Комплексные числа уравнения с модулем

Модуль числа легко найти, и теория, которая лежит в его основе, важна при решении задач.

Свойства и правила раскрытия, используемые при решении упражнений и на экзаменах, будут полезны школьникам и студентам.

Видео:КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать

Что такое модуль в математике

Модуль числа описывает расстояние на числовой линии от нуля до точки без учета того, в каком направлении от нуля лежит точка. Математическое обозначение: |x|.

Иными словами, это абсолютная величина числа. Определение доказывает, что значение никогда не бывает отрицательным.

Видео:Изображение комплексных чисел. Модуль комплексного числа. 11 класс.Скачать

Свойства модуля

Важно помнить о следующих свойствах:

1. Правило раскрытия: абсолютная величина любого числа больше или равна нулю:
2. Если абсолютные значения содержат выражения противоположных значений, они равны:
3. Значение числа не превышает величину его модуля:
4. Правило раскрытия при произведении:
5. Правило, применимое при делении:
6. При возведении в степень:
7. Сумма величин:
8. Двойной модуль:

Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Модуль комплексного числа

Абсолютной величиной комплексного числа называют длину направленного отрезка, проведенного от начала комплексной плоскости до точки (a, b).

Этот направленный отрезок также является вектором, представляющим комплексное число a + bi, поэтому абсолютная величина комплексного числа – это то же самое, что и величина (или длина) вектора, представляющего a+ bi.

Видео:Уравнения с модулемСкачать

Как решать уравнения с модулем

Уравнение с модулем – это равенство, которое содержит выражение абсолютного значения. Если для действительного числа оно представляет его расстояние от начала координат на числовой линии, то неравенства с модулем являются типом неравенств, которые состоят из абсолютных значений.

Уравнения типа |x| = a

Уравнение |x| = a имеет два ответа x = a и x = –a, потому что оба варианта находятся на координатной прямой на расстоянии a от 0.

Равенство с абсолютной величиной не имеет решения, если величина отрицательная.

Если |x| &lt, a представляет собой расстояние чисел от начала координат, это значит, что нужно искать все числа, чье расстояние от начала координат меньше a.

Уравнения типа |x| = |y|

Когда есть абсолютные значения по обе стороны уравнений, нужно рассмотреть обе возможности для приемлемых определений – положительные и отрицательные выражения.

Например, для равенства |x − a| = |x + b| есть два варианта: (x − a) = − (x + b) или (x − a) = (x + b).

Далее простая арифметика − нужно решить два равенства относительно x.

Уравнения типа |x| = y

Уравнения такого вида содержат абсолютную величину выражения с переменной слева от нуля, а справа – еще одну неизвестную. Переменная y может быть как больше, так и меньше нуля.

Для получения ответа в таком равенстве нужно решить систему из нескольких уравнений, в которой нужно убедиться, что y – неотрицательная величина:

Видео:Контрольная работа. Уравнения с МОДУЛЕМСкачать

Решение неравенств с модулем

Чтобы лучше понять, как раскрыть модуль в разных типах равенств и неравенств, нужно проанализировать примеры.

Уравнения вида |x| = a

Пример 1 (алгебра 6 класс). Решить: |x| + 2 = 4.

Решение.

Такие уравнения решаются так же, как и равенства без абсолютных значений. Это означает, что, перемещая неизвестные влево, а константы – вправо, выражение не меняется.

После перемещения константы вправо получено: |x| = 2.

Поскольку неизвестные связаны с абсолютным значением, это равенство имеет два ответа: 2 и −2.

Ответ: 2 и −2.

Пример 2 (алгебра 7 класс). Решить неравенство |x + 2| ≥ 1.

Решение.

Первое, что нужно сделать, это найти точки, где абсолютное значение изменится. Для этого выражение приравнивается к 0. Получено: x = –2.

Это означает, что –2 – поворотная точка.

Далее определяется знак на интервалах: на промежутке величина будет отрицательной, а на интервале будет положительной.

Разделим интервал на 2 части:

Общим ответом для этих двух неравенств является интервал [−1, + ∞).

Общим ответом для этих двух неравенств является интервал (−∞, –3].

Окончательное решение – объединение ответов отдельных частей:

Ответ: x ∈ (–∞, –3] ∪ [–1, + ∞).

