Конечно разностный метод решения уравнений

Видео:6.3 Решение разностных уравненийСкачать

Конечно-разностный метод решения краевых задач.

для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Примером краевой задачи является двухточечная краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:

с граничными условиями, заданными на концах отрезка [a; b]:

Следует найти такое решение у(х) на этом отрезке, которое принимает на концах отрезка значения у₀, у₁. Если функция линейна по аргументам , то задача поиска этой функции – линейная краевая задача, в противном случае – нелинейная..

Кроме граничных условий, задаваемых на концах отрезка и называемых граничными условиями первого рода, используются еще условия на производные от решения на концах — граничные условия второго рода:

или линейная комбинация решений и производных – граничные условия третьего рода:

где – такие числа, что

Возможно на разных концах отрезка использовать условия различных типов.

Наиболее распространены два приближенных метода решения краевой задачи:

— метод стрельбы (пристрелки);

Используя конечно-разностный метод, рассмотрим двухточечную краевую задачу для линейного дифференциального уравнения второго порядка на отрезке [а; b].

Введем разностную сетку на отрезке [а; b]:

Решение задачи будем искать в виде сеточной функции:

предполагая, что решение существует и единственно.

Введем разностную аппроксимацию производных следующим образом:

Подставляя эти аппроксимации производных в исходное уравнение, получим систему уравнений для нахождения y_k:

Приводя подобные члены и учитывая, что при задании граничных условий первого рода два неизвестных уже фактически определены, получим систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов:

Для этой системы уравнений при достаточно малых шагах сетки h и q(x_k)

В первом случае линейная алгебраическая система аппроксимирует дифференциальную задачу в целом только с первым порядком (из-за аппроксимации в граничных точках), однако сохраняется трех диагональная структура матрицы коэффициентов. Во втором случае второй порядок аппроксимации сохраняется везде, но матрица линейной системы не трехдиагональная.

Пример. Решить краевую задачу:

с шагом 0,2.

Во всех внутренних узлах отрезка [0; 1] после замены производных их разностными аналогами получим:

На левой границе y₀ = 1, на правой границе аппроксимируем производную односторонней разностью 1-го порядка:

С помощью группировки слагаемых, приведения подобных членов и подстановки значений x_k, а также с учётом у₀ = 1,получим систему линейных алгебраических уравнений:

.

В результате решения системы методом Крамера в Excel, получим:

Решением краевой задачи является табличная функция:

Расчетная часть

3.1. Найти действительные корни уравнения методами простых итераций и касательных (Ньютона) с точностью до 0,00001.

Решение: Для нахождения корня уравнения предварительно отделим корень уравнения графическим методом, записав уравнение в виде:

Построим в осях ХОУ графики функций:

:

Линии графиков пересекаются в единственной точке с абсциссой х₀, лежащей в интервале [0,5; 0,6], т.е.

Значение функции на концах интервала:

Т.к. знаки различны, то уравнение имеет единственный корень в интервале [0,5; 0,6].

3.1.1. Уточнение корня методом простых итераций.

Приведём исходное уравнение к виду:

Т.к. первая производная заданной функции в этом интервале положительна и численно первая производная на этом участке близка к 1,5, то константу С выбираем из интервала:

Т.о. итерационная функция приобретает вид:

Делаем первую итерацию:

Делаем вторую итерацию:

Делаем третью итерацию:

Делаем четвёртую итерацию:

Делаем пятую итерацию:

Делаем шестую итерацию:

Делаем седьмую итерацию:

Делаем восьмую итерацию:

Делаем девятую итерацию:

Продолжая далее, получаем:

На 19-ой итерации изменение шестого знака после запятой, позволяет утверждать, что пятый знак – после запятой – 5. Т.о. значение корня с заданной точностью:

3.1.2. Уточнение корня методом касательных (метод Ньютона):

Т.к. уравнение то же, то интервал, содержащий искомый корень, оставляем тот же [0,5; 0,6], т.е. а = 0,5; b = 0,6.

Находим первую и вторую производную функции :

Очевидно необходимые условия выполняются, т.к.:

, т.е. сохраняют знак на отрезке .

Выполняем первое приближение (х₀ = 0,5):

Выполняем второе приближение (х₁ = 0,571429):

Выполняем третье приближение (х₂ = 0,576128:

Выполняем четвёртое приближение (х₃ = 0,576146):

В пределах заданной точности f(x₂) оказался равен нулю, т.е. требуемая точность достигнута за 4 шага. Значение корня с заданной точностью:

3.2. Вычислить приближенное значение интеграла , используя формулы:

а) трапеций (n = 10); б) Симпсона (n = 10); в) Гаусса (n = 5).

