Конспект решение систем уравнений с параметром (2 видео)

Решение уравнений, систем уравнений с параметрами графическим способом
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

При подготовке к экзаменам, с выпускниками 11 класса я провожу семинары по решению задач.. На этом семинаре решались задачи с параметрами. Задачи взяты из сборников ЕГЭ.

Содержание

Скачать:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Решение систем линейных уравнений с параметрами
Урок «Решение систем уравнений с параметром» (углубленный уровень)
🎬 Видео

Видео:Математика | Параметр. Система уравнений с параметромСкачать

Скачать:

Вложение	Размер
obshchaya.ppt	2.56 МБ

Предварительный просмотр:

Видео:Системы линейных уравнений с параметром.Скачать

Подписи к слайдам:

Решение уравнений, систем уравнений с параметрами графическим способом. ГБОУ СОШ №249 Теплякова Л.Ф.

Эпиграф Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи – решайте их. Д. Пойа “Математическое открытие”

Переменные a, b, c, . которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами , а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры. Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, . а неизвестные — буквами x, y, z.

Решить уравнение с параметрами — значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они. Существует несколько алгоритмов решения уравнений с параметрами.

Аналитический способ решения. Является наиболее сложным способом решения выражений с параметром. Требует точное знание таких понятий как область определения, равносильность, тождественность, следствие, а также теорем связанных с этими понятиями. В ЕГЭ представлены варианты которые возможно решить наиболее простым способом.

Алгоритм решения уравнений с параметром графическим способом. 1. Находим область определения. 2. Переносим выражение содержащее a в правую часть. 3. В системе координат строим графики для левой и правой части для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения ( неравенства). 4.Находим точки пересечения графиков функций, определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение относительно х. 4. Записываем ответ.

Для успешного решения задач типа С5 необходимо : Уметь решать рациональные, иррациональные, показательные, тригонометрические и логарифмические уравнения, их системы Уметь строить графики изученных функций Использовать для приближенного решения графический метод

Уравнения некоторых линий

Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение | | x | + 5 – a | = 2 имеет ровно три корня.

Найдите все значения p, при каждом из которых для любого q система имеет решения.

Рассмотрим первое уравнение x + y = 1 Заметим, что выражение является уравнением окружности с центром в точке (0 ; 0) и радиусом равным одному. Решение. 2 2

Теперь исследуем второе выражение : y = q|x| + p Графиком | х | является так называемая галочка. От коэффициента q зависит насколько отдалены от оси OY её ветви и куда они направлены, так при q 0 верх. От коэффициента р зависит передвижение графика по оси OY . Для наглядного решение нам потребуется построение графика.

Таким образом система будет иметь решение при p >= -1 и p 12 0 4

1. Найти а при котором данная функция имеет более двух точек экстремума 2. Найдите все значения параметра a при каждом из которых функция имеет хотя бы одну точку максимума

Раскрываем модуль: 1) При х 2) При х

Найдем вершины парабол 1) 2) Приравняем функции и найдем значение а а =х 2

ГРАФИК ИМЕЕТ 2 ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА , НО НЕТ ТОЧЕК МАКСИМУМА

ОТВЕТ : а принадлежит [ -2 ; -1 ] и [ 1 ; 2 ] ПРИ ДАННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ФУНКЦИЯ ИМЕЕТ ТРИ ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА И ТОЧКУ МАКСИМУМА

Благодорим ребят : Радимушкина Дмитрия, Заботину Аллу, Иванову Алину, Клушенцову Александру, Дорофееву Элеонору, Сонину Маргариту, Поводову Анастасию, Янушевского Олега , ЗА ПОМОШЬ В ПОДГОТОВКЕ ПРЕЗЕНТАЦИИ.

Видео:Математика это не ИсламСкачать

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

презентация к уроку решение систем уравнений и неравенств графическим способом

презентация к уроку» решение систем уравнений и неравенств графическим способом».

Интегрированный урок по алгебре и истории математики в 7 классе по теме: «Решение линейных систем уравнений с двумя переменными». систем

Урок алгебры в 7 классе Тема урока: «Решение систем линейных уравнений»Ведущая идея урока: «Ученик учится САМ, учитель только помогает»Цели урока:а) показать алгоритм решения системы линейных ур.

Урок математики в 9 классе «Решение систем уровнений II степени графическим способом»

урок предназначен для закрепления навыков построения графиков функций и их применение при решении систем уравнений.