Уравнения вида |x| = |y|

Пример 1 (алгебра 8 класс). Решить уравнение с двумя модулями: 2 * |x – 1| + 3 = 9 – |x – 1|.

Решение:

Ответ: x1 = 3, x2 = − 1.

Пример 2 (алгебра 8 класс). Решить неравенство:

Решение:

Уравнения вида |x| = y

Пример 1 (алгебра 10 класс). Найти x:

Решение:

Очень важно провести проверку правой части, иначе можно написать в ответ ошибочные корни. Из системы видно, что не лежит в промежутке .

Ответ: x = 0.

Видео:Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.Скачать

Модуль суммы

Видео:Модуль комплексного числаСкачать

Модуль разности

Абсолютная величина разности двух чисел x и y равна расстоянию между точками с координатами X и Y на координатной прямой.

Пример 1.

Пример 2.

Видео:Комплексные числа: начало. Высшая математика или школа?Скачать

Модуль отрицательного числа

Для нахождения абсолютного значения числа, которое меньше нуля, нужно узнать, как далеко оно расположено от нуля. Поскольку расстояние всегда является положительным (невозможно пройти «отрицательные» шаги, это просто шаги в другом направлении), результат всегда положительный. То есть,

Проще говоря, абсолютная величина отрицательного числа имеет противоположное значение.

Видео:8 класс. Модуль числа. Уравнения и неравенства с модулем. Алгебра.Скачать

Модуль нуля

Вот почему нельзя сказать, что абсолютная величина – положительное число: ноль не является ни отрицательным, ни положительным.

Видео:Неравенства с модулем | Математика | TutorOnlineСкачать

Модуль в квадрате

Модуль в квадрате всегда равен выражению в квадрате:

Видео:МодульСкачать

Примеры графиков с модулем

Часто в тестах и на экзаменах встречаются задания, которые возможно решить, лишь проанализировав графики. Рассмотрим такие задания.

Пример 1.

Дана функция f(x) = |x|. Необходимо построить график от – 3 до 3 с шагом 1.

Решение:

Объяснение: из рисунка видно, что график симметричен относительно оси Y.

Пример 2. Необходимо нарисовать и сравнить графики функций f(x) = |x–2| и g(x) = |x|–2.

Решение:

Объяснение: константа внутри абсолютной величины перемещает весь график вправо, если ее значение отрицательное, и влево, если положительное. Но постоянная снаружи будет передвигать график вверх, если значение положительное, и вниз, если оно отрицательное (как –2 в функции g (x)).

Координата вершины x (точка, в которой соединяются две линии, вершина графа) – это число, на которое график сдвигается влево или вправо. А координата y – это значение, на которое график сдвигается вверх или вниз.

Строить такие графики можно с помощью онлайн приложений для построения. С их помощью можно наглядно посмотреть, как константы влияют на функции.

Видео:Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 3. Формы записи. Возведение в степень.Скачать

Метод интервалов в задачах с модулем

Метод интервалов – один из лучших способов найти ответ в задачах с модулем, особенно если в выражении их несколько.

Для использования метода нужно совершить следующие действия:

1. Приравнять каждое выражение к нулю.
2. Найти значения переменных.
3. Нанести на числовую прямую точки, полученные в пункте 2.
4. Определить на промежутках знак выражений (отрицательное или положительное значение) и нарисовать символ – или + соответственно. Проще всего определить знак с помощью метода подстановки (подставив любое значение из промежутка).
5. Решить неравенства с полученными знаками.

Пример 1. Решить методом интервалов.

Решение:

Результатом будет сумма всех подходящих интервалов.

Видео:Уравнение с модулемСкачать

Модуль в модуле

Среди примеров часто встречаются уравнения, где нужно найти корни равенств такого вида: ||ax – b| – c| = kx + m.

Лучше всего понять принцип на примере.

Пример 1. Решить

Решение:

Первым делом нужно раскрыть внутренний модуль. Для этого рассматривается два варианта:

В первом случае выражение положительное, а во втором отрицательное. Исходя из этого, получаем:

Нужно упростить два уравнения:

Далее каждое из равенств разделяется еще на два:

Получено четыре результата:

Видео:Тригонометрическая форма комплексного числаСкачать

Заключение

Самое важное, что нужно знать: модуль не может быть отрицательным.