Решение: Ограничимся в расчётах 4 знаками после запятой. Для приближённого вычисления определённого интеграла методом трапеций используется формула:

Разобьём интервал (–1; 9) на n = 10 отрезков (h =1) и вычислим значения подынтегрального выражения для начала и конца каждого отрезка.

№	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
х	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	2,4495	2,6458	3,7417	5,7446	8,3666	11,4455	14,8997	18,6815	22,7596	27,1109	31,7175

Тогда по формуле трапеций, имеем:

Используя формулу Симпсона (формулу параболических трапеций) в виде:

получим:

Применяя к исходному интегралу квадратурную формулу Гаусса, имеем:

где

Для n = 5, коэффициенты t_i, представляющие нули полинома Лежандра и коэффициента А_i (эти значения табулированы в справочных таблицах) составляют:

i	1	2	3	4	5
ti	–0,9061	–0,5385	0	0,5385	0,9061
A1	0,2369	0,4786	0,5689	0,4786	0,2369
хi	0,4695	2,3075	5	7,6925	9,5305
	2,4705	4,2763	11,4455	21,4756	29,5239

3.3. Построить интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона по следующим табличным данным:

	2,9	4,4	6,3	9,7
	2,84	4,53	6,04	5,50

Проверить совпадение значений интерполирующего многочлена с табличными значениями функции в узлах интерполяции.

Решение: Интерполяционный полином Лагранжа для четырёх узлов интерполяции записывается в виде:

Подставим численные значения из заданной таблицы:

Для составления интерполяционного полинома в форме Ньютона, вычислим разности первого порядка для заданной таблицы по формуле:

Вычислим разности второго порядка по формуле:

Вычислим разность третьего порядка по формуле:

Тогда интерполяционный полином Ньютона L_n(x) приобретает следующую форму:

Расчёты показывают, что оба интерполяционных полинома практически одинаковы, т.е. интерполяция ряда точек полиномом третьей степени осуществляется единственным образом.

По заданным узлам интерполяции х_i значения полинома по этому уравнению составляют:

Расчётные значения практически совпадают с заданными значениями f(x).

По полученному уравнению построена кривая, проходящая через узлы интерполяции.

3.4. Найти оценки параметров линейной и квадратичной моделей функциональной зависимости величин у и х по результатам наблюдений , приведенным в таблице:

	0,4	2,4	3,4	4,4	5,4
	2,14	2,14	2,24	2,34	2,34

Построить чертеж: на плоскости нанести экспериментальные точки , построить графики полученных эмпирических функций .

Решение: Коэффициенты «a₀ и а₁» линейной модели найдём, выполнив необходимые вычисления. Расчеты сведем в таблицу:

Номер наблюдения	1	2	3	4	5	Сумма
х	0,4	2,4	3,4	4,4	5,4	16
у	2,14	2,14	2,24	2,34	2,34	11,2
х 2	0,16	5,76	11,56	19,36	29,16	66
х∙y	0,856	5,136	7,616	10,296	12,636	36,54
	2,108	2,202	2,249	2,297	2,344	11,200
	0,0011	0,0039	0,0001	0,0019	0,0000	0,0069

Т.о. линейная зависимость у = а₀ + а₁х имеет вид: у = 2,08865 + 0,0473х.

По этой зависимости определены выровненные значения и остаточная сумма квадратов отклонений, которые записаны в нижних строках таблицы.

Коэффициенты а₀, а₁, а₂ квадратичной зависимости найдём, также выполнив необходимые расчёты в таблице:

Номер наблюдения	1	2	3	4	5	S
х	0,4	2,4	3,4	4,4	5,4	16
у	2,14	2,14	2,24	2,34	2,34	11,2
х 2	0,16	5,76	11,56	19,36	29,16	66
х 3	0,064	13,824	39,304	85,184	157,464	295,84
х 4	0,0256	33,1776	133,634	374,81	850,306	1391,95
у·х	0,856	5,136	7,616	10,296	12,636	36,54
у·х 2	0,3424	12,3264	25,8944	45,3024	68,2344	152,1
	2,128	2,182	2,230	2,292	2,368	11,200
	0,0001	0,0018	0,0001	0,0023	0,0008	0,0051

Составим систему уравнений:

Решение этой системы методом Крамера даёт:

Т.о. квадратичная зависимость у = а₀ + а₁х + а₂х 2 имеет вид:

у = 2,12433 + 0,00729·х + 0,006996·х 2 .

