравнения, комментируется ход решения, выписываются все интегралы, находится общее решение/интеграл или решение задачи Коши.
- Контрольная по дифференциальным уравнениям 1
Объем 15 страниц.
Темы: ДУ первого порядка, линейные и нелинейные ДУ, однородные ДУ, ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами, системы ДУ. - Контрольная по дифференциальным уравнениям 2
Объем 5 страниц.
Темы: ДУ высшего порядка, определитель Вронского.
Видео:Контрольная работа Дифференциальные уравнения Задача1Скачать
Контрольная работа № 5 Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Контрольная работа № 5
Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
1.1. Однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
2. Найти частное решение
Составим характеристическое уравнение:
Его корни равны:
Следовательно, общее решение имеет вид:
Найдем
С учетом начальных условий получим систему:
Тогда частное решение исходного уравнения примет вид:
Составим характеристическое уравнение:
Его корни равны:
Следовательно, общее решение имеет вид:
Найдем
С учетом начальных условий получим систему:
Тогда частное решение исходного уравнения примет вид:
5. Найти частное решение
Составим характеристическое уравнение:
Его корни равны:
Следовательно, общее решение имеет вид:
Найдем
С учетом начальных условий получим систему:
Тогда частное решение исходного уравнения примет вид:
Составим характеристическое уравнение:
Его корни равны:
Следовательно, общее решение имеет вид:
Найдем
С учетом начальных условий получим систему:
Тогда частное решение исходного уравнения примет вид:
7. Найти частное решение
Составим характеристическое уравнение:
Его корни равны:
Следовательно, общее решение имеет вид:
Найдем
С учетом начальных условий получим систему:
Тогда частное решение исходного уравнения примет вид:
Составим характеристическое уравнение:
Его корни равны:
Следовательно, общее решение имеет вид:
Найдем
С учетом начальных условий получим систему:
Тогда частное решение исходного уравнения примет вид:
1.2. Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
2. Найти частные решения, удовлетворяющие начальным условиям.
Искомое решение имеет вид:
Составим характеристическое уравнение:
Его корни равны:
Следовательно, общее решение имеет вид:
выберем в виде:
И подставляем в левую часть уравнения:
Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:
Найдем :
И подставим в начальные условия:
Тогда частное решение окончательно примет вид:
Искомое решение имеет вид:
Составим характеристическое уравнение:
Его корни равны:
Следовательно, общее решение имеет вид:
выберем в виде:
И подставляем в левую часть уравнения:
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:
Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:
Найдем :
И подставим в начальные условия:
Тогда частное решение окончательно примет вид:
5. Найти частные решения, удовлетворяющие начальным условиям.
Искомое решение имеет вид:
Составим характеристическое уравнение:
Его корни равны:
Следовательно, общее решение имеет вид:
выберем в виде:
И подставляем в левую часть уравнения:
Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:
Найдем :
И подставим в начальные условия:
Тогда частное решение окончательно примет вид:
Искомое решение имеет вид:
Составим характеристическое уравнение:
Его корни равны:
Следовательно, общее решение имеет вид:
выберем в виде:
И подставляем в левую часть уравнения:
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:
Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:
Найдем :
И подставим в начальные условия:
Тогда частное решение окончательно примет вид:
7. Найти частные решения, удовлетворяющие начальным условиям.
Искомое решение имеет вид:
Составим характеристическое уравнение:
Его корни равны:
Следовательно, общее решение имеет вид:
выберем в виде:
И подставляем в левую часть уравнения:
Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:
Найдем :
И подставим в начальные условия:
Тогда частное решение окончательно примет вид:
Искомое решение имеет вид:
Составим характеристическое уравнение:
Его корни равны:
Следовательно, общее решение имеет вид:
выберем в виде:
И подставляем в левую часть уравнения:
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:
Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:
Найдем :
И подставим в начальные условия:
Тогда частное решение окончательно примет вид:
Контрольная работа № 6
Ряды, их применение.
Раздел 1. Числовые ряды.
2. Выписать три первых члена и исследовать сходимость числовых рядов:
Используем признак Даламбера:
Т. к. предел меньше единицы, то ряд сходится.
Применим интегральный признак Коши:
Т. к. интеграл существует, то ряд сходится.
5. Выписать три первых члена и исследовать сходимость числовых рядов:
Используем признак Даламбера:
Т. к. предел меньше единицы, то ряд сходится.
Применим интегральный признак Коши:
Т. к. интеграл не существует, то ряд расходится.
7. Выписать три первых члена и исследовать сходимость числовых рядов:
Используем признак Даламбера:
Т. к. предел меньше единицы, то ряд сходится.
Применим интегральный признак Коши:
Т. к. интеграл существует, то ряд сходится.
Раздел 2. Степенные ряды.