Поэтому, если представлено выражение, похожее на |2 – 4x| = –7 стоит помнить, что равенство неверно даже без поисков ответов.

В качестве итогов, напомним все свойства, которые помогут в решении задач:

• когда положительное число находится внутри модуля, достаточно просто избавиться от него,
• если есть выражение, нужно его упростить, прежде чем найти абсолютное значение,
• если равенство содержит две переменные, нужно решать его с помощью системы уравнений и за основу брать методы решения выражений с абсолютными величинами.

Решать равенства и неравенства можно разными способами, но лучше всего использовать графический способ или метод интервалов.

Видео:Геометрический метод. Уравнения с Модулем Часть 3 из 3Скачать

Решение уравнений с комплексными числами

Итак, необходимо решить уравнение с комплексными переменными, найти корни этого уравнения. Рассмотрим принцип решения комплексных уравнений, научимся извлекать корень из комплексного числа.

Для того, чтобы решить уравнение n-й степени с комплексными числами, используем общую формулу:

где |z| — модуль числа, φ = arg z — главное значение аргумента, n — степень корня, k — параметр, принимает значения : k = .

Пример 1. Найти все корни уравнения

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня третьей степени из комплексного числа

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени n комплексного числа z. Найдем все необходимые значения для формулы:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения.

Пример 2. Найти все корни уравнения

Найдем дискриминант уравнения:

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня. Вычислим корень из дискриминанта:

Найдем корни уравнения:

Ответ:

Пример 3. Найти все корни уравнения

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня четвертой степени из комплексного числа

Вновь используем общую формулу для нахождения корней уравнения n степени комплексного числа z.
n = 4 — количество корней данного уравнения. k = . Найдем модуль комплексного числа:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2, 3 найдем все 4 корня уравнения:

Пример 4. Найти корни уравнения

Решение кубического уравнения комплексными числами:

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени 3 комплексного числа z.

Найдем все необходимые значения для формулы:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения:

Домашнее задание: Самостоятельно составить и решить уравнение с комплексными числами.

Условия: переменная z должна быть «спрятана» и представлена в качестве аргумента тригонометрической функции косинуса. Чтобы привести данное уравнение к привычной форме, нужно «вытащить» z, а для этого необходимо помнить, как решаются тригонометрические уравнения,а также знать, как применять свойства логарифмической функции от комплексного числа.

После того, как мы решили тригонометрическое уравнение с комплексным числом, получаем «голый» z, который представлен в качестве аргумента обратной тригонометрической функции. Чтобы преобразовать данное выражение, нужно использовать формулу разложения арккосинуса в логарифм.

Вместо z — выражение (3i/4) и дальше все делаем по приведенной выше формуле, преобразовывая выражение под корнем, используя свойства мнимой единицы i.

Как быть далее? Теперь будем использовать формулу для решения выражения с натуральным логарифмом.

Для того чтобы найти корни логарифмического уравнения, нужно найти модуль комплексного числа |z| и его аргумент φ = arg z. По сути, перед нами чисто мнимое число.

Теперь предлагаем ознакомиться с формулами, которые могут пригодиться при решении уравнений или неравенств с комплексными числами. Это формулы, где комплексное число выступает в роли аргумента тригонометрической функции, логарифмической функции или показательной функции.

Видео:Уравнения с модулем. Часть 2 | Математика | TutorOnlineСкачать

Учебное пособие: Комплексные числа

§ 1.Комплексные числа: определения, геометрическая интерпретация, действия в алгебраической, тригонометрической и показательной формах

Определение комплексного числа

Геометрическое изображение комплексных чисел

Модуль и аргумент комплексного числа

Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа

Арифметические действия над комплексными числами

Показательная форма комплексного числа

§ 2.Целые функции (многочлены) и их основные свойства. Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел

Определение алгебраического уравнения -й степени

Основные свойства многочленов

Примеры решения алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел

Вопросы для самопроверки

Видео:Изобразить область на комплексной плоскостиСкачать

§ 1. Комплексные числа: определения, геометрическая интерпретация, действия в алгебраической, тригонометрической и показательной формах

Определение комплексного числа (Сформулируйте определение комплексного числа )

Комплексным числомz называется выражение следующего вида:

Комплексное число в алгебраической форме,(1)

i — это мнимая единица , определяемая равенством i 2 = –1.