«Графическое решение уравнений и неравенств с параметрами»

Цели:1) Образовательная -ученик должен знать способы решения задач с параметрами.2) Развивающая – ученик должен уметь применять способы решения задач с параметрами.

Урок на тему «Решение систем уравнений способом подстановки и способом сложения».

Урок изучения новой темы в компетентностно- констектной модели обучения и воспитания (первый этап всей изучаемой темы).

План-конспект урока “Решение систем уравнений” (способ подстановки и способ сложения)

Приводится план-конспект урока алгебры в 9 классе.

Урок «Решение заданий с параметрами графическим способом»

В материалах представлена разработка урока в 11 классе.

Видео:Задача 17 ЕГЭ профильный. Параметры с нуляСкачать

Решение систем линейных уравнений с параметрами

Разделы: Математика

Цель:

повторить решение систем линейных уравнений с двумя переменными
дать определение системы линейных уравнений с параметрами
научит решать системы линейных уравнений с параметрами.

Ход урока

Организационный момент
Повторение
Объяснение новой темы
Закрепление
Итог урока
Домашнее задание

2. Повторение:

I. Линейное уравнение с одной переменной:

1. Дайте определение линейного уравнения с одной переменной

[Уравнение вида ax=b, где х – переменная, а и b некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной]

2. Сколько корней может иметь линейное уравнение?

[- Если а=0, b0, то уравнение не имеет решений, х

— Если а=0, b=0, то х R

— Если а0, то уравнение имеет единственное решение, х =

3. Выясните, сколько корней имеет уравнение (по вариантам)

I ряд – I вариант

Ответ: много корнейII ряд – II вариант

Ответ: корней нетIII ряд – III вариант

Ответ: единственный корень

II. Линейное уравнение с 2 –мя переменными и система линейных уравнений с 2- мя переменными.

1. Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными. Приведите пример.

[Линейным уравнением с двумя переменными называются уравнения вида ах +by=с, где х и у – переменные, а, b и с – некоторые числа. Например, х-у=5]

2. Что называется решением уравнения с двумя переменными?

[Решением уравнения с двумя переменными называются пара значений переменных, обращающие это уравнение в верное равенство.]

3. Является ли пара значений переменных х = 7, у = 3 решением уравнения 2х + у = 17?

4. Что называется графиком уравнения с двумя переменными?

[Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых является решениями этого уравнения.]

5. Выясните, что представляет собой график уравнения:

[Выразим переменную у через х: у=-1,5х+3

Формулой у=-1,5х+3 является линейная функция, графиком которой служит прямая. Так как, уравнения 3х+2у=6 и у=-1,5х+3 равносильны, то эта прямая является и графиком уравнения 3х+2у=6]

6. Что является графиком уравнения ах+bу=с с переменными х и у, где а0 или b0?

[Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.]

7. Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?

[Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство]

8. Что значит решить систему уравнений?

[Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.]

9. Выясните, всегда ли имеет такая система решения и если имеет, то сколько (графическим способом).

10. Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными?

[Единственное решение, если прямые пересекаются; не имеет решений, если прямые параллельны; бесконечно много, если прямые совпадают]

11. Каким уравнением обычно задается прямая?

12. Установите связь между угловыми коэффициентами и свободными членами:

I вариант:

у=-х+2
y= -x-3,

k₁ = k₂, b₁b_2, нет решений;II вариант:

y=-х+8
y=2x-1,

k₁k₂, одно решение;III вариант:

y=-x-1
y=-x-1,

k₁ = k₂, b₁ = b_2, много решений.

Вывод:

Если угловые коэффициенты прямых являющихся графиками этих функций различны, то эти прямые пересекаются и система имеет единственное решение.
Если угловые коэффициенты прямых одинаковы, а точки пересечения с осью у различны, то прямые параллельны, а система не имеет решений.
Если угловые коэффициенты и точки пересечения с осью у одинаковы, то прямые совпадают и система имеет бесконечно много решений.

На доске таблица, которую постепенно заполняет учитель вместе с учениками.

III. Объяснение новой темы.

где A_1, A_2, B₁,B_2, C₁ C_{2 –} выражения_, зависящие от параметров, а х и у – неизвестные, называется системой двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными в параметрах.

Возможны следующие случаи:

1) Если , то система имеет единственное решение

2) Если , то система не имеет решений

3) Если , то система имеет бесконечно много решений.