В нижней строке таблицы по полученному уравнению тоже рассчитаны значения по заданным значениям Х и остаточная сумма квадратов отклонений, которые записаны в нижних строках таблицы.

Эмпирическая ломаная, а также линии линейной и квадратичной модели построены на рисунке.

Результаты и выводы.

1. Т.о. интерполяционный полином Лагранжа и Ньютона, построенный по 4 заданным узлам интерполяции имеет вид:

Значения функции, вычисленные по этому полиному третьей степени, точно совпадают с заданными значениями в узлах интерполяции.

Полученное уравнение позволяет найти приближённые значения функции в любых промежуточных точках от х₁ = 2,9 до х₄ = 9,7.

2. Применение метода минимальных квадратов (МНК) к аппроксимации пяти экспериментальных точек линейной зависимостью вида у = а₀ + а₁х, т.е. прямой линией и квадратичной зависимостью вида , т.е. параболой дало следующие выражения:

– линейная зависимость реализована уравнением: у = 2,0887 + 0,0473х

– квадратичная зависимость реализована уравнением: у = 2,1243 + 0,0073·х + 0,007·х 2 .

Судя по остаточной сумме квадратов отклонений, квадратичная зависимость несколько лучше аппроксимирует экспериментальные данные, т.к. для неё остаточная сумма квадратов отклонений меньше, чем для линейной функции.

Список использованной литературы

1. Самарский А.А. Гулин А.В. Численные методы. М. МГУ. 1989 год.

2. Н. С. Бахвалов; Н.П. Жидков; Г.М. Кобельков. Численные методы. М 2003 год;

3. В.А. Буслов, С.Л.Яковлев. Численные методы и исследование функций. СПГУ. Курс лекций. СПБ 2001 г

4. Г.А. Зуева. Метод наименьших квадратов и его применение. Электронное учебное пособие. Иваново, 2009

Видео:6-2. Метод сетокСкачать

Контрольная работа: Конечно-разностный метод решения для уравнений параболического типа

К дифференциальным уравнениям с частными производными приходим при решении самых разнообразных задач. Например, при помощи дифференциальных уравнений с частными производными можно решать задачи теплопроводности, диффузии, многих физических и химических процессов.

Как правило, найти точное решение этих уравнений не удается, поэтому наиболее широкое применение получили приближенные методы их решения. В данной работе ограничимся рассмотрением дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, а точнее дифференциальными уравнениями с частными производными второго порядка параболического типа, когда эти уравнения являются линейными, а искомая функция зависит от двух переменных

Для решения дифференциальных уравнений параболического типа существует несколько методов их численного решения на ЭВМ, однако особое положение занимает метод сеток, так как он обеспечивает наилучшие соотношения скорости, точности полученного решения и простоты реализации вычислительного алгоритма. Метод сеток еще называют методом конечных разностей.

1 Теоретическая часть

1.1 Постановка задач для уравнений параболического типа

Классическим примером уравнения параболического типа является уравнение теплопроводности (диффузии). В одномерном по пространству случае однородное (без источников энергии) уравнение теплопроводности имеет вид

(1)

Если на границах и заданы значения искомой функции в виде

, , (2)

, , (3)

т.е. граничные условия первого рода, и , кроме того заданы начальные условия

, , (4)

то задачу (1)-(4) называют первой начально-краевой задачей для уравнения теплопроводности (1).

В терминах теории теплообмена — распределение температуры в пространственно-временной области

a 2 — коэффициент температуропроводности, а (2), (3) с помощью функций , задают температуру на границах и .

Если на границах и заданы значения производных искомой функции по пространственной переменной:

, , (5)

, , (6)

т.е. граничные условия второго рода, то задачу (1), (5), (6), (4) называют второй начально-краевой задачей для уравнения теплопроводности (1). В терминах теории теплообмена на границах в этом случае заданы тепловые потоки.