— комплексно сопряженное число числу z ;

— противоположное число числу z ;

— комплексный ноль ;

– так обозначается множество комплексных чисел.

1)z = 1 + i Þ Re z = 1, Im z = 1, = 1 – i, = –1 – i ;

2)z = –1 + i Þ Re z = –1, Im z = , = –1 – i, = –1 –i ;

3)z = 5 + 0i = 5 Þ Re z = 5, Im z = 0, = 5 – 0i = 5, = –5 – 0i = –5

Þ если Imz = 0, то z = x — действительное число;

4)z = 0 + 3i = 3i Þ Re z = 0, Im z = 3, = 0 – 3i = –3i , = –0 – 3i = – 3i

Комплексные равенства (Сформулируйте смысл комплексного равенства )

1) ;

2) .

Одно комплексное равенство равносильно системе двух действительных равенств. Эти действительные равенства получаются из комплексного равенства разделением действительных и мнимых частей.

1) ;

2) .

Геометрическое изображение комплексных чисел (В чём состоит геометрическое изображение комплексных чисел? )

Комплексное число z изображается точкой (x , y ) на комплексной плоскости или радиус-вектором этой точки.

Знак z во второй четверти означает, что система декартовых координат будет использоваться как комплексная плоскость.

Модуль и аргумент комплексного числа (Что такое модуль и аргумент комплексного числа? )

Модулем комплексного числа называется неотрицательное действительное число

.(2)

Геометрически модуль комплексного числа — это длина вектора, изображающего число z , или полярный радиус точки (x , y ).

Аргумент комплексного числа z — это угол между положительным направлением действительной оси и вектором z (геометрически – это полярный угол точки (x , y )).

Обозначение , причем , или .

Для вычисления аргумента комплексного числа используется формула

Аргумент комплексного числа ,(3)

причем, при определении угла по его тангенсу обязательно нужно учитывать, в какой четверти на комплексной плоскости расположено число z :

Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа (Что такое алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа? )

Так как геометрически очевидно, что и , то

Тригонометрическая форма комплексного числа .(4)

Изобразить на комплексной плоскости следующие числа и записать их в тригонометрической форме.

,

Þ

Þ;

2)Þ

,

Þ

Þ;

3)Þ

,

Þ

Þ

;

4),

;

5),

;

6),

то есть для z = 0 будет

, j не определен.

Арифметические действия над комплексными числами (Дайте определения и перечислите основные свойства арифметических действий над комплексными числами. )

Сложение (вычитание) комплексных чисел

то есть при сложении (вычитании) комплексных чисел складываются (вычитаются) их действительные и мнимые части.

Основные свойства сложения

5).

Умножение комплексных чисел в алгебраической форме

то есть умножение комплексных чисел в алгебраической форме проводится по правилу алгебраического умножения двучлена на двучлен с последующей заменой и приведением подобных по действительным и мнимым слагаемым.

2)(1 + 4i )∙(1 – 4i ) = 1 – 42 i 2 = 1 + 16 = 17;

Умножение комплексных чисел тригонометрической форме

Произведение комплексных чисел в тригонометрической форме , то есть при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Основные свойства умножения

3)z 1×(z 2 + z 3) = z 1×z 2 + z 1×z 3 — дистрибутивность относительно сложения;

5).

Деление комплексных чисел

Деление — это обратная умножению операция, поэтому

если z ×z 2 = z 1 и z 2 ¹ 0, то .

При выполнении деления в алгебраической форме числитель и знаменатель дроби умножаются на число, комплексно сопряженное знаменателю:

Деление комплексных чисел в алгебраической форме .(7)

При выполнении деления в тригонометрической форме модули делятся, а аргументы вычитаются:

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме .(8)

1);

2).

Возведение комплексного числа в натуральную степень

Возведение в натуральную степень удобнее выполнять в тригонометрической форме:

Формула Муавра,(9)

то есть при возведении комплексного числа в натуральную степень его модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Вычислить (1 + i )10.

1. При выполнении операций умножения и возведения в натуральную степень в тригонометрической форме могут получаться значения углов за пределами одного полного оборота. Но их всегда можно свести к углам или сбрасыванием целого числа полных оборотов по свойствам периодичности функций и .