IV. Закрепление

Пример 1.

При каких значениях параметра а система

2х — 3у = 7
ах — 6у = 14

а) имеет бесконечное множество решений;

б) имеет единственное решение

а) , а=4

б) , а?4

а) если а=4, то система имеет бесконечное множество решений;

б) если а4, то решение единственное.

Пример 2.

Решите систему уравнений

x+(m+1)y=1
x+2y=n

Решение: а) , т.е. при m1 система имеет единственное решение.

б) , т.е. при m=1 (2=m+1) и n1 исходная система решений не имеет

в) , при m=1 и n=1 система имеет бесконечно много решений.

Ответ: а) если m=1 и n1, то решений нет

б) m=1 и n=1, то решение бесконечное множество

у — любое
x=n-2y

в) если m1 и n — любое, то

y= x=

Пример 3.

Для всех значений параметра а решить систему уравнений

ах-3ау=2а+3
х+ау=1

Решение: Из II уравнения найдем х=1-ау и подставим в I уравнение

1) а=0. Тогда уравнение имеет вид 0*у=3 [у ]

Следовательно, при а=0 система не имеет решений

Следовательно, у . При этом х=1-ау=1+3у

3) а0 и а-3. Тогда у=-, х=1-а(-=1+1=2

1) если а=0, то (х; у)

2) если а=-3, то х=1+3у, у

3) если а0 и а?-3, то х=2, у=-

Рассмотрим II способ решения системы (1).

Решим систему (1) методом алгебраического сложения: вначале умножим первое уравнение системы на В_2, второе на – В₁ и сложим почленно эти уравнения, исключив, таким образом, переменную у:

Т.к. А₁В₂-А₂В₁0, то х =

т.к. А₂В₁-А₁В₂ 0 у =

Для удобства решения системы (1) введем обозначения:

_— главный определитель

Теперь решение системы (1) можно записать с помощью определителей:

х= ; у=

Приведенные формулы называют формулами Крамера.

— Если , то система (1) имеет единственное решение: х=; у=

— Если , или , , то система (1) не имеет решений

— Если , , , , то система (1) имеет бесконечное множество решений.

В этом случае систему надо исследовать дополнительно. При этом, как правило, она сводится к одному линейному уравнению. В случае часто бывает удобно исследовать систему следующим образом: решая уравнение , найдем конкретные значения параметров или выразим один из параметров через остальные и подставим эти значения параметров в систему. Тогда получим систему с конкретными числовыми коэффициентами или с меньшим числом параметров, которую надо и исследовать.

Если коэффициенты А₁, А₂, В₁, В₂, системы зависят от нескольких параметров, то исследовать систему удобно с помощью определителей системы.

Пример 4.

Для всех значений параметра а решить систему уравнений

(а+5)х+(2а+3)у=3а+2
(3а+10)х+(5а+6)у=2а+4

Решение: Найдем определитель системы:

= (а+5)(5а+6) – (3а+10) (2а+3)= 5а 2 +31а+30-6а 2 -29а-30=-а 2 +2а=а(2-а)

= (3а+2) (5а+6) –(2а+4)(2а+3)=15а 2 +28а+12-4а 2 -14а-12=11а 2 +14а=а(11а+14)

=(а+5) (2а+4)-(3а+10)(3а+2)=2а 2 +14а+20-9а 2 -36а-20=-7а 2 -22а=-а(7а+22)

1) Тогда

х= у=

2) или а=2

При а=0 определители

Тогда система имеет вид:

5х+3у=2 5х+3у=2
10х+6у=4

При а=2 Этого достаточно, чтобы утверждать, что система не имеет решений.

1) если а и а, то х= у=

2) если а=0, то х,

3) если а=2, то (х; у)

Пример 5.

Для всех значений параметров а и b решить систему уравнений

Решение: = =а+1-2b

= = b -6; = 3a+3-b

1) . Тогда

х= у=

Подставив выражение параметра а в систему, получим:

2bx+2y=b 2bx+2y=b
bx+y=3 2bx+2y=6

Если b6, то система не имеет решений, т.к. в этом случае I и II уравнения системы противоречат друг другу.

Если b=6, а=2b-1=2*6-1=11, то система равносильна одному уравнению

12х+2у=6 у=3-6х

1) если , (а), то x=, y=

2) если b, a, то система не имеет решений

3) если b=6, а=11, то х, у=3-6х

Итог урока: Повторить по таблице и поставить оценки.