Если на границах заданы линейные комбинации искомой функции и ее производной по пространственной переменной:

, , (7)

, , (8)

т.е. граничные условия третьего рода, то задачу (1), (7), (8), (4) называют третьей начально-краевой задачей для уравнения теплопроводности (1). В терминах теплообмена граничные условия (7), (8) задают теплообмен между газообразной или жидкой средой с известными температурами на границе и на границе и границами расчетной области с неизвестными температурами , . Коэффициенты α, β – известные коэффициенты теплообмена между газообразной или жидкой средой и соответствующей границей.

Для пространственных задач теплопроводности в области первая начально-краевая задача имеет вид

(9)

Аналогично ставится вторая и третья начально-краевые задачи для пространственного уравнения (9). На практике часто ставятся начально-краевые задачи теплопроводности со смешанными краевыми условиями, когда на границах задаются граничные условия различных родов.

1.2 Основные определения и конечно-разностные схемы

Основные определения, связанные с методом конечных разностей, рассмотрим на примере конечно-разностного решения первой начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности (1)-(4).

Согласно методу сеток в плоской области D строится сеточная область D_h , состоящая из одинаковых ячеек. При этом область D_h должна как можно лучше приближать область D . Сеточная область (то есть сетка) D_h состоит из изолированных точек, которые называются узлами сетки. Число узлов будет характеризоваться основными размерами сетки h : чем меньше h , тем больше узлов содержит сетка. Узел сетки называется внутренним, если он принадлежит области D , а все соседние узлы принадлежат сетке D_h . В противном случае он называется граничным. Совокупность граничных узлов образует границу сеточной области Г_h .

Сетка может состоять из клеток разной конфигурации: квадратных, прямоугольных, треугольных и других. После построения сетки исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением во всех внутренних узлах сетки. Затем на основании граничных условий устанавливаются значения искомого решения в граничных узлах. Присоединяя граничные условия сеточной задачи к разностным уравнениям, записанных для внутренних узлов, получаем систему уравнений, из которой определяем значения искомого решения во всех узлах сетки.

Нанесем на пространственно-временную область , конечно разностную сетку ω_h,τ :

(10)

с пространственным шагом h = l / N и шагом по времени τ=T/K.

Рисунок 1 – Конечно-разностная сетка

Введем два временных слоя : нижний ,на котором распределение искомой функции u ( x_j , t k ) , , известно (при к = 0 распределение определяется начальным условием (4)u ( x_j , t k )=ψ( x_j ) ), и верхний временной слой t k +1 =( k +1) τ , на котором распределение искомой функции u ( x_j , t k +1 ) , .

Сеточной функцией задачи (1)-(4) называют однозначное отображение целых аргументов j , k в значения функции .

На введенной сетке вводят сеточные функции , первая из которых известна, вторая подлежит определению. Для определения в задаче (1)-(4) заменяют (аппроксимируют) дифференциальные операторы отношением конечных разностей (более подробно это рассматривают в разделах численных методов «Численное дифференцирование»), получают

, (11)

, (12)

Подставляя (11), (12) в задачу (1)-(4), получим явную конечно-разностную схему для этой задачи в форме

(13)

В каждом уравнении этой задачи все значения сеточной функции известны, за исключением одного, , которое может быть определено явно из соотношений (13). В соотношения (13) краевые условия входят при значениях j =1 и j = N — l , a начальное условие – при k = 0.

Если в (12) дифференциальный оператор по пространственной переменной аппроксимировать отношением конечных разностей на верхнем временном слое:

, (14)

то после подстановки (11), (14) в задачу (1)-(4) получим неявную конечно-разностную схему для этой задачи:

(15)

Теперь сеточную функцию на верхнем временном слое можно получить из решения (15) с трехдиагональной матрицей. Эта СЛАУ в форме, пригодной для использования метода прогонки, имеет вид

;

;

, ;

;

;

;

.

Шаблоном конечно-разностной схемы называют ее геометрическую интерпретацию на конечно-разностной сетке. На рисунке приведены шаблоны для явной и неявной конечно-разностных схем при аппроксимации задачи.

Рисунок 2 — Шаблон явной конечно-разностной схемы для уравнения теплопроводности

Рисунок 3 — Шаблон неявной конечно-разностной схемы для уравнения теплопроводности

В случае явных схем значения функции в узле очередного слоя можно найти, зная значения в узлах предыдущих слоев. В случае неявных схем для нахождения значений решения в узлах очередного слоя приходится решать систему уравнений. Для проведения вычислений самой простой схемой оказывается первая: достаточно на основании начального условия найти значения функции в узлах слоя , чтобы в дальнейшем последовательно определять значения решения в узлах слоев и т.д. В случае второй схемы, которая является неявной, обязательно приходится решать систему уравнений для нахождения решения сеточной задачи. В любом случае согласно методу сеток будем иметь столько уравнений, сколько имеется неизвестных (значения искомой функции в узлах). Число неизвестных равно числу всех узлов сетки. Решая систему уравнений, получаем решение поставленной задачи.