2. Значение называют главным значением аргумента комплексного числа ;

при этом значения всех возможных углов обозначают ;

очевидно, что , .

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Корнем степени n из комплексного числа z , где N, называется комплексное число w , такое что w n = z

.

, так как ;

, так как ;

или , так как и .

Из определения очевидно следует, что операция извлечения корня из комплексного числа является многозначной.

Если использовать формулу Муавра, то нетрудно доказать следующее утверждение:

существует при «z и если z ¹ 0, то имеет n различных значений, вычисляемых по формуле

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа ,(10)

где,

— арифметический корень на .

Все значения расположены регулярным образом на окружности радиусом с начальным углом и углом регулярности .

1)

, k = 0, 1, 2 Þ

Þ,

,

.

Ответ:

2) ,

.

Показательная форма комплексного числа

Показательной формой комплексного числа называется форма

Показательная форма комплексного числа,(11)

где.

1);

2);

3) .

Действия над комплексными числами в показательной форме выполняются по правилам действий со степенями:

,(12)

,(13)

,(14)

, .(15)

Пусть ,

.

Тогда ;

;

;

,

Числа являются вершинами правильного пятиугольника, вписанного в окружность радиуса .

Используем определение Þ,

так как , .

Из этих равенств следуют формулы Эйлера

Формулы Эйлера(16)

по которым тригонометрические функции и действительной переменной выражаются через показательную функцию (экспоненту) с чисто мнимым показателем.

Видео:Линейные уравнения с одной переменной, содержащие переменную под знаком модуля. 6 класс.Скачать

§ 2. Целые функции (многочлены) и их основные свойства. Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел

Целой функциейили алгебраическим многочленом (полиномом ) аргумента x называется функция вида

.(1)

Здесь n – степень многочлена ( натуральное число или 0),

x – переменная (действительная или комплексная),

a 0, a 1, …, an –коэффициенты многочлена (действительные или комплексные числа),причем, a 0¹ 0

;

;

, – квадратный трехчлен;

, ;

.

Определение алгебраического уравнения -й степени

Уравнение называется алгебраическим уравнением n-й степени относительно неизвестной x, если его левая часть является многочленом степени n относительно переменной x:

Pn (x ) = 0, (2)

Число х 0 такое, что Pn (x 0) º 0, называется нулем функции Pn (x ) или корнем уравнения .

1) – алгебраическое уравнение первой степени,

его корень ;

2) – алгебраическое уравнение седьмой степени,

его корни , , .

3) числа и являются нулями функции , так как и .

В литературе часто нули функции называются ее корнями. Например, числа и называются корнями квадратичной функции .

Два многочлена одной степени n тождественно равны друг другу тогда и только тогда, когда совпадают их коэффициенты при одинаковых степенях переменной x , то есть

(3)

.

w Тождество (3) справедливо при «xÎ (или «xÎ)

Þ оно справедливо при ; подставляя , получим аn = bn .

Взаимно уничтожим в (3) слагаемые аn и bn и поделим обе части на x :

.(3’)

Это тождество тоже верно при «x , в том числе при x = 0

Þ полагая x = 0, получим аn – 1 = bn – 1.

Взаимно уничтожим в (3′) слагаемые аn – 1 и a n – 1 и поделим обе части на x , в результате получим

.

Аналогично продолжая рассуждение, получим, что аn – 2 = bn –2, …, а 0 = b 0.

Таким образом, доказано, что из тождественного равенства 2-x многочленов следует совпадение их коэффициентов при одинаковых степенях x .

Обратное утверждение справедливо очевидно, т.е. если два многочлена имеют одинаковыми все коэффициенты, то они есть одинаковые функции, следовательно, их значения совпадают при всех значениях аргумента, что и означает их тождественное равенство. Свойство 1 доказано полностью. v

при .

При делении многочлена Pn (x ) на разность (x – х 0) получается остаток, равный Pn (x 0), то есть

Теорема Безу,(4)

гдеQn – 1(x ) — целая часть от деления, является многочленом степени (n – 1).

w Запишем формулу деления с остатком:

гдеQn – 1(x ) — многочлен степени (n – 1),

A — остаток, который является числом вследствие известного алгоритма деления многочлена на двучлен «в столбик».