При каких значениях параметра система уравнений

3х-2у=5
6х-4у=b

а) имеет бесконечное множество решений

б) не имеет решений

б) b10

Видео:Самая сложная тема из ЕГЭ. Задание с ПАРАМЕТРОМ | Математика TutorOnlineСкачать

Урок «Решение систем уравнений с параметром» (углубленный уровень)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Конспект урока по теме: «Решение систем уравнений с параметром»

Решение систем уравнений с параметром

УМК Никольский С.М. «Алгебра и начала анализа»

Место урока в системе уроков по теме (всего уроков на тему/номер урока по теме): 1/2

Тип урока: урок открытия нового знания

Дидактические единицы учебного материала, которыми ученик должен владеть для успешной работы на уроке

Дидактические единицы учебного материала, которые ученик изучит на уроке

Понятия: система уравнений с параметром

Утверждения (теоремы, аксиомы): что значит решить систему уравнений с параметром

Алгоритмы (правила): общие принципы решения систем уравнений с параметром

Методы (рассуждений, решения задач): дедуктивный

-основные виды графиков известных на данном этапе обучения функций,

-как выглядит уравнение с параметром,

-в чем заключается графический метод решения систем уравнений с параметром

-понятие уравнения с параметром,

-система двух уравнений,

-что значит решить уравнение,

-в чем заключаются различные методы решений уравнений с параметром

-находить решение системы уравнений,

-находить решение уравнения с параметром

Планируемые предметные результаты урока

Ученик должен знать

Ученик должен уметь

Ученик научится представлять и понимать

-понятие системы уравнений,

-основные методы решения систем уравнений

-понятие системы уравнений,

-основные методы решения систем уравнений

-понятие системы уравнений,

-принцип решения уравнения с параметром,

-основные методы решения систем уравнений

-находить решение системы двух уравнений любым из известных ему способов

-находить решения уравнения с параметром,

-находить решение системы двух уравнений любым из известных ему способов

-находить решения уравнения с параметром,

-находить решение системы двух уравнений различными способами (аналитический, графический), определяя при этом наиболее предпочтительный

Научится находить решение системы уравнений с параметром, применяя различные методы решения

Метапредметная направленность урока заключается в —

Личностная направленность урока заключается в —

Дидактические средства обучения

компьютер, проектор, презентация Power Point

Методические пособия для учителей по теме урока, справочники

Учебное пособие, презентация, конспект в тетради, справочные материалы

(определяется планируемыми результатами и способами их достижения)

Овладение методами решения систем уравнений с параметрами

Повторить, закрепить и узнать приемы решения уравнений и их систем с параметрами из различных разделов элементарной математики: иррациональных, показательных, логарифмических и других трансцендентных уравнений, неравенств и их систем.

Отработать навыки решения различных уравнений и неравенств, содержащихся в примерных вариантах профильного уровня ЕГЭ.

воспитание чувства ответственности, формирование творческого подхода к решению поставленной задачи, интереса к познавательному поиску.

1. Мотивирование на учебную деятельность

Поприветствовать детей, создать благожелательную атмосферу урока, нацелить учащихся на работу

— сформированность позитивной моральной самооценки и моральных чувств.

— интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие и сотрудничество со сверстниками и взрослыми,

— умение выражать свои мысли в соответствии с условиями коммуникации,

— планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.

— предвосхищение результата и уровня усвоения знаний.

2. Актуализация знаний

Актуализировать ранее изученные понятия, алгоритмы и навыки

Вспомнить, в чем заключается понятие уравнения, что значит решить уравнение, что значит решить систему двух уравнений, основные виды графиков известных функций, в чем заключается понятие параметра, уравнения с параметром, как решить уравнение с параметром, какие применяются для этого методы

— умение задавать вопросы,

— формулирование собственного мнения,

— умение строить речевое высказывание,

— анализ объектов с целью выделения признаков,

— выбор оснований и критериев для сравнения,

— планирование своих действий

3. Целеполагание, постановка проблемы

Подведение детей к формулировке и постановке задач урока. Составление плана работы

Организовать анализ учащимися возникшей ситуации и на этой основе выявить места и причины затруднения, осознать то, в чем именно состоит недостаточность их знаний, умений или способностей.

— умение выражать свои мысли в соответствии с условиями коммуникации,

— планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.