2. Найти область сходимости и проверить сходимость на границах интервала:
Значит область сходимости
Проверим сходимость на правой границе интервала:
Значит, границы включаются в область сходимости
Значит область сходимости
Проверим сходимость на правой границе интервала:
Значит, границы включаются в область сходимости
5. Найти область сходимости и проверить сходимость на границах интервала:
Значит область сходимости
Проверим сходимость на правой границе интервала:
Значит, границы включаются в область сходимости
Значит область сходимости
Проверим сходимость на правой границе интервала:
Значит, границы включаются в область сходимости
7. Найти область сходимости и проверить сходимость на границах интервала:
Значит область сходимости
Проверим сходимость на правой границе интервала:
Значит, границы включаются в область сходимости
Значит область сходимости
Проверим сходимость на правой границе интервала:
Значит, границы включаются в область сходимости
Раздел 3. Приложение степенных рядов.
3.1. Приближенное вычисление определенных интегралов.
2. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001
5. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001
7. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001
3.2. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.
2. Найти три первых значащих члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения с заданным начальным условием:
Решение ищем в виде:
Необходимо найти 3 члена ряда отличных от нуля.
Из начального условия следует
Подставляем начальное условие в правую часть исходного уравнения:
Продифференцируем решение в виде ряда:
И так как
Продифференцируем левую и правую часть исходного уравнения:
С другой стороны,
Сравнивая значения
Таким образом, искомое решение в виде ряда имеет вид:
5. Найти три первых значащих члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения с заданным начальным условием:
Решение ищем в виде:
Необходимо найти 3 члена ряда отличных от нуля.
Из начального условия следует
Подставляем начальное условие в правую часть исходного уравнения:
Продифференцируем решение в виде ряда:
И так как
Продифференцируем левую и правую часть исходного уравнения:
С другой стороны,
Сравнивая значения
7. Найти три первых значащих члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения с заданным начальным условием:
Решение ищем в виде:
Необходимо найти 3 члена ряда отличных от нуля.
Из начального условия следует
Подставляем начальное условие в правую часть исходного уравнения:
Продифференцируем решение в виде ряда:
И так как
Продифференцируем левую и правую часть исходного уравнения:
С другой стороны,
Сравнивая значения
Таким образом, искомое решение в виде ряда имеет вид:
Видео:Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать
Дифференциальные уравнения (варианты)
Это уравнение вида — линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим
или
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим откуда
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:
Возвращаясь к функции у, получим
Используем условие . Тогда , Окончательно
Ответ:
Решим соответствующее однородное уравнение
Составим характеристическое уравнение Его корни
Так как его корни действительные и есть кратные, общее решение однородного уравнения имеет вид .
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде , тогда , . Подставим в исходное , . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:
Тогда частное решение
Общее решение неоднородного примет вид:
Продифференцируем по х второе уравнение
Исключая с помощью первого уравнения и с помощью второго уравнения системы, получим
, ,
Таким образом, задача свелась к линейному неоднородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Решим соответствующее однородное уравнение.
Характеристическое уравнение имеет корни и . Следовательно, общее решение для х будет .
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде , тогда , .
Подставим в исходное , , . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:
Тогда частное решение
Общее решение неоднородного примет вид:
Из второго уравнения
Ответ:
Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать
Вариант 2
Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: . Интегрируем:
Посчитаем интегралы отдельно:
Тогда: или
Ответ:
Это уравнение вида — линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим
или
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим откуда
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:
Возвращаясь к функции у, получим
Используем условие . Тогда , Окончательно
Ответ:
Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки , тогда .
Отсюда — линейное дифференциальное уравнение. Приведём к виду: ,
Замена где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим
или
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:
Возвращаясь к функции у, получим
Ответ:
Решим соответствующее однородное уравнение
Составим характеристическое уравнение Его корни
Так как его корни действительные и есть кратные, общее решение однородного уравнения имеет вид .
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде , тогда , . Подставим в исходное , . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:
Тогда частное решение
Общее решение неоднородного примет вид:
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r3-3r2+4= 0
Корни характеристического уравнения:
R1 = -1 и корень характеристического уравнения r2 = 2 кратности 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e-x, y2 = e2x, y3 = xe2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Рассмотрим правую часть: f(x) = (2•x-3)•e-x
Уравнение имеет частное решение вида:
Y’ =
Y» =
Y»’ =
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
-3+4=
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
Частное решение имеет вид:
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r3 — 16r = 0
Корни характеристического уравнения:r1 = -4, r2 = 0, r3 = 4
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
Y1 = e-4x, y2 = e0x, y3 = e4x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Правая часть F(x) = e2•x+3cos2x-sinx
Будем искать отдельно частные решения для F1(x) = e2•x, F2(x) = 3cos2x, F3(x) = — sinx
Рассмотрим правую часть: F1(x) = e2•x
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида: R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы
Имеет частное решение y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
Где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 1, Q(x) = 0, α = 2, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 2 + 0i не является корнем характеристического уравнения.