Это равенство верно при «x , в том числе при x = х 0 Þ

Следствие из теоремы Безу. О делении многочлена на двучлен без остатка

Если число х 0 является нулем многочлена, то этот многочлен делится на разность (x – х 0) без остатка, то есть

Þ .(5)

1) , так какP 3(1) º 0

Þ.

2) , так какP 4(–2) º 0

Þ.

3) , так какP 2(–1/2) º 0

Þ.

Деление многочленов на двучлены «в столбик»:

_

_

_

_

_

Всякий многочлен степени n ³ 1 имеет, по крайней мере, один нуль, действительный или комплексный

Доказательство этой теоремы выходит за рамки нашего курса. Поэтому примем теорему без доказательства.

Поработаем по этой теореме и по теореме Безу с многочленом Pn (x ).

После n -кратного применения этих теорем получим, что

,

гдеa 0 — это коэффициент при x n в Pn (x ).

Следствие из основной теоремы алгебры. О разложении многочлена на линейные множители

Любой многочлен степени на множестве комплексных чисел разлагается на n линейных сомножителей, то есть

Разложение многочлена на линейные множители ,(6)

гдех1, х2, … хn — это нули многочлена.

При этом если k чисел из набора х 1, х 2, … хn совпадают между собой и с числом a, то в произведении (6) получается множитель (x – a)k . Тогда число x = a называется k-кратным нулем многочлена Pn ( x ) . Если k = 1, то нуль называется простым нулем многочлена Pn ( x ) .

1)P 4(x ) = (x – 2)(x – 4)3 Þx 1 = 2 — простой нуль, x 2 = 4 — трехкратный нуль;

Свойство 4 (о количестве корней алгебраического уравнения)

Любое алгебраическое уравнение Pn(x) = 0 степени n имеет на множестве комплексных чисел ровно n корней, если считать каждый корень столько раз, какова его кратность.

1)x 2 – 4x + 5 = 0 — алгебраическое уравнение второй степени

Þx 1,2 = 2 ± = 2 ±i — два корня;

2)x 3 + 1 = 0 — алгебраическое уравнение третьей степени

Þx 1,2,3 = — три корня;

Разделим многочлен P 3(x ) на (x – 1):

Þx 1 = 1 — простой корень, x 2 = –1 — двукратный корень.

Если алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексные корни, то эти нули всегда парные комплексно сопряженные, то есть если x 0 = a + bi является корнем уравнения Pn (x ) = 0, то число также является корнем этого уравнения.

w нужно использовать определение и следующие легко проверяемые свойства операции комплексного сопряжения:

если , то ;

; ; , ;

если – действительное число, то .

Так как является корнем уравнения , то

, где , – действительные числа.

Возьмем сопряжение от обеих частей последнего равенства и используем перечисленные свойства операции сопряжения:

, то есть число также удовлетворяет уравнению , следовательно, является его корнем, ч.т.д. v

1) – парные комплексно сопряженные корни;

2) .

Любой многочлен с действительными коэффициентами разлагается на произведение линейных и квадратичных функций с действительными коэффициентами.

w Пусть x 0 = a + bi — нуль многочлена Pn (x ). Если все коэффициенты этого многочлена являются действительными числами, то тоже является его нулем (по свойству 5).

Вычислим произведение двучленов :

комплексный число многочлен уравнение

Получили (x – a )2 + b 2 — квадратный трехчленс действительными коэффициентами.

Таким образом, любая пара двучленов с комплексно сопряженными корнями в формуле (6) приводит к квадратному трехчлену с действительными коэффициентами. v

Примеры решения алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел (Приведите примеры решения алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел )

1. Алгебраические уравнения первой степени:

, – единственный простой корень.

.

Ответ: .

2. Квадратные уравнения:

, – всегда имеет два корня (различных или равных).

1) .

Ответ: .

2) .

Ответ: .

3) ,.

Ответ: , .

3. Двучленные уравнения степени :

, – всегда имеет различных корней.

,

;

;

.

Ответ: , .

4. Решить кубическое уравнение .

Уравнение третьей степени имеет три корня (действительные или комплексные), при этом нужно считать каждый корень столько раз, какова его кратность. Так как все коэффициенты данного уравнения являются действительными числами, то комплексные корни уравнения, если они есть, будут парными комплексно сопряженными.