— установление причинно-следственных связей,

— построение рассуждения в форме связи простых суждений об объекте,

— создание способов решения проблемы.

4. Решение проблемы

Предложить сформулировать цель урока.

Научить учащихся, применяя полученные знания, решать системы двух уравнений с параметром, использовать для этого различные известные методы

Сформировать умение применять на практике освоенные умения как при решении задачи, вызвавшей затруднение, так и при решении других задач такого типа.

Находить множество решений систем уравнений с параметром, отработать этот навык, рассмотрев задания, содержащиеся в примерных вариантах профильного уровня ЕГЭ.

-учёт разных мнений и стремление к координации различных позиций в сотрудничестве,

— принятие и сохранение учебной задачи,

— планирование своих действий в соответствии с поставленной задачей и условиями её реализации,

— выделение существенной информации,

— поиск разнообразных способов решения задачи

5. Систематизация знаний

Усвоение учащимися навыка решения систем уравнений с параметром

Этап первичного закрепления и самостоятельного решения несколько типовых заданий на закрепление нового навыка

— формирование мотивов достижения целей,

Формирование границ «знания» и «незнания».

— принятие и сохранение учебной задачи,

— учёт правила в планировании и контроле способа решения,

— различение способа и результата действия.

— построение речевого высказывания в письменной форме,

— установление причинно-следственных связей

6. Подведение итогов

Соотнесение поставленных задач с достигнутым результатом, фиксация нового знания, постановка дальнейших целей

— формирование самоидентификации, адекватной позитивной самооценки, самоуважения и самопринятия.

— восприятие оценки учителя,

— построение речевого высказывания в устной и письменной форме.

(с указанием конкретных методов и приемов, техник обучения, средств и форм контроля, учебно-познавательных и учебно-практических задач, решаемых на данном этапе)

Продукт деятельности учащихся

1. Мотивирование на учебную деятельность

Организационный момент, приветствие, пожелание.

Приветствует учащихся, проверяет их готовность к уроку

Приветствуют учителя, проверяют свою готовность к уроку

2. Актуализация знаний

Задает учащимся вопросы по пройденным темам, актуализируя знания, необходимые для формулирования темы урока, представляет вниманию учащихся задания для отработки освоенных ранее навыков

Отвечают на вопросы учителя, решают уравнения с параметром, вспоминают такие понятия, как параметр, уравнения с параметром, система двух уравнений, что значит решить уравнение, в чем заключаются различные методы решений уравнений с параметром

Конспект учащихся в тетради

Выявление места и причины затруднения

Организует диалог с учащимися, в ходе которого конкретизирует понятия, формулирует некоторые задачи урока, помогает учащимся сформулировать возникшую проблему нахождения решений системы уравнений с параметром

На основе наводящих вопросов учителя самостоятельно формулируют проблему, с которой столкнулись

Конспект учащихся в тетради

Дает определение системы уравнений с параметром и понятия, что значит решить систему уравнений с параметром, рассказывает об известных методах решения системы уравнений с параметром.

Выписывают выводы, определения. Учатся решать системы уравнений с параметром различными методами

Конспект в тетради

5. Систематизация знаний

Возвращает учащихся к исходной системе уравнений, вызвавшей трудность, показывает, что теперь они могут самостоятельно справиться с данной проблемой.

Предлагает учащимся выполнить самостоятельно ряд заданий на закрепление приобретенных навыков

Применяют полученные знания в решении поставленной в ходе урока проблемы, выполняют самостоятельно ряд заданий на закрепление изученной темы

Выполненные в тетради самостоятельные задания

6. Подведение итогов

Задает вопросы о задачах урока.

Проговаривают по плану новые знания, высказывают свои впечатления от урока

Этап 1. Мотивирование на учебную деятельность (1-2 мин)

Добрый день, дорогие ученики! Рада приветствовать вас на уроке алгебры. Как ваше настроение? Сегодня нас ждёт новая, но интересная тема. Я уверена, что к концу урока каждый из вас научится применять новые знания на практике. Запишите, пожалуйста в ваших тетрадях сегодняшнее число и «Классная работа». Начнём!

Этап 2. Актуализация знаний (5-7 мин)

Для того, чтобы успешно усвоить новые знания сегодняшнего урока, давайте вспомним с вами ряд понятий и определений, изученные вами на сегодняшний день.