Уравнение имеет частное решение вида:
Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
Y»’ -16y’ = (8•A•e2x) -16(2•A•e2x) = e2•x или -24•A•e2x = e2•x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
Решая ее, находим: A = -1/24;
Частное решение имеет вид: y* = -1/24e2x
Рассмотрим правую часть: F2(x) = 3•cos(2•x)
Поиск частного решения.
Уравнение имеет частное решение вида:y* = Acos(2x) + Bsin(2x)
Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
Y»’ -16y’ = (8•A•sin(2x)-8•B•cos(2x)) -16(2•B•cos(2x)-2•A•sin(2x)) = 3•cos(2•x)
или 40•A•sin(2x)-40•B•cos(2x) = 3•cos(2•x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
Решая ее, находим: A = 0;B =-3/40;
Частное решение имеет вид:
Поиск частного решения.
Уравнение имеет частное решение вида: y* = Acos(x) + Bsin(x)
Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
Y»’ -16y’ = (A•sin(x)-B•cos(x)) -16(B•cos(x)-A•sin(x)) = — sin(x)
или 17•A•sin(x)-17•B•cos(x) = — sin(x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
Решая ее, находим: A = -1/17;B = 0;
Частное решение имеет вид: y* = -1/17cos(x) + 0sin(x) или y* = -1/17cos(x)
Окончательно, общее решение данного уравнения
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 -6 r + 8 = 0
Корни характеристического уравнения: r1 = 2, r2 = 4
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e4x, y2 = e2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Для поиска частного решения воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Для этого решим систему:
Тогда окончательно
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 -4 r + 4 = 0
Корни характеристического уравнения:
Корень характеристического уравнения r1 = 2 кратности 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e2x, y2 = xe2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Рассмотрим правую часть: f(x) = e2•x•sin(5•x)
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида: R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы
Имеет частное решение y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
Где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 1, Q(x) = 0, α = 2, β = 5.
Следовательно, число α + βi = 2 + 5i не является корнем характеристического уравнения.
Уравнение имеет частное решение вида: y* = e2x(Acos(5x) + Bsin(5x))
Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
Y» -4y’ + 4y = (-e2x((20•A+21•B)•sin(5x)+(21•A-20•B)•cos(5x))) -4(e2x((2•B-5•A)•sin(5x)+(2•A+5•B)•cos(5x))) + 4(e2x(Acos(5x) + Bsin(5x))) = e2•x•sin(5•x)
или -25•A•e2x•cos(5x)-25•B•e2x•sin(5x) = e2•x•sin(5•x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
Решая ее, находим: A = 0;B = -1/25;
Частное решение имеет вид: y* = e2x(0cos(5x) -1/25sin(5x)) илиy* =-1/25 e2x sin(5x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Используем начальные условия
Тогда окончательно,
Характеристическое уравнение исходного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение дифференциального уравнения . Тогда . Подставляем в первое граничное условие
. Тогда .
Подставляем во второе граничное условие
При А=0 и В=0 – тривиальное решение у=0
Поэтому и — собственные значения
— собственные векторы
Метод исключения неизвестных.
Продифференцируем по х первое уравнение
Исключая с помощью второго уравнения , получим ,
Таким образом, задача свелась к линейному неоднородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Решим соответствующее однородное уравнение.
Характеристическое уравнение имеет корни и . Следовательно, общее решение для х будет .
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде , тогда , . Подставим в исходное ,
Тогда частное решение
Общее решение неоднородного примет вид:
Из первого уравнения
Ответ:
Продифференцируем по х второе уравнение
Исключая с помощью первого уравнения , получим
, ,
Таким образом, задача свелась к линейному неоднородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Решим соответствующее однородное уравнение.
Характеристическое уравнение имеет корни и . Следовательно, общее решение для х будет .
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде , тогда , . Подставим в исходное , . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:
Тогда частное решение
Общее решение неоднородного примет вид:
Из второго уравнения
Ответ:
Видео:Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решатьСкачать
Вариант 5
Данное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: . Интегрируем:
Посчитаем интегралы отдельно:
Тогда: или
Ответ:
Это уравнение вида — линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим
или
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
Интегрируя, находим
Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим откуда
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:
Возвращаясь к функции у, получим
Используем условие . Тогда , Окончательно
Ответ:
Данное уравнение не содержит у, следовательно понизить его порядок можно с помощью подстановки , тогда .