Разрешимость этой системы для явных схем вопросов не вызывает, так как все действия выполняются в явно определенной последовательности. В случае неявных схем разрешимость системы следует исследовать в каждом конкретном случае. Важным вопросом является вопрос о том, на сколько найденные решения хорошо (адекватно) отражают точные решения, и можно ли неограниченно сгущая сетку (уменьшая шаг по осям) получить приближенные решения, сколь угодно близкие к точным решениям? Это вопрос о сходимости метода сеток.

На практике следует применять сходящиеся разностные схемы, причем только те из них, которые являются устойчивыми, то есть при использовании которых небольшие ошибки в начальных или промежуточных результатах не приводят к большим отклонениям от точного решения. Всегда следует использовать устойчивые разностные схемы, проводя соответствующие исследования на устойчивость. Явные схемы просты для организации вычислительного процесса, но имеют один весьма весомый недостаток: для их устойчивости приходится накладывать сильные ограничения на сетку. Неявные схемы свободны от этого недостатка, но есть другая трудность – надо решать системы уравнений большой размерности, что на практике при нахождении решения сложных уравнений в протяженной области с высокой степенью точности может потребовать больших объемов памяти ЭВМ и времени на ожидание конечного результата. К счастью, прогресс не стоит на месте и уже сейчас мощности современных ЭВМ вполне достаточно для решения поставленных перед ними задач.

Вопрос устойчивости будет рассмотрен далее.

Из определения порядка аппроксимации ясно, что чем выше порядок аппроксимации, тем лучше конечно-разностная схема приближается к дифференциальной задаче. Это не означает, что решение по разностной схеме может быть так же близко к решению дифференциальной задачи, так как разностная схема может быть условно устойчивой или абсолютно неустойчивой вовсе.

Для нахождения порядка аппроксимации используется аппарат разложения в ряды Тейлора точных (неизвестных, но дифференцируемых) решений дифференциальной задачи в узлах сетки (подчеркнем: значения сеточной функции u_h дискретны, следовательно, не дифференцируемы и поэтому не разлагаются в ряды Тейлора).

1.4 Устойчивость. Исследование устойчивости методом гармонического анализа

конечно-разностная схема устойчива, если для малых возмущений входных данных (начально-краевых условий и правых частей) конечно-разносная схема обеспечивает малые возмущения сеточной функции u_h т.е. решение с помощью конечно-разностной схемы находится под контролем входных данных.

Если во входные данные f_n входят только начальные условия или только краевые условия, или только правые части, то говорят об устойчивости соответственно по начальным условиям, по краевым условиям или по правым частям.

Из математической физики известно, что решение начально-краевых задач представляется в виде следующего ряда:

, (16)

где λ _n – собственные значения

– собственные значения функции, получаемые из решения соответствующей задачи Штурма-Лиувиля, т.е. решение может быть представлено в виде суперпозиции отдельных гармоник , каждая из которых есть произведение функции времени и функции пространственной переменной, причем последняя по модулю ограничена сверху единицей при любых значениях переменной x .

В то же время функция времени , называемая амплитудной частью гармоники, никак не ограничена, и, по всей вероятности, именно амплитудная часть гармоник является источником неконтролируемого входными данными роста функции и, следовательно, источником неустойчивости.

Таким образом, если конечно-разностная схема устойчива, то отношение амплитудной части гармоники на верхнем временном слое к амплитудной части на нижнем временном слое по модулю должно быть меньше единицы.

Если разложить значение сеточной функции в ряд Фурье по собственным функциям:

(17)

где амплитудная часть может быть представлена в виде произведения

(18)

где – размерный и постоянный сомножитель амплитудной части,

k – показатель степени (соответствующий номеру временного слоя) сомножителя, зависящего от времени.

Тогда подставив (17) в конечно-разностную схему, можно по модулю оценить отношение амплитудных частей на соседних временных слоях.

Однако поскольку операция суммирования линейна и собственные функции ортогональны для различных индексов суммирования, то в конечно-разностную схему вместо сеточных значений достаточно подставить одну гармонику разложения (17) (при этом у амплитудной части убрать индекс n ), т.е.

