Итак, необходимо решить уравнение с комплексными переменными, найти корни этого уравнения. Рассмотрим принцип решения комплексных уравнений, научимся извлекать корень из комплексного числа.
Для того, чтобы решить уравнение n-й степени с комплексными числами, используем общую формулу:
где |z| — модуль числа, φ = arg z — главное значение аргумента, n — степень корня, k — параметр, принимает значения : k = .
Пример 1. Найти все корни уравнения
Выразим z из уравнения:
Все корни заданного уравнения являются значениями корня третьей степени из комплексного числа
Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени n комплексного числа z. Найдем все необходимые значения для формулы:
Подставим найденные значения в формулу:
Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения.
Пример 2. Найти все корни уравнения
Найдем дискриминант уравнения:
Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня. Вычислим корень из дискриминанта:
Найдем корни уравнения:
Ответ:
Пример 3. Найти все корни уравнения
Выразим z из уравнения:
Все корни заданного уравнения являются значениями корня четвертой степени из комплексного числа
Вновь используем общую формулу для нахождения корней уравнения n степени комплексного числа z.
n = 4 — количество корней данного уравнения. k = . Найдем модуль комплексного числа:
Подставим найденные значения в формулу:
Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2, 3 найдем все 4 корня уравнения:
Пример 4. Найти корни уравнения
Решение кубического уравнения комплексными числами:
Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени 3 комплексного числа z.
Найдем все необходимые значения для формулы:
Подставим найденные значения в формулу:
Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения:
Домашнее задание: Самостоятельно составить и решить уравнение с комплексными числами.
Условия: переменная z должна быть «спрятана» и представлена в качестве аргумента тригонометрической функции косинуса. Чтобы привести данное уравнение к привычной форме, нужно «вытащить» z, а для этого необходимо помнить, как решаются тригонометрические уравнения,а также знать, как применять свойства логарифмической функции от комплексного числа.
После того, как мы решили тригонометрическое уравнение с комплексным числом, получаем «голый» z, который представлен в качестве аргумента обратной тригонометрической функции. Чтобы преобразовать данное выражение, нужно использовать формулу разложения арккосинуса в логарифм.
Вместо z — выражение (3i/4) и дальше все делаем по приведенной выше формуле, преобразовывая выражение под корнем, используя свойства мнимой единицы i.
Как быть далее? Теперь будем использовать формулу для решения выражения с натуральным логарифмом.
Для того чтобы найти корни логарифмического уравнения, нужно найти модуль комплексного числа |z| и его аргумент φ = arg z. По сути, перед нами чисто мнимое число.
Теперь предлагаем ознакомиться с формулами, которые могут пригодиться при решении уравнений или неравенств с комплексными числами. Это формулы, где комплексное число выступает в роли аргумента тригонометрической функции, логарифмической функции или показательной функции.
Видео:✓ Задача про комплексное число | Ботай со мной #101 | Борис ТрушинСкачать
Примеры решений задач с комплексными числами
На этой странице вы найдете подробные готовые задания с ответами по разделу «Комплексные числа»: действия с комплексными числами, преобразование в алгебраическую, тригонометрическую и показательную форму, возведение в степень и извлечение корня по формуле Муавра, решение уравнений с комплексными корнями и т.п.
Если вам нужна помощь в выполнении работы по комплексным числам, мы будем рады помочь: стоимость задания от 70 рублей, срок от 1 дня, гарантия месяц, подробное оформление (см. Решение задач на заказ).
Еще полезные ссылки для изучения:
Видео:Комплексные числа: начало. Высшая математика или школа?Скачать
Графические задачи с комплексными числами
Задача 1. Найдите геометрическое место точек, изображающих $z$, удовлетворяющих системе неравенств: $$ |z-1| lt 1, \ Re z le 1, \ Im z le 1.$$
Задача 2. Изобразите на $C$: $Re z^2 =-1$.