Подбором находим первый корень уравнения , так как .

По следствию из теоремы Безу . Вычисляем это деление «в столбик»:

_
_
_

Представляя теперь многочлен в виде произведения линейно и квадратного множителя, получим:

.

Другие корни находим как корни квадратного уравнения:

.

Ответ: , .

5. Составить алгебраическое уравнение наименьшей степени с действительными коэффициентами, если известно, что числа x 1 = 3 и x 2 = 1 + i являются его корнями, причем x 1 является двукратным корнем, а x 2 — простым.

Число тоже является корнем уравнения, т.к. коэффициенты уравнения должны быть действительными.

Всего искомое уравнение имеет 4 корня: x 1, x 1, x 2, . Поэтому его степень равна 4. Составляем многочлен 4-й степени с нулями x 1, x 1, x 2, по формуле (6):

Þ

.

Искомое уравнение имеет вид P 4(x ) = 0.

Ответ: .

1. Сформулируйте определение комплексного числа

3. Какое название или смысл имеет формула?

4. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

5. ⌂ .

7. Что такое действительная часть комплексного числа z?

9. Что такое комплексно сопряженное число?

11. Что такое комплексный ноль?

13. Сформулируйте смысл комплексного равенства.

15. Что такое модуль и аргумент комплексного числа?

17. Что такое аргумент комплексного числа?

18. Какое название или смысл имеет формула?

19. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

20. ⌂ .

21. Что такое алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа?

22. Какое название или смысл имеет формула?

23. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

24. ⌂ .

25. Что называется алгебраической формой комплексного числа?

27. Дайте определения и перечислите основные свойства арифметических действий над комплексными числами.

28. Какое название или смысл имеет формула?

29. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

31. Какое название или смысл имеет формула?

32. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

33. ⌂ .

34. Какое название или смысл имеет формула?

35. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

36. ⌂ .

37. Что такое формула Муавра?

38. Какое название или смысл имеет формула?

39. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

40. ⌂ .

41. Что называется корнем степени n из комплексного числа?

42. Какое название или смысл имеет формула?

43. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

44. ⌂ .

45. Что называется показательной формой комплексного числа?

46. Какое название или смысл имеет формула?

47. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

48. ⌂ .

49. Что такое формулы Эйлера?

50. Какое название или смысл имеет формула?

51. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

52. ⌂ .

53. Что называется целой функцией?

55. Что называется полиномом?

57. Что такое коэффициенты многочлена?

59. Что называется нулем функции?

61. Перечислите основные свойства многочленов.

63. Сформулируйте свойство о делении многочлена на разность (x – х0).

64. Сформулируйте теорему теорема Безу .

65. Какое название или смысл имеет формула?

66. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

67. ⌂ .

69. Сформулируйте теорему теорема алгебры основная.

70. Какое название или смысл имеет формула?

71. Поясните смысл обозначений в этой формуле:

72. ⌂ .

73. Что называется k-кратным нулем многочлена?

75. Сформулируйте свойство о количестве корней алгебраического уравнения.

78. Сформулируйте свойство о разложении многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители.

k-кратным нулем многочлена называется. (стр. 18)

алгебраическим многочленом называется. (стр. 14)

алгебраическим уравнением n-й степени называется. (стр. 14)

алгебраической формой комплексного числа называется. (стр. 5)

аргумент комплексного числа это. (стр. 4)

действительная часть комплексного числа z это. (стр. 2)

комплексно сопряженное число это. (стр. 2)

комплексный ноль это. (стр. 2)

комплексным числом называется. (стр. 2)

корнем степени n из комплексного числа называется. (стр. 10)

корнем уравнения называется. (стр. 14)

коэффициенты многочлена это. (стр. 14)

мнимая единица это. (стр. 2)

мнимая часть комплексного числа z это. (стр. 2)

модулем комплексного числа называется. (стр. 4)

нулем функции называется. (стр. 14)

показательной формой комплексного числа называется. (стр. 11)

полиномом называется. (стр. 14)

простым нулем многочлена называется. (стр. 18)

противоположное число это. (стр. 2)

степень многочлена это. (стр. 14)

тригонометрической формой комплексного числа называется. (стр. 5)

🌟 Видео

2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числаСкачать

Комплексные числа в уравненияхСкачать