(19)

Таким образом, если конечно-разностная схема устойчива по начальным данным , то

, (20)

т. е. условие (20) является необходимым условием устойчивости.

1.5 Схема Кранка-Николсона

параболическое дифференциальное уравнение конечная разность

Явная конечно разностная схема, записанная в форме

(21)

обладает тем достоинством, что решение на верхнем временном слое t_k+l получается сразу (без решения СЛАУ) по значениям сеточной функции на нижнем временном слое t k , где решение известно (при k = 0 значения сеточной функции формируются из начального условия). Но эта же схема обладает существенным недостатком, поскольку она является условно устойчивой. С другой стороны, неявная конечно-разностная схема, записанная форме

(22)

приводит к необходимости решать СЛАУ, но зато эта схема абсолютно устойчива.

Проанализируем схемы (21) и (22). Пусть точное решение, которое неизвестно, возрастает по времени, т.е. . Тогда, в соответствии с явной схемой (21), разностное решение будет заниженным по сравнению с точным, так как определяется по меньшим значениям сеточной функции на предыдущем временном слое, поскольку решение является возрастающим по времени.

Для неявной схемы (22) на возрастающем решении, наоборот, решение завышено по сравнению с точным, поскольку оно определяется по значениям сеточной функции на верхнем временном слое.

На убывающем решении картина изменяется противоположным образом: явная конечно-разностная схема завышает решения, а неявная — занижает (Рисунок 4).

На основе этого анализа возникла идея о построении более точной неявно-явной конечно-разностной схемы с весами при пространственных конечно-разностных операторах, причем при измельчении шагов тик точное (неизвестное) решение может быть взято в «вилку» сколь угодно узкую, так как если явная и неявная схемы аппроксимируют дифференциальную задачу и эти схемы устойчивы, то при стремлении сеточных характеристик τ и h к нулю решения по явной и неявной схемам стремятся к точному решению с разных сторон.

Рисунок 4 – Двусторонний метод аппроксимации

Проведенный анализ дал блестящий пример так называемых двусторонних методов, исследованных В. К. Саульевым

Рассмотрим неявно-явную схему с весами для простейшего уравнения теплопроводности:

(23)

где θ – вес неявной части конечно-разностной схемы,

θ -1 – вес для явной части

Причем . При θ=1 имеем полностью неявную схему, при θ=0 – полностью явную схему, а при θ=1/2 – схему Кранка-Николсона .

В соответствии с гармоническим анализом для схемы (23) получаем неравенство

,

(24)

причем правое неравенство выполнено всегда.

Левое неравенство имеет место для любых значений σ , если . Если же вес θ лежит в пределах , то между σ и θ из левого неравенства устанавливается связь

(25)

являющаяся условием устойчивости неявно-явной схемы с весами (23), когда вес находится в пределах .

Таким образом, неявно-явная схема с весами абсолютно устойчива при и условно устойчива с условием (25) при .

Рассмотрим порядок аппроксимации неявно-явной схемы с весами, для чего разложим в ряд Тейлора в окрестности узла (x j ,t_k ) на точном решении значения сеточных функций по переменной t , , по переменной х и полученные разложения подставим в (23):

В этом выражении дифференциальный оператор от квадратной скобки в соответствии с дифференциальным уравнением равен дифференциальному оператору , в соответствии с чем вышеприведенное равенство приобретает вид

После упрощения получаем

,

откуда видно, что для схемы Кранка-Николсона (θ = 1/2) порядок аппроксимации схемы (23) составляет , т.е. на один порядок по времени выше, чем для обычных явных или неявных схем. Таким образом, схема Кранка-Николсона при θ = 1/2 абсолютно устойчива и имеет второй порядок аппроксимации по времени и пространственной переменной х .

Используем в уравнение (23) подстановку r= a 2 k / h 2 . Но в то же время его нужно решить для трех «еще не вычисленных» значений , , и . Это возможно, если все значения перенести в левую часть уравнения. Затем упорядочим члены уравнения (23) и в результате получим неявную разностную формулу

(26)

для i=2,3,…, n-1 . Члены в правой части формулы (26) известны. Таким образом, формула (26) имеет вид линейной трехдиагональной системы АХ=В. Шесть точек, используемых в формуле Кранка-Николсона (26), вместе с промежуточной точкой решетки, на которой основаны численные приближения, показаны на рисунке 5.