Отсюда — линейное дифференциальное уравнение. Приведём к виду: ,
Замена где u и v две неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение получим
или
Так как одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, возьмем в качестве v одно из частных решений уравнения
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид
Рассмотрим каждое из получившихся уравнений. Первое уравнение – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:
Подставим найденную функцию v во второе уравнение . Получим
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим функцию и:
Возвращаясь к функции у, получим
Ответ:
Решим соответствующее однородное уравнение
Составим характеристическое уравнение Его корни
Так как его корни действительные и есть кратные, общее решение однородного уравнения имеет вид
.
Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде , тогда , . , , .
Подставим в исходное , . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части получим систему:
Тогда частное решение
Общее решение неоднородного примет вид:
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 — r= 0
Вынесем r за скобку. Получим: r(r-1) = 0
Корни характеристического уравнения:r1 = 0, r2 = 1
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e0x, y2 = ex.
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Рассмотрим правую часть: f(x) =
Уравнение имеет частное решение вида:
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
Частное решение имеет вид:
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
Корни характеристического уравнения:(комплексные корни): r1 = 4i, r2 = -4i
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Рассмотрим правую часть: f(x) = 16•cos(4•x)-16•e4x, будем искать отдельно частные решения для f1(x)= 16•cos(4•x) и для f2(x)= 16•e4x
Для f1(x) = 16•cos(4•x) имеем
Уравнение имеет частное решение вида: y ч1* = x (Acos(4x) + Bsin(4x))
Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
Решая ее, находим: A = 0;B = 2;
Частное решение имеет вид: yч1* = x (0cos(4x) + 2sin(4x)) или y ч1* = 2xsin(4x)
Частное решение ищем в виде y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
Где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 16, Q(x) = 0, α = 4, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 4 + 0i не является корнем характеристического уравнения.
Уравнение имеет частное решение вида:
Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
Y» + 16y = (16•A•e4x) + 16(Ae4x) = 16•e4•x или 32•A•e4x = 16•e4•x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
Решая ее, находим: A = 1/2;
Частное решение имеет вид: y*ч2 = 1/2e4x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 + 9 = 0
Корни характеристического уравнения: r1 = -3i, r2 = 3i
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Для поиска частного решения воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Для этого решим систему:
Тогда окончательно
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 + 1 = 0
Корни характеристического уравнения:(комплексные корни): r1 = i,
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Рассмотрим правую часть: f(x) = 2•cos(3•x)-3•sin(3•x)
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида: R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы
Имеет частное решение y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
Где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 2, Q(x) = -3, α = 0, β = 3.
Следовательно, число α + βi = 0 + 3i не является корнем характеристического уравнения.
Уравнение имеет частное решение вида: y* = Acos(3x) + Bsin(3x)
Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
Y» + y = (-9(A•cos(3x)+B•sin(3x))) + (Acos(3x) + Bsin(3x)) = 2•cos(3•x)-3•sin(3•x)
или -8•A•cos(3x)-8•B•sin(3x) = 2•cos(3•x)-3•sin(3•x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
Решая ее, находим: A = -1/4;B = 3/8;
Частное решение имеет вид: y* = -1/4cos(3x) + 3/8sin(3x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Используем начальные условия
Тогда окончательно,
Характеристическое уравнение исходного дифференциального уравнения имеет мнимые корни . Следовательно, общее решение дифференциального уравнения . Подставляем в первое граничное условие
. Тогда .
Подставляем во второе граничное условие
При А=0 и В=0 – тривиальное решение у=0
Поэтому и — собственные значения
— собственные векторы
Продифференцируем по х второе уравнение
Исключая с помощью первого уравнения и с помощью второго уравнения системы, получим
,
Таким образом, задача свелась к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Характеристическое уравнение имеет корни . Следовательно, общее решение для будет .
Из второго уравнения
Ответ:
Найдём сначала общее решение соответствующей однородной системы
Продифференцируем по х второе уравнение
Исключая с помощью первого уравнения и с помощью второго уравнения системы, получим
,
Таким образом, задача свелась к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Характеристическое уравнение имеет корни . Следовательно, общее решение для будет .
Из второго уравнения Общее решение однородной системы:
Принимаем частное решение первоначальной системы в виде:
Решаем данную систему по формулам Крамера, получим два дифференциальных уравнения первого порядка:
Окончательно,
Или
Ответ:
🔍 Видео
Комментарии к контрольной работе по дифференциальным уравнениям.Скачать
Лукьяненко Д. В. - Дифференциальные уравнения - Лекция 1Скачать
Решение дифференциальных уравнений. Практическая часть. 11 класс.Скачать
Контрольная работа. Уравнения с МОДУЛЕМСкачать
Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными. 11 класс.Скачать
6. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однороднымСкачать
Поле направлений дифференциального уравнения первого порядкаСкачать
Дифференциальные уравнения не разрешенные относительно производной | poporyadku.schoolСкачать
Решение физических задач с помощью дифференциальных уравненийСкачать
Лабораторная работа 1. Решение систем обыкновенных дифференциальных уравненийСкачать
7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать