Конспект урока уравнение sinx a 10 класс

Видео:10 класс. Решение уравнений sin x = aСкачать

Разработка урока по алгебре на тему «Уравнение sinx=a» (10 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Конспект урока Уравнение sinx=a.docx

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 45

Разработка урока по теме

алгебра и начала математического анализа, 10 класс.

Автор: учитель математики

МАОУ СОШ №45 г. Калининграда

Борисова Алла Николаевна.

2018 – 2019 учебный год

Автор – Борисова Алла Николаевна

Образовательное учреждение – муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 45 города Калининграда

Предмет – математика (алгебра и начала математического анализа)

Тема – « Уравнение sinx=a »

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни / Ю.М.Колягин и др., М.: Просвещение, 2016 г.

Данные о программах, в которых выполнена мультимедийная составляющая работы — Microsoft Office Power Point 2010

ввести определение арксинуса числа, вывести формулу решения уравнения sinx=a и частные случаи решения уравнения, учить решать простейшие тригонометрические уравнения .

проверка знаний и умений по теме «Уравнение cos x =а »;

ввести определение арксинуса числа;

вывести формулу решения уравнения sinx=a и частные случаи решения уравнения

уметь выполнять преобразование выражений, используя определение арксинуса числа;

учить решать простейшие тригонометрические уравнения вида sinx=a .

развивать логическое и образное мышление и умение делать выводы;

развитие познавательного интереса к предмету;

формирование потребности в приобретении знаний.

воспитывать познавательную активность, самостоятельность, стремление расширять свой кругозор.

воспитывать чувство взаимопомощи, умение слушать и слышать одноклассников ;

воспитывать требовательное отношение к себе и своей работе.

Оборудование и материалы для урока : проектор, экран, презентация для сопровождения урока, раздаточный материал.

Тип урока : комбинированный урок.

Формы организации работы: фронтальная, индивидуальная, самостоятельная.

Взаимное приветствие. Включение в деловой ритм, проверка подготовленности учащихся к уроку.

Объявляется цель и план урока.

II. Повторение изученного материала. Самостоятельная работа.

Самостоятельная работа по теме

Самостоятельная работа по теме

III . Изучение нового материала.

1) При изучении нового материала использовать слайды №2 — 9.

— Рассмотрим уравнение sinx = a .

— Вспомним, что такое sinx ?

(Ордината точки (или точек) единичной окружности, полученной поворотом точки Р(1;0) вокруг начала координат на угол х).

— Значит, корни уравнения sinx = a − углы поворота точки Р(1;0) в точку единичной окружности, имеющей абсциссу а .

2) — Решим уравнение

— Убедимся, в формуле

а) Пусть — чётное, тогда

б) Пусть — нечётное, тогда

— Заметим, что уравнение имеет бесконечное множество корней, но на отрезке оно имеет единственный корень

4) — Сделайте вывод, когда уравнение sinx = a не имеет корней?

— Когда уравнение sinx = a имеет бесконечно много корней?

Запись в тетрадь:

5) Рассмотреть частные случаи уравнения sinx = a по единичной окружности. Один ученик работает на доске.

Запись в тетрадь:

1) С комментированием у доски после обсуждения решить упражнения

2) Работа в парах. Самостоятельно решить № 588 . Один ученик работает на крыле доски. После окончания работы проверка.

V . Подведение итогов урока.

— Итак, чему вы сегодня научились?

— С каким понятием познакомились?

(Познакомились с понятием арксинуса; общую формулой решения уравнения sin х = a, с его частными случаями и выработали алгоритм решения данного уравнения).

Дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся. Выставление отметок за урок.

Выбранный для просмотра документ Уравнение sinx=a..pptx

Описание презентации по отдельным слайдам:

Уравнение sin x = a

Рассмотрим уравнение sinx = a. Вспомним, что такое sinx? (Ордината точки (или точек) единичной окружности, полученной поворотом точки Р(1;0) вокруг начала координат на угол х). Значит, корни уравнения sinx = a − углы поворота точки Р(1;0) в точку единичной окружности, имеющей абсциссу а.

Решим уравнение sinx =

M2 M1 sin x = х1 = + 2πn, n ϵ Z х2 = + 2πn, n ϵ Z х2 = π − + 2πn, n ϵ Z х =(−1)n + πn, n ϵ Z 0 − x y

M2 M1 0 − Уравнение sin x = имеет бесконечное множество корней. Но на отрезке [ ] оно имеет только один корень x y

Число называют арксинусом числа и записывают arcsin = . Определение Арксинусом числа а ϵ [− 1;1] называется такое число α ϵ [ ] , синус которого равен а. arcsin a =α, если sin α = а и − ≤ α ≤ , |а|≤ 1. Верна также формула: arcsin (−a )= − arcsin a, где а ϵ [− 1;1] .

т.к. 0; т.к. т.к. Примеры

Уравнение sin x = a не имеет корней, если 2) имеет бесконечно много корней, если Вывод х =(−1)n arcsin a + πn, n ϵ Z

Частные случаи уравнения sin х = a 1. sin х = −1; x =− + 2πn, n ϵ Z 2. sin х = 0; x = πn, n ϵ Z 3. sin х = 1; x = + 2πn, n ϵ Z

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 304 человека из 68 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:Простейшие тригонометрические уравнения. y=sinx. 1 часть. 10 класс.Скачать

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 594 673 материала в базе

Материал подходит для УМК

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)», Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 30.03.2019
• 489
• 17

• 30.03.2019
• 3068
• 90

• 27.03.2019
• 278
• 5

• 25.03.2019
• 222
• 0

• 24.03.2019
• 2717
• 37

• 21.03.2019
• 137
• 1

• 17.03.2019
• 267
• 1

• 15.03.2019
• 213
• 2

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 07.04.2019 1986
• RAR 2.6 мбайт
• 301 скачивание
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Борисова Алла Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 5 месяцев
• Подписчики: 6
• Всего просмотров: 294147
• Всего материалов: 111

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Алгебра 10 класс (Урок№42 - Уравнение sin x = a.)Скачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса

Время чтения: 1 минута

Школы смогут вносить данные в портфолио школьника в «МЭШ»

Время чтения: 2 минуты

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

Минобрнауки и Минпросвещения запустили горячие линии по оказанию психологической помощи

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Решение тригонометрических уравнений. Однородные уравнения. 10 класс.Скачать

Конспект урока для 10 класса с углубленным изучением по теме «Решение уравнений cosx=a, sinx=a»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Открытый урок по алгебре и началам математического анализа для 10 класса с углубленным изучением по теме «Решение уравнений cosx=a, sinx=a »

Разработка Коваленко Светланы Геннадьевны

МБУ «Школа №58» г.о. Тольятти

Тема урока: «Решение уравнений cosx=b, sinx=b »

Урок обобщения и систематизации знаний.
Цель урока: закрепить и углубить знания и умения по теме решения тригонометрических уравнений.

Предметные: формировать умения оперировать понятием арккосинуса и арксинуса, решать уравнения вида cosx=b, .

Личностные: формировать умение контролировать процесс своей математической деятельности.

Метапредметные: развивать понимание сущности алгоритмических предписаний и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.

Учащийся научится оперировать понятием арккосинуса и арксинуса, решать уравнения вида cosx=b , .

Арксинус, формула корней уравнения cosx=b , при | b |  1, формула корней уравнения cosx= 0 и , формула корней уравнения cosx= 1 и , формула корней уравнения cosx= -1 и .

Организационный момент урока( слайд 1)

1)устно дать определения синуса и косинуса числа t .

2) устно вычислить, используя числовую окружность( слайд 2)

3) во время устного вычисления 4 человека готовят сообщения по теории и 1 человек решает простейшие уравнения .

Карточка 1. Записать формулы корней уравнения cosx=b и его частных случаев.
Карточка 2. Записать формулы корней уравнения sinx=b и его частных случаев.

Карточка 3. Начертить график функции y= cosx . Записать: область определения, область значений, основной период функции.

Карточка 4. Начертить график функции y= sinx . Записать: область определения, область значений, основной период функции.

Карточка 5. Решить уравнения:

а) sinx=0,5 б) cosx= в) sinx= — г) cosx= 1

После устного вычисления дать время на ответы учащихся по карточкам, тем самым еще раз вспомнить теорию по теме.

Для всех учащихся, с проверкой у доски. У доски работают двое учащихся , решая по 2 уравнения.

Решение данных уравнений позволит закрепить формулы вычисления корней и помогают формировать вычислительные навыки.

Для отработки более сложных действий при решении тригонометрических уравнений, учащимся предлагается выполнить самостоятельную работу. Решение данных уравнений они могут обсуждать друг с другом.

С решением уравнения для 1 ряда учащиеся уже сталкивались на предыдущих уроках и при выполнении домашнего задания ( № 29.9-29.10), для решения уравнения предложенного для 2 ряда, учащиеся должны вспомнить формулу двойного угла и для решения уравнения для 3 ряда, учащиеся должны применить формулы приведения, отбор корней при решении тригонометрических уравнений позволяет готовить учащихся к заданию 13 ЕГЭ. Для проверки выполнения данных заданий у доски работали 3 учащихся с повышенным уровнем подготовки.

1 ряд: а) решить уравнение

б) найти корни на промежутке

разделим оби части уравнения на 2, получим

2 ряд: а) решить уравнение:

б) найти корни на промежутке

б) найти корни на промежутке

Применив формулы приведения, получим 5 , т.е. -2

Слайд 3 Самостоятельная работа по вариантам( задание аналогичное заданиям , 28.16, 29.16 учебника)

Задачи легко решаются графически . ( слайд 6) После выполнения работы спросить 2 учеников с места прокомментировать ответы и продемонстрировать объяснение на слайде.

Ответы: Вариант 1. Нет корней ,если . 1 корень, если а. 2 корня, если а.

Вариант 2. Нет корней, если . 1 корень, если а. 2 корня, если

— прокомментировать с места какие ошибки (если таковые были) допущены при решении 1 письменного задания на уроке. Те, у кого ошибок не было, поставят себе 2 балла, у кого была допущена 1 вычислительная ошибка – 1 балл;

— с какими трудностями столкнулись при решении уравнений предложенных по рядам.
Те, кто получили верные ответы только под а), ставят себе 1 балл, те, кто получили верные ответы и под а)и б) — 2 балла;
— те, кто справился с самостоятельной работой по вариантам, ставят себе еще 2 балла.

Выставление оценок: 2-4 балла – «4»

Домашнее задание: 1. № 29.14,29.16(1,2),29.18

2. При каких а уравнение

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 930 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 687 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 304 человека из 68 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:Многочлены. 10 класс.Скачать

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 594 673 материала в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 02.10.2018
• 225
• 0

• 02.10.2018
• 25826
• 873

• 02.10.2018
• 605
• 2

• 02.10.2018
• 459
• 0

• 02.10.2018
• 701
• 1

• 02.10.2018
• 3130
• 9

• 02.10.2018
• 292
• 0

• 02.10.2018
• 458
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 02.10.2018 724
• DOCX 184.5 кбайт
• 6 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Коваленко Светлана Геннадьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 7 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 37996
• Всего материалов: 29

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Уравнение sinx=aСкачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса

Время чтения: 1 минута

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Минобрнауки и Минпросвещения запустили горячие линии по оказанию психологической помощи

Время чтения: 1 минута

Студенты российских вузов смогут получить 1 млн рублей на создание стартапов

Время чтения: 3 минуты

Академическая стипендия для вузов в 2023 году вырастет до 1 825 рублей

Время чтения: 1 минута

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать

Конспект урока по теме: ”Тригонометрические уравнения. Решение простейших тригонометрических уравнений вида sinx = a. “
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Разобраны свойства функции sinx. Приведено решение уравнения sinx=a. Разобраны 4 примера.

Видео:Алгебра 10 класс. Тригонометрия. Уравнения: sinx=a.Скачать

Скачать:

Видео:Алгебра 10 класс (Урок№43 - Уравнение tg x=a.)Скачать

Предварительный просмотр:

Тема: ”Тригонометрические уравнения. Решение простейших тригонометрических уравнений вида sinx = a. “

Эпиграф урока: ”Изучать что-либо и не задумываться над

выученным — абсолютно бесполезно.

Задумываться над чем-либо, не изучив

предварительно предмет раздумий-

Основные цели: 1) Повторить с учащимися определение и свойства функции

у = sinx и ее график.

2) Сформировать умение решать простейшие

тригонометрические уравнения, а также уравнения,

сводящиеся к простейшим в результате преобразования

1) Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений/

Ю.Н.Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И.Нешков, С. Б.Суворова;

Под ред. С. А. Теляковского. – 4-е изд. – М.: Прсвещение,1997. –

272 с.: ил. – ISBN 5-09-007514-X.

2) Галицкий М.Л. и др.

Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учебное пособие для

учащихся школ и классов с углубленным изучением математики/

М.Л. Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. – 3-е изд. – М.: 1996. –

1.Вводная беседа (о программе, тетрадях, требованиях).

Фронтально проверить домашнее задание.

2.Повторение материала по вопросам.

a) Дать определение sinx.

Чтобы определить понятия тригонометрических функций, рассматривают круг с центром, расположенным в начале координат, и радиусом равным единице (это так называемый тригонометрический круг). Для любого действительного числа х можно провести радиус OQ этого круга, образующий с осью абсцисс угол, радианная мера которого равна числу х (положительным считается направление поворота против хода часовой стрелки).

Пусть конец единичного радиуса OQ, соответствующего углу х,

совпадает с точкой Q(a;b) окружности; тогда координаты (a;b) точки Q называют координатами конца радиуса, соответствующего углу х.

Определение . Число, равное ординате конца единичного радиуса, соответствующего углу х, называется синусом угла х и обозначается sinx.

Поскольку каждому значению величины угла х на тригонометрическом круге соответствует единственная точка Q(a;b) такая, что радиус OQ образует угол х с осью абсцисс, то введенное отображение y = sinx является функцией.

б) Область определения функции . Так как для любого значения угла однозначно определена точка, являющаяся концом соответствующего радиуса, то область определения функции y = sinx – множество действительных чисел. Пишут D(sin) = R.

в) Область значений функции . E(sin) = [-1;1]. Действительно, ордината всякой точки, являющейся концом радиуса тригонометрического круга, может принимать лишь значения на отрезке [-1;1]. С другой стороны, для каждого значения ординаты b из этого отрезка можно указать хотя бы одну точку на окружности, имеющую эту ординату. Следовательно, это значение b будет синусом угла, образованного положительным направлением оси абсцисс и радиусом, соединяющим центр окружности и построенную точку.

г) Периодичность . Наименьший положительный период функции равен 2π . Докажем это. Поскольку центральный угол, опирающийся на дугу, совпадающую со всей окружностью, равен 2π , то точки, соответствующие углам х, (х+2π), (х -2π), изображаются на тригонометрическом круге одной и той же точкой, следовательно, синусы этих углов равны. Это означает, что число T=2π является периодом рассматриваемой функции. Докажем, что это наименьший положительный период. Рассмотрим значение функции y = sinx, равное единице. Оно достигается, только если х = π/2 + 2πn, n є Ζ. Следовательно, никакое число, меньшее 2π не может быть периодом.

д) Четность или нечетность . Рассмотрим (рис.2) точки M и N, соответствующие на тригонометрическом круге углам х и –х. Поскольку всякий круг симметричен относительно любой прямой, проходящей через его центр (а ось Оx является такой прямой), и равные по величине углы при симметрии переходят в равные углы, то точки M и N симметричны относительно оси Оx, следовательно, их ординаты противоположны. Это означает, что для любого значения х выполнено

sin(-x) = -sinx, т. е. функция y = sinx является нечетной.

е) Точки пересечения графика с осями координат . График пересекает ось Ох в точках с абсциссами, определяемыми уравнением sinx=0, т. е.

х = πn, n є Ζ; график пересекает ось Оу в точке с ординатой,

определяемой равенством y = sin0, т.е. у = 0.

ж) Промежутки знакопостоянства функции . Так как ординаты точек, лежащих в верхней полуплоскости, положительны, а точек, расположенных в нижней полуплоскости, отрицательны, то sinx > 0 при

х є (2πk; π + 2πk), k є Ζ; sin x

з) Наибольшее и наименьшее значение . Наибольшее значение, равное 1, достигается при х = π/2 + 2πn, n є Ζ ; наименьшее значение, равное -1, достигается при х = — π/2 + 2πn, n є Ζ ;

и) Интервалы возрастания и убывания . Функция не является монотонной на всей области определения; она является монотонной на отрезках: возрастает при х є ( — π /2 +2πk; π /2 + 2πk), k є Ζ; убывает при

х є (π /2+ 2πk; 3π /2 + 2πk ), k є Ζ .

Для исследования функции на возрастание и убывание воспользуемся признаком возрастания и убывания, то есть найдем производную

f ́ (x) = (sinx) ́= cosx. Так как абсциссы точек, лежащих в правой полуплоскости положительны, то cos x >0 при х є ( — π /2 +2πk; π /2 + 2πk),

k є Ζ, следовательно, функция y = sinx будет возрастать на каждом промежутке вида ( — π /2 +2πk; π /2 + 2πk), k є Ζ . Абсциссы точек, лежащих в левой полуплоскости, отрицательны, т.е. cos x

х є (π /2+ 2πk; 3π /2 + 2πk ), k є Ζ ; следовательно, на этих промежутках производная отрицательна и функция y = sinx будет убывать на промежутках вида (π /2+ 2πk; 3π /2 + 2πk ), k є Ζ.

к) Асимптоты . График функции асимптот не имеет.

3. Изложение нового материала.

Решение уравнения sin х = а.

Поскольку по определению синусом угла называется ордината точки, лежащей на окружности единичного радиуса, то для решения уравнения

sin x =a надо найти на окружности все точки имеющие ординату a, т.е. лежащие на прямой y = a, см. рис.4

По теореме о взаимном расположении прямой и окружности на плоскости заключаем, что при |a| > 1 прямая и окружность общих точек не имеют, следовательно и рассматриваемое уравнение не имеет решений. Если |a| = 1, то прямая

y = a касается окружности, т.е. имеет с ней ровно одну общую точку C. Наконец, если |a|

Для записи решения уравнения sin x = a вводят понятие арксинуса числа a. Чтобы однозначно определить угол х0 , соответствующий числу а, приходится требовать выполнения дополнительного условия, например, чтобы этот угол принадлежал интервалу [-π /2; π /2].

Определение. Арксинусом числа а, а є [-1;1], называется такое число х0, принадлежащее отрезку [-π /2; π /2], синус которого равен а. Это число обозначается arcsin a.

Из определения следует, что для каждого числа а, |a| ≤ 1, выполнено

sin(arcsin a) = a и −π /2 ≤ arcsin a ≤ π /2;

и наоборот, если выполнены условия

sinx = a и −π /2 ≤ a ≤ π /2 ,

С помощью введенного понятия удобно записать решение уравнения. По определению, точке пересечения A соответствует угол х1 = arcsin a, см. рис.4. Учитывая периодичность функции y = sin x, получим серию решений

x = arcsin a + 2πk, k є Ζ .

Точка В, как отмечалось, симметрична точке А относительно оси Оу, поэтому ей соответствует угол х2 = π − arcsin a, поэтому можно записать вторую серию решений

x = π − arcsin a + 2πk, k є Ζ .

Других решений рассматриваемое уравнение иметь не может, поскольку противное означало бы, что окружность и прямая пересекаются более чем в двух точках.

Для сокращения записи две полученные серии решений обычно объединяют в одну

x = (-1) arcsin a + πk, k є Ζ .

При четных значениях k эта формула соответствует первой серии решений; при нечетных — второй.

4. Решение нескольких примеров на доске.

Пример 1 . Решить уравнение sin(π /6 – 2x) = √3 /2.

□ Имеем π /6 – 2x = ( — 1) arcsin √3 /2 + πk. Так как arcsin √3 /2 = π /3, то

π /6 – 2x = ( — 1) π /3 + πk, откуда х = — ( — 1) π /6 + π /12 + πk /2, или

х = (-1) π /6 + π /12 (6k + 1), k є Ζ.■

Если уравнение не является простейшим, то с помощью тождественных преобразований его нужно свести к одному или нескольким простейшим уравнениям, совокупность которых равносильна заданному.

При решении тригонометрических уравнений часто используются разложение на множители и введение новой переменной (метод подстановки).

Пример 2 . Решить уравнение sin x = sin 2x cos 3x.

□ Применив к sin 2x формулу синуса двойного аргумента, получим

sin x = 2 sin x cos x cos 3x; sin x (1 — 2 cos x cos 3x) = 0.

Так как множители в левой части этого уравнения имеют смысл при любых значениях х, то оно равносильно совокупности двух уравнений: sin x = 0 и

1 — 2 cos x cos 3x = 0.

Первому уравнению удовлетворяют значения x = πn, n є Ζ.