Рисунок 5 – Шаблон (схема) метода Кранка-Николсона

Иногда в формуле (26) используется значение r=1 . В этом случае приращение по оси t равно , формула (26) упрощается и принимает вид

, (27)

для i=2,3,…, n-1 . Граничные условия используются в первом и последнем уравнениях (т. е. в и соответственно).

Уравнения (27) особенно привлекательны при записи в форме трехдиагональной матрицы АХ = В.

Если метод Кранка-Николсона реализуется на компьютере, то линейную систему АХ = В можно решить либо прямым методом, либо итерационным.

2. Практическая часть

2.1 Постановка задачи

Используем метод Кранка-Николсона, чтобы решить уравнение

,

с начальным условием

,

и граничными условиями

2.2 Решение в ППП MatLab

Решение будем искать в ППП MatLab 7. Создадим четыре выполняемых m-фала: crnich.m – файл-функция с реализацией метода Кранка-Николсона; trisys.m – файл-функция метода прогонки; f.m – файл-функция задающая начальное условие задачи; fе.m – файл-функция задающая функцию определяющую точное решение задачи(найдена аналитическим путем). Листинги программ представлены в приложении А.

Для простоты возьмем шаг Δх = h = 0,1 и Δ t = к = 0,01 . Таким образом, соотношение r =1. Пусть решетка имеет n=11 столбцов в ширину и m=11 рядов в высоту.

2.3 Анализ результатов

Решения для данных параметров отразим в таблице 1. Трехмерное изображение данных из таблицы покажем на рисунке 5.

Таблица 1 – Значения u(х _i , t_i ), полученные методом Кранка-Николсона

Величины, полученные методом Кранка-Николсона, достаточно близки к

аналитическому решению u(x,t) = sin(πx)e -π2 t + sin(3πx)e -9π2 t , истинные значения для последнего представлены в таблице 2

Максимальная погрешность для данных параметров равна 0,005

Таблица 2 – точные значения u(х _i , t_i ), при t=0.1

Рисунок 5 –Решениеu= u(х _i , t_i ), для метода Кранка-Николсона

В зависимости от формы области, краевых условий, коэффициентов исходного уравнения метод конечных разностей имеет погрешности аппроксимации от первого до четвертого порядка относительно шага. В силу этого они успешно используются для разработки программных комплексов автоматизированного проектирования технических объектов.

В МКР строятся, как правило, регулярные сетки, особенности геометрии области учитываются только в около граничных узлах. В связи с этим МКР чаще применяется для анализа задач с прямолинейными границами областей определения функций.

Проблемой методов конечных разностей является высокая размерность результирующей системы алгебраических уравнений (несколько десятков тысяч в реальных задачах. Поэтому реализация методов конечных разностей в составе САПР требует разработки специальных способов хранения матрицы коэффициентов системы и методов решения последней.

1 Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.2. – М.: Физматгиз, 1962.

2 Мэтьюз, Джон, Г., Финк, Куртис, Д. Численные методы. Использование MATLAB, 3-е издание.— М. : Вильяме, 2001. — 720 с

3 Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972.

4 Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 400 с.

5 Пирумов У.Г. Численные методы. – М.: Издательство МАИ, 1998.

6 Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1976.

Листинг программы для расчета по методу Кранка-Николсона

Видео:Лекция №1.1 Явная и неявная схемы для уравнения теплопроводностиСкачать

Методы конечных разностей

Достоинство этих методов состоит в том, что они сводят решение краевой задачи для дифференциального уравнения к решению системы алгебраических уравнений относительно значений искомой функции на заданном множестве точек. Это достигается заменой производных, входящих в дифференциальное уравнение, их конечно-разностными аппроксимациями.

Рассмотрим сущность такого метода решения для дифференциального уравнения второго порядка (1.41) при заданных граничных условиях (1.42). Разобьем отрезок [0,1] на n равных частей точками xi= ih(i= 0,1. , n). Решение краевой задачи (1.41), (1.42) сведем к вычислению значений сеточной функции yi в узловых точках xi. Для этого напишем уравнение (1.42) для внутренних узлов:

(1.49)

Заменим производные, входящие в эти соотношения, их конечно-разностными аппроксимациями:

(1.50)

Подставляя эти выражения в (1.49), получаем систему разностных уравнений:

(1.51)

являющуюся системой n-1 алгебраических уравнений относительно значений сеточной функции Входящие в данную систему y0 (при i = 1) и уп (при i = п — 1) берут из граничных условий (1.42):

На практике часто граничные условия задают в более общем виде (1.38):

(1.52)

В этом случае граничные условия также должны представляться в разностном виде путем аппроксимации производных Y‘(0) и Y‘(1) с помощью конечно-разностных соотношений. Если использовать односторонние разности (соответствующий шаблон показан на рис. 1.7, а),при которых производные аппроксимируются с первым порядком точности, то разностные граничные условия примут вид

(1.53)

Из этих соотношений легко находятся значения y0, yn.