Вопрос. Кто скажет мне, что же такое уравнение? (Уравнение – это равенство, содержащее неизвестную, значение которой необходимо найти)

Вопрос. Хорошо! А что же тогда значит решить уравнение? (Решить уравнение – значит найти все его корни (значения неизвестной) или доказать, что корней нет)

Вопрос. Молодцы! Но уравнения бывают совершенно разные! На предыдущих уроках мы с вами изучали решение уравнений и неравенств с параметром. Напомните мне, что же это такое? (Параметр – это величина, значение которой является постоянным в пределах рассматриваемой задачи)

Вопрос. И как же найти решение уравнения с параметром? (Найти множество всех значений корней при заданных условиях, удовлетворяющих заданному параметру)

Отлично! Вижу, материал усвоили хорошо, поэтому мы можем смело переходить к следующей вехе в большой области знаний под названием «Уравнения с параметром» и, для начала, поговорим о системах двух уравнений.

Вопрос. Какие основные методы решения систем уравнений вам известны? (Аналитический и графический)

Аналитический метод не вызывает, как правило у вас сложностей, а по поводу графического – стоит вспомнить основные функции и их графики. Попробуем установить соответствие? (Учитель показывает на слайде функции и их графики, учащиеся устанавливают между ними соответствия)

И с этой задачей справились на «ура»! Мы с вами вспомнили основные моменты, пришло время перейти от слов к делу. Давайте попробуем решить такую систему и определить, сколько же она имеет решений:

Анализируя данную систему, можно заметить, что первое уравнение представляет из себя уравнение окружности с неизвестным нам радиусом. Второе же – хорошо знакомая вам квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх. Так как же нам быть? Как определить, каков радиус нашей окружности? Как узнать количество решений такой системы? Именно об этом мы и будем говорить сегодня на уроке!

Этап 4. Решение проблемы (15 мин)

Решение уравнений с параметрами возможно аналитически и графически. Решение уравнений графически позволяет наглядно представить решение.

Научимся решать системы уравнений с параметром на примере:

Пример. Найдите все значения a , при каждом из которых система

имеет единственное решение.

Решение системы может быть единственным в двух случаях.

Случай 1. Единственное решение является граничной точкой для множества решений каждого из двух неравенств. В этом случае это единственное решение должно удовлетворять системе уравнений

Вычитая из второго уравнения первое, получаем

откуда или

Если то а значит, При этом значении a система принимает вид

Единственное решение:

Если то откуда Получаем

При этом значении a система имеет бесконечно много решений.

Случай 2. Одно из неравенств имеет единственное решение, удовлетворяющее другому неравенству.

Первое неравенство имеет единственное решение при

откуда

Первое неравенство имеет единственное решение , которое удовлетворяет второму неравенству.

Второе неравенство имеет единственное решение при

откуда

Второе неравенство имеет единственное решение , которое не удовлетворяет первому неравенству.

Ответ:

В данном примере мы применили аналитический метод решения системы уравнений.

Рассмотрим другой пример

Пример. Найдите все значения a , при каждом из которых система уравнений

имеет более двух решений.

Решение Рассмотрим первое уравнение системы. Мы видим, что данное уравнение распадается в совокупность двух систем

Найдем значения параметра a , при которых система имеет более 2 решений.

2 решения система имеет в случае касания окружностей (точки А и D ) и выполняется условие: (Слайд 7-8)

3 решения система имеет в случае, когда прямая проходит через точку пересечения двух окружностей. Точки В и С (Слайд 9-10)

Найдем их координаты, решив систему

, получим точки (3; -4) и (5;0).

Подставив эти координаты в уравнение прямой с параметром, получим:

Четыре решения система имеет между точками касания и полученными точками.

В остальных случаях либо нет решения, либо два решения.

Получим окончательный ответ

Этап 5. Систематизация знаний (15 мин)

Давайте теперь вернемся к нашей системе уравнений, решить которую мы сначала не смогли и найдем её корни.

Построим графики уравнений.

Из рисунка видно, при любом значении а, система будет иметь 2 решения.

А теперь закрепим полученные знания выполнением небольшой самостоятельной работы. (самостоятельно решают в тетрадях одну систему из учебника (№15.24-15.29)

Этап 6. Подведение итогов (1-2 мин)

Трудным ли для вас было покорение этой математической вершины? Я бы хотела узнать, где вы находитесь:

по-прежнему у подножия горы;

на середине пути;

изобразите себя на этой горе.

(Учащимся раздаются карточки с домашним заданием)