Для решения второго уравнения преобразуем произведение косинусов в сумму; имеем 1 – (cos 4x + cos 2x) = 0. Поскольку 1- cos 4x = 2 sin 2x, уравнение принимает вид 2sin 2x – cos 2x = 0, или 2(1-cos 2x)-cos 2x = 0, откуда получим 2cos 2x + cos 2x – 2 = 0— квадратное уравнение относительно cos 2x. Полагая cos 2x = z , имеем 2z + z – 2 = 0. Решив это уравнение, находим z1 = (-1 + √17) /4, z2 = (-1-√17) /4. Так как

|z2| =|(-1-√17) /4| >1, то уравнение cos 2x = z2 не имеет решений. Остается решить уравнение cos 2x = (-1 + √17) /4. Имеем 2х = ± arccos(√17-1) /4 + 2πk, k є Ζ. Итак получаем ответ: x = πn; х = ± (1 /2)arccos(√17 -1) /4 + πk, k,n є Ζ. ■

При решении уравнения методом разложения на множители оно может не быть равносильным полученной совокупности уравнений, так как возможно появление посторонних корней. Чтобы избежать ошибки в ответе, нужно исключить из найденных значений неизвестного те, для которых заданное уравнение не имеет смысла.

Пример 3 . Решить уравнение (1-sinx)(tg x-3) = 0.

□ Найдем значения х, удовлетворяющие каждому из уравнений 1-sinx = 0 и tg x-3 = 0; если sinx = 1,то получим

x = π /2 + 2πk, k є Ζ; (1)

если tg x = 3, т. е. tgx = ±√3, то

x = ±π /3 + πn, n є Ζ. (2)

Однако было бы ошибочным считать ответом объединение решений (1) и (2). Дело в том, что исходное уравнение не имеет смысла для значений

x = π /2 +πn (n є Ζ), поэтому первое из предполагаемых решений непригодно и ответом является только второе решение x = ±π /3 + πn, n є Ζ.■

Пример 4 . Решить уравнение cosx cos2x cos4x = 1/8.

□ Наиболее быстрый способ решения – умножение правой и левой частей равенства на 8sinx, хотя при этом возможно появление посторонних корней. Чтобы избежать этого, следует учитывать, что в окончательное решение не должны входить значения х, для которых sinx = 0, т.е. значения x = πn (nєΖ), так как они не удовлетворяют исходному уравнению.

После умножения на 8sinx уравнение примет вид

8sinx cosx cos2x cos4x = sinx.

Последовательно трижды применив формулу sin2x = 2 sinx cosx, получим сначала 4sin2x cos2x cos4x = sinx, затем 2sin4x cos4x = sinx и далее

sin8x = sinx, или sin8x — sinx = 0.Преобразуя по формуле

sinx-siny = 2cos(x+y)/2 sin(x-y)/2 разность синусов в произведение, получаем

Пусть sin 7x/2 = 0, тогда 7х/2 = πk (k є Ζ), откуда х = 2πk /7, k є Ζ, причем следует исключить значения х = 2πn (n є Ζ), получающиеся при k = 7n, как посторонние для исходного уравнения. Пусть теперь cos 9x/2 = 0;

тогда 9х/2 = π /2 + πm (m є Ζ), откуда х = π (2m +1) /9 (m є Ζ), причем следует исключить значения х = π(2n +1) (n є Ζ), получающиеся при m=9n+4 (nєΖ),как посторонние для исходного уравнения.

Итак, получаем ответ: х = 2πk /7, где целое k ≠ 7n, n є Ζ; х = π (2m + 1) /9, где целое m ≠ 9n + 4, n є Ζ. ■

5. Заключение урока.

1) теоретико-прикладные итоги урока; дифференцированная оценка

уровня ментального опыта учащихся: уровня усвоения ими темы,

компетентности, качества устной и письменной математической речи;

уровня проявленного творчества; уровня самостоятельности и рефлексии; уровня инициативы, познавательного интереса к отдельным методам математического мышления; уровней сотрудничества, интеллектуальной состязательности, стремления к высоким показателям учебно-математической деятельности и др.;

2) объявление аргументированных отметок, поурочного балла;

3) сбор тетрадей с домашней работой на выборочную или сплошную

📸 Видео

Тригонометрия для Чайников, 10 класс, Уравнения, Урок 7Скачать

Математика это не ИсламСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Подготовка к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Решение тригонометрических уравнений. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Решение тригонометрических уравнений. 10 класс.Скачать

Тригонометрия. 10 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Алгебра 10 класс (Урок №1 - Многочлен P(x) и его корень. Алгебраическое уравнение.)Скачать

Решение тригонометрических уравнений. Метод вспомогательного угла. 10 класс.Скачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ - Решение Тригонометрических уравнений / Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Решение уравнений вида sin x = aСкачать