Однако, как правило, предпочтительнее аппроксимировать производные, входящие в (1.52), со вторым порядком точности с помощью центральных разностей:

Рис. 1.7. Аппроксимация граничных условий

В данные выражения входят значения сеточной функции и yn+1 в так называемых фиктивных узлах х=1-hи х =1+h, лежащих вне рассматриваемого отрезка (рис. 1.7, б). В этих узлах значения искомой функции также должны быть найдены. Следовательно, количество неизвестных значений сеточной функции увеличивается на два. Для замыкания системы привлекают еще два разностных уравнения (1.51) при i = 0, i = п.

Аппроксимировать граничные условия со вторым порядком можно и иначе (см. рис. 1.7, в). В этом случае используют аппроксимации:

Таким образом, решение краевой задачи для дифференциального уравнения сведено к решению системы алгебраических уравнений вида (1.51). Эта система является линейной или нелинейной в зависимости от того, линейно или нелинейно дифференциальное уравнение (1.41). Методы решения таких систем рассмотрены ранее.

Рассмотрим подробнее один частный случай, который представляет интерес с точки зрения практических приложений и позволяет проследить процесс построения разностной схемы. Решим краевую задачу для линейного дифференциального уравнения второго порядка

(1.54)

с граничными условиями вида

Разобьем отрезок [0,1] на части с постоянным шагом h с помощью узлов . Аппроксимируем вторую производную Y²конечно-разностным соотношением (1.50). При этом значения искомой функции в узлах Y(xi) приближенно заменяем соответствующими значениями сеточной функции yi. Записывая уравнение (1.54) в каждом узле с использованием указанных аппроксимаций, получаем

Обозначим рi, fiсоответственно величины . После несложных преобразований приведем последнее равенство к виду

(1.56)

Получилась система n—1 линейных уравнений, число которых совпадает с числом неизвестных значений сеточной функции в узлах. Ее значения на концах отрезка определены граничными условиями (1.55):

Решив систему уравнений (1.56) с учетом условий (1.57), найдем значения сеточной функции, которые приближенно равны значениям искомой функции. Покажем, что такое решение существует и сходится к точному решению при h→ 0.

Для доказательства существования решения рассмотрим систему линейных уравнений (1.56). Ее матрица является трехдиагональной; на главной диагонали находятся элементы . Поскольку р(х) > 0, то pi > 0, и диагональные элементы матрицы преобладают над остальными, так как в каждой строке модули этих элементов больше суммы модулей двух остальных элементов, каждый из которых равен единице. При выполнении этого условия решение системы линейных уравнений существует и единственно.

Что касается сходимости решения, то здесь имеет место следующее утверждение.

Утверждение. Если функции р(х) и f(x) дважды непрерывно дифференцируемы, то при h→0 разностное решение равномерно сходится к точному со скоростью O(h2).

Это — достаточное условие сходимости метода конечных разностей для краевой задачи (1.54), (1.55).

Система линейных алгебраических уравнений (1.56) с трехдиагональной матрицей может быть решена методом прогонки. При этом условие р(х) > 0 гарантирует выполнение условия устойчивости прогонки.

Этот метод на практике используется также и при р(х) Будет полезно почитать по теме:

🎬 Видео

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Сеточные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.Скачать

Решение уравнения теплопроводности методом конечных разностейСкачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Разностные уравнения | Решение задачСкачать

9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

11 класс, 27 урок, Общие методы решения уравненийСкачать

Методы решения нелинейных краевых задач для ОДУСкачать

Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Система уравнений. Метод алгебраического сложенияСкачать

Метод решения уравнений, чтобы не ошибаться в знакахСкачать

Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать

МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 😉 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЧАСТЬ I#математика #егэ #огэ #shorts #профильныйегэСкачать

Кобельков Г. М. - Численные методы. Часть 2 - Конечно-разностные методыСкачать