Видео:комплЕксные ЧИСЛА решение примеров МАТЕМАТИКАСкачать
Действия с комплексными числами. Решения задач
Задача 3. Вычислить сумму $(z_1 + z_2)$ и разность $(z_1 — z_2)$ комплексных чисел, заданных в показательной форме, переведя их в алгебраическую форму. Построить операнды и результаты на комплексной плоскости. $$ z_1 = 2 e^, z_2=4 e^.$$
Задача 4. Вычислить произведение $z_1 cdot z_2$ и частное $z_1 / z_2$ комплексных чисел. Операнды и результаты изобразить на комплексной плоскости. $$ z_1 = 4+3i, z_2=1-sqrt i.$$
Задача 5. Найти все значения корней из заданного комплексного числа $sqrt[4].$
Задача 6. Вычислить $left(frac right)^.$ Представить результат в алгебраической и показательной формах.
Видео:КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать
Формы комплексных чисел. Решения задач
Задача 7. Найти $|z|$, $arg z$, записать число $z$ в тригонометрической и показательной форме $z=-sqrt-i.$
Задача 8. Найдите $z$ в тригонометрической форме, если $z=(3-3isqrt)(5sqrt+5i).$
Задача 9. Дано комплексное число $a$. Требуется:
1) записать число $a$ в алгебраической и тригонометрической формах;
2) найти корни уравнения $z^3+a=0$. $$a=frac<sqrt-i>.$$
Видео:Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел | Высшая математикаСкачать
Уравнения с комплексными числами. Решения задач
Задача 10. Решите уравнение (ответ запишите в алгебраической форме): $sh z — ch z =2i.$
Задача 11. Решить уравнения или вычислить: $$ frac = frac. $$
Задача 12. Найти все комплексные корни заданного уравнения, отметить найденные корни на комплексной плоскости: $z^6-7z^3-8=0.$
Видео:Комплексные числа в уравненияхСкачать
Примеры действий с комплексными числами, решение уравнений
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Решение уравнений с комплексными числами
Задача 1 . Решите уравнение (2 − i) x + (5 + 6i) у = 1 − 3i
относительно действительных переменных х и у.
Решение. Левую часть уравнения можно рассматривать, как некоторое неизвестное комплексное число. Приведя его к виду a + bi получаем уравнение, равносильное данному:
(2х + 5у ) + (− х + 6у ) i = 1 − 3i .
Так как два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, приходим к системе:
Решая эту систему, получаем : х = 
; у = 
.
Ответ: х = ; у = ; .
Задача 2 . При каких действительных значениях х и у
комплексные числа z1 = x2 + yi − 5 − и z2 = –у – х2 i – 4i будут сопряженными?
Решение. Комплексные числа z1 = (х2 — 5) + (у + 7i) и z2 = (–у) – (х + 4)i будут комплексно сопряженными, если выполняются условия :
Решая полученную систему, находим: х1 = 2 , у1 = 1 ; х2 = −2 , у2 = 1 .
Задача 3. При каких действительных значениях х и у комплексные числа:
z1 = 2×2 – yi −1− и z2 = у –3 + х2i – 2i будут равными?
Решение. Комплексные числа z1= (2х2 –1)+ (3 – y)i, z2 = (у–3) + (х2–2)i будут равными, если выполняются условия: 
Решая систему, находим: х1 = −1 , у1 = 4 ; х2 = 1 , у2 = 4 .
💡 Видео
Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.Скачать
Комплексные корни квадратного уравненияСкачать
Высшая математика. Комплексные числаСкачать
Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 3. Формы записи. Возведение в степень.Скачать
10 класс, 35 урок, Комплексные числа и квадратные уравненияСкачать
Комплексные числа #1Скачать
Формула Муавра ➜ Вычислить ➜ (5+5i)⁷Скачать
Тригонометрическая форма комплексного числаСкачать
Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 4. Извлечение корня n-й степени.Скачать
Комплексные корни квадратных уравнений. 11 класс.Скачать
10 класс, 32 урок, Комплексные числа и арифметические операции над нимиСкачать
Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 2. Простейшие действия.Скачать
Комплексные числа. Тригонометрическая форма. Формула Муавра | Ботай со мной #040 | Борис Трушин !Скачать
Уравнение с комплексными числамиСкачать
